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【数学】2.1《空间点,直线,平面之间的位置关系--平面》课件(新人教A版必修2)


2.1.1 平面

空间点、直线、平面的位置关系

观察长方体,你能发现长方体的顶点,棱 所在的直线,以及侧面、底面之间的位置关系 吗? D? 长方体由上下、前后、
C?
A?

B?

左右六个面围成. 有些面是平行的,有些 面是相交的;有些棱所在直 线与面平行,有些棱所在直

线与面相交,每条棱所在的 直线都可以看成是某个平面 内的直线,等等.

D

C
A B

实例引入
观察教室里的桌面、黑板面,它们呈现出怎样的 形象?

实例引入
观察活动室里的地面,它呈现出怎样的形象?

实例引入
观察海面,它又呈现出怎样的形象?

引入新课
生活中的一些物体通常呈平面形,课桌面、 黑板面、海面都给我们以平面的形象.你还能 从生活中举出类似平面形的物体吗? 几何里所说的“平面”(plane)就是从这 样的一些物体中抽象出来的,但是,几何里的 平面是无限延展的.

1、平面的概念
桌面

黑板面 平静的水面

平面的形象

几何里的平面是无限延展的.

2.平面的画法
请你从适当的角度和距离观察教室里的桌 面、黑板面或门的表面,它们呈现出怎样的形 象?

2.平面的画法
我们常常把水平的平面画成一个平行四边 形,用平行四边形表示平面. 平行四边形的锐角通常画成45°,且横边 长等于其邻边长的2倍.
D A B C

2.平面的画法
为了增强立体感,常常把被遮挡部分用虚 线画出来.
D A E F B

C

被遮挡部分 用虚线表示

一、平面的表示方法
1、平面是无限延展的
(但常用平面的一部分表示平面) 2、画法:常用平行四边形 D

?

C
B

?
3、记法:

A

①平面α 、平面β 、平面γ (标记在角上)
②平面ABCD

③平面AC 或平面BD

注意:
1、平面的两个特征:
①无限延展 ②平的(没有厚度)

2、一条直线把平面分成两部分.

一个平面把空间分成两部分.

二、点、线、面的基本位置关系
(1)符号表示: 点A、线a、面α (2)集合关系: A? a, A ? ? , a ? ? ,
图形 符号语言 文字语言(读法)

A
A

a
a

A? a A? a A ??

点在直线上 点不在直线上 点在平面内 点不在平面内 直线a、b交于点A

? A
?
A

A

A ??
b a

a ?b ? A

图形

符号语言

?
?

a
a

a ??

文字语言(读法)

a ?? ? ?

?

a

A

a ?? ? A
? ?? ?l

直线a在平面 ? 内 直线a与平面 ? 无公共点 直线a与平面 ? 交于点 平面 与 ? 相交于直线 l

?

3.平面的表示
常把希腊字母α、β、γ等写在代表平面的平行四边 形的一个角上,如平面α、平面β等;也可以用代表平 面的四边形的四个顶点,或者相对的两个顶点的大写 英文字母作为这个平面的名称. D A

?

C B A

D

?
E

F B

C

?

记作:平面 ? 平面ABCD 平面AC或平面BD

记作:平面 ? 平面 ?

4.点与平面的位置关系
平面内有无数个点,平面可以看成点的集合.点 在平面内和点在平面外都可以用元素与集合的属于、 不属于关系来表示. B

?

A

点A在平面 ? 内, 记作 A ? ? . 读作 记作 B ? ? . 点B在平面 ? 外, 读作

例1.将下列符号语言转化为图形语言: A (1) ? ? , B ? ? , A ? l , B ? l

a (2) ? ? ,

b ? ? , ? ?? ?c , a // c , b ? c ? p

说明:画图的顺序:先画大件(平面),再画 小件(点、线)

例2. 将下列文字语言转化为符号语言:

? (1)点A在平面 内,但不在平面? 内
(2)直线a经过平面? 外一点M

(3)直线 l 在平面? 内,又在平面 ? 内 (即平面和平面相交于直线)

练习
1、判断下列各题的说法正确与否,在正

确的说法的题号后打

,否则打

:
( )

1、一个平面长 4 米,宽 2 米;

2、平面有边界;
3、一个平面的面积是 25 cm 2; 4、菱形的面积是 4 cm 2;

(
( (

)
) ) )

5、一个平面可以把空间分成两部分. (

练习
2、图中平面α与平面β是否为同一平面? β 不是 α 不是 α β α

β



练习
3、观察下面两个图形,用模型来说明它

们的位置有什么不同.

