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2017年广东自主招生数学模拟试题六(含答案)


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根据历年单招考试大纲出题

2017 年广东自主招生数学模拟试题六(含答案)
一、选择题:本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项 中,只有一项是符合题目要求的. 1.若函数 y ? sin 4 x ? cos4 x( x ? R) ,则函数的最小正周期为 A.

r />
?
4 D. 2?

B.

?
2

C. ?

X ? a , (a ? 0) ,则满足 2.已知集合 A ? ??2, ?1,0,1,2? ,集合 B ? x ? Z   的实数 A? ?B a 可以取的一个值为
A.0 B.1 C.2 D.3

?

?

3.函数 y ? y

log 2 x x

的大致图象是 y y y

0 A

x

0 B

x

0 C

x

0 D

x

4.将圆 x 2 ? y2 ? 4 上各点的横坐标不变,纵坐标缩短为原来的 则该椭圆的离心率为 A.

1 ,得到一个椭圆, 2

1 2

B.

3 2

C.

2 2

D.

5 5

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根据历年单招考试大纲出题

5.若不等式

m?x ? 0 的解集是 (??,?5) ? (?2,?1) ,那么 m 的值是 x ? 6x ? 5
2

A.2

B.-2

C. ?

1 2

D.

1 2

6.设 a 是直线, ? 是平面,那么下列选项中,可以推出 a // ? 的是 A.存在一条直线 b , a // b , b ? ? C.存在一个平面 ? , a ? ? , ? // ? B.存在一条直线 b , a ? b , b ? ? D.存在一个平面 ? , a ? ? , ? ? ?

7.从某地区 15000 位老人中随机抽取 500 人,其健康综合指标的统计情况如下表所 示:

人数 综合指标 正常 良好

性别





178 23

278 21

则该地区健康综合指标良好的老人中男性比女性约多 A.2 人 B.22 人 C.60 人 D.667 人

8.已知圆 C:(x-1)2+(y-2)2=25,直线 l:(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0 (m∈R). 设 p:圆 C 上存在关于直线 l 对称的相异两点;q:m= ?

1 .则 p 是 q 的 3

考单招上高职单招网---A.充分非必要条件 条件

根据历年单招考试大纲出题

B.必要非充分条件 C.充要条件 D.非充分也非必要

??? ? 1 ??? ? 1 ??? ? 1 ??? ? 9. 若△ ABC 所在平面内一点 P 满足 AP ? AB ? AC ? BC ,则点 P 一定在 2 2 6
A.△ ABC 的一边上 C.△ ABC 的外部 B.△ ABC 的一顶点处 D.△ ABC 的内部

10.某汽车运输公司购置中型客车一辆投放客运市场营运,据市场调查分析知,该型 客车投放市场后的第 x 年的年利润 y(单位:万元)与营运年数 x(x∈N*)的函数关系

?? 14    x=1时 为 y= ? ,若这辆客车营运 n 年可使其营运年平均利润达到最大, 13-2 x x ?2时 ?
则 n 的值为 A.2 D.6 B.4 ( ) C.5

二、填空题:本大题共 5 个小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填在题中横线上.
1 11.设二项式 (33 x ? ) n 的展开式中各项系数和为 p ,各项的二项式系数和为 s ,若 x p ? s ? 272 ,则 n 等于_________.

12.球的内接正方体的棱长为 a,则该正方体同一棱的两端点间的球面距离均为.

13.已知 f ( x) 是 R 上的偶函数,且满足 f ( x ? 4) ? f ( x),当x ? (0, 2)时, f ( x) ? 2 x2 ,

则f (7) ? .

14.在由 0,1,2,3,4,5 所组成的无重复数字的六位数中,任取一个六位数,恰 好满足个位、十位、百位上的数字之和为 7 的概率是 .

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15.有一批大小相同的呈正方体型的物件,按照上面少,下面多的方式,堆放于仓库 的墙角处。从上至下,第一层放 1 件,第二层放 3 件,第三层放 6 件…,各层放置的

第一层 平面图形如下:

第二层

第三层

如果这堆物件一共堆放了 10 层,则第 10 层放有 有 件这样的物件.

