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最新经典试题系列---高考题选编(解答题部分)---三角函数与平面向量


高考题选编---三角函数与平面向量
三.解答题
1.(安徽卷)已知

3? 10 ? ? ? ? , tan ? ? cot ? ? ? 4 3

(Ⅰ)求 tan ? 的值;

5sin 2
(Ⅱ)求

?
2

? 8sin
<

br />?
2

cos

?
2

? 11cos 2

?
2

?8
的值。

?? ? 2 sin ? ? ? ? 2? ?

10 1 得 3tan 2 ? ? 10 tan ? ? 3 ? 0 ,即 tan ? ? ?3或 tan ? ? ? , 3 3 3? 1 ? ? ? ? ,所以 tan ? ? ? 为所求。 又 4 3 1- cos ? 1+ cos ? ? ? ? ? ? 4sin ? ? 11 ?8 5sin 2 ? 8sin cos ? 11cos 2 ? 8 5 2 2 2 2 2 2 (Ⅱ) = ?? ? 2 cos ? ? 2 sin ? ? ? ? 2? ? 5 ? 5cos ? ? 8sin ? ? 11 ? 11cos ? ? 16 8sin ? ? 6cos ? 8 tan ? ? 6 5 2 ? = = =? 。 6 ?2 2 cos ? ?2 2 cos ? ?2 2
解:(Ⅰ)由 tan ? ? cot ? ? ?

1 ? 2 sin(2 x ? ) 4 2.(北京卷)已知函数 f ( x) ? cos x
(1)求 f ( x ) 的定义域; (2)设 ? 是第四象限的角,且 tan ? ? ?

?

解: (1)依题意,有 cosx?0,解得 x?k?+

? ? ,即 f ( x ) 的定义域为{x|x?R,且 x?k?+ ,k?Z} 2 2

4 ,求 f (? ) 的值. 3

1 ? 2 sin(2 x ? ) 4 =-2sinx+2cosx? f (? ) =-2sin?+2cos? (2) f ( x) ? cos x 4 4 3 14 由 ? 是第四象限的角,且 tan ? ? ? 可得 sin?=- ,cos?= ,? f (? ) =-2sin?+2cos?= . 3 5 5 5
3.(福建卷)已知函数 f(x)=sin2x+ 3 xcosx+2cos2x,x ? R. (I)求函数 f(x)的最小正周期和单调增区间; (Ⅱ)函数 f(x)的图象可以由函数 y=sin2x(x∈R)的图象经过怎样的变换得到? 解: (I) f ( x) ?

?

3 1 3 ? 3 1 ? cos 2 x 3 sin 2 x ? cos 2 x ? ? sin(2 x ? ) ? . ? sin 2 x ? (1 ? cos 2 x) ? 2 2 2 6 2 2 2
2? ? ? ? ? ? . 由题意得 2k? ? ? 2 x ? ? 2k? ? , k ? Z , 2 2 6 2

? f ( x) 的最小正周期 T ?

k? ?

?
3

? x ? k? ?

?

? ?? ? , k ? Z . ? f ( x) 的单调增区间为 ? k? ? , k? ? ? , k ? Z . 6 3 6? ?
? ? 个单位长度,得到 y ? sin(2 x ? ) 的图象,再把所得 12 6
1

(II)先把 y ? sin 2 x 图象上所有点向左平移

3 ? 3 个单位长度,就得到 y ? sin(2 x ? ) ? 的图象。 2 6 2 ? ? 3 ? 3 方法二: y ? sin 2 x 图象上所有的点按向量 a ? (? , ) 平移, 把 就得到 y ? sin(2 x ? ) ? 的图象。 12 2 6 2 ? 4. (广东卷)已知函数 f ( x) ? sin x ? sin( x ? ), x ? R . 2
图象上所有的点向上平移 (I) 求 f ( x) 的最小正周期; (III)若 f (? ) ? (II)求 f ( x) 的的最大值和最小值;

3 ,求 sin 2? 的值. 4

解: f ( x) ? sin x ? sin( x ?

?

2

) ? sin x ? cos x ? 2 sin( x ? 2? ? 2? ; 1

?
4

)

(Ⅰ) f (x) 的最小正周期为 T ?

(Ⅱ) f (x) 的最大值为 2 和最小值 ? (Ⅲ)因为 f (? ) ?

2;

3 3 7 7 ,即 sin ? ? cos ? ? ? ? ? ① ? 2 sin ? cos ? ? ? ,即 sin 2? ? ? 4 4 16 16
?

sin( ? 2? ) 2 ? cos? ? 1, ? ? (0, ? ), 求 θ 的值. 5.(湖南卷)已知 3 sin? ? cos(? ? ? )

解:由已知条件得 3 sin? ? 由 0<θ<π 知 sin? ?

3 cos 2? 2 或 sin? ? 0 . ? cos? ? 1 .即 3 sin? ? 2 sin ? ? 0 .解得 sin? ? ? cos? 2

3 ? 2? ,从而 ? ? 或? ? . 3 3 2

6.(辽宁卷)已知函数 f ( x) ? sin 2 x ? 2sin x cos x ? 3cos2 x , x ? R .求: (I) 函数 f ( x ) 的最大值及取得最大值的自变量 x 的集合; (II) 函数 f ( x ) 的单调增区间. 解:(I) f ( x) ?

?当 2x ?

?
4

1 ? cos 2 x 3(1 ? cos 2 x) ? ? sin 2 x ? ? 1 ? sin 2 x ? cos 2 x ? 2 ? 2 sin(2 x ? ) 2 2 4

? 2 k? ?

?

2

,即 x ? k? ?

?

8

(k ? Z ) 时, f ( x) 取得最大值 2 ? 2 .函数 f ( x) 的取得最大值的 (k ? Z )} .

自变量 x 的集合为 {x / x ? R, x ? k? ? (II) f ( x) ? 2 ? 2 sin(2 x ? 即: k? ?

?
8

?
4

) 由题意得: 2k? ?

?
2

? 2x ?

?
4

? 2k? ?

?
2

(k ? Z )

3? ? 3? ? ? x ? k? ? (k ? Z ) 因此函数 f ( x) 的单调增区间为 [k? ? , k? ? ](k ? Z ) . 8 8 8 8
2

7.(山东卷)已知函数 f(x)=A sin (? x ? ? ) (A>0, ? >0,0< ? < 邻两对称轴间的距离为 2,并过点(1,2). (1)求 ? ; (2)计算 f(1)+f(2)+… +f(2 008). 解: (1) y ? A sin (? x ? ? ) ?
2

? 函数,且 y=f(x)的最大值为 2,其图象相 2

A A ? cos(2? x ? 2? ). ? y ? f ( x) 的最大值为 2, 2 2
2

A A 1 2? ? ? ? 2, A ? 2. 又? 其图象相邻两对称轴间的距离为 2, ? ? 0 ,? ( ) ? 2, ? ? . 2 2 2 2? 4 2 2 ? ? ? ? f ( x) ? ? cos( x ? 2? ) ? 1 ? cos( x ? 2? ) .? y ? f ( x) 过 (1, 2) 点,? cos( ? 2? ) ? ?1. 2 2 2 2 2
A ? 0 .?

?

?

2

? 2? ? 2k? ? ? , k ? Z , ? 2? ? 2k? ?

?

(II)? ? ?

?
4

,? y ? 1 ? cos(

?

x ? ) ? 1 ? sin x. ? f (1) ? f (2) ? f (3) ? f (4) ? 2 ? 1 ? 0 ? 1 ? 4 . 2 2 2

?

2

, k ? Z , ?? ? k? ?

?

?

4

, k ? Z , 又? 0 ? ? ?

?

2

, ?? ?

?
4

.

又? y ? f ( x) 的周期为 4, 2008 ? 4 ? 502 ,? f (1) ? f (2) ? ??? ? f (2008) ? 4 ? 502 ? 2008. 解法二:? f ( x) ? 2sin (
2

?

f (2) ? f (4) ? 2sin 2 ( ? ? ) ? 2sin 2 (? ? ? ) ? 2, ? f (1) ? f (2) ? f (3) ? f (4) ? 4. 2
又 y ? f ( x) 的周期为 4, 2008 ? 4 ? 502 ,? f (1) ? f (2) ? ??? ? f (2008) ? 4 ? 502 ? 2008. π π 8. (陕西卷) 已知函数 f(x)= 3sin(2x- 6 )+2sin2(x-12) (x∈R) (1) 求函数 f(x)的最小正周期; (2) 求使函数 f(x)取得最大值的 x 的集合. π π 3 π 1 π 解:(1) f(x)= 3sin(2x- )+1-cos2(x- )= 2[ sin2(x- )- cos2(x- )]+1 6 12 2 12 2 12 π π π 2π =2sin[2(x-12)- 6 ]+1= 2sin(2x- 3 ) +1,∴T= 2 =π. π π π 5π (2) 当 f(x)取最大值时,sin(2x- 3 )=1,有 2x- 3 =2kπ+ 2 , 即 x=kπ+ 12 , 5π ∴所求 x 的集合为{x∈R|x= kπ+ 12 , (k∈Z)}. 9.(上海卷) 求函数 y =2 cos( x ? (k∈Z)

?

? 3? x ? ? ) ? f (1) ? f (3) ? 2sin 2 ( ? ? ) ? 2sin 2 ( ? ? ) ? 2, 4 4 4

?
4

) cos( x ?

?
4

) + 3 sin 2x 的值域和最小正周期.

解: y ? 2cos( x ? ? )cos( x ? ? ) ? 3sin2 x

4

4

? 2( 1 cos 2 x ? 1 sin 2 x) ? 3sin2 x ? cos2 x ? 3sin2 x ? 2sin(2 x ? ? ) 2 2 6
∴ 函数 y ? 2cos( x ? ? )cos( x ? ? ) ? 3sin2 x 的值域是 [?2,2] ,最小正周期是 ? ;

4

4

10.(天津卷)已知 tan ? ? cot ? ? 解 : 由 tan ? ? cot ? ?

5 π ?π π? , ? ? ? , ? .求 cos 2? 和 sin(2? ? ) 的值. 2 4 ?4 2?

2? ? (

?
2

,? ) c o s 2 ? ? , ?

5 sin ? cos ? 5 2 5 4 ? ? ,得 ? ? ,则 ? ,sin 2? ? . 因 为 ? ? ( , ) ,所 以 2 cos ? sin ? 2 sin ? 2 5 4 2 3 ? ? ? 1 s i n ?2? s i,n ( ? ? ? 2 2 ) sin 2 . cos ? ? ? c? s 2 . s i n o 5 4 4 4

4 2 3 2 2 ? ? ? ? ? . 5 2 5 2 10

3

解法二:由 tan ? ? cot ? ? 故舍去 tan ? ?

5 1 5 1 ? ? , 得 tan ? ? ? , 解得 tan ? ? 2 或 tan ? ? . 由已知 ? ? ( , ), 2 tan ? 2 2 4 2

1 3 2 5 5 , 得 tan ? ? 2. ∴ sin ? ? , cos ? ? . cos 2? ? cos 2 ? ? sin 2 ? ? ? , 2 5 5 5 4 ? ? ? 4 2 3 2 2 , 故 sin(2? ? ) ? sin 2? .cos ? cos 2? .sin ? ? ? ? ? . 5 4 4 4 5 2 5 2 10

且 sin 2? ? 2sin ? cos ? ?

11.(浙江卷)如图,函数 y=2sin(πxφ),x∈R,(其中 0≤φ≤ (Ⅰ)求 φ 的值;

? )的图象与 y 轴交于点(0,1). 2

(Ⅱ)设 P 是图象上的最高点,M、N 是图象与 x 轴的交点,求 PM与PN的夹角 .

1 ? ? . 因为 0 ? ? ? ,所以 ? ? . 2 2 6 ? 1 1 5 (II)由函数 y ? 2sin(? x ? ) 及其图像,得 M (? , 0), P( , ?2), N ( , 0), 6 6 3 6 ???? ??? ? ? ???? ? ???? ???? ??? ? ? 15 1 1 PM ? PN ? ??? ? ? , 所以 PM ? (? , 2), PN ? ( , ?2), 从而 cos ? PM , PN ?? ???? 17 2 2 | PM | ? | PN |
解: (I)因为函数图像过点 (0,1) ,所以 2sin ? ? 1, 即 sin ? ? 故 ? PM , PN ?? arccos

???? ??? ? ?

15 . 17

12. ( 湖 北 卷 ) 设 函 数 f ( x) ? a? b ? c) , 其 中 向 量 a ? ( s i n ?, x (

? ? ?

?

? c o s ) ? (sin x, ?3cos x) , x, b

? c ? (? cos x,sin x) , x ? R 。
(Ⅰ)求函数 f ( x ) 的最大值和最小正周期;

(Ⅱ)将函数 f ( x ) 的图像按向量 d 平移,使平移后得到的图像关于坐标原点成中心对称,求长度最小 的d 。 解: (Ⅰ)由题意得, =a· f(x) (b+c)=(sinx,-cosx)· (sinx-cosx,sinx-3cosx) =sin2x-2sinxcosx+3cos2x

? ?

? ?

=2+cos2x-sin2x=2+ 2 sin(2x+
(Ⅱ)由 sin(2x+

3? 2? ).∴f(x)的最大值为 2+ 2 ,最小正周期是 =? . 4 2

3? k? 3? k? 3? 3? ? ? )=0 得 2x+ =k. ? ,即 x= ,k∈Z,于是 d=( ,-2) , 4 2 8 2 8 4

d ? (

? k? 3? 2 ? ) ? 4 , k∈Z.∵k 为整数,要使 d 最小,则只有 k=1,此时 d=(― ,―2)即为所求. 8 2 8
4

13. (湖南卷)如图 3,D 是直角△ABC 斜边 BC 上一点,AB=AD,记∠CAD= ? ,∠ABC= ? . (1)证明 sin ? ? cos 2? ? 0 ; (2)若 AC= 3 DC,求 ? 的值. 解:(1)如图 3,?? ? 即 sin ? ? cos 2? ? 0 . β B A α D C

?
2

? (? ? 2? ) ? 2? ?

?

,? sin ? ? sin(2? ? ) ? ? cos 2 ? , 2 2

?

图 3

(2) .在 ?ABC 中,由正弦定理得

DC AC DC 3DC ? ,? ? .?sin ? ? 3 sin ? sin ? sin(? ? ? ) sin ? sin ?

由(1)得 sin ? ? ? cos 2? ,?sin ? ? ? 3 cos 2? ? ? 3(1 ? 2sin 2 ? ),

2 3 sin 2 ? ? sin ? ? 3 ? 0.sin ? ?

3 3 ? 3 ? .? 0 ? ? ? ,? sin ? ? 或 sin ? ? ? ,? ? ? . 2 3 2 2 3 2 2 , 3

, 14. (江西卷)在锐角 △ ABC 中,角 A B,C 所对的边分别为 a,b,c ,已知 sin A ?
(1)求 tan
2

B?C A ? sin 2 的值; 2 2

(2)若 a ? 2 , S△ABC ? 2 ,求 b 的值.

解: (1)因为锐角△ABC 中,A+B+C=?, sin A ?

1 2 2 ,所以 cosA= ,则 3 3

B+C sin 2 B+C A ( 2 +sin 2 A = 1-cos B+C) 1 1-cos A)=1+cos A + 1 = 7 tan 2 +sin 2 = +( 2 2 cos 2 B+C 2 1+cos(B+C) 2 1-cosA 3 3 2
(2)因为S? ABC= 2,又S? ABC= bcsin A= bc ?
2 2 2 4 2

1 2

1 2

1 3 2 2 ,则 bc=3。将 a=2,cosA= ,c= 代 3 b 3

入余弦定理: a =b +c -2bccos A 中得 b -6b +9=0 解得 b= 3 15.(江西卷)如图,已知△ABC 是边长为 1 的正三角形,M、N 分别是边 AB、AC 上的点,线段 MN 经 过△ABC 的中心 G,设 ?MGA=?(

?
3

?? ?

2? ) 。 3
?
M B

A

(1)试将△AGM、△AGN 的面积(分别记为 S1 与 S2)表示为 ? 的函数

1 1 (2)求 y= 2 + 2 的最大值与最小值 S1 S2

N

D

C

5

解: (1)因为 G 是边长为 1 的正三角形 ABC 的中心,∴AG=

? 2 3 3 ,?MAG= , ? = 6 3 2 3
1 GM?GA?sin?= 2

由正弦定理

GM sin

?
6



GA

sin ?-?- ) ( 6 sin ?

?

得 GM=

3

6sin ?+ ) ( 6

?

则 S1=

sin ?

12sin ?+ ) ( 6

?



