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2015-2016学年高中数学 第二章 圆锥曲线与方程本章小结 新人教A版选修2-1


【金版学案】 2015-2016 学年高中数学 第二章 圆锥曲线与方程本章 小结 新人教 A 版选修 2-1

知识点一 圆锥曲线的轨迹问题 求轨迹方程的几种常用方法: (1)直接法:建立适当的坐标系,设动点为(x,y),根据几何条件直接寻求 x、y 之间的 关系式. (2)代入法:利用所求曲线上的动点与某一已知曲线上的动点的关系,把所求动点转换 为已知动点.具体地说,就是用所求动点的坐标 x、y 来表示已知动点的坐标并代入已知动 点满足的曲线的方程,由此即可求得所求动点坐标 x、y 之间的关系式. (3)定义法:如果所给几何条件正好符合圆、椭圆、双曲线、抛物线等曲线的定义,则 可直接利用这些已知曲线的方程写出动点的轨迹方程. 例 1 已知椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的离心率为 径的圆与直线 y=x+2 相切. (1)求 a 与 b; (2)设该椭圆的左、右焦点分别为 F1 和 F2,直线 l1 过 F2 且与 x 轴垂直,动直线 l2 与 y 轴垂直,l2 交 l1 于点 P.求线段 PF1 的垂直平分线与 l2 的交点 M 的轨迹方程,并指明曲线类 型. 解析:(1)由 e= =

x2 y2 a b

3 ,以原点为圆心、椭圆短半轴长为半 3

c a

1- 2=

b2 a

3 b 6 ,得 = . 3 a 3

又由原点到直线 y=x+2 的距离等于圆的半径,得 b= 2,a= 3. (2)方法一 由 c= a -b =1 得 F1(-1,0),F2(1,0). 设 M(x,y),则 P(1,y). 由|MF1|=|MP|,得(x+1) +y =(x-1) , 整理得:y =-4x.此轨迹是抛物线. 方法二 因为点 M 在线段 PF1 的垂直平分线上, 所以|MF1|=|MP|, 即 M 到 F1 的距离等于
2 2 2 2 2 2

M 到 l1 的距离.
此轨迹是以 F1(-1,0)为焦点,l1:x=1 为准线的抛物线,轨迹方程为 y =-4x. 知识点二 圆锥曲线的定义、标 准方程、几何性质 椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程及几何性质是圆锥曲线的 重点内容,是历年
1
2

高考的重点.重在考查基础知识、基本思想方法,例如数形结合思想和方程思想等.因此, 学习中要能够利用数形结合思想熟练掌握圆锥曲线的定义、标准方程和几何性质. 例 2 点 P 是双曲线 2- 2=1(a>0, b>0)和圆 x +y =a +b 的一个交点, 且 2∠PF1F2 =∠PF2F1,其中 F1 和 F2 是双曲线的两个焦点,则双曲线的离心率为________. 解析:由圆 x +y =a +b ,得 x +y =c ,因此圆过焦点 F1 和 F2, 所以∠F1PF2=90°.又 2∠PF1F2=∠PF2F1, 因此∠PF1F2=30°,∠PF2F1=60°. 于是|PF2|=c,|PF1|= 3c, 由双曲线的定义,有 3c-c=2a, 所以 e= = 答案: 3+1 例 3 设椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1、F2,A 是椭圆上的一点,AF2 1 ⊥F1F2,原点 O 到直线 AF1 的距离为 |OF1|.试证明:a= 2b. 3 证明:由题设 AF2⊥F1F2 及 F1(-c,0),F2(c,0), 不妨设点 A(c,y),其中 y>0. 由于点 A 在椭圆上,有 2+ 2=1. 即
2 2 2 2 2 2 2

x2 y2 a b

2

2

2

2

c a

2 3-1

= 3+1.

