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辽宁省锦州市2016-2017学年高一上学期期末考试数学试题Word版含答案.doc


辽宁省锦州市 2016-2017 学年度第一学期期末考试 高一数学
第Ⅰ卷(选择题 共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. 1.已知全集 U ? {0,1, 2,3,5,6,8} , 集合 A ? {1,5,8} ,B ? {2} , 则集合 (CU A) ? B ?( A. {0, 2,3,6} B. {0,3,6} C. {1, 2,5,8} D. ? ) )

2.点 A 在 Z 轴上,它到点 (2 2, 5,1) 的距离是 13 ,则点 A 的坐标是( A. (0, 0, ?1) B. (0,1,1) C. (0, 0,1) D. (0, 0,13) )

3.已知函数 f (lg x) 定义域是 [0.1,100] ,则函数 f ( ) 的定义域是( A. [?1, 2] B. [?2, 4] C. [0.1,100] D. [ ?

x 2

1 ,1] 2


4.已知直线 l1 : x ? 2 y ? 1 ? 0 与直线 l2 : mx ? y ? 0 平行,则实数 m 的取值为( A. ?

1 2

B.

1 2

C. 2

D. ? 2

2 2 2 2 5.若曲线 x ? y ? a x ? (1 ? a ) y ? 4 ? 0 关于直线 y ? x 对称的曲线仍是其本身, 则实数 a

为( A.

) B.

1 1 或? 2 2

2 2 或? 2 2

C.

1 2 或? 2 2


D. ?

1 2 或 2 2

6.在空间中,给出下面四个命题,则其中正确命题的个数为( ①过平面 ? 外的两点,有且只有一个平面与平面 ? 垂直;

②若平面 ? 内有不共线三点到平面 ? 的距离都相等,则 ? // ? ; ③若直线 l 与平面 ? 内的无数条直线垂直,则 l ? ? ; ④两条异面直线在同一平面内的射影一定是两条平行线. A.3 B.2 C. 1 D.0

7.用一个平行于棱锥底面的平面截这个棱锥,截得的棱台上、下底面面积比为 1:4,截去的 棱锥的高是 3 cm ,则棱台的高是( A.12 cm B.9 cm ) C.6 cm D.3 cm

8.若 f ( x) 和 g ( x) 都是奇函数,且 F ( x) ? af ( x) ? bg ( x) ? 2 在 (0, ??) 上有最大值 5,则

F ( x) 在 (??, 0) 上(
A.有最小值-5

) B.有最大值-5 C.有最小值-1 D.有最大值-1

9.如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗实线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的 各个面中,直角三角形的个数是( )

A.1

B.2

C. 3

D.4 )

10.已知函数 f ( x) ? 4x ? 2x?1 ? a 没有零点,则实数 a 的取值范围是( A. a ? ?1 B. a ? 0 C. a ? 0 D. a ? ?1

11.已知定义在 R 上的函数 f ( x) 满足: f ( x ? 1) ?

1 x ? (0,1] 时, f ( x) ? 2x 则 f ( x)

f (log2 9) 等于(
A.

) B.

16 25

9 8

C.

8 9

D.
2

25 16
2

12.在平面直角坐标系 xOy 中, 圆 C 的方程为 x ? y ? 8x ? 15 ? 0 若直线 y ? kx ? 2 上至少 存在一点,使得以该点为圆心,1 为半径的圆与圆 C 有公共点,则实数 k 的最大值为( A.0 B. )

4 3

C.

3 2

D.3

第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分) 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.) 13.经过点 P(3, ?1) ,且在 x 轴上的截距等于在 y 轴上的截距的 2 倍的直线 l 的方程 是 . .

14.已知 f ( x) ? log 2 (4 ? ax) 在区间 [?1,3] 上是增函数,则 a 的取值范围是

15.高为

2 的四棱锥 S ? ABCD 的底面是边长为 1 的正方形, 点 S , A, B, C , D 均在半径为 1 4


的同一球面上,则底面 ABCD 的中心与顶点 S 之间的距离为

16.定义 [ x ] 与 { x} 是对一切实数都有定义的函数, [ x ] 的值是不大于 x 的最大整数, { x} 的 值是 x ? [ x] ,则下列结论正确的是 . (填上正确结论的序号)

① [? x] ? ?[ x] ② [ x] ? [ y] ? [ x ? y] ③ {x} ? { y} ? {x ? y} ④ { x} 是周期函数 三、解答题 (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17.已知集合 A ? {x

x ?5 ? 0} , B ? {x x 2 ? 2 x ? m ? 0} . x ?1

(1)当 m ? 3 时,求 (CR B) ? A ; (2)若 A ? B ? {x | ?1 ? x ? 4} ,求实数 m 的值. 18.已知点 P(2, ?1) . (1)求过点 P 且与原点距离为 2 的直线方程; (2)求过点 P 且与原点距离最大的直线方程. 19. 如图, PA ? 平面 ABCD ,底面 ABCD 为矩形, AE ? PB 于 E , AF ? PC 于 F

(1)求证: PC ? 面 AEF ; (2)设平面 AEF 交 PD 于 G ,求证: AG ? PD . 20. 已知圆 M : x ? ( y ? 2) ? 1, Q 是 x 轴上的动点, QA, QB 分别切圆 M 于 A, B 两点.
2 2

(1)若 AB ?