同理可求得 S2=

12sin ?- ) ( 6

?

(2)y=

144 ? ? ? 2? 1 1 2 2 =72(3+cot2?) ,因为 ? ? ? , + 2 = 2 〔sin(?+ )+sin(?- )〕 2 sin ? 6 6 3 3 S1 S2

所以当?=

? 2? ? 或?= 时,y 取得最大值 ymax=240,当?= 时,y 取得最小值 ymin=216。 3 3 2
B?C 取得最大值,并 2

16.(全国卷 I) ?ABC 的三个内角为 A、B、C ,求当 A 为何值时, cos A ? 2 cos 求出这个最大值。

B+C π A B+C A B+C A 解: 由 A+B+C=π, 得 2 = 2 - 2 , 所以有 cos 2 =sin 2 .cosA+2cos 2 =cosA+2sin 2 A A A 1 3 A 1 π B+C 3 =1-2sin2 2 + 2sin 2 =-2(sin 2 - 2)2+ 2 ,当 sin 2 = 2 , 即 A= 3 时, cosA+2cos 2 取得最大值为2。 π π 17.(全国 II)已知向量 a=(sinθ,1),b=(1,cosθ),- <θ< . 2 2 (1)若 a⊥b,求 θ; (2)求|a+b|的最大值.

?? ? ? ? b 解:(1) a ? b, ? a? ? 0 ? sin ? ? cos ? ? 0 ? ? ? ? 4 ? ? (2) a ? b ? (sin ? ? 1,cos ? ? 1) ? (sin ? ? 1) 2 ? (cos ? ? 1) 2
? sin 2 ? ? 2sin ? ? 1 ? cos 2 ? ? 2 cos ? ? 1 ? 2(sin ? ? cos ? ) ? 3 ? 2 2 sin(? ?
当 sin(? ?

?
4

)?3

? ? ? ) =1 时 a ? b 有最大值,此时 ? ? 最大值为 2 2 ? 3 ? 2 ? 1 。 4 4, ?? ? ?? ? 18. (四川卷)已知 A, B, C 是三角形 ?ABC 三内角,向量 m ? ?1, 3 , n ? ? cos A,sin A? ,且 m ? n ? 1

?

?

?

(Ⅰ)求角 A ;

(Ⅱ)若

解: (Ⅰ)∵ m ? n ? 1 ∴ ?1, 3 ? ? cos A,sin A? ? 1 ,即 3 sin A ? cos A ? 1 ,

?? ?

?

?

1 ? sin 2 B ? ?3 ,求 tanC. cos 2 B ? sin 2 B

? ? 5? ? ? ? 3 1? ? 1 ,∴ A ? ? , 2 ? sin A ? ? cos A ? ? ? 1 , sin ? A ? ? ? ,∵ 0 ? A ? ? , ? ? A ? ? ? ? ? ? 6 6 6 6 6 2 2? 6? 2 ? ?
6

∴A?

?
3



(Ⅱ)由题知

1 ? 2sin B cos B ? ?3 ,整理得 sin 2 B ? sin B cos B ? 2cos2 B ? 0 ,∴ cos B ? 0 , cos 2 B ? sin 2 B

∴ tan 2 B ? tan B ? 2 ? 0 ,∴ tan B ? 2 或 tan B ? ?1 ,而 tan B ? ?1 ,使 cos2 B ? sin 2 B ? 0 ,舍去 ∴ tan B ? 2 。∴ tan C ? tan ?? ? ? A ? B ? ? ? ? tan ? A ? B? ? ? ? ?

tan A ? tan B 2? 3 8?5 3 ? ?? 1 ? tan A tan B 11 1? 2 3 3 . 4

19.(天津卷)如图,在 ?ABC 中, AC ? 2 , BC ? 1 , cos C ? (1)求 AB 的值; (2)求 sin ?2 A ? C ? 的值.

解: (1)由余弦定理, AB2 ? AC 2 ? BC 2 ? 2 AC.BC.cos C ? 4 ? 1 ? 2 ? 2 ?1? (Ⅱ)由 cos C ?

3 ? 2. ∴ AB ? 2. 4

3 AB BC 7 ? , 解得 ,且 0 ? C ? ? , 得 sin C ? 1 ? cos 2 C ? . 由正弦定理, 4 sin C sin A 4

sin A ?

BC sin C 14 5 7 5 2 。所以, cos A ? 。由倍角公式 sin 2 A ? sin 2 A ? cos A ? , ? AB 8 16 8
9 3 7 ,故 sin ? 2 A ? C ? ? sin 2 A cos C ? cos 2 A sin C ? . 16 8

2 且 cos 2 A ? 1 ? 2sin A ?

20. (安徽理 16)已知 0 ? ? ?

? ?? ? ? 1 ? ? ? ,? 为 f ( x) ? cos ? 2 x ? ? 的最小正周期, a ? ? tan ? ? ? ? ?, 1?, ? ? ?? 4 ? ? ? ? ?

b ? (cos ?, ,且 a ?b ? m .求 2)

2 cos 2 ? ? sin 2(? ? ? ) 的值. cos ? ? sin ?

解:因为 ? 为 f ( x) ? cos ? 2 x ?

? ?

π? · ? 的最小正周期,故 ? ? π .因 a b ? m , 8?

又 a b ? cos ? tan ? ? ? · ·

? ?

π 1 ? 1 ? ? ? ? ? 2 .故 cos ? tan ? ? ? ? ? ? m ? 2 .由于 0 ? ? ? ,所以 · 4 4 ? 4 ? ?

2cos 2 ? ? sin 2(? ? ? ) 2cos 2 ? ? sin(2? ? 2π) 2cos 2 ? ? sin 2? 2cos ? (cos ? ? sin ? ) ? ? ? cos ? ? sin ? cos ? ? sin ? cos ? ? sin ? cos ? ? sin ?

? 2cos ?

1 ? tan ? π? ? ? 2cos ? tan ? ? ? ? ? 2(2 ? m) 。 · 1 ? tan ? 4? ?
2

21. (安徽文 20) 设函数 f ( x) ? ? cos x ? 4t sin 的最小值记为 g (t ) .

x x cos ? 4t 3 ? t 2 ? 3t ? 4 ,x ? R , 其中 t ≤1 , f ( x ) 将 2 2

7

(I)求 g (t ) 的表达式;
2

(II)讨论 g (t ) 在区间 (?11) 内的单调性并求极值. ,

解: (I) f ( x) ? ? cos x ? 4t sin

x x cos ? 4t 3 ? t 2 ? 3t ? 4 ? sin 2 x ? 1 ? 2t sin ? 4t 2 ? t 2 ? 3t ? 4 2 2

? sin 2 x ? 2t sin x ? t 2 ? 4t 3 ? 3t ? 3 ? (sin x ? t )2 ? 4t 3 ? 3t ? 3 .由于 (sin x ? t )2 ≥ 0 , t ≤1 ,故
当 sin x ? t 时, f ( x ) 达到其最小值 g (t ) ,即 g (t ) ? 4t 3 ? 3t ? 3 . (II)我们有 g ?(t ) ? 12t 2 ? 3 ? 3(2t ? 1)(2 ? 1) ?? ? t ? 1 .列表如下: (略)由此可见, g (t ) 在区间 t ,

1? ?1 ? ? ? 1 1? ?1? ? ?? ? 1? ? ?1, ? 和 ? , 单调增加,在区间 ? ? , ? 单调减小,极小值为 g ? ? ? 2 ,极大值为 g ? ? ? ? 4 . 2? ?2 ? ? ? 2 2? ?2? ? 2?
22. (福建理 17)在 △ ABC 中, tan A ? (Ⅰ)求角 C 的大小;

1 3 , tan B ? . 4 5

(Ⅱ)若 △ ABC 最大边的边长为 17 ,求最小边的边长.

1 3 ? 4 5 ? ?1 . ? 0 ? C ? π , C ? 3 π . ? ? 解: (Ⅰ) C ? π ? ( A ? B) , tan C ? ? tan( A ? B) ? ? 又 ? 1 3 4 1? ? 4 5
(Ⅱ)? C ?

3 ? ?? ? ,? AB 边最大,即 AB ? 17 .又? tan A ? tan B,A, ? ? , ? ,? 角 A 最小, B 0 4 ? ??

sin A 1 ? ? , AB BC 17 ?tan A ? ? π? BC 边为最小边.由 ? ? .由 cos A 4 且 A ? ? 0, ? ,得 sin A ? sin C sin A 17 ? 2? ?sin 2 A ? cos 2 A ? 1, ?
得: BC ? AB ?

sin A ? 2 .所以,最小边 BC ? 2 . sin C

4) 0) 0) 23. (广东理 16)已知 △ ABC 顶点的直角坐标分别为 A(3, , B(0, , C (c, .
(1)若 c ? 5 ,求 sin ∠ A 的值; (2)若∠A 是钝角,求 c 的取值范围.

??? ? ???? ???? ???? ??? ? ?6 ? 16 1 解: (1)AB ? (?3, ?4) ,AC ? (c ? 3, ?4) , c=5,AC ? (2, ?4) , cos ?A ? cos ? AC, AB ?? 若 ∴ , ? 5? 2 5 5

∴sin∠A=

2 5 ; 5

(2)若∠A 为钝角,则 ?

? ?3c ? 9 ? 16 ? 0 25 25 解得 c ? ,∴c 的取值范围是 ( , ??) 。 c?0 3 3 ?

24. (海南宁夏理 17)如图,测量河对岸的塔高 AB 时,可以选与塔底 B 在 同一水平面内的两个测点 C 与 D .现测得

?BCD ? ?,?BDC ? ?,CD ? s ,并在点 C 测得塔顶 A 的仰角为 ? ,求
塔高 AB .
8

解:在 △BCD 中, ?CBD ? π ? ? ? ? .由正弦定理得

BC CD CD sin ?BDC s sin ? · ? .所以 BC ? . ? sin ?BDC sin ?CBD sin ?CBD sin(? ? ? )
在 Rt△ ABC 中, AB ? BC tan ?ACB ?

s tan ? sin ? · . sin(? ? ? )

25. (湖北理 16)已知 △ ABC 的面积为 3 ,且满足 0 ≤ AB?AC ≤ 6 ,设 AB 和 AC 的夹角为 ? .

??? ??? ? ?

??? ?

??? ?

(I)求 ? 的取值范围; (II)求函数 f (? ) ? 2sin 2 ?

?π ? ? ? ? ? 3 cos 2? 的最大值与最小值. ?4 ?
1 bc sin ? ? 3 ,0 ≤ bc cos ? ≤ 6 , 2

, 解: (Ⅰ) △ ABC 中角 A B,C 的对边分别为 a,b,c , 设 则由
可得 0 ≤ cot ? ≤1,∴? ? ? , ? . 4 2 (Ⅱ)f (? ) ? 2sin ?
2

?π π? ? ?

? ?π ? ?π ?? ? ? ? ? 3 cos 2? ? ?1 ? cos ? ? 2? ? ? ? 3 cos 2? ? (1 ? sin 2? ) ? 3 cos 2? ?4 ? ?2 ?? ?

π? π ? π 2π ? ? ?π π? ? sin 2? ? 3 cos 2? ? 1 ? 2sin ? 2? ? ? ? 1.∵? ? ? , ? , 2? ? ? ? , ? , 3? 3 ?6 3 ? ? ?4 2?
5π π π? ? 时, f (? )max ? 3 ;当 ? ? 时, f (? )min ? 2 . ∴ 2 ≤ 2sin ? 2? ? ? ? 1≤ 3 .即当 ? ? 12 4 3? ?
26. (湖北文 16)已知函数 f ( x) ? 2sin ?
2

?π ? ?π π? ? x ? ? 3 cos 2 x , x ? ? , ? . ?4 ? ?4 2?

(I)求 f ( x ) 的最大值和最小值; (II)若不等式 f ( x) ? m ? 2 在 x ? ? , ? 上恒成立,求实数 m 的取值范围. 4 2 解: (Ⅰ)∵ f ( x) ? ?1 ? cos ?

?π π? ? ?

? ?

π? ? ?π ?? ? 2 x ?? ? 3 cos 2 x ? 1 ? sin 2 x ? 3 cos 2 x ? 1 ? 2sin ? 2 x ? ? . 3? ? ?2 ??


又∵ x ? ? , ? ,∴ ≤ 2 x ? ≤ ,即 2 ≤1 ?2sin 2 x ? ? ≤ ,∴ f ( x)max ? 3 f ( x)min ? 2 . , 3 ? 6 3 3 3? ? ?4 2? (Ⅱ)∵ f ( x) ? m ? 2 ? f ( x) ? 2 ? m ? f ( x) ? 2 , x ? ? , ? ,∴m ? f ( x)max ? 2 4 2

?π π?

π

π

?

π?

?π π? ? ?

, 且 m ? f ( x)min ? 2 ,∴1 ? m ? 4 ,即 m 的取值范围是 (1 4) .
9

27. (湖南理 16)已知函数 f ( x) ? cos 2 ? x ?

? ?

1 π? ? , g ( x) ? 1 ? 2 sin 2 x . 12 ?

(I)设 x ? x0 是函数 y ? f ( x) 图象的一条对称轴,求 g ( x0 ) 的值. (II)求函数 h( x) ? f ( x) ? g ( x) 的单调递增区间.

1 π [1 ? cos(2 x ? )] .因为 x ? x0 是函数 y ? f ( x) 图象的一条对称轴,所以 2 6 π π 1 1 π 2 x0 ? ? kπ ,即 2 x0 ? kπ ? ( k ? Z ) .所以 g ( x0 ) ? 1 ? sin 2 x0 ? 1 ? sin( kπ ? ) . 6 6 2 2 6
解: (I)由题设知 f ( x) ? 当 k 为偶数时,g ( x0 ) ? 1 ?

1 π 1 5 1 ? π? 1 3 当 sin ? ? ? ? 1 ? ? , k 为奇数时,g ( x0 ) ? 1 ? sin ? 1 ? ? . 2 6 4 4 2 ? 6? 4 4

(II) h( x) ? f ( x) ? g ( x) ?

1? π ?? 1 ? ?1 ? cos ? 2 x ? 6 ?? ? 1 ? 2 sin 2 x 2? ? ??

?

? 3 1 ? 1? ? π? ? 3 1? 3 1 π? 3 ?cos ? 2 x ? 6 ? ? sin 2 x ? ? 2 ? 2 ? 2 cos2x ? 2 sin 2 x ? ? 2 ? 2 sin ? 2 x ? 3 ? ? 2 . ? ? 2? ? ? ? ? ? ? ?
当 2kπ ?

π π π 5π π ≤ 2 x ? ≤ 2kπ ? ,即 kπ ? ≤ x ≤ kπ ? ( k ? Z )时, 2 3 2 12 12

函数 h( x) ?

1 ? π? 3 5π π? ? . sin ? 2 x ? ? ? 是增函数,故函数 h( x) 的单调递增区间是 ? kπ ? ,kπ ? ? ( k ? Z ) 2 ? 3? 2 12 12 ? ?
2

28. (湖南文 16)已知函数 f ( x) ? 1 ? 2sin ? x ? (I)函数 f ( x ) 的最小正周期;

? ?

π? π? π? ? ? ? ? 2sin ? x ? ? cos ? x ? ? .求: 8? 8? 8? ? ?

(II)函数 f ( x ) 的单调增区间.

π π π π 2 sin(2 x ? ? ) ? 2 sin(2 x ? ) ? 2 cos 2 x . 4 4 4 2 2π ? π; (I)函数 f ( x ) 的最小正周期是 T ? 2 π (II)当 2kπ ? π ≤ 2 x ≤ 2kπ ,即 kπ ? ≤ x ≤ kπ ( k ? Z )时,函数 f ( x) ? 2 cos 2 x 是增函数, 2 π 故函数 f ( x ) 的单调递增区间是 [kπ ? ,kπ] ( k ? Z ) . 2 π 0 29. (江西理 18)如图,函数 y ? 2 cos(? x ? ? )( x ? R,≤ ? ≤ ) 的图象与 y 轴交于点 (0,3) , 2 y ?2
解: f ( x) ? cos(2 x ? ) ? sin(2 x ? ) ? 且在该点处切线的斜率为 . (1)求 ? 和 ? 的值; (2)已知点 A ? ,? ,点 P 是该函数图象上一点,点 Q( x0,y0 ) 0

π 4

3
O
A

P

?π ?2

? ?

x
10

是 PA 的中点,当 y0 ?