件这样的物件;这一堆共

三、解答题:本大题共 6 个小题,共 75 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步 骤. 16.(本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中, a、b、c 分别为角 A、B、C 的对边,若向量 m ? (cos A,sin A) ,向 量 n ? (cos C, ? sin C) ,且 m ? n ? ?

??

?

?? ?

1 . 2

(Ⅰ)求 sin A 的最大值及对应的 A 的值; (Ⅱ)若 a ? 2, b ?

7 ,求 c 的长.

17.(本小题满分 12 分)

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甲、乙两人参加一项智力竞赛.在同一轮竞赛中,两人测试同一套试卷,成绩由 次到优,依次分为 “合格”,“良好”,“优秀”三个等级.根据以往成绩可知,甲取得“合 格”,“良好”,“优秀”的概率分别为 0.6,0.3,0.1;乙取得“合格”,“良好”,“优秀”的 概率分别为 0.4,0.4,0.2.设甲、乙两人参加竞赛的过程相互独立,且每个人的前后各 轮次竞赛成绩互不影响. (Ⅰ)求在一轮竞赛中甲取得的成绩等级优于乙取得的成绩等级的概率; (Ⅱ)求在独立的三轮竞赛中,至少有两轮甲取得的成绩等级优于乙取得的成绩等级 的概率.

18.(本小题满分 12 分) 在直四棱柱 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,底面 ABCD 为直 角梯形, ?BAD ? ?ADC ? 90? , AB ? AD ? 1 , A1 E A (Ⅰ)试确定点 F 的位置,使得 D1 E ? DF ; (Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,求 CF 与平面 EFD 1 所成角的大小.

D
1

C1 B1 F C B

CD ? CC1 ? 2 , E 为棱 AA 1 的中点, F 为棱 BB 1 上的动
点.

D

19.(本小题满分 12 分)

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根据历年单招考试大纲出题

某企业为了适应市场需求,计划从 2010 年元月起,在每月固定投资 5 万元的基 础上,元月份追加投资 6 万元,以后每月的追加投资额均为之前几个月投资额总和的 20%,但每月追加部分最高限额为 10 万元.设第 n 个月的投资额为 a n 万元,前 n 个 月的投资总额为 sn 万元. (Ⅰ)求出 a1, a 2 , a 3 的值; (Ⅱ)写出 a n 关于 n 的表达式. (精确到 0.01,参考数据:1.22=1.44, 1.23=1.73, 1.24=2.07, 1.25=2.49, 1.26=2.99)

20.(本小题满分 13 分) 设定义在 R 上的函数 f (x) ? ax ? bx ? cx ? d (a, b, c, d ? R) ,当 x ? ?1 时
3 2

2 f ( x) 取得极大值 ,且函数 y=f(x)为奇函数. 3
(Ⅰ)求函数 f ( x) 的表达式; ( Ⅱ)设 xn ?

4 2n ? 1 2(1 ? 3m ) , y ? (m, n ? N ? ) ,求证: | f ( xn ) ? f ( ym ) |? . m n m 3 2 3

21.(本题满分 14 分)

1 1 相切,圆心 C 的轨迹记为 E.,曲线 E 与 4 4 直线l:y=k(x+1) (k ? R ) 相交于 A、B 两点. 0 ),且与直线 x= 已知动圆 C 过定点 F( ? ,
(Ⅰ)求曲线 E 的方程; (Ⅱ)当△ OAB 的面积等于 10 时,求 k 的值;

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(Ⅲ)在曲线 E 上,是否存在与 k 的取值无关的定点 M,使得 MA ? MB?若存在, 求出所有符合条件的定点 M;若不存在,请说明理由.

参考答案及评分原则
一、选择题:BDDBB CCCAC 二、填空题: 11. 4, 13. 2; 12.