x2 y2 a b

c2 y2 a b

a2-b2 y2 + 2=1. a2 b

b2? b2 ? 解得 y= ,从而得 A?c, ?. a ? a? b2 直线 AF1 的方程为 y= (x+c),整理得 2ac b2x-2acy+b2c=0.
1 由题设,原点 O 到直线 AF1 的距离为 |OF1|, 3 即 = 4 . 3 b +4a2c2 将 c =a -b 代入上式并化简得 a =2b , 即 a= 2b. 知识点三 直线与圆锥曲线的位置关系 1.直线与圆锥曲线的位置关系,涉及函数、方程、不等式、平面几何等诸多方面的知
2 2 2 2 2

c

b2c

2

识,形成了求轨迹、最值、对称、取值范围、线段的长度等多种问题,是解析几何部分综合 性最强的问题,也是以往高考的重点和热点问题. 2. 这部分内容考查的重点在直线与椭圆、 抛物线的位置关系和应用数形结合思想解题, 降低了对双曲线的考查要求.在今后的高考中,本部分内容仍将成为新高考的重点和热点. 例 4 已知某椭圆的焦点是 F1(-4,0)、F2(4,0),过点 F2 并垂直于 x 轴的直线与椭 圆的一个交点为 B,且|F1B|+|F2B|=10,椭圆上不同的两点 A( x1,y1),C(x2,y2)满足条件:

A、B、C 的横坐标成等差数列.
(1)求该椭圆的方程; (2)设弦 AC 的垂直平分线的方程为 y=kx+m,求 m 的取值范围. 解析:(1)由椭圆定义及条件,知 2a=|F1B|+|F2B|=10,得 a=5. 又 c=4,所以 b= a -c =3. 故椭圆方程为 + =1. 25 9 (2)由题意知 B 点的横坐标为 4,设 AC 的中点坐标为 P(x0,y0),则 x0= 再由 A(x1,y1),C(x2,y2)在椭圆,得
? ?9x1+25y1=9?25, ? 2 2 ?9x2+25y2=9?25. ② ?
2 2 2 2

x2

y2

x1+x2
2

=4.


2 2

①-②,得 9(x1-x2)+25(y1-y2)=0, 即 9?( 将

2

2

x1+x2
2

)+25(

y1+y2
2 2

)?(

y1-y2 )=0(x1≠x2). x1-x2

x1+x2
2

=x0=4,

y1+y2

=y0,

y1-y2 1 =- (k≠0), x1-x2 k

? 1? 代入上式,得 9?4+25y0?- ?=0(k≠0), ? k?
25 即 k= y0(当 k=0 时也成立). 36 由点 P(4,y0)在弦 AC 的垂直平分线上,得 y0=4k+m, 25 16 所以 m=y0-4k=y0- y0=- y0. 9 9 由点 P(4,y0)在线段 BB′(B′与 B 关于 x 轴对称)的内部, 9 9 16 16 得- <y0< ,所以- <m< . 5 5 5 5 知识点四 圆锥曲线中的最值(范围)问题 圆锥曲线 中的最值(范围)问题通常有两类:一类是有关长度、面积等的最值问题;一 类是圆锥曲线中有关几何元素的最值问题. 这两类问题的解决往往要通过回归定义, 结合几

3

何知识,建立目标函数,利用函数的性质或不等式知识,三角函数有界性,以及数形结合、 设参、转化代换等途径来解决.特别注意函数思想,观察分析图形特征,利用数形结合等思 想方法. 例 5 已知直线 l:mx-2y+2m=0(m∈R)和椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0),椭圆 C 的离心 率为 2 ,连接椭圆的四个顶点形成四边形的面积为 2 2. 2

x2 y2 a b

(1)求椭圆 C 的方程; (2)若直线 l 与椭圆 C 有两个不同交点,求实数 m 的取值范围; (3)当 m=2 时,设直线 l 与 y 轴的交点为 P,M 为椭圆 C 上的动点,求线段 PM 长度的最 大值. 解析:(1)由离心率 e= 2 2 ,得 b=c= a, 2 2