3 ?π ? , x0 ? ? ,π ? 时,求 x0 的值. 2 ?2 ?
? ? 3 , 因为 0 ≤ ? ≤ , 所以 ? ? . 2 6 2

解: 将 x ? 0 ,y ? 3 代入函数 y ? 2cos(? x ? ? ) 得 cos ? ? (1)

又因为 y? ? ?2? sin(? x ? ? ) , y?

x?0

? ?2 , ? ?

? ?? ? ,所以 ? ? 2 ,因此 y ? 2cos ? 2 x ? ? . 6 6? ?

(2)因为点 A ? ,? , Q( x0,y0 ) 是 PA 的中点, y0 ? 0

?? ?2

? ?

3 ? ? ? ,所以点 P 的坐标为 ? 2 x0 ? ,3 ? . 2 2 ? ?

又因为点 P 在 y ? 2cos ? 2 x ? 所以

? ?

? ?? 5? ? 3 ? .因为 ≤ x0 ≤ ? , ? 的图象上,所以 cos ? 4 x0 ? ? ? 2 6? 6 ? 2 ?

7? 5? 19? 5? 11? 5? 13? 2? 3? ≤ 4 x0 ? ≤ ? ? ,从而得 4 x0 ? 或 4 x0 ? .即 x0 ? 或 x0 ? . 6 6 6 6 6 6 6 3 4
(Ⅱ)求 cos A ? sin C 的取值范围.

30. (全国卷 1 理 17)设锐角三角形 ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c , a ? 2b sin A . (Ⅰ)求 B 的大小;

解: (Ⅰ)由 a ? 2b sin A ,根据正弦定理得 sin A ? 2 sin B sin A ,所以 sin B ? 角三角形得 B ?

1 ,由 △ ABC 为锐 2

π . 6

(Ⅱ) cos A ? sin C ? cos A ? sin ? ? ?

? ?

1 3 ? ? ?? ? sin A ? A ? ? cos A ? sin ? ? A ? ? cos A ? cos A ? 2 2 ? ? ?6 ?

? ? ? ? ? ? 2? ? ? ?? ? 由 ? 3 sin ? A ? ? . △ ABC 为锐角三角形知, ? A ? ? B , ? B ? ? ? . ? A ? ? , 2 2 2 2 6 3 3 3 6 3? ?


? 3 3? 1 ? ?? 3 3 ?? 3 ? , sin ? A ? ? ? ? 3 sin ? A ? ? ? ? 3 ,∴ cos A ? sin C 的取值范围为 ? ? 2 , ?. 2? 2 ? 3? 2 2 3? 2 ? ? ?
? ,边 BC ? 2 3 .设内角 B ? x ,周长为 y . ?
(2)求 y 的最大值.

31. (全国卷 2 理 17)在 △ ABC 中,已知内角 A ? (1)求函数 y ? f ( x) 的解析式和定义域;

解: (1)△ ABC 的内角和 A ? B ? C ? ? ,由 A ? 知 AC ?

? 2? ,B ? 0,C ? 0 得 0 ? B ? .应用正弦定理, ? ?

BC 2 3 BC ? 2? ? sin B ? sin x ? 4sin x , AB ? sin C ? 4sin ? ? x?. ? sin A sin A ? ? ? sin ?

因为 y ? AB ? BC ? AC ,所以 y ? 4sin x ? 4sin ?

2? ? ? 2? ? ? ? x? ? 2 3?0 ? x ? ?, 3 ? ? ? ? ?
11

(2)因为 y ? 4 ? sin x ? ∴当 x ?

? ? ?

? ? 1 ?? ? 5? ? ? ?? cos x ? sin x ? ? 2 3 ? 4 3 sin ? x ? ? ? 2 3 ? ? x ? ? ?, ? ? 2 ?? ? ? ? ? ?? ?

? ? ? ? ,即 x ? 时, y 取得最大值 6 3 . ? ? ?

32. (山东理 20)如图,甲船以每小时 30 2 海里的速度向正北方航行,乙船按固定方向匀速直线航行, 当甲船位于 A 处时,乙船位于甲船的北偏西 105 方向的 B1 处,此时两船相距 20 1 海里, 当甲船航行 20 分钟到达 A2 处时, 乙船航行到甲船的北偏西 120 方向的 B2 处,此时两船相距 10 2 海里,问乙船每小时航行多少海里? 解:如图,连结 A1B1 ,由已知 A2 B2 ? 10 2 , A1 A2 ? 30 2 ?
? ?



120? A 2

B2

105? A 1


B1
20 ? 10 2 , 乙 60

? A1 A2 ? A2 B1 ,又∠A1 A2 B2 ? 180? ?120? ? 60? ,? A1 A2 B2 是等边三角形,? A1B2 ? A1 A2 ? 10 2 , △
由已知, A B1 ? 20 , ∠B1 A B2 ? 105? ? 60? ? 45? ,在 △ A1 B2 B1 中,由余弦定理, 1 1
2 2 B1B2 ? A1B12 ? A1B2 ? 2 A1B2 ?A1B2 ? 45? ? 202 ? (10 2)2 ? 2 ? 20 ?10 2 ? cos

2 ? 200 . 2

? B1B2 ? 10 2 .因此,乙船的速度的大小为

10 2 . ? 60 ? 30 2 (海里/小时) 20
20 ? 10 2 ,∠B1 A1 A2 ? 105? , 60

解法二:如图,连结 A2 B1 ,由已知 A B2 ? 20 , A1 A2 ? 30 2 ? 1

cos105? ? cos(45? ? 60? ) ? cos 45? cos 60? ? sin 45? sin 60? ?

2(1 ? 3) ? ? ? , sin105 ? sin(45 ? 60 ) 4

? sin 45? cos 60? ? cos 45? sin 60? ?

2(1 ? 3) .在 △ A2 A1 B1 中,由余弦定理, 4 2(1 ? 3) 4

2 2 A2 B12 ? A2 B2 ? A1 A2 ? 2 A1B1 ?A1 A2 ? cos105? ? (10 2)2 ? 202 ? 2 ?10 2 ? 20 ?

? 100(4 ? 2 3) .? A1B1 ? 10(1 ? 3) .由正弦定理
sin∠A1 A2 B1 ? A1B1 20 2(1 ? 3) 2 ,?∠A A2 B1 ? 45? , ? ∠B1 A1 A2 ? sin ? ? 1 A2 B2 4 2 10(1 ? 3)
? ?

? ? ? 即 ∠B1 A2 B1 ? 60 ? 45 ? 15 ,cos15 ? sin105 ?

2(1 ? 3) .在 △B1AB2 中,由已知 A B2 ? 10 2 , 1 1 4
?

由余弦定理, B1B2 ? A B1 ? A2 B2 ? 2 A2 B1 ?A2 B2 ? cos15 1
2 2 2

12

? 102 (1 ? 3)2 ? (10 2)2 ? 2 ?10(1 ? 3) ?10 2 ? 10 2 ? 60 ? 30 2 海里/小时. 20

2(1 ? 3) ? 200 .? B1B2 ? 10 2 ,乙船的速度的 4

大小为

33. (山东文 17)在 △ ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c, C ? 3 7 . tan (1)求 cos C ;

CA (2)若 CB ? ?

??? ??? ? ?

5 ,且 a ? b ? 9 ,求 c . 2

? 解: (1)? tan C ? 3 7,
? C 是锐角.? cos C ?

sin C 1 ? 3 7 ,又? sin 2 C ? cos2 C ? 1 ,解得 cos C ? ? .? tan C ? 0 , cos C 8

CA (2)? CB ? ?

??? ??? ? ?

1 . 8

5 5 2 2 ,? ab cos C ? ,? ab ? 20 .又? a ? b ? 9 ,? a ? 2ab ? b ? 81 . 2 2

? a 2 ? b2 ? 41.?c2 ? a2 ? b2 ? 2ab cos C ? 36 .? c ? 6 .
cos · 1) 34. (陕西理 17)设函数 f ( x) ? a b ,其中向量 a ? (m, 2 x) , b ? (1 ? sin 2 x, , x ? R ,且 y ? f ( x) 的
图象经过点 ? ,? . 2 (Ⅰ)求实数 m 的值; (Ⅱ)求函数 f ( x) 的最小值及此时 x 值的集合.

?π ?4

? ?

b 解: (Ⅰ) f ( x) ? a? ? m(1 ? sin 2 x) ? cos 2 x , 由已知 f ?
(Ⅱ)由(Ⅰ)得 f (x) ?1 ? sin2 x cos2 ?

π? π ?π? ? 得 ? ? m ?1 ? sin ? ? cos ? 2 , m ? 1 . 2? 2 ?4? ?

x ? 2sin 2 1 ?

π? π? ? ? ? x ? ? ,? 当 sin ? 2 x ? ? ? ?1 时, f ( x) 4? 4? ? ?

的最小值为 1 ? 2 ,由 sin ? 2 x ? 35. (四川理 17)已知 cos ? ? (Ⅰ)求 tan 2? 的值. 解: (Ⅰ)由 cos ? ?

? ?

π? ? 3π ? ? ? ?1,得 x 值的集合为 ? x x ? kπ ? ,k ? Z? . 4? 8 ? ?

? 1 13 , cos( ? ? ?) ? , 且0 < ? < ? < , 2 7 14
(Ⅱ)求 ? .

2 1 ? , 0 ? ? ? ,得 sin ? ? 1 ? cos 2 ? ? 1 ? ? 1 ? ? 4 3 , ? ? 7 2 7 ?7?

∴ tan ? ?

sin ? 4 3 7 ? ? ? 4 3 ,于是 tan 2? ? 2 tan ? ? 2 ? 4 3 2 ? ? 8 3 。 cos ? 7 1 1 ? tan 2 ? 1 ? 4 3 47

?

?

(Ⅱ)由 0 ? ? ? ? ?

?
2

,得 0 ? ? ? ? ?

?
2

,又∵ cos ?? ? ? ? ?

13 , 14
13

13 3 3 ∴ sin ?? ? ? ? ? 1 ? cos 2 ?? ? ? ? ? 1 ? ? ? ? ,由 ? ? ? ? ?? ? ? ? 得: ? ? 14 ? 14 ?
cos ? ? cos ?? ? ?? ? ? ? ? ? cos? cos ?? ? ? ? ? sin ? sin ?? ? ? ? ? ? ?

2

? 1 13 4 3 3 3 1 ? ? ? ? ,∴ ? ? 。 3 7 14 7 14 2

36. (天津理 17)已知函数 f ( x) ? 2cos x(sin x ? cos x) ? 1 x ?R . , (Ⅱ)求函数 f ( x ) 在区间 ? , ? 上的最小值和最大值. 8 4

(Ⅰ)求函数 f ( x ) 的最小正周期;

? π 3π ? ? ?

解: (Ⅰ) f ( x) ? 2cos x(sin x ? cos x) ? 1 ? sin 2 x ? cos 2 x ? 最小正周期为 π . (Ⅱ)因为 f ( x) ?

π? ? 2 sin ? 2 x ? ? .因此,函数 f ( x) 的 4? ?

π? ? ? π 3π ? ? 3π 3π ? 2 sin? 2x ? ? 在区间 ? , ? 上为增函数,在区间 ? , ? 上为减函数,又 4? ? ?8 8 ? ?8 4?

π ? 3π ? ? 3π π ? ?π? ? 3π ? ? π 3π ? 故函数 f ( x ) 在区间 ? , ? f ? ? ? 0 ,f ? ? ? 2 ,f ? ? ? 2 sin ? ? ? ? ? 2 cos ? ?1 , 4 ? 4 ? ? 2 4? ?8? ? 8 ? ?8 4 ?
上的最大值为 2 ,最小值为 ?1 . 解法二:作函数 f ( x) ?

π? ? ? π 9π ? : 2 sin ? 2 x ? ? 在长度为一个周期的区间 ? , ? 上的图象(略) 4? ? ?8 4 ? ? 3π ?

由图象得函数 f ( x ) 在区间 ? , ? 上的最大值为 2 ,最小值为 f ? ? ? ?1 . ?8 4 ? ? 4 ? 37. (天津文 17)在 △ ABC 中,已知 AC ? 2 , BC ? 3 , cos A ? ? (Ⅱ)求 sin ? 2 B ?

? π 3π ?

4 . 5

(Ⅰ)求 sin B 的值;

? ?

?? ? 的值. 6?
3 BC AC ? 4? ? . ? ? ,由正弦定理, sin A sin B 5 ? 5?
2

解: (Ⅰ)在 △ ABC 中, sin A ? 1 ? cos A ? 1 ? ? ?
2

所以 sin B ?

AC 2 3 2 sin A ? ? ? . BC 3 5 5
2

21 4 ?2? 2 (Ⅱ)∵ cos A ? ? ,∴角 A 为钝角,角 B 为锐角,于是 cos B ? 1 ? sin B ? 1 ? ? ? ? , 5 5 ?5?

cos 2 B ? 2cos 2 B ? 1 ? 2 ?

21 17 2 21 4 21 ? 1 ? , sin 2B ? 2sin B cos B ? 2 ? ? ? . 5 25 5 5 15
14

3 17 1 12 7 ? 17 ?? ? ? 4 21 ? . ? ? ? ? sin ? 2 B ? ? ? sin 2 B cos ? cos 2 B sin ? 25 2 25 2 50 6? 6 6 ?
38. (浙江理 18)已知 △ ABC 的周长为 2 ? 1 ,且 sin A ? sin B ? 2 sin C . (I)求边 AB 的长; (II)若 △ ABC 的面积为

1 sin C ,求角 C 的度数. 6

解: 由题意及正弦定理, AB ? BC ? AC ? 2 ? 1 ,BC ? AC ? 2 AB , (I) 得 两式相减, AB ? 1 . 得 (II)由 △ ABC 的面积

1 1 1 BC ?AC ? C ? sin C ,得 BC ?AC ? ,由余弦定理, sin 2 6 3

AC 2 ? BC 2 ? AB 2 ( AC ? BC )2 ? 2 AC ?BC ? AB 2 1 ? ? ,所以 C ? 60? . 得 cos C ? 2 AC ?BC 2 AC ?BC 2
39. (重庆理 17)设 f ( x) ? 6cos2 x ? 3 sin 2x . (Ⅰ)求 f ( x ) 的最大值及最小正周期; (Ⅱ)若锐角 ? 满足 f (? ) ? 3 ? 2 3 ,求 tan ? 的值. 解: (Ⅰ) f ( x) ? 6

4 5

1 ? cos 2 x ? 3 sin 2 x ? 3cos 2 x ? 3 sin 2 x ? 3 2

? 3 ? 1 ?? ? ? 2 3? cos 2 x ? sin 2 x ? ? 3 ? 2 3 cos ? 2 x ? ? ? 3 .故 f ( x) 的最大值为 2 3 ? 3 ;最小正周期 ? 2 ? 2 6? ? ? ?
T? 2? ? ?. 2
得 2 3 cos ? 2? ?

(Ⅱ) f (?) ? ? 3 由 3 2

? ?

?? 故o ? ? 3 ? 3 ? 2 3 , cs 6?

? ?? ? 又由 0 ? ? ? 2 ? ? ? ?1? . ? 2 6? ?



? ? ? ? 5 4 ? ? 2? ? ? ? ? ,故 2? ? ? ? ,解得 ? ? ? .从而 tan ? ? tan ? 3 . 6 6 6 6 12 5 3

π? ? 1 ? 2 cos ? 2 x ? ? 4? ? 40. (重庆文 18)已知函数 f ( x) ? . π? ? sin ? x ? ? 2? ?
(Ⅰ)求 f ( x ) 的定义域; 解: (Ⅰ)由 sin ? x ? (Ⅱ)若角 ? 在第一象限且 cos ? ?

3 ,求 f (? ) . 5

? ?

π π π? ? ? 0 得 x ? ? 2 ? kπ ,即 x ? kπ ? 2 (k ?Z) .故 f ( x) 的定义域 2?

为 ? x ? R | x ? kπ ? ,k ? Z ? .

? ?

π 2

? ?

15

π? ? 1 ? 2 cos ? 2? ? ? 4 4? ?3? ? 2 (Ⅱ)由已知条件得 sin ? ? 1 ? cos ? ? 1 ? ? ? ? .从而 f (? ) ? π? 5 ? ?5? sin ? ? ? ? 2? ?
2

π π? ? 1 ? 2 ? cos 2? cos ? sin 2? sin ? 4 4 ? 1 ? cos 2? ? sin 2? 2cos 2 ? ? 2sin ? cos ? ? ? ? ? cos ? cos ? cos ?
? 2(cos ? ? sin ? ) ? 14 . 5 1 3 , tan B ? . 4 5

41.(福建 17)在 △ ABC 中, tan A ? (Ⅰ)求角 C 的大小;

(Ⅱ)若 △ ABC 最大边的边长为 17 ,求最小边的边长.