如果直线 l 与平面α有一个公共点,直线 是否在 l l 平面α内?如果直线 与平面α有两个公共点呢?

平面公理

如果直线 l 与平面α有一个公共点P,直线 l 是否在 平面α内?

平面公理
如果直线 l 与平面α有两个公共点,直线 l 是否 在平面α内? 实际生活中,我们有这样的经验:把一根直尺边 缘上的任意两点放到桌面上,可以看到,直尺的整个 边缘就落在了桌面上.

平面公理
公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内, 那么这条直线在此平面内. l B
在生产、生活中, 人们经过长期观察与实 践,总结出关于平面的 一些基本性质,我们把 它作为公理.这些公理 是进一步推理的基础.

?

A

A ? l , B ? l , A ?? , B ?? ? l ? ?
作用: 判定直线是否在平面内.

图形、文字、符号
l l

A A
点A在直线l上.
A?l

点A在直线l外.
A?l

l A

?

?

A

l B

直线l在平面 ? 外.
l ??

直线l在平面 ? 内. 平面 ? 经过直线l. l ??

平面公理
生活中经常看到用三角架支撑照相 机.

平面公理
测量员用三角架支撑测量用的平板 仪.

平面公理
存在性 公理2 平面. 过不在一条直线上的三点,有且只有一个 唯一性
B

?

A

C

不再一条直线上的三个点A、B、C所确定的平面, 可以记成“平面ABC”. 作用: 确定平面的主要依据.

公理2
经过不在同一条直线上的三点,有且只有 一个平面。 B C A

A, B, C不共线 ? A, B, C确定一平面
王新敞
奎屯 新疆

三条推论: 1.经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平面 2.经过两条相交直线,有且只有一个平面 3.经过两条平行直线,有且只有一个平面

平面公理

把三角板的一个角立在课桌面上,三角板所在平 面与桌面所在平面是否只相交于一点B?为什么?

?

B

平面公理

把三角板的一个角立在课桌面上,三角板所在平 面与桌面所在平面是否只相交于一点B?为什么?

?

B

平面公理

观察长方体,你能发现长方体的两个相交 平面有没有公共直线吗?
D?
A?

C?
B?

D

C
A B

这条公共直线B’C’叫做这两 个平面A’B’C’D’和平面BB’C’C的 交线. 另一方面,相邻两个平面有 一个公共点,如平面A’B’C’D’和 平面BB’C’C有一个公共点B’,经 过点B有且只有一条过该点的公 共直线B’C’.

平面公理
公理3 如果两个不重合的平面有一个公共点, 那么它们有且只有一条过该点的公共直线.

P ?? ? ? ? ? ? ? ? l, 且P ? l
?
作用: ①判断两个平面相交的依据. ②判断点在直线上.

?
l

P

5、平面的基本性质
公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内, 那么这条直线在此平面内. 公理2:过不在一条直线上的三点, 有且只有一个平面. 公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点,

那么它们有且只有一条过该点的公共直线.

文字语言 公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内, 那么这条直线在此平面内.
由点、线、面的关系有 直线 l 在平面α内表示为 直线m不在平面m内表示为 l ? ? m

l ??

图形语言

?

A

.·l · .·
B

错误

符号语言

A?l ? B ?l ? ? ??l ?? A ?? ? B ?? ? ?

作用:用来 判断直线是 否在平面内

文字语言 公理2:过不在一条直线上的三点, 有且只有一个平面.

图形语言

α

· A

· B

· C

作用:一确定
符号语言

平面二用来证明 点,线共面

文字语言

公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点,
那么它们有且只有一条过该点的公共直线.
β

图形语言
α

P ·

l

符号语言

?? ? ? ? l p ?? ? ? ? ? ? p ?l

判定两个平 面是否相交 二是判断点 在线上.(点 是两个面公 共点,线是两 面公共线则 点在线上)

练习6.(1)在平面? 内有A,O,B三点,在平面β
内有B,O,C三点,试画出它们的图形

C O B ?

A

?