又因为 2ab=2 2,所以 a= 2,b=1, 即椭圆标准方程为 +y =1. 2

x2

2

m y= x+m, ? ? 2 m (2)由? 消 y 得:(1+ )x +2m x+2m -2=0. 2 x +y =1 ? ?2
2 2 2 2 2 2

所以Δ =4m -4(1+ )(2m -2)>0,可化为 m -2<0, 2 解得- 2<m< 2. (3)由 l:x-y+2=0,设 x=0,则 y=2,所以 P(0,2), 设 M(x,y)满足 +y =1, 2 则|PM| =x +(y-2) =2-2y +(y-2) =-y -4y+6=-(y+2) +10. 因为-1≤y≤1,所以当 y=-1 时,|MP|取得最大值 3. 知识点五 圆锥曲线中的定点、定值问题 圆锥曲线中的定点、定值问题往往与圆锥曲线中的“常数”有关,如椭圆的长、短轴, 双曲线的虚、实轴,抛物线的焦参数等.可通过直接计算而得到.另外还可用“特例法”和 “相关曲线系法”. 例 6 已知动点 M 到定点 F1(-2,0)和 F2(2,0)的距离之和为 4 2. (1)求动点 M 轨迹 C 的方程; (2)设 N(0,2),过点 P(-1,-2)作直线 l,交椭圆 C 异于 N 的 A,B 两点,直线 NA,
2 2 2 2 2 2 2

4

m2

2

2

x2

2

NB 的斜率分别为 k1,k2,证明:k1+k2 为定值.
4

(1)解析:由椭圆定义,可知点 M 的轨迹是以 F1、F2 为焦点,以 4 2为长轴长的椭圆. 由 c=2,a=2 2,得 b=2. 故曲线 C 的方程为 + =1. 8 4 (2)证明:当直线 l 的斜率存在时,设其方程为 y+2=k(x+1),

x2 y2

x y ? ? + =1, 2 2 2 由? 8 4 得(1+2k )x +4k(k-2)x+2k -8k=0. ? ?y+2=k(x+1)
4k(k-2) 2k -8k 设 A(x1,y1),B(x2,y2),x1+x2=- ,x1x2= 2 2 . 1+2k 1+2k 从而 k1+k2=
2

2

2

y1-2 y2-2 2kx1x2+(k-4)(x1+x2) 4k(k-2) + = =2k-(k-4) =4. 2 x1 x2 x1x2 2k -8k
14 14 ) ,B(-1,- ),得 k1+k2=4. 2 2

当直线 l 的斜率不存在时,得 A(-1, 综上,恒有 k1+k2=4.

例 7 已知椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的右焦点为 F(2,0),M 为椭圆的上顶点,O 为坐 标原点,且△MOF 是等腰直角三角形. (1)求椭圆的方程; (2)过点 M 分别作直线 MA,MB 交椭圆于 A,B 两点,设两直线的斜率分别为 k1,k2,且

x2 y2 a b

? ? k1+k2=8,证明:直线 AB 过定点?- ,-2?.
1 ? 2

?

分析:(1)根据几何性质求出 a,b,然后代入椭圆的标准方程.(2)以参数 k、m 表示直 线方程,代入椭圆方 程,设出 A,B 的坐标,利用韦达定理和 k1+k2=8 求出 m,k 的关系式, 建立直线 AB 的方程,证明直线过定点. (1)解析:由△MOF 是等腰直角三角形,得 c =b =4,所以 a =8,故椭圆方程为 + 8 4 =1. (2)证明:①若直线 AB 的斜率存在,设 AB 方程为 y=kx+m,依题意 m≠±2.
2 2 2

x2 y2

x y ? ? + =1, 设 A(x1,y1),B(x2,y2),由? 8 4 得 ? y = kx + m ?
(1+2k )x +4kmx+2m -8=0. 4km 2m - 8 则 x1+x2=- 2,x1x2= 2. 1+2k 1+2k 由已知 k1+k2=8,可得
2 2 2 2

2

2

y1-2 y2-2 + =8, x1 x2
5

所以

kx1+m-2 kx2+m-2 + =8, x1 x2 x1+x2 =8. x1x2

即 2k+(m-2) 所以 k-

mk 1 =4,整理得 m= k-2. m+2 2

1 ? 1? 故直线 AB 的方程为 y=kx+ k-2,即 y=k?x+ ?-2. 2 ? 2?

