2015 年东北三省四市教研联合体高考模拟试卷（三）
理科数学试卷
第Ⅰ卷（选择题 共 60 分） 一、 选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的。 1、已知全集 U ? {1,2,3,4}, A ? {1,4}, B ? {2,4}, 则（CU A） ?B ?
A. ?
2、若复数
B. {2}
C.
{4}
D.
{2,3,4}
1 ? bi 是纯虚数（ i 是虚数单位， b 是实数） ，则 b ? 2?i 1 A. ?2 B. ? 2 1 C. D. 2 2 3、执行下面的程序框图，那么输出的 S 等于
A. 42 C. 72
B. 56 D. 90
? 1 2
4、设 a ? log3 3 ， b ? ln 2 ， c ? 5
，则
A. c ? b ? a
n
B. b ? a ? c
*
C. a ? c ? b
D. a ? b ? c
5、已知 (1 ? x) （ n ? N ）的展开式中第 3 项与第 8 项的二项式系数相等，则这两项的二项式系数 为
开始
A. 36 D. 120
B. 45
K=1 S=0 否 输出 S 结束 K = K+1
C.
55
6、已知 ?an ? 为等差数列且公差 d ? 0 ，其首
项
a1 ? 20 ，且 a3 , a7 , a9 成等比数列， S n 为
K ≤8 是
?an ? 的 前
C. 90
n 项和， n ? N * ，则 S10 的值为(
A. ? 110 D. 110 B.
)
S = S +2 K
? 90
7 、 某 抛 物 线 的 通 径 与 圆
·1 ·
x 2 ? y 2 ? 4x ? 2 y ? 11 ? 0 的半径相等，则该抛物线的焦点到其准线的距离为
A. 2 B. 4 C.
6
D. 8
8、某数学教师一个上午有 3 个班级课，每班一节。如果上午只能排 4 节课，并且不能连上 3 节课， 则这位教师上午的课表有（ ）种可能的排法
A. 6
B. 8
C.
12
D. 16
9、函数 f ( x) ? A sin(?x ? ? ), ( A ? 0,? ? 0) 的一个最高点坐标为（2,2） ，相邻的对称轴与对称中 心之间的距离为 2，则 f (2015 )=
A. 1
B.
2
C. -1
D. ? 2
10、偶函数 f ( x) ? loga | x ? b | 在 (??,0) 上单调递减，则 f (a ? 1)与f (2 ? b) 的大小关系是
A. f (a ? 1) ? f (2 ? b) C. f (a ? 1) ? f (2 ? b)
11 、 F 为双曲线
B. f (a ? 1) ? f (2 ? b) D. 不能确定
x2 y2 ? ? 1 的右焦点，点 P 在双曲线右支上， ?POF （ O为坐标原点）满足 a2 b2
OF ? OP ? 5, PF ? 2 ，则双曲线的离心率为
A.
3
B. 2
C. 5
D. 3 ? 1
x
12. 定 义 在 R 上 的 函 数 f ( x)满足f ( x ? 2) ? f ( x ) ? 1, 且x ? [0,1]时, f ( x) ? 4 ， x ? (1, 2) 时 ，
f ( x) ?
A. 6
f (1) ，令 g ( x) ? 2 f ( x) ? x ? 4 ， x ? [?6,2] ,则 函 数 g ( x) 的零点个数为 x B. 7 C. 8 D. 9
二填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分 13、边长为 2 的正方形 ABCD ，对角线的交点为 E ，则
( AB ? AC) ? AE =
. 方形） ，则
14．如右图是一个空间几何体的三视图（俯视图外框为正 这个几何体的表面积为 .
15、甲乙两位同学约定早上 7 点至 12 点之间在某地会面， 一个小时后即离去。设两人在这段时间内的各时刻到达是
·2 ·
先到者等 等可能的，
且二人互不影响，则二人能会面的概率为
.
16、棱长为 1 的正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中，点 M , N , P 分别为 AB1 , BC1 , DD1 的中点，给出下列 结论： ① MN ⊥ AA1 ② 直线 C1 M 与平面 ABCD 所成角的正弦值为 ③
5 5
MN ⊥ BP
1 3
④ 四面体 B ? DA1C1 的体积为 则正确结论的序号为 .