1 3 ? 4 5 ? ?1 . ? 0 ? C ? π , C ? 3 π . ? ? 解: (Ⅰ) C ? π ? ( A ? B) , tan C ? ? tan( A ? B) ? ? 又 ? 1 3 4 1? ? 4 5
(Ⅱ)? C ?

3 ? ?? ? ,? AB 边最大,即 AB ? 17 .又? tan A ? tan B,A, ? ? , ? ,? 角 A 最小, B 0 4 ? ??

sin A 1 ? ? , AB BC 17 ?tan A ? ? π? BC 边 为 最 小 边 . 由 ? ? .由 得: cos A 4 且 A ? ? 0, ? , 得 sin A ? s i nC siA n 17 ? 2? ?sin 2 A ? cos 2 A ? 1, ?
s i nA BC? AB ? ? 2 .∴最小边 BC ? 2 . s i nC
42.(广东文16)已知ΔABC三个顶点的直角坐标分别为A(3,4)、B(0,0)、C( c ,0). (1)若 AB?AC ? 0 ,求 c 的值; (2)若 c ? 5 ,求sin∠A的值

解: (1) AB ? (?3, ?4) , AC ? (c ? 3, ?4) ,由 AB?AC ? ?3(c ? 3) ? 16 ? 25 ? 3c ? 0 , 得 c ?

??? ?

??? ?

??? ??? ? ?

??? ???? ? ??? ? ??? ? AB?AC ?6 ? 16 1 (2) AB ? (?3, ?4) , AC ? (2, ?4) , cos ?A ? ??? ???? ? , ? ? 5 20 5 AB ? AC
∴ sin ?A ? 1 ? cos ?A ?
2

25 ; 3

2 5 . 5

43.(浙江 18)已知 △ ABC 的周长为 2 ? 1 ,且 sin A ? sin B ? 2 sin C . (I)求边 AB 的长; (II)若 △ ABC 的面积为

1 sin C ,求角 C 的度数. 6

解: (I)由题意得: AB ? BC ? AC ? 2 ? 1 , BC ? AC ? 2 AB ,两式相减,得 AB ? 1 .

16

1 1 1 AC 2 ? BC 2 ? AB 2 sin (II)由 △ ABC 的面积 BC ?AC ? C ? sin C ,得 BC ?AC ? ,∴ cos C ? 2 6 3 2 AC ?BC

?

( AC ? BC )2 ? 2 AC ?BC ? AB 2 1 ? ,所以 C ? 60? . 2 AC ?BC 2

44.(山东文 17)在 △ ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c, C ? 3 7 . tan (1)求 cos C ;

CA (2)若 CB ? ?

??? ??? ? ?

5 ,且 a ? b ? 9 ,求 c . 2

? 解: (1)? tan C ? 3 7,
? C 是锐角.? cos C ?

sin C 1 ? 3 7 ,又? sin 2 C ? cos2 C ? 1 , 解得 cos C ? ? .? tan C ? 0 , cos C 8

CA (2)? CB ? ?

??? ??? ? ?

1 . 8

5 5 2 2 ,? ab cos C ? ,? ab ? 20 .又? a ? b ? 9 ,? a ? 2ab ? b ? 81 , 2 2

? a 2 ? b2 ? 41.?c2 ? a2 ? b2 ? 2ab cos C ? 36 ,? c ? 6 .
45. 在 △ ABC 中, a,b,c 分别是三个内角 A,B,C 的对边.若 a ? 2, 求 △ ABC 的面积 S .

C?

π B 2 5 , cos ? , 4 2 5

4 ? 3π ? 7 2 3 解: 由题意, cos B ? , B 为锐角,sin B ? , sin A ? sin( π ? B ? C ) ? sin? 得 , ?B?? 5 5 ? 4 ? 10
由正弦定理得 c ?

10 1 1 10 4 8 , S ? ac? B ? ? 2 ? ? ? . sin 2 2 7 5 7 7

46.(全国Ⅰ文 17)设锐角三角形 ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c, a ? 2b sin A . (Ⅰ)求 B 的大小; (Ⅱ)若 a ? 3 3 , c ? 5 ,求 b.

解: (Ⅰ)由 a ? 2b sin A ,根据正弦定理得 sin A ? 2 sin B sin A ,所以 sin B ? 角三角形得 B ?

1 ,由 △ ABC 为锐 2

π . 6

2 2 2 (Ⅱ)根据余弦定理,得 b ? a ? c ? 2ac cos B ? 27 ? 25 ? 45 ? 7 .∴ b ?

7.

47.(全国Ⅱ17)在 △ ABC 中,已知内角 A ?

? ,边 BC ? 2 3 .设内角 B ? x ,周长为 y . ?
(2)求 y 的最大值.

(1)求函数 y ? f ( x) 的解析式和定义域;

解: (1) △ ABC 的内角和 A ? B ? C ? ? ,由 A ?

? 2? ,B ? 0,C ? 0 得 0 ? B ? . ? ?

17

AC ?

BC 2 3 BC ? 2? ? sin B ? sin x ? 4sin x , AB ? sin C ? 4sin ? ? x ? ,因为 y ? AB ? BC ? AC , ? sin A sin A ? ? ? sin ?

所以 y ? 4sin x ? 4sin ?

2? ? ? 2? ? ? ? x? ? 2 3?0 ? x ? ?, 3 ? ? ? ? ?
? ? 1 ?? ? 5? ? ? ?? cos x ? sin x ? ? 2 3 ? 4 3 sin ? x ? ? ? 2 3 ? ? x ? ? ?, ? ? 2 ?? ? ? ? ? ?? ?

(2)∵ y ? 4 ? sin x ? ∴当 x ?

? ? ?

? ? ? ? ,即 x ? 时, y 取得最大值 6 3 . ? ? ? 3 c. 5

48.(全国一 17)设 △ ABC 的内角 A,B,C 所对的边长分别为 a,b,c ,且 a cos B ? b cos A ? (Ⅰ)求 tan A cot B 的值; (Ⅱ)求 tan( A ? B) 的最大值.

解: (Ⅰ)在 △ ABC 中,由正弦定理及 a cos B ? b cos A ? 可得 sin A cos B ? sin B cos A ?

3 c, 5

3 3 3 3 sin C ? sin( A ? B) ? sin A cos B ? cos A sin B , 5 5 5 5 即 sin A cos B ? 4 cos A sin B ,则 tan A cot B ? 4 ; (Ⅱ)由 tan A cot B ? 4 得 tan A ? 4 tan B ? 0 , tan A ? tan B 3 tan B 3 3 tan( A ? B) ? ? ? ≤ ,当且仅当 2 1 ? tan A tan B 1 ? 4 tan B cot B ? 4 tan B 4 1 1 4 tan B ? cot B, tan B ? , tan A ? 2 时,等号成立,故当 tan A ? 2, tan B ? 时, tan( A ? B ) 的最大值 2 2 3 为 . 4 5 4 49.(全国二 17)在 △ ABC 中, cos B ? ? , cos C ? . 13 5 33 (Ⅰ)求 sin A 的值; (Ⅱ)设 △ ABC 的面积 S△ ABC ? ,求 BC 的长. 2 5 12 4 3 解: (Ⅰ)由 cos B ? ? ,得 sin B ? ,由 cos C ? ,得 sin C ? . 13 13 5 5 33 所以 sin A ? sin( B ? C ) ? sin B cos C ? cos B sin C ? . 65 33 1 33 33 (Ⅱ)由 S△ ABC ? 得 ? AB ? AC ? sin A ? ,由(Ⅰ)知 sin A ? ,故 AB ? AC ? 65 ,又 2 2 2 65 AB ? sin B 20 20 13 AB ? sin A 11 AC ? ? AB ,故 AB 2 ? 65 , AB ? .所以 BC ? ? . sin C 13 13 2 sin C 2
50.(北京卷 15)已知函数 f ( x) ? sin
2

? x ? 3 sin ? x sin ? ? x ? ? ( ? ? 0 )的最小正周期为 π . 2
? ? 2π ? ? ?

? ?

π?

(Ⅰ)求 ? 的值;

(Ⅱ)求函数 f ( x ) 在区间 ?0, ? 上的取值范围. 3
18

解: (Ⅰ) f ( x) ?

1 ? cos 2? x 3 3 1 1 π? 1 ? ? sin 2? x ? sin 2? x ? cos 2? x ? ? sin ? 2? x ? ? ? . 2 2 2 2 2 6? 2 ?
2π ? π ,解得 ? ? 1 . 2?

因为函数 f ( x ) 的最小正周期为 π ,且 ? ? 0 ,所以 (Ⅱ)由(Ⅰ)得 f ( x) ? sin ? 2 x ?

? ?

2π π π 7π π? 1 ? ? .因为 0 ≤ x ≤ 3 ,所以 ? 6 ≤ 2 x ? 6 ≤ 6 , 6? 2

所以 ?

1 π π 1 3 3 ≤ sin ? 2 x ? ? ≤1 ,因此 0 ≤ sin ? 2 x ? ? ? ≤ ,即 f ( x) 的取值范围为 ?0, ? . ? ? ? ? ? 2? 2 6? 6? 2 2 ? ? ? ?

51.(四川卷 17)求函数 y ? 7 ? 4sin x cos x ? 4cos2 x ? 4cos4 x 的最大值与最小值。
2 2 解: y ? 7 ? 4sin x cos x ? 4cos2 x ? 4cos4 x ? 7 ? 2sin 2 x ? 4 cos x 1 ? cos x

?

?
2

? 7 ? 2sin 2 x ? 4cos2 x sin 2 x ? 7 ? 2sin 2 x ? sin 2 2 x ? ?1 ? sin 2 x ? ? 6 , 由 于 函 数 z ? ? u ? 1? ? 6 在
2

, ??11? 中的最大值为 z

max

? ? ?1 ? 1? ? 6 ? 10 ;最小值为 zmin ? ?1 ? 1? ? 6 ? 6 .故当 sin 2x ? ? 1时, y 取得
2 2

最大值 10 ,当 sin 2 x ? 1 时 y 取得最小值 6 . 52.(安徽卷 17)已知函数 f ( x) ? cos(2 x ?

?

) ? 2sin( x ? ) sin( x ? ) 3 4 4

?

?

(Ⅰ)求函数 f ( x ) 的最小正周期和图象的对称轴方程 (Ⅱ)求函数 f ( x ) 在区间 [? 解: (1) f ( x) ? cos(2 x ?

?

, ] 上的值域 12 2

? ?

) ? 2sin( x ? ) sin( x ? ) 3 4 4

?

?

1 3 1 3 ? cos 2 x ? sin 2 x ? (sin x ? cos x)(sin x ? cos x) ? cos 2 x ? sin 2 x ? sin 2 x ? cos 2 x 2 2 2 2

? 2? 1 3 ?? ; ? cos 2 x ? sin 2 x ? cos 2 x ? sin(2 x ? ) ,∴周期T ? 6 2 2 2
由 2x ?

k? ? ? ? (k ? Z ) ,函数图象的对称轴方程为: x ? k? ? (k ? Z ) . 6 2 2 3 3 ? ? ? ? 5? ? ? ? ] ,因为 f ( x) ? sin(2x ? ) 在区间 [? , ] 上单调递增, (2)? x ? [? , ],? 2 x ? ? [? , 12 2 6 3 6 6 12 3 ? k? ? (k ? Z ), 得x ?

?

?

在区间 [

? ?

? ? 3 ? 1 , ] 上单调递减,所以当 x ? 时, f ( x) 取最大值 1,又? f (? ) ? ? ? f ( ) ? ,当 3 2 3 12 2 2 2
时, f ( x ) 取最小值 ?

x??

?
12

? ? 3 3 ,1] . ,所以函数 f ( x ) 在区间 [? , ] 上的值域为 [? 12 2 2 2

19

53.(山东卷 17)已知函数 f(x)= 3 sin(?x ? ? ) ? cos(?x ? ? )(0 ? ? ? π ,? ? 0) 为偶函数,且函数 y=f(x)图象的两相邻对称轴间的距离为 (Ⅰ)求 f(

π . 2

π )的值; 8 π 个单位后,再将得到的图象上各点的横坐标舒畅长到原来的 4 6

(Ⅱ)将函数 y=f(x)的图象向右平移

倍,纵坐标不变,得到函数 y=g(x)的图象,求 g(x)的单调递减区间. 解: (Ⅰ)f(x)= 3 sin(?x ? ? ) ? cos(?x ? ? ) = 2 ? =2sin( ?x ? ? -

? 3 ? 1 sin(?x ? ? ) ? cos(?x ? ? )? 2 ? 2 ?

π π ),∵f(x)为偶函数,∴对 x∈R,f(-x)=f(x)恒成立,sin(- ?x ? ? - ) 6 6 π π π π π =sin( ?x ? ? - ).即-sin ?x cos( ? - )+cos ?x sin( ? - )=sin ?x cos( ? - )+cos ?x sin( ? - ), 6 6 6 6 6 π π 整理得 sin ?x cos( ? - )=0.因为 ? >0,且 x∈R,所以 cos( ? - )=0.又因为 0< ? <π, 6 6 π π π 2? ? ? 2 ? ,? ? 2。 f(x)=2cos2x. 故 ? - = .所以 f(x)=2sin( ?x + )=2cos ?x .由题意得 故 6 2 2 ? 2
∴ f ( ) ? 2 cos

?

?

8

4

? 2.

(Ⅱ)将 f(x)的图象向右平移个

? ? 个单位后,得到 f ( x ? ) 的图象,再将所得图象横坐标伸长到原来 6 6

的 4 倍,纵坐标不变,得到 f (

?
4

?

?

? ? ? ? ? ? ? ? ) 的图象. g ( x) ? f ( ? ) ? 2cos ?2( ? ) ? ? 2cos f ( ? ). 6 4 6 2 3 ? 4 6 ?
2? 8? ≤x≤4kπ+ (k∈Z)时,g(x)单调递减. 3 3

当 2kπ≤

?
2

?

?
3

≤2 kπ+ π (k∈Z),即 4kπ+≤

因此 g(x)的单调递减区间为: ?4k? ?

? ?

2? 8? ? ,4k? ? ? .(k∈Z) 3 3?

54.(江苏卷 15)如图,在平面直角坐标系 xoy 中,以 ox 轴为始边做两个锐角 ? , ? ,它们的终边分别与

单位圆相交于 A,B 两点,已知 A,B 的横坐标分别为 (Ⅰ)求 tan( ? ? ? )的值; 解: 由条件的 cos ? ? 因此 tan ? ? 7, tan ? ?

2 2 5 . , 10 5

(Ⅱ)求 ? ? 2 ? 的值.

2 2 5 7 2 5 ,cos ? ? ,sin ? ? ,因为 ? , ? 为锐角,所以 sin ? = 10 5 10 5

1 2

20

(Ⅰ)tan( ? ? ? )=

tan ? ? tan ? ? ?3 1 ? tan ? tan ?

(Ⅱ) tan 2 ? ? ∴ 0 ? ? ? 2? ?

2 tan ? 4 tan ? ? tan 2? ? ,所以 tan ?? ? 2? ? ? ? ?1 ,∵ ? , ? 为锐角, 2 1 ? tan ? 3 1 ? tan ? tan 2?

3? 3? ,∴ ? ? 2 ? = . 2 4 A? B C ? tan ? 4, 2 2

55.(江西卷 17)在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对应的边分别为 a, b, c , a ? 2 3 , tan

2sin B cos C ? sin A ,求 A, B 及 b, c

A? B C C C ? tan ? 4 得 cot ? tan ? 4 ,∴ 解:由 tan 2 2 2 2
∴ sin C ?

cos

1 ? 5? ,又 C ? (0, ? ) ,∴ C ? ,或C ? . 2 6 6

C C sin 1 2 ? 2 ? 4 ,∴ ? 4, C C C C sin cos sin cos 2 2 2 2

由 2sin B cos C ? sin A 得 2sin B cos B ? sin( B ? C ) ,即 sin( B ? C ) ? 0 ,∴ B ? C , B ? C ?

?
6

,

1 2? a b c sin B A ? ? ? (B ? C) ? ? ? ,由正弦定理 得: b ? c ? a ? 2 3? 2 ? 2. 3 sin A sin B sin C sin A 3 2
56.(湖北卷 16)已知函数 f (t ) ?

1? t 17? , g ( x) ? cos x ? f (sin x) ? sin x ? f (cos x), x ? (? , ). 1? t 12

(Ⅰ)将函数 g ( x) 化简成 A sin(? x ? ? ) ? B ( A ? 0 , ? ? 0 , ? ? [0, 2? ) )的形式; (Ⅱ)求函数 g ( x) 的值域.