? 1 ? 所以直线 AB 过定点?- ,-2?. ? 2 ?
②若直线 AB 的斜率不存在,设 AB 方程为 x=x0,设 A(x0,y0),B(x0,-y0), 由已知

y0-2 -y0-2 1 1 ? 1 ? + =8,得 x0=- .此时 AB 方程为 x=- ,显然过点?- ,-2?. x0 x0 2 2 ? 2 ?

? 1 ? 综上,直线 AB 过定点?- ,-2?. ? 2 ?
规律方法:解析几何中证明直线过定点,一般是先选择一个参数建立直线系方程,然后 再根据直线系方程过定点时方程的成立与参数没有关系得到一个关于 x,y 的方程组,以这 个方程组的解为坐标的点就是直线所过的定点.

一、选择题

1.(2014?佛山一模)已知椭圆的两个焦点和短轴的两个端点恰好为一个正方形的四个 顶点,则该椭圆的离心率为( A. 1 3 1 B. 2 C. ) 3 3 D. 2 2
2 2 2

1.解析:依题意,椭圆的焦距和短轴长相等,即 b=c,所以 a -c =c ,得 e= 故选 D. 答案:D 2.以 - =-1 的焦点为顶点,顶点为焦点的椭圆方程为( 4 12 A. C. + =1 16 12 + =1 16 4

2 . 2

x2

y2

)

x2 x2

y2

B. + =1 12 16 D. + =1 4 16

x2

y2

y2

x2

y2

6

2. 解析: 方程可化为 - =1, 该方程对应的焦点为(0, ±4), 顶点为(0, ±2 3). 由 12 4 题意知椭圆方程可设为 2+ 2=1(a>b>0),则 a=4,c =a -b =12,∴b =a -12=16-12 =4.∴所求方程为 + =1. 4 16 答案:D 3.以双曲线 x -y =2 的右焦点为圆心,且与直线 x=1 相切的圆的方程是( A.x +y -4x-3=0 B.x +y -4x+3=0 C.x +y +4x-5=0 D.x +y +4x+5=0 3.B 4. (2014?大纲全国卷)已知双曲线 C 的离心率为 2, 焦点为 F1、 F2, 点 A 在 C 上, 若|F1A| =2|F2A|,则 cos ∠AF2F1=( A. 1 1 2 B. C. 4 3 4 D. 2 3 )
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

y2

x2

x2 y2 b a

2

2

2

2

2

x2

y2

)

4.解析:根据题意,|F1A|-|F2A|=2a,因为|F1A|=2|F2A|,所以|F2A|=2a,|F1A|= 4a.又因为双曲线的离心率 e= =2,所以 c=2a,|F1F2|=2c=4a,所以在△AF1F2 中,根据 余弦定理可得 cos∠AF2F1= 答案:A 5.连接抛物线 x =4y 的焦点 F 与点 M(1,0)所得的线段与抛物线交于点 A,设点 O 为 坐标原点,则三角形 OAM 的面积为( A.-1+ 2 C.1+ 2 5.B 6.(2014?山东卷)已知 a>b>0,椭圆 C1 的方程为 2+ 2=1,双曲线 C2 的方程为 2- 2= 1,C1 与 C2 的离心率之积为 3 ,则 C2 的渐近线方程为( 2 ) 3 B. - 2 2 D. 3 + 2 2 )
2

c a

|F1F2| +|F2A| -|F1A| 16a +4a -16a 1 = = . 2|F1F2|?|F2A| 2?4a?2a 4

2

2

2

2

2

2

x2 y2 a b

x2 y2 a b

A.x± 2y=0 B. 2x±y=0 C.x±2y=0 D.2x±y=0

6.解析:椭圆 C1 的离心率 e1=

a2-b2 a2+b2 ,双曲线 C2 的离心率 e2= .由 e1e2= a a

7

a2-b2 a2+b2 ? = a a

1-( ) ?

b a

2

1+( ) =

b a

2

3 b 2 1 b 2 ,解得( ) = ,所以 = ,所以双 2 a 2 a 2

曲线 C2 的渐近线方程是 y=± 答案:A

2 x.故选 A. 2

→ → 2 2 2 7.设 F1,F2 为双曲线 x -4y =4a (a>0)的两个焦点,点 P 在双曲线上,且满足PF1?PF2 → → =0,|PF1|?|PF2|=2,则 a 的值为( A.2 B. 5 2 C.1 D. 5 )