3 1 3 a ? arccos (也可以写成 3 a? arcsin 等其它形式) ; 2 3 3
14.

4 ; 25

15.

55,220.

三、解答题:本大题共 6 个小题,共 75 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步 骤.
16  .解: ( Ⅰ )m ? n ? cosAconC? sinAsinC ? cos(A ? C) ? ?conB ? ?           ?B? 1 2
//

?

3 2?         ?0 ? A ? .......... .......6 3 ? 时,sinA取最大值 1......... 8 2    (Ⅱ)由余弦定 理c=3     ..... ... 12'         ?当A ?

/    ....... ...... 4

?

17.(本小题满分 12 分) 解:记 A1,A2 分别表示甲取得良好、优秀,

B1,B2 分别表示乙取得合格、良好,
A 表示在一轮竞赛中,甲取得的成绩优于乙取得的成绩 B 表示在三轮竞赛中至少有两轮甲取得的成绩优于乙取得的成绩,

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C1,C2 分别表示三轮中恰有两轮,三轮甲取得的成绩优于乙取得的成绩.则
(Ⅰ) A ? A1 ? B1 ? A2 ? B1 ? A2 ? B2 , ·················· 2 分

P( A) ? P( A1 ? B1 ? A2 ? B1 ? A2 ? B2 ) ? P( A1 ? B1 ) ? P( A2 ? B1 ) ? P( A2 ? B2 )
? P( A1 ) ? P( B1 ) ? P( A2 ) ? P( B1 ) ? P( A2 ) ? P( B2 )

? 0.3 ? 0.4 ? 0.1? 0.4 ? 0.1? 0.4 ? 0.2 . ·················· 6 分
(Ⅱ) B ? C1 ? C2 , ·························· 8 分
2 P(C1 ) ? C3 [ P( A)]2[1 ? P( A)] ? 3 ? 0.22 ? (1 ? 0.2) ? 0.096 ,

P(C2 ) ? [ P( A)]3 ? 0.23 ? 0.008 ,

C1

P( B) ? P(C1 ? C2 ) ? P(C1 ) ? P(C2 ) ? 0.096 ? 0.008 ? 0.104 . ······· 12 分

18.(本小题满分 12 分)

D
1

解:(Ⅰ)当点 F为线段BB1的中点时, 点F在面A 1 AD内的射影为点 E,直线 DF在面A 1 AD 而D1 E ? DE,由三垂线定理知 DF ? D1 E.    .......... 6'
E A

C1

F D B C

(Ⅱ) ? CD ∥ EF,? CD ∥ 面EFD1 . ? 点C到面EFD1的距离等于点 D到面EFD1的距离,等于 2 .... 8' CF ? FB2 ? BC 2 ? 3 ......... .......... .. 10' ? sin? ? 2 3 注:对空间向量法解题 ,酌情给分。 ? 6 6 ? ??   又? ? ?0, ? ?? ? arcsin  ......... 12' 3 3 ? 2?

19.(本小题满分 12 分)

解:(Ⅰ) a1 ? 11 ;  a =7.2   a 3 ? 8.64  ....... 4' 2

考单招上高职单招网---(Ⅱ)由题设 n ? 2 时, a n ? 5 ?

根据历年单招考试大纲出题

1 s n ?1   ........6' 5

1 1 由 an ? 5 ? Sn?1 ,?an?1 ? 5 ? Sn ,两式相减得: 5 5

1 1 a n ?1 ? a n ? (s n ? s n ?1 ) ? a n 5 5 a n ?1 ? 6 a n (n ? 2)   ........ .......... ... 8' , 5

1 36 36 6 6 又 a1 ? 11, a2 ? 5 ? a1 ? ,?an ? a2 qn?2 ? ? ( )n?2 ? 6( )n?1 , 5 5 5 5 5
由 an ? 15,?6 ?1.2n?1 ? 15,
? n ? 1 ? 5,? n ? 6 ............................