1 ? sin x 1 ? cos x (1 ? sin x)2 (1 ? cos x)2 解: (Ⅰ) g ( x) ? cos x? ? sin x? ? cos x? ? sin x? 1 ? sin x 1 ? cos x cos2 x sin 2 x
1 ? sin x 1 ? cos x ? 17? ? ? cos x? ? sin x? . ? x ? ? ?, ,? cos x ? ? cos x, sin x ? ? sin x, cos x sin x ? 12 ? ?
1 ? sin x 1 ? cos x ?? ? ? sin x ? cos x ? 2 = 2 sin ? x ? ? ? 2. ? g ( x) ? cos x? ? sin x? ? cos x ? sin x 4? ?
(Ⅱ) ?<x ? 由

17 ? 5? ? 5? ? 5? 3? ? ? 3? 5? ? , <x ? ? . ? sin t 在 ? , ? 上为减函数, ? , ? 上为增函数, 得 在 12 4 4 3 ? 4 2? ? 2 3?

又 sin

5? 5? 3? ? 5? ? 17 ? ? <sin ,? sin ? sin( x ? )<sin (当 x ? ? ?, , ?) 3 4 2 4 4 2 ? ?
21

即 ?1 ? sin( x ? )< ?

? 4

2 ? 故 , ?? 2 ? 2 ? 2 sin( x ? ) ? 2< ? 3, g(x)的值域为 ? ? 2 ? 2, ?3 . ? 2 4

?

57.(陕西卷 17)已知函数 f ( x) ? 2sin

x x x cos ? 2 3 sin 2 ? 3 . 4 4 4

(Ⅰ)求函数 f ( x ) 的最小正周期及最值; (Ⅱ)令 g ( x) ? f ? x ?

? ?

π? ? ,判断函数 g ( x) 的奇偶性,并说明理由. 3?
x x x x ? x π? ? 3(1 ? 2sin 2 ) ? sin ? 3 cos ? 2sin ? ? ? .? f ( x) 的最小正 2 4 2 2 ?2 3?

解: (Ⅰ)? f ( x) ? sin

周期 T ?

2π ? x π? ? x π? ? 4π .当 sin ? ? ? ? ?1 时, f ( x) 取得最小值 ?2 ;当 sin ? ? ? ? 1 时, f ( x) 取得最 1 ?2 3? ?2 3? 2

大值 2. (Ⅱ)由(Ⅰ)知 f ( x) ? 2sin ?

π? ? x π? ? ? ? .又 g ( x) ? f ? x ? ? . 3? ?2 3? ?

x x ?1 ? π ? π? ? x? ? x π? ? g ( x) ? 2sin ? ? x ? ? ? ? ? 2sin ? ? ? ? 2 cos .? g (? x) ? 2cos ? ? ? ? 2cos ? g ( x) . 2 2 3 ? 3? ? 2? ?2 2? ?2 ?

? 函数 g ( x) 是偶函数.
58.(重庆卷 17)设 ?ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 A= 60 ,c=3b.求:
?

(Ⅰ)

a 的值; c

(Ⅱ)cotB +cot C 的值.

2 2 2 1 2 2 1 1 7 2 a c 解: (Ⅰ)由余弦定理得: a ? b ? c ? 2b cos A = ( c) ?c ? 2? c? ? ? c , 故 ?

3

3

2

9

c

7 . 3

cos B sin C ? cos C sin B sin( B ? C ) sin A ? , 由正弦定理和(Ⅰ)的 = sin B sin C sin B sin C sin B sin C 7 2 c 2 14 3 sin A 1 a 2 9 14 14 3 . 结论得: ? · ? · ? ? . 故 cot B ? cot C ? 9 sin B sin C sin A bc 9 3 1 c· 3 3 c 3
(Ⅱ) cot B ? cot C =

7 2 2 1 2 c ? c ? ( c) 5 a 2 ? c 2 ? b2 9 3 . 解法二:由余弦定理及(Ⅰ)的结论有 cos B ? = ? 2ac 2 7 7 2? c?c 3

22

7 2 1 2 2 c ? c ?c 25 3 a 2 ? b2 ? c 2 9 1 9 故 sin B ? 1 ? cos B ? 1 ? ? . 同理可得: cos C ? ? ?? , 28 2 7 2ab 7 1 2 7 2? c? c 3 3
2

sin C ? 1 ? cos2 C ? 1 ?

cos B cos C 5 1 14 3 1 3 3 ? ? 3? 3? . ? . 从而 cot B ? cot C ? sin B sin C 3 9 9 28 2 7

59.(福建卷 17)已知向量 m=(sinA,cosA),n= ( 3, ?1) ,m· n=1,且 A 为锐角. (Ⅰ)求角 A 的大小; (Ⅱ)求函数 f ( x) ? cos 2 x ? 4cos A sin x( x ? R) 的值域.

解: (Ⅰ)由题意得 m? ? 3 sin A ? cos A ? 1, 2sin( A ? ) ? 1,sin( A ? ) ? n 得 A?

? 6

? 6

1 . 由 A 为锐角 2

? ? ? ? ,A? . 6 6 3

1 1 3 , 所以 f ( x) ? cos 2 x ? 2sin x ? 1 ? 2sin 2 x ? 2sin s ? ?2(sin x ? ) 2 ? . 2 2 2 1 3 因为 x∈R,所以 sin x???1,1? ,因此,当 sin x ? 时,f(x)有最大值 .当 sinx=-1 时,f(x)有最小值-3, 2 2
(Ⅱ)由(Ⅰ)知 cos A ? 所以所求函数 f(x)的值域是 ? ?3, ? . 2

? ?

3? ?

0 60.(广东卷 16)已知函数 f ( x) ? A sin( x ? ? )( A ? 0,? ? ? π) , x ? R 的最大值是 1,其图像经过点

?π 1? M ? , ?. ? 3 2?
(1)求 f ( x ) 的解析式; (2)已知 ?,? ? ? 0, ? ,且 f (? ) ?

? ?

π? 2?

3 12 , f (? ) ? ,求 f (? ? ? ) 的值. 5 13

? 解:(1)依题意有 A ? 1 ,则 f (x) ?sin( x ?) ,将点 M (
?

? 1

?

5 ? ? ? ? ? ? ,?? ? ,故 f ( x) ? sin( x ? ) ? cos x ; 3 6 2 2
(2) 依题意有 cos ? ?

? 1 , ) 代入得 sin( ? ? ) ? ,而 0 ? ? ? ? 3 2 3 2

32 4 12 2 5 3 12 ? , cos ? ? , ? , ? ? ) 0 , ( ? 而 , sin ? ? 1 ? ( ) ? ,sin ? ? 1 ? ( ) ? , 5 13 2 5 5 13 13

3 12 4 5 56 f (? ? ? ) ? cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ? ? ? ? ? 。 5 13 5 13 65
61.(辽宁卷 17)在 △ ABC 中,内角 A,B,C 对边的边长分别是 a,b,c ,已知 c ? 2 , C ? (Ⅰ)若 △ ABC 的面积等于 3 ,求 a, b ; (Ⅱ)若 sin C ? sin( B ? A) ? 2sin 2 A ,求 △ ABC 的面积.
23

? . 3

解: (Ⅰ)由余弦定理及已知条件得, a ? b ? ab ? 4 ,又因为 △ ABC 的面积等于 3 ,所以
2 2

1 ab sin C ? 2

?a 2 ? b 2 ? ab ? 4, 3,得 ab ? 4 .联立方程组 ? 解得 a ? 2 , b ? 2 . ?ab ? 4,
A ,当 cos A ?0

2sin cos A (Ⅱ)由题意得 sin( B ? A) ? sin( B ? A) ? 4sin A cos A ,即 sin Bcos A ?
时, A ?

? ? 4 3 2 3 , B ? ,a ? ,b ? ,当 cos A ?0 时,得 sin B ? 2sin A ,由正弦定理得 b ? 2a , 2 6 3 3

联立方程组 ?

?a 2 ? b 2 ? ab ? 4, ?b ? 2a,

解得 a ?

1 2 3 2 3 4 3 ,b ? .所以 △ ABC 的面积 S ? ab sin C ? . 2 3 3 3

62.(湖南卷 19)在一个特定时段内,以点 E 为中心的 7 海里以内海域被设为警戒水域.点 E 正北 55 海里 处有一个雷达观测站 A.某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点 A 北偏东 45 且与点 A 相距 40 2 海 里的位置 B,经过 40 分钟又测得该船已行驶到点 A 北偏东 45 + ? (其中 sin ? =
? ?

26 ? ? , 0 ? ? ? 90 )且与 26

点 A 相距 10 13 海里的位置 C. (I)求该船的行驶速度(单位:海里/小时); (II)若该船不改变航行方向继续行驶.判断它是否会进入警戒水域,并说明理由. 解 : ( I ) 如 图 , AB=40

2 , AC=10 13 , ?BAC ? ? ,sin ? ?

26 ? . 由 于 0? ? ? ? 9 0 , 所 以 26

cos ? = 1 ? (

26 2 5 26 ) ? . 由余弦定理得 BC= AB2 ? AC2 ? 2 AB?AC? ? ? 10 5. 所以船的行驶 cos 26 26

速度为

10 5 ? 15 5 (海里/小时). 2 3

(II)如图所示,以 A 为原点建立平面直角坐标系,设点 B、C 的坐标分别是 B(x1,y2), C(x1,y2), BC 与 x 轴的交点为 D.由题设有,x1=y1=

2 AB=40,x2=ACcos ?CAD ? 10 13cos(45? ? ? ) ? 30 , 2
20 ? 2 ,直线 l 的方程为 10

y2=ACsin ?CAD ? 10 13sin(45? ? ? ) ? 20. 所以过点 B、C 的直线 l 的斜率 k=

y=2x-40.又点 E(0,-55)到直线 l 的距离 d=

| 0 ? 55 ? 40 | ? 3 5 ? 7. 所以船会进入警戒水域. 1? 4

解法二: 如图所示,设直线 AE 与 BC 的延长线相交于点 Q.在△ABC 中,由余弦定理得,

cos ?ABC ?

AB 2 ? BC 2 ? AC 2 402 ? 2 ? 102 ? 5 ? 102 ? 13 3 10 = = . 2 AB ? BC 10 2 ? 40 2 ? 10 5
24

从而 sin ?ABC ? 1 ? cos ?ABC ? 1 ?
2

9 10 ? . 在 ?ABQ 中,由正弦定理得, 10 10

AB sin ?ABC ? AQ= sin(45? ? ?ABC )

40 2 ?

10 10 ? 40. 由于 AE=55>40=AQ,所以点 Q 位于点 A 和点 E 之间,且 2 2 10 ? 2 10

QE=AE-AQ=15.过点 E 作 EP ? BC 于点 P,则 EP 为点 E 到直线 BC 的距离. 在 Rt ?QPE 中, PE=QE· ?PQE ? QE ? sin ?AQC ? QE ? sin(45? ? ?ABC) = 15 ? sin 水域. 63. (2009 年广东卷文) 已知向量 a ? (sin ? ,?2) 与 b ? (1, cos? ) 互相垂直,其中 ? ? (0, (1)求 sin ? 和 cos ? 的值 (2)若 5 cos(? ? ? ) ? 3 5 cos? , 0 ? ? ?

5 ? 3 5 ? 7. 所以船会进入警戒 5

?
2

).

? ,求 cos ? 的值 2

2 解:(1) Q a ? b ,? a g ? sin ? ? 2cos ? ? 0 ,即 sin ? ? 2 cos ? ,又∵ sin ? ? cos ? ? 1 , b

v

v

v v

2 2 ∴ 4cos ? ? cos ? ? 1,即 cos ?
2

1 4 ? 2 5 5 2 ,∴ sin ? ? .又 ? ? (0, ) ? sin ? ? , cos ? ? . 5 5 2 5 5

(2) ∵ 5cos(? ? ? ) ? 5(cos ? cos ? ? sin ? sin ? ) ? 5 cos ? ? 2 5 sin ? ? 3 5 cos ?

?cos ? ? sin ? ,?cos2 ? ? sin 2 ? ? 1 ? cos2 ? ,即 cos 2 ? ?

1 ? 2 ,又 0 ? ? ? , ∴ cos ? ? 2 2 2
2 2

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64.(2009 全国卷Ⅰ理)在 ?ABC 中,内角 A、B、C 的对边长分别为 a 、 b 、 c ,已知 a ? c ? 2b ,且

sin Acos C ?3cos Asin C 求 b ,
解:在 ?ABC 中? sin A cos C ? 3cos A sin C, 有: a?

a 2 ? b2 ? c 2 b2 ? c 2 ? a 2 ?3 ?c, 化简并整理 2ab 2bc

. 2(a2 ? c2 ) ? b2 .又由已知 a 2 ? c 2 ? 2b ? 4b ? b2 .解得 b ? 4或b ? 0(舍) 解法二:由余弦定理得: a ? c ? b ? 2bc cos A .又 a ? c ? 2b , b ? 0 。所以 b ? 2c cos A ? 2 ,①
2 2 2 2 2

又 sin A cos C ? 3cos A sin C ,? sin A cos C ? cos A sin C ? 4 cos A sin C

b sin( A ? C ) ? 4cos A sin C ,即 sin B ? 4cos A sin C ,由正弦定理得 sin B ? sin C ,故 b ? 4c cos A ,② c
由①,②解得 b ? 4 。
25

65.(2009 浙江理)在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,且满足 cos (I)求 ?ABC 的面积; 解: (I)因为 cos (II)若 b ? c ? 6 ,求 a 的值.

? ? A 2 5 ??? ??? , AB ? AC ? 3 ? 2 5

??? ??? ? ? 3 4 A 2 5 2 A ? 1 ? ,sin A ? ,又由 AB ? AC ? 3 , ,? cos A ? 2 cos ? 2 5 5 2 5
1 bc sin A ? 2 . 2
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得 bc cos A ? 3, ? bc ? 5 ,? S?ABC ?

(II)∵ bc ? 5 ,又 b ? c ? 6 ,? b ? 5, c ? 1 或 b ? 1, c ? 5 , a ? b ? c ? 2bc cos A ? 20 ,? a ? 2 5
2 2 2
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66.(2009 浙江文)在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,且满足 cos (I)求 ?ABC 的面积; 解:(Ⅰ) cos A ? 2 cos
2

? ? A 2 5 ??? ??? , AB ? AC ? 3 . ? 2 5

(II)若 c ? 1 ,求 a 的值.

4 A 2 5 2 3 ?1 ? 2 ? ( ) ? 1 ? ,又 A ? (0, ? ) , sin A ? 1 ? cos 2 A ? ,而 5 2 5 5

3 1 1 4 AB. AC ? AB . AC . cos A ? bc ? 3 ,所以 bc ? 5 ,所以 ?ABC 的面积为: bc sin A ? ? 5 ? ? 2 . 5 2 2 5
(Ⅱ)由(Ⅰ)知 bc ? 5 ,而 c ? 1 ,∴ b ? 5 ,∴ a ? b 2 ? c 2 ? 2bccos A ? 67.(2009 北京文)已知函数 f ( x) ? 2sin(? ? x) cos x . (Ⅱ)求 f ( x ) 在区间 ? ?

25 ? 1 ? 2 ? 3 ? 2 5 .

(Ⅰ)求 f ( x ) 的最小正周期;

? ? ?? 上的最大值和最小值. , ? 6 2? ?

解:(Ⅰ)∵ f ? x ? ? 2sin ?? ? x ? cos x ? 2sin x cos x ? sin 2x ,∴函数 f ( x ) 的最小正周期为 ? . (Ⅱ)由 ?

?
6

?x?

?
2

??

?
3

? 2 x ? ? ,∴ ?

3 ? ? ?? ? sin 2 x ? 1 ,∴ f ( x) 在区间 ? ? , ? 上的最大值 2 ? 6 2?

为 1,最小值为 ?

3 . 2

68.(2009 北京理)在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c, B ? (Ⅰ)求 sin C 的值; (Ⅱ)求 ?ABC 的面积.

?
3

, cos A ?

4 ,b ? 3 。 5

解:(Ⅰ)∵A、B、C 为△ABC 的内角,且 B ? ∴ sin C ? sin ?

?
3

, cos A ?

4 2? 3 ? A,sin A ? , ,∴ C ? 5 3 5

3 1 3? 4 3 ? 2? ? . ? A? ? cos A ? sin A ? 2 10 ? 3 ? 2
3 5 C?

n (Ⅱ) (Ⅰ) si A ? ,si 由 知 n

? b sin A 6 3? 3 4 ? . , 又∵ B ? , b ? 3 , ∴在△ABC 中,a ? 3 sin B 5 1 0
26

∴△ABC 的面积 S ?