7.解析:双曲线为

x2 y2 → → 2- 2=1,∵PF1?PF2=0, 4a a

→ 2 → 2 → 2 2 2 ∴|PF1| +|PF2| =|F1F2| =4c =20a , → → 2 → → 2 即(|PF1|-|PF2|) +2|PF1|?|PF2|=20a , ∴16a +4=20a ,∴a =1,∵a>0,∴a=1. 答案:C 8.(2014?福建卷)设 P,Q 分别为 x +(y-6) =2 和椭圆 +y =1 上的点,则 P,Q 10 两点间的最大距离是( A.5 2 B. 46+ 2 D.6 2
2 2 2 2 2 2 2

x2

2

)

C.7+ 2

8. 解析: 设圆心为点 C, 则圆 x +(y-6) =2 的圆心为 C(0, 6), 半径 r= 2.设点 Q(x0,

x2 0 2 2 y0)是椭圆上任意一点,则 +y2 0=1,即 x0=10-10y0,
10 ∴|CQ|= 10-10y0+(y0-6) = -9y0-12y0+46= 2 当 y0=- 时,|CQ|有最大值 5 2, 3 则 P,Q 两点间的最大距离为 5 2+r=6 2.故选 D. 答案:D 二、填空题 9.已知椭圆 G 的中心在坐标原点,长轴在 x 轴上,离心率为 个焦点的距 离之和为 12,则椭圆 G 的方 程为________. 9.解析:e= 3 ,2a=12,a=6,b=3, 2
8
2 2 2

2 2 -9(y0+ ) +50, 3

3 ,且 G 上一点到 G 的两 2

则所求椭圆方程为 + =1. 36 9 答案: + =1 36 9 10.抛物线 x =2py(p>0)的焦点为 F,其准线与双曲线 - =1 相交于 A、B 两点,若 3 3 △ABF 为等边三角形,则 p=________.
2

x2

y2

x2

y2

x2 y2

x2 ? p ,-p? 10.解析:设点 B 为其准线与该双曲线右支的交点,由题意知 B? ,代入方程 2? 3 ? 3 ?
- =1 得 p=6. 3 答案:6 11.已知抛物线 C 的顶点为坐标原点 ,焦点在 x 轴上,直线 y=x 与抛物线 C 交于 A,B 两点.若 P(2,2)为 AB 的中点,则抛物线 C 的方程为________.
?y =2px, ? 11.解析:设抛物线的方程为 y =2px(p>0).联立方程组? 整理得 ?y=x ?
2 2

y2

x2-2px=

0.又∵直线与抛物线交于 A,B 两点,∴xA+xB=2p.又 程为 y =4x. 答案:y =4x
2 2

xA+xB
2

=2,∴2p=4,即抛物线 C 的方

12.过椭圆 2+ 2=1(0<b<a)中心的直线与椭圆交于 A、B 两点,右焦点为 F2(c,0), 则△ABF2 的最大面积是____ ____. 1 1 12.解析:S△ABF2=S△OAF2+S△OBF2= c?|y1|+ c?|y2|(y1、y2 分别为 A、B 两点的 2 2 纵坐标), 1 1 ∴S△ABF2= c|y1-y2|≤ c?2b=bc. 2 2 答案:bc 三、解答题 13. 椭圆的中心在原点, 焦点在坐标轴上, 焦距为 2 13.一双曲线和该椭圆有公共焦点, 且双曲线的实半轴长比椭圆的长半轴长小 4, 双曲线离心率与椭圆离心率之比为 7∶3, 求椭 圆和双曲线的方程.

x2 y2 a b

x2 y2 13.解析:①焦点在 x 轴上,椭圆为 2+ 2=1(a>b>0),且 c= 13. a b
设双曲线为 2- 2=1(m>0,n>0),m=a-4.