..................10'

?11, n ? 1 ? ? an ? ?6 ? 1.2n ?1 ,2 ? n ? 6 .......................... ?15, n ? 7 ?
.................12' 20.(本小题满分 13 分) 解:(Ⅰ) 由 f(x)为奇函数知b=d= 0.......................2'

1 ? 1 3 2 ?a ? 又 f’(-1)=0 且 f(-1)= 得? 3 ?f(x)= x ? x ..........4' 3 3 ? ?c ? ?1
(Ⅱ)由(Ⅰ)知 f ?( x) ? x 2 ?1

? xn ?

1 2n ? 1 1 ? 1 ? n , (n ? N ? ) , ? x n ? 1 .. .........6' n 2 2 2 1 2 1 2

因为当 x ? [ ,1) 时, f ?( x) ? x2 ?1 ? 0 ,即函数 f ( x) 在 [ ,1) 上递减

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1 ? f ( xn ) ? ( f (1), f ( )] ,即 2 2 11 f ( xn ) ? (? , ? ] ..............8' 3 24
又 ym ?

2(1 ? 3m ) 1 ? 2( m ? 1),(m ? N ? ) , m 3 3 1 2 2 ...................... ? 1) ? ? n 3 3

? 2 ? 2(

..........10' 又因为当 x ? (? 2, ?1) 时, f ?( x) ? x2 ?1 ? 0 ,即函数 f ( x) 在 (? 2, ?1) 上递 增; 当 x ? (?1, ?

2 2 2 2 ) 时, f ?( x) ? x2 ?1 ? 0 ,即函数 f ( x) 在 (?1, ? ) 上递减 3 3

1 2 , ? f (? 2) ? ? (? 2)3 ? 2 ? 3 3 f (? 2 2 1 2 2 3 2 2 38 2 ) ? (? ) ? ? 3 3 3 3 81 2 2 ), 3

? f (? 2) ? f (?

? f ( ym ) ? ( f (? 2), f (?1)] ,
即:

? 2 2? f ( ym ) ? ? ? 3 , 3 ? ............................. ? ?
...............12'

?| f ( xn ) ? f ( ym ) |? f ( ym ) ? f ( xn ) ?
....13'

2 2 4 ? ( ? ) ? ................ 3 3 3

21. (本题满分 14 分)

考单招上高职单招网---解:(Ⅰ)点 C 的轨迹方程为

根据历年单招考试大纲出题

y2 ? ?x ,.............................4'
(Ⅱ).由方程组 y2=-x, y=k(x+1) 消去 x 后,整理得

ky2+y-k=0. 设 A(x1,y1)、B(x2,y2),由韦达定理

1 ? ? y1 ? y 2 ? ? k .............6' ? ? ?y1 y 2 ? ?1
∵A、B 在抛物线 y2=-x 上, ∴y12=-x1,y22=-x2,y12·y22=x1x2. 设直线l与 x 轴交于点 N,则 N(-1,0) ∵S△OAB=S△OAN+S△OBN = =

1 1 |ON||y1|+ |ON||y2| 2 2 1 |ON|·|y1-y2|, 2 1 ·1· ( y1 ? y 2 ) 2 ? 4 y1 y 2 2

∴S△OAB= =

1 2

1 ( ) 2 ? 4 ................................. k

............8' ∵S△OAB= 10 ,

考单招上高职单招网---∴ 10 =

根据历年单招考试大纲出题

1 2

1 ? 4 .解得 k=± k2

1 ...................................10' 6
(Ⅲ) 设点M(x0 , y 0 ),若(y1 - y 0 )(y 2 ? y 0) ? (x1 ? x 0 )(x 2 ? x 0 ) ? 0 ?

1 1 2 2 x 0 ? y0 ? y0 ? 2x 0 ? x 0 ? 0.......... ... 12' 2 k k ?x 0 ? 0 ?x 0 ? 0 ? ? ?y 0 ? 0 ?? ?y 0 ? 0 ? 2 2 y ? 2x ? x ? 0 0 0 ? 0

故存在唯一的合乎题意的点 M(0,0).............................14'


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