(2)已知A、B、C三点都是平面α 与平面β 的公 共点,且α 与β 是两个不同的平面;

(3)两个平面的公共点的个数可能有 (
A.0 B.1 C.2

)

D.0或无数 )

(4)三个平面两两相交,则它们交线的条数 ( A.最多4条最少3条 C.最多3条最少2条 B.最多3条最少1条 D.最多2条最少1条

(5)已知空间四点中,无三点共线,则可确定 A.一个平面 B.四个平面 C.一个或四个平面 D.无法确定平面的个数

把三角板的一个角立在课桌面上,三角板所在平面 与桌面所在平面是否只相交于一点?为什么?

典型例题
例1 如图,用符号表示下列图形中点、直线、平 面之间的位置关系.

?

a

?
A l

?
a l b P (2)

B

?

(1)

解:在(1)中, ? ? ? ? l , a ? ? ? A, a ? ? ? B.

在(2)中, ? ? ? ? l , a ? ? , b ? ? , a ? l ? P, b ? l ? P.

随堂练习
在正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中,判断下列命题是否 正确,并说明理由:

①直线 AC1在平面 CC1B1B 内;错误
C

B A

D

C1 D1 A1

B1

随堂练习
在正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中,判断下列命题是否 正确,并说明理由:
O1 ②设正方形ABCD与 A1B1C1D1 的中心分别为O, AA1C1 BB1D1D 则平面 与平面C 的交线为 ; OO1
C



B
O

D

正确

A

C1 D1 O1 A1

B1

随堂练习
在正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中,判断下列命题是否 正确,并说明理由: ③由点A,O,C可以确定一个平面; 错误
C

B
O

D

A

C1 D1 A1

B1

随堂练习
在正方体 ABCD ? A1B1C1D1中,判断下列命题是否正 确,并说明理由: ④由 A, C1 , B1 确定的平面是 ADC1B1 ; 正确 ⑤由 A, C1 , B1 确定的平面与由 A, C1 , D 确定的平面 是同一个平面. 正确
C

B A

D

C1 D1 A1

B1

练习
①为什么有的自行车后轮旁只安装一只撑脚? ②三角形、梯形是否一定是平面图形?为什么? ③四条线段顺次首尾连接,所得的图形一定是平面图形吗? 为什么? ④用符号表示下列语句,并画出图形: ⑴点A在平面α内,点B在平面α外; ⑵直线 l 在平面α内,直线m不在平面α内;

l ⑶平面α和β相交于直线 ;
⑷直线 l 经过平面α外一点P和平面α内一点Q ;
⑸直线 l 是平面α和β的交线,直线m在平面α内,

和m相交于点P.

课堂练习:课本P44 练习1、2、3、4 补练: 1、下列命题中,正确的命题是( )
①有三个公共点的两个平面重合

②梯形的四个顶点在同一个平面内
③三条互相平行的直线必共面

④ 四条线段顺次首尾连接,构成平面图形

2、下列命题正确的是 (



A、两条直线可以确定一个平面 B、一条直线和一个点可以确定一个平面

C、空间不同的三点可以确定一个平面
D、两条相交直线可以确定一个平面

3、在空间中,下列命题错误的是( )
A、圆上三点可以确定一个平面

B、圆心和圆上两点可确定一个平面
C、四条平行直线不能确定五个平面

D、空间四点中,若四点不共面,则任意三点不共线

4、若给定空间三条直线共面的条件,这四个条

件中不正确的是( )
①三条直线两两相交 ③三条直线中有两条平行 ② 三条直线两两平行 ④三条直线共点

5、根据下列条件画出图形:平面α∩平面β=AB 直线a∈α,直线b∈β,a∥AB,b∥AB 6、如图、A∈α,直线AB和AC不在α内,画出AB和 AC所确定的平面β,并画出直线BC和平面α的交 点.
B C

α

A

小结
1.平面的概念; 2.平面的画法、表示方法及两个平面相交的画 法; 3.点、直线、平面间基本关系的文字语言,图 形语言和符号语言之间关系的转换
A ?? ? 4.三条公理 公理1. ? ? AB ? ? B ?? ?

王新敞
奎屯

新疆

公理2. A, B, C不共线 ? A, B, C确定一平面

公理3.P ?? , P ? ? , ? ? ? ? l ? P ? l

思考:
①一条直线与一个平面会有几种位置关系 ②如图所示,两个平面?、?,若相交于一点, 则会发生什么现象.
? ?

知识小结

实例引 入平面

平面的画 法和表示

点和平面的 位置关系

平面三 个公理

空间图形

文字叙述

符号表示

作业:1.P56 1.
2.画画以下四图,看得见的部分用实线描出.

(1)

(2)

(3)

(4)


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