x2 y2 m n

9

因为

e双 7 a 7 = ,所以 = ,解得 a=7,m=3. e椭 3 m 3

因为椭圆和双曲线的焦半距为 13, 所以 b =36,n =4. 所以椭圆方程为 + =1, 49 36 双曲线方程为 - =1. 9 4 ②焦点在 y 轴上,椭圆方程为 + =1, 36 49 双曲线方程为 - =1. 9 4 14.已知抛物线方程为 y =2x,在 y 轴上截距为 2 的直线 l 与抛物线交于 M、N 两点,O 为坐标原点.若 OM⊥ON,求直线 l 的方程. 14.解析:设直线 l 的方程为 y=kx+2, 由?
?y =2x, ?
2 2 2 2

x2

y2

x2 y2

x2

y2

y2 x2

? ?y=kx+2

消去 x 得 ky -2y+4=0.

2

因为直线 l 与抛物线相交,
? ?k≠0, 1 所以? ? k< 且 k≠0. 4 ?Δ =4-16k>0 ?

4 设 M(x1,y1),N(x2,y2),则 y1y2= ,

k

y y 4 从而 x1x2= ? = 2. 2 2 k
因为 OM⊥ON,所以 x1x2+y1y2=0, 4 4 即 2+ =0,解得 k=-1 符合题意,

2 1

2 2

k

k

所以直线 l 的方程为 y=-x+2. 15.过抛物线 y =2px(p>0)上一定点 P(x0,y0)(y0≠0)分别作斜率为-k 和 k 的直线 l1、
2

l2,设 l1、l2 与抛物线 y2=2px 交于 A、B 两点,证明直线 AB 的斜率为定值.
15.证明:设 A(x1,y1),B(x2,y2), 由?
?y =2px, ?
2

? ?y-y0=k(x-x0)

消去 x 得

2p 2py0 y2- y+ -2px0=0, k k 2p 2p 由韦达定理得 y0+y1= ,所以 y1= -y0.①

k

k

10

2p 2p 同理 y0+y2=- ,所以 y2=- -y0.②

k

k

由①、②得 y1+y2=-2y0, 所以 kAB=

y2-y1 y2-y1 2p p = 2 = =- , x2-x1 y2 y2 y + y y 1 1 2 0 - 2p 2p

即直线 AB 的斜率为定值.

x y 1 16.已知椭圆 C1: 2+ 2=1(a>b>0)的长轴长为 4,离心率为 ,F1,F2 分别为其左、 a b 2
右焦点.一动圆过点 F2,且与直线 x=-1 相切. (1)①求椭圆 C1 的方程;②求动圆圆心轨迹 C 的方程; → → → → → → (2)在曲线 C 上有四个不同的点 M,N,P,Q 满足MF2与NF2共线,PF2与QF2共线,且PF2?MF2 = 0,求四边形 PMQN 面积的最小值.

2

2

2a=4, ? ? ? ?a=2, 2 2 2 16.解析:(1)①由已知可得?c 1 所以? 于是 b =a -c =3,所以所求椭圆方 ?c=1. = , ? ? ?a 2 程 C1: + =1. 4 3 ②根据已知条件和抛物线定义知动圆圆心的轨迹为抛物线, 且抛物线 C 的焦点为(1, 0), 准线方程为 x=-1,所以动圆圆心轨迹方程为 C:y =4x. (2)由题设知直线 MN,PQ 的斜率均不为零,设直线 MN 的斜率为 k(k≠0),M(x1,y1),
2

x2 y2

N(x2,y2),则直线 MN 的方程为 y=k(x-1),代入 y2=4x 中,消去 y,得 k2x2-(2k2+4)x
+k =0, 2k +4 4 由抛物线定义知|MN|=|MF2|+|NF2|=x1+1+x2+1= 2 +2= 2+4,
2 2

k

k

同理可得|PQ|=4+4k , 4? 1? 1 1? 2 ? 2 又 S 四边形 PMQN= |M N|?|PQ|= ?4+ 2?(4+4k )=8?2+k + 2?≥32, k? 2 2? k ? ? 当且仅当 k=±1 取等号. 所以四边形 PMQN 面积的最小值为 32.

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