1 1 6 3 ? 4 3 36 ? 9 3 . ab sin C ? ? ? 3 ? ? 2 2 5 10 50

69. (2009 山东卷理) 设函数 f(x)=cos(2x+

? 2 )+sin x. 3
1 c 1 , f ( ) ? ? ,且 C 为锐角,求 sinA. 3 2 4

(1) 求函数 f(x)的最大值和最小正周期. (2) 设 A,B,C 为 ? ABC 的三个内角,若 cosB=

解: (1)f(x)=cos(2x+

? ? ? 1 ? cos 2 x 1 3 2 )+sin x.= cos 2 x cos ? sin 2 x sin ? ? ? sin 2 x , 3 3 3 2 2 2

所以函数 f(x)的最大值为

1? 3 ,最小正周期 ? . 2

(2) f ( ) =

c 2

1 ? 1 1 3 3 , C 为锐角,所以 C ? ,又因为在 ? ABC 中,cosB= , ? sin C =- , sin C ? 4 3 3 2 2 2

sin B ?

2 2 1 1 3 2 2? 3 3 , sin A ? sin( B ? C ) ? sin B cos C ? cos B sin C ? . 2? ? ? ? 3 3 2 3 2 6
2

70. (2009 山东卷文) 设函数 f(x)=2 sin x cos (1) 求 ? 的值;

?
2

? cos x sin ? ? sin x(0 ? ? ? ? ) 在 x ? ? 处取最小值.

(2) 在 ? ABC 中, a, b, c 分别是角 A,B,C 的对边,已知 a ? 1, b ? 解: (1) f ( x) ? 2sin x ?

2, f ( A) ?

3 ,求角 C.. 2

1 ? cos ? ? cos x sin ? ? sin x ? sin x ? sin x cos ? ? cos x sin ? ? sin x 2

? sin x cos ? ? cos x sin ? ? sin( x ? ? ) ,因为函数 f(x)在 x ? ? 处取最小值,所以 sin(? ? ? ) ? ?1 ,由诱导
公式知 sin ? ? 1 ,因为 0 ? ? ? ? ,所以 ? ? (2)∵ f ( A) ?

?
2

.所以 f ( x) ? sin( x ?

?
2

) ? cos x .

? 3 3 ,∴ cos A ? ,∵角 A 为 ? ABC 的内角,∴ A ? .又∵ a ? 1, b ? 2 , 6 2 2



a b ? 3? b sin A 1 2 ? ? 2? ? ,也就是 sin B ? ,因为 b ? a ,∴ B ? 或 B ? . sin A sin B 4 4 a 2 2
当B ?

?
4

时, C ? ? ?

?
6

?

?
4

?

7? ; 12

当B ?

3? ? 3? ? ? . 时, C ? ? ? ? 4 6 4 12 3 2 , b ? ac , 2

71.(2009 全国卷Ⅱ) 设△ABC 的内角 A、 C 的对边长分别为 a、 c, B、 b、 cos( A ? C ) ? cos B ? 求 B. 解:由 cos(A ? C)+cosB=

3 3 及 B=π ? (A+C)得 cos(A ? C) ? cos(A+C)= , 2 2
27

cosAcosC+sinAsinC ? (cosAcosC ? sinAsinC)= 故 sin B ?
2

3 3 2 ,sinAsinC= .又由 b =ac 得 sin 2 B ? sin A sin C, 4 2

π 2 π 3 3 3 , sin B ? 或 sin B ? ? (舍去) ,于是 B= 或 B= . 3 3 4 2 2 π 。 3

2 又由 b ? ac 知 b ? a 或 b ? c , ∴ B =

72.( 2009广 东 卷 理 ) 已知向量 a ? (sin? ,?2) 与 b ? (1, cos? ) 互相垂直,其中 ? ? (0, (1)求 sin ? 和 cos ? 的值; (2)若 sin(? ? ? ) ?

?
2

).

10 ? , 0 ? ? ? ,求 cos ? 的值. 10 2

2 2 i o s 解: ∵ a 与 b 互相垂直, a ? b ? sin ? ? 2 cos? ? 0 , s ? ? 2 c ? , (1) 则 即n 代入 sin ? ? cos ? ? 1

得 sin ? ? ?

? 2 5 5 2 5 5 ,又 ? ? (0, ) ,∴ sin ? ? . , cos? ? ? , cos? ? 2 5 5 5 5
?
2
,0 ?? ?

(2)∵ 0 ? ? ?

?
2

,∴ ?

?
2

? ? ?? ?

?
2

,则 cos(? ? ? ) ? 1 ? sin (? ? ? ) ?
2

3 10 , 10

∴ cos ? ? cos[? ? (? ? ? )] ? cos? cos(? ? ? ) ? sin ? sin(? ? ? ) ? 73.(2009 安徽卷理)在 ? ABC 中, sin(C ? A) ? 1 , sinB= (I)求 sinA 的值; 解: (Ⅰ)由 C ? A ?

2 . 2

1 . 3

(II)设 AC= 6 ,求 ? ABC 的面积.

? ? B ? B 2 B B ,且 C ? A ? ? ? B ,∴ A ? ? ,∴ sin A ? sin( ? ) ? (cos ? sin ) , 2 4 2 4 2 2 2 2

2 ∴ sin A ?

1 1 3 (1 ? sin B) ? ,又 sin A ? 0 ,∴ sin A ? . 2 3 3

AC BC AC sin A ? (Ⅱ)∵ ,∴ BC ? ? sin B sin A sin B

6? 1 3

3 3 ?3 2,

又 sin C ? sin( A ? B) ? sin A cos B ? cos A sin B ?

3 2 2 6 1 6 ? ? ? ? 3 3 3 3 3

∴ S?ABC ?

1 1 6 AC ? BC ? sin C ? ? 6 ? 3 2 ? ?3 2 . 2 2 3

74.(2009 安徽卷文)在 ? ABC 中, C ? A ?

?

1 ,sin B ? . 2 3
28

(I)求 sinA 的值; 解: (1)∵ c ? A ?

(II)设 AC ? 6, 求 ? ABC 的面积。

?
2

且c ? A ? ? ? B ∴ A ?

?
4

?

? B 2 B B B (cos ? sin ) ,∴ sin A ? sin( ? ) ? 4 2 2 2 2 2

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1 B B 1 1 3 ∴ sin2 A ? (cos ? sin )2 ? (1 ? sin B) ? .又 sin A ? 0 ∴ cos A ? 2 2 2 2 3 3

AC ? sin A AC BC ? (2)∵ BC ? ∴ BC ? ? sin B sin B sin A
又sin C ? sin( A ? B ) ? sin A cos B ? cos A ? sin B ?

6? 1 3

3 3 ?3 2,

3 2 2 1 6 ? ?? ? , 3 3 3 3
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∴ S ? ABC ?

1 1 6 AC ? BC ? sin C ? ? 6 ? 3 2 ? ?3 2. 2 2 3

75.(2009 江西卷文)在△ ABC 中, A, B, C 所对的边分别为 a, b, c , A ? (1)求 C ; (2)若 CB ? CA ? 1 ? 3 ,求 a , b , c .

?
6

, (1 ? 3)c ? 2b .

??? ??? ? ?

解: (1)由 (1 ? 3)c ? 2b ,得

b 1 3 sin B , ? ? ? c 2 2 sin C

sin(? ?
则有

?

6 sin C

? C)

?

sin

5? 5? cos C ? cos sin C ? 1 3 1 3 6 6 = cot C ? ,得 cot C ? 1 即 C ? . ? ? 4 2 2 2 2 sin C

(2) 由 CB ? CA ? 1 ? 3 ,推出 ab cos C ? 1 ? 3 ;而 C ?

??? ??? ? ?

?
4

,即得

2 ab ? 1 ? 3 , 2

? 2 ab ? 1 ? 3 ? ? 2 ? 则有 ?(1 ? 3)c ? 2b ,解得 ? a c ? ? ? sin A sin C ?

?a ? 2 ? ? ?b ? 1 ? 3 . ?c ? 2 ? ?
sin A ? sin B , cos A ? cos B

76.(2009 江西卷理)△ ABC 中, A, B, C 所对的边分别为 a, b, c , tan C ?

sin( B ? A) ? cos C .
(1)求 A, C ; 解:(1) 因为 tan C ? (2)若 S?ABC ? 3 ? 3 ,求 a , c .
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sin A ? sin B sin C sin A ? sin B ? ,即 , cos A ? cos B cos C cos A ? cos B 所以 sin C cos A ? sin C cos B ? cos C sin A ? cos C sin B , 即 sin C cos A ? cos C sin A ? cos C sin B ? sin C cos B , 得 sin(C ? A) ? sin( B ? C ) .所以 C ? A ? B ? C ,或 C ? A ? ? ? ( B ? C ) (不成立).即 2C ? A ? B ,

29

得C ?

?
3

,所以. B ? A ?

1 ? 5? ? 5? ,则 B ? A ? ,或 B ? A ? ,(舍去) 得 A ? , B ? . 2 6 6 4 12 a c a c 1 6? 2 ? ? (2) S?ABC ? ac sin B ? , 即 , ac ? 3 ? 3 ,又 sin A sin C 2 8 2 3 2 2 得 a ? 2 2, c ? 2 3.
又因为 sin( B ? A) ? cos C ?
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2? . 3

77.(2009 天津卷文)在 ?ABC 中, BC ? 5, AC ? 3, sin C ? 2 sin A (1)求 AB 的值。 (2)求 sin( 2 A ?

?
4

) 的值。

解: (1)解:在 ?ABC 中,根据正弦定理,

AB BC BC ? ? 2 BC ? 2 5 . ,于是 AB ? sin C sin C sin A sin A

(2)在 ?ABC 中,根据余弦定理,得 cos A ? 从而 sin 2 A ? 2 sin A cos A ?

AB 2 ? AC 2 ? BC 2 5 ,于是 sin A ? 1 ? cos2 A = , 2 AB ? AC 5

4 3 , cos 2 A ? cos 2 A ? sin 2 A ? , 5 5

? ? ? 2 . sin(2 A ? ) ? sin 2 A cos ? cos 2 A sin ? 4 4 4 10
78.(2009 四川卷文)在 ?ABC 中, A、B 为锐角,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c , 且 sin A ?

5 10 . ,sin B ? 5 10
(II)若 a ? b ?

(I)求 A ? B 的值;

2 ? 1 ,求 a、b、c 的值。

解: (I)∵ A、B 为锐角, sin A ?

5 10 , ,sin B ? 5 10

∴ cos A ? 1 ? sin A ?
2

2 5 3 10 . , cos B ? 1 ? sin 2 B ? 5 10 2 5 3 10 5 10 2 ? ? ? ? .∵0 ? A? B ? ? , 5 10 5 10 2

cos( A ? B) ? cos A cos B ? sin A sin B ?
∴ A? B ?

?
4

.

(II)由(I)知 C ?

3? a b c 2 ? ? ,∴ sin C ? ,由 得 5a ? 10b ? 2c , 4 sin A sin B sin C 2

即 a ? 2b, c ? 5b ,又∵ a ? b ?

2 ? 1 ,∴ 2b ? b ? 2 ?1 , ∴ b ? 1 ,∴ a ? 2, c ? 5 .
3 , 2
30

79. 2009 全国卷Ⅱ理) ?ABC 的内角 A 、B 、C 的对边长分别为 a 、b 、c ,cos( A ? C ) ? cos B ? ( 设

b2 ? ac ,求 B 。
3 3 ,将 B ? ? ? ( A ? C ) 代入 cos( A ? C ) ? cos B ? , 2 2 3 3 2 C 得 cos( A ? C ) ? cos( A ? C ) ? .由两角和与差的余弦公式展开得 sin A sin ? ;又由 b ? ac ,得 2 4
解:由 cos( A ? C ) ? cos B ?

sin2 B ? sinA sin ,进而得 sin B ? C
当B ? 应舍去。

? 2? 3 .故 B ? 或 。 3 3 2

2? 1 3 时,由 cos B ? ? cos( A ? C ) ? ? ,进而得 cos( A ? C ) ? cos( A ? C ) ? ? 2 ? 1 ,矛盾, 3 2 2

80.(2009 湖南卷文)已知向量 a ? (sin ? ,cos? ? 2sin ? ), b ? (1, 2). (Ⅰ)若 a / / b ,求 tan ? 的值;

?

?

?

?

(Ⅱ)若 | a |?| b |,0 ? ? ? ?, 求 ? 的值。

?

?

解: (Ⅰ) 因为 a / / b ,所以 2sin ? ? cos ? ? 2sin ? , 于是 4sin ? ? cos ? ,故 tan ? ? (Ⅱ)由 | a |?| b | 知, sin

?

?

1 . 4

?

?

2

? ? (cos? ? 2sin ? )2 ? 5, 所以 1 ? 2sin 2? ? 4sin 2 ? ? 5.
? 2 ? ?? , 1 于是 sin(2? ? ) ? ? .又由 0 ? ? ? ? 知, 4 2

n o s2 从而 ?2sin 2? ? 2(1 ? cos 2? ) ? 4 , s 2 ?c? 即i

?
4

? 2? ?

?
4

?

9? ? 5? ? 7? ? 3? . ,所以 2? ? ? ,或 2? ? ? .因此 ? ? ,或 ? ? 4 4 4 4 4 4 2

81.(2009 福建卷理)如图,某市拟在长为 8km 的道路 OP 的一侧修建一条运动赛道,赛道的前一部分为 曲线段 OSM,该曲线段为函数 y=Asin ? x(A>0,

? >0) x ? [0,4]的图象,

且图象的最高点为 S(3,2 3 );赛道的后一部分为折线段 MNP,为保证 参赛运动员的安全,限定 ? MNP=120 (I)求 A ,
o

? 的值和 M,P 两点间的距离;

(II)应如何设计,才能使折线段赛道 MNP 最长?

解: Ⅰ)依题意,有 A? 2 3 , (

T 2? ? ? , ? ? ? 。 ? y ? 2 3 sin x , 当 x ? 4 时 , ?3 ,又 T ? 4 ? 6 6

2? ? ? y ? 2 3 s i n ? ,3 M (4, 3) 又 p(8, 3) ,? MP ? 42 ? 32 ? 5 . 3

(Ⅱ)在△MNP 中∠MNP=120° ,MP=5,设∠PMN= ? ,则 0° ? <60° < ,∴
? NP ? 10 3 10 3 sin(600 ? ? ) . sin ? , ? MN ? 3 3

MP NP MN ? ? sin 1200 sin ? sin(60 0 ? ? )

故 NP ? MN ?

10 3 10 3 10 3 1 3 10 3 sin ? ? sin(600 ? ? ) ? ( sin ? ? cos ? ) ? sin(? ? 600 ) ,? 0° ? <60° < , 3 3 3 2 3 3

时,折线段赛道 MNP 最长.亦即,将∠PMN 设计为 30° 时,折线段道 MNP 最长. ? 当 ? =30° 解法二: (Ⅰ)同解法一 (Ⅱ)在△MNP 中,∠MNP=120° ,MP=5,由余弦定理得 MN 2 ? NP 2 ? 2MN ?NP?cos ∠MNP= MP 2
31

即 MN 2 ? NP 2 ? MN ?NP ? 25 ,故 (MN ? NP)2 ? 25 ? MN ?NP ? ( 即 MN ? NP ?

MN ? NP 2 3 ) ,从而 (MN ? NP)2 ? 25 , 2 4

10 3 ,当且仅当 MN ? NP 时,折线段道 MNP 最长. 3

82.(2009 陕西卷文)已知函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ), x ? R (其中 A ? 0, ? ? 0, 0 ? ? ? 且图象上一个最低点为 M (

?
2

)的周期为 ? ,

2? , ?2) . 3
(Ⅱ)当 x ? [0,

(Ⅰ)求 f ( x ) 的解析式; 解: (Ⅰ)由最低点为 M (

?
12

] ,求 f ( x) 的最值.

2? 2? 2? 2? , ?2)得A ? 2 ,由 T ? ? 得? ? ? ? 2 ,由点 M ( , ?2) 在图像上得 3 T ? 3 4? 4? 4? ? 11? 2sin( ? ? ) ? ?2 即 sin( ? ? ) ? ?1 ,所以 ? ? ? 2 k? ? 故 ? ? 2 k? ? (k ? Z ) . 3 3 3 2 6
又 ? ? (0,

?

2

) ,所以 ? ?

?

(Ⅱ)因为 x ? [0,

?
12

6

所以 f ( x) ? 2sin(2 x ?

?

], 2 x ?

?

当2x+

?
6

?

?
3

, 即x ?

?