17. （本小题满分 12 分） 已知 f ( x) ? 3 sin 2x ? 2 cos2 x ，?ABC 的三边 a, b, c 对应的角分别为 A, B, C ， 其中 f ( A) ? 2 . (1) 求角 A 的大小； （2）当 a ? 2 时，求 ?ABC 面积的最大值. 18. （本小题满分 12 分） 全国学生的体质健康调研最新数据表明， 我国小学生近视眼发病率为 22.78％， 初中生为 55.22％， 高中生为 70.34％.。影响青少年近视形成的因素有遗传因素和环境因素。主要原因是环境因素，学 生长时期近距离的用眼状态，加上不注意用眼卫生、不合理的作息时间安排很容易引起近视。除了 学习，学生平时日常爱看电视、上、玩电子游戏，不喜欢参加户外体育活动都是造成近视情况日益 严重的原因。为了解情况现从哈市某中学随机抽取 18 名学生，经校医用对数视力表检查得到每个学 生的视力状况的茎叶图(以 小数点的前一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶)如下：
学生视力测试结果
4 5
3 4 4 5 5 5 6 6 6 7 7 8 9 9 0 1 1 2
(1) 求这 18 名学生视力的平均数（精确到 0.1）和中位数； （2）若视力测试结果不低于 5.0，则称为“正常视力” ， ①求校医从这 18 人中随机选取 3 人，至多有 1 人是“正常视力”的概率；
·3 ·
②以这 18 人的样本数据来估计整个学校的总体数据，若从该校(人数很多)任选 3 人，记 ? 表 示抽 到“正常视力”学生的人数，求 ? 的分布列及数学期望． 19. （本小题满分 12 分） 如图：四棱锥 P ? ABCD 中，底面 ABCD 是边长为 2 的正方形，平面 PCD ⊥底面 ABCD ，且
PC ? PD ? a .
(1) 求证： PD ⊥ BC ； （2）若二面角 A ? PC ? B 的大小为 20. （本小题满分 12 分）
? ，求 a 的值 . 6
x2 2 已 知 椭 圆 2 ? y ? 1, (a ? 1) ， 过 点 A(?a,0) 斜 率 为 k (k ? 0) 的 直 线 交 椭 圆 于 点 B . 直 线 a
BO(O为坐标原点 ) 交椭圆于另一点 C .
（1）当 a ? 2 时是否存在 k 使得 | AC |?| BC | ? （2）若 k ? [ ,1] ，求 ?ABC 的面积的最大值. 21. （本小题满分 12 分） 已知函数 f ( x) ? a ln( 1 ? x) ? a ln(1 ? x) ? x ?
1 2
x3 . 3(1 ? x 2 )
（1）当 0 ? x ? 1 时， f ( x) ? 0 ，求实数 a 的取值范围； （2）证明：
3 5 3 1 n ?1 1 n * ln 2 ? ln ? ? ? (n ? ) ln ? n? ? （ n ? N ）. 2 2 2 2 n 12 (n ? 1)
请考生在 22，23，24 三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时，用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑． P 请考生在第 22、23、24 题中任选一题做答，如果多 做，则按所做的第一题记分. 22. （本小题满分 10 分） 如图， AD 是 ?ABC 的高， AE 是 ?ABC 的外 接圆的直径， 过点 A 作圆的切线交 BC 的延长线于点 D
F.
（1） 求证： ?ABE ∽ ?ADC ；
·4 ·
C
A
B
（2） 若 BD ? 4CD ? 4CF ? 8 ，求 ?ABC 的外接圆的半径.
23. （本小题满分 10 分） 直角坐标系中曲线 C 的参数方程为 ? （1）求曲线 C 的直角坐标方程； （2）经过点 M (2,1) 作直线 l 交曲线 C 于 A, B 两点，若 M 恰好为线段 AB 的三等分点，求直线 l 的 斜率. 24. （本小题满分 10 分） 已知 a ? 1, b ? 1, c ? 1, 且 ab ? 10 . (1)求 lg a ? lg b 的最大值； （2）求证： loga c ? logb c ? 4 lg c .