? [ , ] ,所以当 2x+ ? 时,即 x=0 时,f(x)取得最小值 1; 6 6 3 6 6

? ?

6

).

?

?

12

时,f ( x)取得最大值 3 ;

83. (2009 陕西卷理) 已知函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ), x ? R (其中 A ? 0, ? ? 0, 0 ? ? ? 轴的交点中,相邻两个交点之间的距离为 (Ⅰ)求 f ( x ) 的解析式; 解: (Ⅰ)由最低点为 M (

?
2

)的图象与 x

2? ? T ? , ?2) 得 A=2.由 x 轴上相邻的两个交点之间的距离为 得 = ,即 3 2 2 2 2? 2? 2? 2? 4? T ? ? ,? ? ? ? 2 ,由点 M ( , ?2) 在图像上的 2sin(2 ? ? ? ) ? ?2, 即sin( ? ? ) ? ?1 , T ? 3 3 3 4? ? 11? ? ? ? ? ? ? 2k? ? , k ? Z ,?? ? 2k? ? 故 ,又 ? ? (0, ),?? ? , 故f ( x) ? 2sin(2 x ? ) . 3 2 6 2 6 6 ? ? ? ? 7? ? ? ? ? ], 当 2 x ? = ,即 x ? 时, f ( x) 取得最大值 2; (Ⅱ)? x ? [ , ],   2 x ? ? [ , 12 2 6 3 6 6 2 6 ? 7? ? 当 2x ? ? ,即 x ? 时, f ( x ) 取得最小值-1,故 f ( x ) 的值域为[-1,2]. 6 6 2
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? 2? , ?2) . ,且图象上一个最低点为 M ( 3 2 ? ? (Ⅱ)当 x ? [ , ] ,求 f ( x ) 的值域. 12 2

84.(2009 湖北卷文) 在锐角△ABC 中,a、b、c 分别为角 A、B、C 所对的边,且 3a ? 2c sin A

(Ⅰ)确定角 C 的大小:

(Ⅱ)若 c= 7 ,且△ABC 的面积为

3 3 2

,求 a+b 的值。

解: (Ⅰ)由 3a ? 2c sin A 及正弦定理得,

a 2sin A sin A 3 ? ? , Q sin A ? 0,? sin C ? , c sin C 2 3

Q ?ABC 是锐角三角形,? C ?

?
3

.
32

(Ⅱ) Q c ?

7, C ?

?

1 ? 3 3 . 由面积公式得 ab sin ? ,即ab ? 6,  ① 3 2 3 2

由余弦定理得

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a 2 ? b 2 ? 2ab cos

?
3

? 7,即a 2 ? b 2 ? ab ? 7,   ②

由②变形得 (a+b)2 ? 25, 故a ? b ? 5 .

?a 2 ? b2 ? ab ? 7 ?a 2 ? b2=13 解法二:前同解法 1,联立①、②得 ? ,消去 b 并整理得   ? ? ?ab ? 6 ?ab ? 6
?a ? 2 ?a ? 3 a 4 ? 13a 2 ? 36 ? 0 解得 a 2 ? 4或a 2 ? 9 .所以 ? ,故 a ? b ? 5 . 或? b ? 3 ?b ? 2 ? ??? ???? ? ??? ???? ? 2 85. (2009 湖南卷理) 在 ?ABC ,已知 2 AB ? AC ? 3 AB ? AC ? 3BC ,求角 A,B,C 的大小。
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解: BC ? a, AC ? b, AB ? c ,由 2 AB ? AC ? 3 AB ? AC 得 2bc cos A ? 3bc , 设 所以 cos A ?

??? ???? ?

??? ???? ?

3 2

又 A ? (0, ? ), 因此 A ?

?
6

2 2 .由 3 AB ? AC ? 3BC ,得 bc ? 3a ,于是 sin C ? sin B ? 3 sin A ?
2

??? ???? ?

3 , 4

所以 sin C ? sin(

1 3 3 5? 3 , sin C ? ( cos C ? ,因此 sin C ) ? ? C) ? 2 2 4 6 4

? ? 5? , 2sin C ? cos C ? 2 3sin 2 C ? 3,sin 2C ? 3 cos 2C ? 0 ,既 sin(2C ? ) ? 0 ,由 A= 知 0 ? C ? 3 6 6 ? ? 4? ? ? ? 2? , 所以 ? , 2C ? ? ,从而 2C ? ? 0, 或 2C ? ? ? , ,既 C ? , 或 C ? 3 3 3 3 3 6 3 ? 2? ? ? ? 2? ,C ? , 或 A ? , B ? ,C ? 故 A? ,B ? 。 6 3 6 6 6 3
86.(2009 天津卷理)在⊿ABC 中,BC= 5 ,AC=3,sinC=2sinA (I) 求 AB 的值: (II) 求 sin ? 2 A ?

? ?

??

? 的值 4?

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解: (Ⅰ)在△ABC 中,根据正弦定理,

AB BC sinC ? BC ? 2BC ? 2 5 . ,于是 AB= sinC sin A sin A

(Ⅱ)在△ABC 中,根据余弦定理,得 cosA= 从而 sin2A=2sinAcosA=

AB2 ? AC2 ? BD2 2 5 ,于是 ? 2 AB ? AC 5
,

sinA= 1 ? cos2 A ?

5 , 5

4 3 ? ? ? 2 ,cos2A=cos2A-sin2A= ,∴ sin(2A- )=sin2Acos -cos2Asin = . 5 5 4 4 4 10

87.(2009 福建卷文) 已知函数 f ( x) ? sin(? x ? ? ), 其中 ? ? 0 , | ? |?
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?

?? sin ? ? 0, 求 ? 的值; (I)若 cos cos, ? ? sin 4 4

?

2

(Ⅱ)在(I)的条件下,若函数 f ( x ) 的图像的相邻两条对称轴之间的距离等于

? ,求函数 f ( x ) 的解 3
33

析式;并求最小正实数 m ,使得函数 f ( x ) 的图像象左平移 m 个单位所对应的函数是偶函数。 解: (I)由 cos 即 cos(

?
4

cos ? ? sin

?
4

? ? ) ? 0 又 | ? |?

?
2

3? ? ? sin ? ? 0 得 cos cos ? ? sin sin ? ? 0 4 4 4

,?? ?

?

4

.

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(Ⅱ)由(I)得, f ( x) ? sin(? x ?

?
4

) ,依题意,

T ? 2? ? ? , 又T ? , 故 ? ? 3,? f ( x) ? sin(3x ? ) , 2 3 ? 4

函数 f ( x ) 的图像向左平移 m 个单位后所对应的函数为 g ( x) ? sin ? 3(x ? m ) ? 当 3m ?

? ?

??
4? ?

, g ( x) 是偶函数当且仅

?
4

? k? ?

?
2

(k ? Z ) ,即 m ?

k? ? ? ? (k ? Z ) ,从而,最小正实数 m ? . 3 12 12

解法二: (I)同解法一. (Ⅱ)由(I)得, f ( x) ? sin(? x ?

?
4

) ,依题意,

T ? 2? ? ? ,又 T ? ,故 ? ? 3,? f ( x) ? sin(3 x ? ) 2 3 ? 4

函数 f ( x ) 的图像向左平移 m 个单位后所对应的函数为 g ( x) ? sin ? 3(x ? m ) ? 当 g (? x) ? g ( x) 对 x ? R 恒成立,亦即 sin( ?3 x ? 3m ?

? ?

??
4? ?

, g ( x) 是偶函数当且仅

?

? sin(?3x) cos(3m ? ) ? cos(?3x) sin(3m ? ) ? sin 3x cos(3m ? ) ? cos 3 x sin(3m ? ) 4 4 4 4
即 2sin 3 x cos(3m ?

?

?

) ? sin(3 x ? 3m ? ) 对 x ? R 恒成立。 4 4

?

?

?

?

?m ?

k? ? ? ? (k ? Z ) 从而,最小正实数 m ? . 3 12 12 ?x ? ?x ? ) ? 2 cos 2 ?1 . 88.(2009 重庆卷理)设函数 f ( x) ? sin( 4 6 8
(Ⅰ)求 f ( x ) 的最小正周期.

) ? 0 对 x ? R 恒成立。? cos(3m ? ) ? 0 ,故 3m ? ? k? ? (k ? Z ) , 4 4 4 2

?

?

?

(Ⅱ)若函数 y ? g ( x) 与 y ? f ( x) 的图像关于直线 x ? 1 对称,求当 x ? [0, ] 时 y ? g ( x) 的最大值.

4 3

解: (Ⅰ) f ( x ) = sin

?
4

x cos

?
6

? cos

?
4

x sin

?
6

? cos

?
4

x=

? ? 3 ? 3 ? sin x ? cos x = 3 sin( x ? ) 4 3 2 4 2 4

故 f ( x ) 的最小正周期为 T =

2?

? 4

=8.

(Ⅱ)在 y ? g ( x) 的图象上任取一点 ( x, g ( x)) ,它关于 x ? 1 的对称点 (2 ? x , g (x )),由题设条件,点

(2 ? x, g ( x)) 在 y ? f ( x) 的图象上,从而 g ( x) ? f (2 ? x) ? 3 sin[ (2 ? x) ? ] = 3 sin[ ? x ? ] 4 3 2 4 3 ? ? 3 ? ? ? 2? 4 = 3 cos( x ? ) .当 0 ? x ? 时, ? x ? ? ,因此 y ? g ( x) 在区间 [0, ] 上的最大值为 4 3 4 3 4 3 3 3
34

?

?

?

?

?

gmax ? 3 cos

?
3

?

3 . 2

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2 3 4 2 称,故 y ? g ( x) 在 [0, ] 上的最大值为 y ? f ( x) 在 [ , 2] 上的最大值. 3 3 ? ? 2 ? ? ? ? 4 由(Ⅰ)知 f ( x ) = 3 sin( x ? ) ,当 ? x ? 2 时, ? ? ? ? ,因此 y ? g ( x) 在 [0, ] 上的 4 3 3 6 4 3 6 3
解法二:因区间 [0, ] 关于 x = 1 的对称区间为 [ , 2] ,且 y ? g ( x) 与 y ? f ( x) 的图象关于 x = 1 对 最大值为 g max ? 3 sin

4 3

?
6

?

3 . 2
2? . 3

89.(2009 重庆卷文)设函数 f ( x) ? (sin ? x ? cos ? x)2 ? 2cos2 ? x(? ? 0) 的最小正周期为 (Ⅰ)求 ? 的最小正周期. (Ⅱ)若函数 y ? g ( x) 的图像是由 y ? f ( x) 的图像向右平移 增区间.

? 个单位长度得到,求 y ? g ( x) 的单调 2

解: (Ⅰ) f ( x) ? (sin ? x ? cos ? x)2 ? 2cos2 ? x ? sin 2 ? x ? cos2 ? x ? sin 2? x ? 1 ? 2cos 2? x

? 2? 2? 3 ? sin 2? x ? cos 2? x ? 2 ? 2 sin(2? x ? ) ? 2 ,依题意得 ? ,故 ? 的最小正周期为 . 4 2? 3 2
(Ⅱ)依题意得: g ( x) ? 由 2 k? ?

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? ?? 5? ? 2 sin ?3( x ? ) ? ? ? 2 ? 2 sin(3x ? ) ? 2 , 2 4? 4 ?

5? ? 2 ? 2 7? ≤ 2 k? ? (k ? Z ) ,解得 k? ? ≤ x ≤ k? ? (k ? Z ) , 2 4 2 3 4 3 12 2 ? 2 7? ] (k ? Z ) . 故 y ? g ( x) 的单调增区间为: [ k? ? , k? ? 3 4 3 12 ?? ? 90. (2009 上海卷)已知 ΔABC 的角 A、 C 所对的边分别是 a、 c, B、 b、 设向量 m ? (a, b) , ? (sin B,sin A) , n

?

≤ 3x ?

? ? p ? (b ? 2, a ? 2) .
(1) 若 m // n ,求证:ΔABC 为等腰三角形; (2) 若 m ⊥ p ,边长 c = 2,角 C =

?? ? ??

? ,求 ΔABC 的面积 . 3 u v v a b ? b? 证: (1) Q m // n,? a sin A ? b sin B, 即 a ? ,其中 R 是三角形 ABC 外接圆半径, a ? b 2R 2R

??

21

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? ?ABC 为等腰三角形 u u v v 2 2 2 (2)由题意 m // p ? 0,即a(b ? 2) ? b(a ? 2) ? 0 ,? a ? b ? ab , ∴ 4 ? a ? b ? ab ? (a ? b) ? 3ab ,

即(ab)2 ? 3ab ? 4 ? 0 ,? ab ? 4(舍去ab ? ?1) , ? S ?
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1 1 ? ab sin C ? ? 4 ? sin ? 3 . 2 2 3
35

91.(2010 上海文数)已知 0 ? x ?

?
2

,化简:

x ? lg(cos x ? tan x ? 1 ? 2sin 2 ) ? lg[ 2 cos( x ? )] ? lg(1 ? sin 2 x) . 2 2
解:原式?lg(sinx?cosx)?lg(cosx?sinx)?lg(sinx?cosx)2?0. 92.(2010 浙江理数)在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a,b,c,已知 cos 2C ? ? (I) 求 sinC 的值; (Ⅱ)当 a=2, 2sinA=sinC 时,求 b 及 c 的长.

1 4

解: (Ⅰ)因为 cos2C=1-2sin2C= ?

1 10 ,及 0<C<π, 所以 sinC= . 4 4 a c 1 ? ,得 c=4,由 cos2C=2cos2C-1= ? , sin A sin C 4

(Ⅱ)当 a=2,2sinA=sinC 时,由正弦定理

及 0<C<π 得 cosC=±

6 ,由余弦定理 c2=a2+b2-2abcosC,得 b2± 6 b-12=0,解得: b= 6 或 2 6 4

所以

b= 6

b= 6

c=4 或 c=4 93.(2010 陕西文)在△ABC 中,已知 B=45° 是 BC 边上的一点,AD=10,AC=14,DC=6,求 AB 的长. ,D

1 AD 2 ? DC 2 ? AC 2 100 ? 36 ? 196 ?? , 解: 在△ADC 中,AD=10,AC=14,DC=6, ∴cos ? = 2 ?10 ? 6 2 2 AD?DC
, . ? ? ADC=120° ? ADB=60° 在△ABD 中,AD=10, ? B=45° ? ADB=60° , ,由正弦定理得

AB AD ? , sin ?ADB sin B

? AB=

AD ? ?ADB 10sin 60? sin ? ? sin B sin 45?

10 ? 2 2

3 2 ?5 6.

94.(2010 辽宁文数)在 ?ABC 中, a、b、c 分别为内角 A、B、C 的对边, 且 2a sin A ? (2b ? c)sin B ? (2c ? b)sin C (Ⅰ)求 A 的大小; (Ⅱ)若 sin B ? sin C ? 1 ,试判断 ?ABC 的形状.
2 2 2

2 解: (Ⅰ)由已知,根据正弦定理得 2a ? (2b ? c)b ? (2c ? b)c ,即 a ? b ? c ? bc ,由余弦定理得

1 a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A ,故 cos A ? ? , A ? 120 ? 2
2 2 2 (Ⅱ)由(Ⅰ)得 sin A ? sin B ? sin C ? sin B sin C. 又 sin B ? sin C ? 1 ,得 sin B ? sin C ?

1 2

因为 0? ? B ? 90?,0? ? C ? 90? ,故 B ? C ,所以 ?ABC 是等腰的钝角三角形。 95.(2010 辽宁理数)在△ABC 中,a, b, c 分别为内角 A, B, C 的对边,且

2asin A ? (2a ? c)sin B ? (2c ? b)sin C.
36

(Ⅰ)求 A 的大小;

(Ⅱ)求 sin B ? sin C 的最大值.
2 2 2

解: (Ⅰ)由已知,根据正弦定理得 2a2 ? (2b ? c)b ? (2c ? b)c , 即 a ? b ? c ? bc .由余弦定理得

1 a2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos A ,故 cos A ? ? ,A=120°. 2
(Ⅱ)由(Ⅰ)得: sin B ? sin C ? sin B ? sin(600 ? B) ? 故当 B=30° 时,sinB+sinC 取得最大值 1。
2

3 1 cos B ? sin B ? sin(600 ? B) . 2 2 ? ?

96.(2010 江西理数)已知函数 f ? x ? ? ?1 ? cot x ? sin x ? m sin ? x ? (1) 当 m=0 时,求 f ? x ? 在区间 ? , ? 上的取值范围; 8 4

??

?? ? ? sin ? x ? ? . 4? ? 4?

? ? 3? ? ? ?

3 ,求 m 的值。 5 cos x 1 ? cos 2 x ? sin 2 x ) sin 2 x ? sin 2 x ? sin x cos x ? 解: (1)当 m=0 时, f ( x) ? (1 ? sin x 2
(2) 当 tan a ? 2 时, f ? a ? ?

1 ? ? 3? ? 2 ? [ 2 sin(2 x ? ) ? 1] ,由已知 x ? [ , ] ,得 2 x ? ?[? ,1] 2 4 8 4 4 2
从而得: f ( x ) 的值域为 [0, (2) f ( x) ? (1 ?

1? 2 ] 2

cos x ? ? 1 1 ) sin 2 x ? m sin( x ? ) sin( x ? ) f ( x) ? [sin 2 x ? (1 ? m) cos 2 x] ? sin x 4 4 2 2 2sin a cos a 2 tan a 4 3 ? ? , cos 2a ? ,代入上式,m=-2. 当 tan ? ? 2 ,得: sin 2a ? sin 2 a ? cos 2 a 1 ? tan 2 a 5 5 12 97.(2010 安徽文数) ?ABC 的面积是 30,内角 A, B, C 所对边长分别为 a, b, c , cos A ? . 13 ??? ??? ? ? (Ⅰ)求 AB?AC ; (Ⅱ)若 c ? b ? 1 ,求 a 的值。
解:由 cos A ?

12 1 12 2 5 ,得 sin A ? 1 ? ( ) ? .又 bc sin A ? 30 ,∴ bc ? 156 . 13 2 13 13 12 ? 144 . 13
2

(Ⅰ) AB ? AC ? bc cos A ? 156 ?

??? ???? ?

2 2 2 (Ⅱ) a ? b ? c ? 2bc cos A ? (c ? b) ? 2bc(1 ? cos A) ? 1 ? 2 ?156 ? (1 ?

12 ) ? 25 ,∴ a ? 5 . 13

98.(2010 北京文数)已知函数 f ( x) ? 2cos 2 x ? sin x
2

(Ⅰ)求 f ( ) 的值;

?

3

(Ⅱ)求 f ( x ) 的最大值和最小值

解: (Ⅰ) f ( ) ? 2 cos

?

3

2? ? 3 1 ? sin 2 = ?1 ? ? ? 3 3 4 4
2 2

(Ⅱ) f ( x) ? 2(2cos x ?1) ? (1 ? cos x) ? 3cos x ?1, x ? R . ∴ cos x?? ?1,1? ,∴当 cos x ? ?1 时
2

37

f ( x) 取最大值 2;当 cos x ? 0 时, f ( x) 去最小值-1。
99.(2010 北京理数)已知函数 f (x) ? 2cos 2 x ? sin x ? 4cos x 。
2

(Ⅰ)求 f ? ( ) 的值; 解: (I) f ( ) ? 2 cos

?

?

3

(Ⅱ)求 f (x) 的最大值和最小值。

3

2? ? ? 3 9 ? sin 2 ? 4 cos ? ?1 ? ? ? 3 3 3 4 4 2 3
2

2 (II) f ( x) ? 2(2cos2 x ?1) ? (1 ? cos2 x) ? 4cos x = 3cos x ? 4cos x ? 1 = 3(cos x ? ) ?

7 , 3

x ? R ,因为 cos x ? [?1,1] ,∴当 cos x ? ?1 时, f ( x) 取最大值 6;当 cos x ?

2 7 时, f ( x ) 取最小值 ? 3 3

100.(2010 四川理数) (Ⅰ)证明两角和的余弦公式 C? ?? : cos( ? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin? sin ? ; 由 C? ? ? 推导两角和的正弦公式 S? ?? : sin( ? ? ? ) ? sin? cos ? ? cos ? sin ? . (Ⅱ)已知△ABC 的面积 S ?

? 1 ??? ???? 3 , AB ? AC ? 3 ,且 cos B ? ,求 cosC. 5 2

解:(1)①如图,在执教坐标系 xOy 内做单位圆 O,并作出角 α、β 与-β, 使角 α 的始边为 Ox,交⊙O 于点 P1,终边交⊙O 于 P2;角 β 的始边为 OP2, 终边交⊙O 于 P3;角-β 的始边为 OP1,终边交⊙O 于 P4. 则 P1(1,0),P2(cosα,sinα). P3(cos(α+β),sin(α+β)),P4(cos(-β),sin(-β)).由 P1P3=P2P4 及两点间的距离公式,得 [cos(α+β)-1]2+sin2(α+β)=[cos(-β)-cosα]2+[sin(-β)-sinα] 展开并整理得: 2-2cos(α+β)=2-2(cosαcosβ-sinαsinβ),∴cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ. ②

? ? ? ? -α)=sinα,sin( -α)=cosα,sin(α+β)=cos[ -(α+β)]=cos[( -α)+(-β)] 2 2 2 2 ? ? =cos( -α)cos(-β)-sin( -α)sin(-β)=sinαcosβ+cosαsinβ. 2 2 1 1 (2) 由题意,设△ABC 的角 B、C 的对边分别为 b、c, 则 S= bcsinA= 2 2
由①易得 cos(

??? ???? ? ? 10 AB ? AC =bccosA=3>0,∴A∈(0, ),cosA=3sinA,又 sin2A+cos2A=1,∴sinA= , 2 10
cosA=

3 4 3 10 10 ,由题意,cosB= ,得 sinB= ,∴cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB= 5 5 10 10

故 cosC=cos[π-(A+B)]=-cos(A+B)=- 101.(2010 天津文数)在 ? ABC 中,

10 . 10

AC cos B ? 。 AB cos C 1 ?? ? ,求 sin ? 4B ? ? 的值。 3 3? ? sin B cosB = .于是 sinBcosC-cosBsinC=0, sin 即 (B-C) sin C cosC
38

(Ⅰ)证明: B=C;

(Ⅱ)若 cos A =-

证: (Ⅰ) 在△ABC 中, 由正弦定理及已知得

=0.因为 ?? ? B ? C ? ? ,从而 B-C=0.所以 B=C. (Ⅱ)由 A+B+C= ? 和(Ⅰ)得 A= ? -2B,故 cos2B=-cos( ? -2B)=-cosA= 于是 sin2B= 1 ? cos2 2B =

1 .又 0<2B< ? , 3

7 2 2 4 2 2 2 .从而 sin4B=2sin2Bcos2B= ,cos4B= cos 2 B ? sin 2 B ? ? . 9 3 9

所以 sin(4 B ?

?
3

) ? sin 4 B cos

?
3

? cos 4 B sin

?
3

?

4 2 ?7 3 18

102.(2010 天津理数)已知函数 f ( x) ? 2 3sin x cos x ? 2cos2 x ?1( x ? R) (Ⅰ)求函数 f ( x ) 的最小正周期及在区间 ? 0,

? ?? 上的最大值和最小值; ? 2? ?

(Ⅱ)若 f ( x0 ) ?

6 ?? ? ? , x0 ? ? , ? ,求 cos 2x0 的值。 5 ?4 2?

解: (1)由 f ( x) ? 2 3sin x cos x ? 2cos2 x ?1 ,得

f ( x) ? 3(2sin x cos x) ? (2 cos 2 x ? 1) ? 3 sin 2 x ? cos 2 x ? 2sin(2 x ? ) ,所以函数 f ( x) 的最小正周 6
期为 ? .因为 f ( x) ? 2sin ? 2 x ?

?

? ?

??

? ?? ?? ? ? ? 在区间 ?0, ? 上为增函数,在区间 ? , ? 上为减函数,又 6? ? 6? ?6 2?

?? ? f (0) ? 1, f ? ? ? 2, ?6?

?? ? ? ?? f ? ? ? ?1 ,所以函数 f ( x) 在区间 ?0, ? 上的最大值为 2,最小值为-1. ?2? ? 2? ? ?

(Ⅱ)由(1)可知 f ( x0 ) ? 2sin ? 2 x0 ?

??

6 ?? 3 ? ? ,又因为 f ( x0 ) ? 5 ,所以 sin ? 2 x0 ? ? ? 6? 5 6? ?

由 x0 ? ?

? ? 2? 7? ? ?? ?? 4 ?? ? ? ? ? , ? ,得 2 x0 ? ? ? , ? ,从而 cos ? 2 x0 ? ? ? ? 1 ? sin 2 ? 2 x0 ? ? ? ? 6 ? 3 6 ? 6? 6? 5 ?4 2? ? ?
?? ??

所以 cos 2 x0 ? cos ?? 2 x0 ?

?? ??

?? ? ? ? ? 3? 4 3 ? ? ? ? ? ? cos ? 2 x0 ? ? cos ? sin ? 2 x0 ? ? sin ? 6 ? 6? 6? 6 6? 6 10 ? ?

103.(2010 福建理数) 某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上

在小艇出发时 ,轮船位于港口 O 北偏西 30? 且与该港口相距 20 海里的 A 处,并以 30 海里/小时的航行
速度沿正东方向匀速行驶。假设该小船沿直线方向以 v 海里/小时的航行速度匀速行驶,经过 t 小时与轮船 相遇。 (1)若希望相遇时小艇的航行距离最小,则小艇航行速度的大小应为多少? (2)假设小艇的最高航行速度只能达到 30 海里/小时,试设计航行方案(即确定航行方向与航行速度 的大小) ,使得小艇能以最短时间与轮船相遇,并说明理由。

39

解:如图,由(1)得 OC ? 10 3,AC=10, 故OC AC 且对于线段 上任意点P 有OP ? OC > , AC , >AC , 而小艇的最高航行速度只能达到 30 海里/小时,故轮船与小艇不可能在 A、C(包含 C)的任意位置相遇, 设 ?COD=? (0? <? <90? ),则在Rt?COD中,CD ? 10 3 tan ? ,OD=

10 3 ,由于从出发到相遇, cos ?

轮船与小艇所需要的时间分别为 t ?

10 ? 10 3 tan? 10 3 10 ? 10 3 tan? 10 3 和t ? ,所以 ,解 ? 30 30 v cos ? v cos ?

得v?

15 3 3 ? ? , 从 而 30? ? ? < 90由于 ? ? 30 , 时, t an ?取得最小 ,又v ? 30,故 sin (? +30? ) ? ? sin (? +30 ) 2
2 3 10 ? 10 3 tan ? ? , 于是当 ? ? 30 时, ? 取得最小值, 且最小值为 。 此时, ?OAB 在 t 3 3 30

值, 且最小值为

? 中, OA ? OB ? AB ? 20 ,故可设计航行方案如下:航行方向为北偏东 30 ,航行速度为 30 海里/小时,

小艇能以最短时间与轮船相遇。 104.(2010 江苏卷)某兴趣小组测量电视塔 AE 的高度 H(单位:m),如示意图,垂直放置的标杆 BC 的 高度 h=4m,仰角∠ABE= ? ,∠ADE= ? 。 (1) 该小组已经测得一组 ? 、 ? 的值,tan ? =1.24,tan ? =1.20,请据此 算出 H 的值; (2) 该小组分析若干测得的数据后,认为适当调整标杆到电视塔的距离 d(单位:m) ? 与 ? 之差 ,使 较大,可以提高测量精确度。若电视塔的实际高度为 125m,试问 d 为多少时, ? - ? 最大? 解: (1)

H H H h ? tan ? ? AD ? ,同理: AB ? , BD ? 。 tan ? AD tan ? tan ?

AD—AB=DB,故得

H H h h tan ? 4 ?1.24 ? ? ? ? 124 。因此,算出的 ,解得: H ? tan ? tan ? tan ? tan ? ? tan ? 1.24 ? 1.20

电视塔的高度 H 是 124m。

H H h H ?h , tan ? ? ? ? , d AD DB d H H ?h ? tan ? ? tan ? hd h d tan(? ? ? ) ? ? d ? 2 ? 1 ? tan ? ? tan ? 1 ? H ? H ? h d ? H ( H ? h) d ? H ( H ? h) d d d H ( H ? h) d? ? 2 H ( H ? h) , (当且仅当 d ? H (H ? h) ? 125 ?121 ? 55 5 时,取等号) d
(2)由题设知 d ? AB ,得 tan ? ?

40

故当 d ? 55 5 时,tan(? ? ? ) 最大。 因为 0 ? ? ? ? ? 最大。故所求的 d 是 55 5 m。

?
2

, 0 ?? ?? ? 则

?
2

, 所以当 d ? 55 5 时, - ? ?

105.(2010 江苏卷)已知△ABC 的三边长都是有理数。 (1) 求证 cosA 是有理数; (2)求证:对任意正整数 n,cosnA 是有理数。

解: (1)设三边长分别为 a , b, c , cos A ?

b2 ? c2 ? a 2 ,∵ a , b, c 是有理数, b 2 ? c 2 ? a 2 是有理数,分 2bc b2 ? c2 ? a 2 必为有理数,∴cosA 是有理数。 2bc

母 2bc 为正有理数,又有理数集对于除法的具有封闭性,∴

(2)①当 n ? 1 时,显然 cosA 是有理数;当 n ? 2 时,∵ cos 2 A ? 2cos 2 A ? 1 ,因为 cosA 是有理数, ∴ cos 2 A 也是有理数; ② 假设当 n ? k (k ? 2) 时,结论成立,即 coskA、 cos(k ? 1) A 均是有理数。 当 n ? k ? 1 时, cos(k ? 1) A ? cos kA cos A ? sin kA sin A ,

1 cos(k ? 1) A ? cos kAcos A ? [cos(kA ? A) ? cos(kA ? A)] , 2 1 1 cos(k ? 1) A ? cos kAcos A ? cos(k ?1) A ? cos(k ? 1) A ,解得: cos(k ? 1) A ? 2cos kA cos A ? cos(k ? 1) A 2 2 ∵cosA, cos kA , cos(k ? 1) A 均是有理数,∴ 2cos kA cos A ? cos(k ? 1) A 是有理数,∴ cos(k ? 1) A 是有理
数。即当 n ? k ? 1 时,结论成立。 综上所述,对于任意正整数 n,cosnA 是有理数。 方法二: (1)由 AB、BC、AC 为有理数及余弦定理知 cos A ? (2)用数学归纳法证明 cosnA 和 sin A ? sin nA 都是有理数。
2 ① 当 n ? 1 时,由(1)知 cos A 是有理数,从而有 sin A ? sin A ? 1 ? cos A 也是有理数。

AB 2 ? AC 2 ? BC 2 是有理数。 2 AB ? AC

② 假设当 n ? k (k ? 1) 时, cos kA 和 sin A ? sin kA 都是有理数。当 n ? k ? 1 时, 由 cos(k ? 1) A ? cos A ? cos kA ? sin A ? sin kA ,

sin A ? sin(k ? 1) A ? sin A ? (sin A ? cos kA ? cos A ? sin kA) ? (sin A ? sin A) ? cos kA ? (sin A ? sin kA) ? cos A ,
及①和归纳假设,知 cos(k ? 1) A 和 sin A ? sin(k ? 1) A 都是有理数。即当 n ? k ? 1 时,结论成立。 综合①、②可知,对任意正整数 n,cosnA 是有理数。 106.(2010 江苏卷)在平面直角坐标系 xOy 中,点 A(-1,-2)、B(2,3)、C(-2,-1)。 (1) 求以线段 AB、AC 为邻边的平行四边形两条对角线的长; (2) 设实数 t 满足( AB ? t OC )· OC =0,求 t 的值。 解: (1)由题设知 AB ? (3,5), AC ? (?1,1) ,则 AB ? AC ? (2,6), AB ? AC ? (4, 4). 所以 | AB ? AC |? 2 10,| AB ? AC |? 4 2. 故所求的两条对角线的长分别为 4 2 、 2 10 。
41

??? ?

??? ?

??? ??? ? ?

??? ??? ? ?

??? ??? ? ?

??? ??? ? ?

方法二: 设该平行四边形的第四个顶点为 D,两条对角线的交点为 E,则 E 为 B、C 的中点, E(0,1),又 E(0,1)为 A、D 的中点,所以 D(1,4),故所求的两条对角线的长分别为 BC= 4 2 、 AD= 2 10 ; ( 2 ) 由 题 设 知 : OC =( - 2, - 1) , AB ? tOC ? (3 ? 2t ,5 ? t ) 。 由 ( AB ? t OC )· OC =0 , 得 :

??? ?

??? ?

??? ?

(3 ? 2t ,5 ? t ) ? (?2, ?1) ? 0 ,从而 5t ? ?11, 所以 t ? ?

11 。 5
5

??? ??? ? ? ??? ??? ? ? ??? 2 ??? ? ? AB ? OC 或者: AB· OC ? tOC , AB ? (3,5), t ? ???? ? ? 11 . | OC |2

42


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