? x ? 4 cos? (?为参数) . ? y ? 2 sin ?
·5 ·
2015 年 东北三省四市教研联合体高考模拟试卷（三） 理科数学答案 1 B 2 A 3 C 4 B 5 A 6 D 7 A 8 C 9 D 10 A 11 C 12 C
13、 6 14、
15、 16、①③④
17.（1）
?????（1 分）
，
?????（3 分）
又
?????（4 分）
，?????（5 分）
?????（6 分）
（2） ?????（8 分） 又 （当且仅当 时取等号）?????（9 分）
面积
?????（10 分）
·6 ·
所以
面积的最大值为
?????（12 分）
18.（1）由茎叶图这 18 名学生视力的平均数为
； ?????（2 分） 中位数为 4.65?????（4 分） （2）①“正常视力”人数为 4 人，设事件 A 为至多 1 人是“正常视力” ，
则 P(A)=
,故在 18 人中随机抽 3 人，
至多 1 人为“正常视力”的概率为
.?????（6 分）
②由题可知 ?????（8 分） 的分布列为：
0 P 1 2
，故
，
3
?????（10 分）
?????（12 分）
19.（1） 且 所以 ⊥
⊥ ，
， ⊥
=
，
， ?????（2 分）
⊥
?????（4 分）
·7 ·
（2）取
的中点为 ⊥
，连接 ， ， ， ⊥ ?????（6 分） 方向为 轴，射线 方向为 轴，平行于 的方向为 轴建立空 = ，
且 所以 以 ⊥ 为原点，射线
间坐标系， 的法向量为 的法向量为
，设 ?????（7 分） ?????（8 分）
?????（10 分）
?????（11 分）
?????（12 分）
20.(1)设直线
的方程为
，代入椭圆方程得
将
代入得
?????（1 分）
则
的中点坐标为
?????（2 分）
，
?????（3 分）
·8 ·
?????（4 分） 解得 ?????（5 分）
所以存在
使得
?????（6 分）
（2）由（1）得 ?????（7 分）
，
的面积
?????（8 分）
令
，
当
时，
，
在[1,2]上单调递减，所以当
时
的面积的最大值为
?????（10 分）
当 所以当
时 时，
在
上单调递减，在
上单调递增，
的面积的最大值为 ?????（12 分）
21. （1）解：
，?????（1 分）
依题知 令
，故
，则
。?????（2 分） ，
·9 ·
①
，此时
，故
，而
，所以
符合题意。?????（4 分）
②
，而
对称轴
，故
在
单调递增且
，则
，故 （6 分）
，而
，所以
符合题意。?????
综上，
。?????（7 分）
（2）证明：由（1）知，当
时，
，
即
。?????（8 分）
令
，则
， （10 分）
裂项累加
所以
。 （12 分）
22. （1） 又
是直径，
?????（1 分） ?????（2 分）
∽ （2）
?????（4 分）
，?????（5 分）
·10·
?????（7 分） ?????（8 分） ，?????（9 分）
由（1）得
所以
的外接圆的半径为
?????（10 分）
23.（1）由 曲线
的参数方程为
，
得
?????（2 分）
所以曲线
的直角坐标方程为
?????（4 分）
（2）设直线 的倾斜角为
直线 的参数方程为 代入曲线 的直角坐标方程得
，?????（5 分）
?????（6 分）
?????（7 分） 由题意可知 代入上式得
·11·
，?????（8 分）
即
?????（9 分）
所以直线 的斜率为
?????（10 分）
24.（1）由题意可知 即
，?????（1 分） ?????（2 分）
（当且仅当
）
的最大值为 (2) 要证：
?????（4 分）
即证： 由于 即证： 已知， 即证： 则 则
?????（5 分）
?????（7 分）
?????（9 分）
由（1）知成立 ，所以原不等式成立 ?????（10 分）
·12·