4 2 ,求 MQ 及直线 MQ 的方程; 3

(2)求证:直线 AB 恒过定点.

21. 某渔场鱼群的最大养殖量为 m 吨,为保证鱼群的生长空间,实际的养殖量 x 要小于 m , 留出适当的空闲量,空闲量与最大养殖量的比值叫空闲率,已知鱼群的年增加量 y (吨)和 实际养殖量 x (吨)与空闲率的乘积成正比(设比例系数 k ? 0 ). (1)写出 y 与 x 的函数关系式,并指出定义域; (2)求鱼群年增长量的最大值; (3)当鱼群年增长量达到最大值时,求 k 的取值范围. 22. (本小题满分 12 分) 如图,三棱锥 P ? ABC 中,平面 PAC ? 平面 ABC , AB ? BC ,点 D, E 在线段 AC 上, 且 AD ? DE ? EC ? 2 , PD ? PC ? 4 ,点 F 在线段 AB 上,且 EF // 平面 PBC .

(1)证明: EF // BC (2)证明: AB ? 平面 PEF (3)若四棱锥 P ? DFBC 的体积为 7,求线段 BC 的长.

2016-2017 学年度第一学期期末考试 高一数学参考答案 一、选择题: 1-5.ACBAB 6.10.DDCBA 11-12.CB

二、填空题: 13 . x ? 2 y ? 1 ? 0 3 y ? x ? 0 三、解答题:

14( . - 4,0) 15 . 1

16 . ②③④

17 . (Ⅰ) A ? {x

x ?5 ? 0} = A ? ?x ? 1 ? x ? 5 ?当 m ? 3 B ? ?x ?1 ? x ? 3 ?, x ?1

(CR B) ? A ? ?x 3 ?x ? 5

?
2

(Ⅱ)若 A ? B ? {?1 ? x ? 4} ,则 4必为方程x ? 2 x ? m ? 0 的一个根,代入得 m ? 8

18 . (Ⅰ)当直线斜率不存在时,方程 x ? 2 适合题意.
当直线斜率存在时,设直线方程为 y ? 1 ? k ( x ? 2) ,即 kx ? y ? 2k ? 1 ? 0 , 则

2k ? 1 k 2 ?1

? 2 ,解得 k ?

3 . 4

∴直线方程为 3x ? 4 y ? 10 ? 0 . ∴所求直线方程为 x ? 2 或 3x ? 4 y ? 10 ? 0 . (Ⅱ)点 P 且与原点距离最大的直线方程应为过点 P 且与 OP 垂直的直线,

1 k OP ? ? ,则所求直线的斜率为 2 2 ∴直线方程为 2 x ? y ? 5 ? 0 .
19 . (Ⅰ)∵ PA ? 平面 ABCD , BC ? 面ABCD
∴ PA ? BC 又 AB ? BC PA ? AB ? A ∴ BC ? 平面PAB, AE ? 平面PAB ∴ AE ? BC, 又AE ? PB, PB ? BC ? B ∴ AE ? 平面PBC, PC ? 平面PBC ∴ AE ? PC

又∵ PC ? AF, AE ? AF ? A , ∴ PC ? 面 AEF .

(Ⅱ)设平面 AEF 交 PD 于 G , 由(Ⅰ)知 PC ? 面 AEF ∴ PC ? AG , 由(Ⅰ)同理 CD ? 平面PAD, AG ? 平面PAD ∴ CD ? AG, PC ? CD ? C ∴ AG ? 平面PCD, PD ? 平面PCD ∴ AG ? PD

20 . (Ⅰ)设直线 MQ ? AB ? P 则 AP ?

2 2 , 3
2

?2 2? 1 ? ? 又 AM ? 1 AP ? MQ, AM ? AQ 得 AP ? 1 - ? ? 3 ? 3 ? ?
∵ AM
2

? MQ MP ∴ MQ ? 3 设 Q?x,0?

而点 M ?0,2? 由 x 2 ? 22 ? 3得x ? ? 5 , 则 Q 5,0 或 - 5, 0

?

? ?

?

从而直线 MQ的方程为 2x ? 5 y ? 2 5 ? 0或 2x - 5 y ? 2 5 ? 0 . (Ⅱ)证明:设点 Q?q,0? ,由几何性质可以知道, A, B两点在以QM为直径的圆上,此 圆 的 方 程 为 x 2 ? y 2 ? qx ? 2 y ? 0 , AB为两圆的公共弦 , 两 圆 方 程 相 减 得

qx ? 2 y ? 3 ? 0 即 AB : y ?

q 3 ? 3? x ? 过定点? 0, ? 2 2 ? 2?
x x? ? 则 y ? kx ? ?1 ? ?, ?0 ? x ? m? m ? m?

21 . (Ⅰ)由题意知空闲率为 1 -

(Ⅱ) ∵ y ? -

k 2 k? m ? mk m mk x ? kx ? ? ? x ? ? ? , ?0 ? x ? m??当x ? 时,ymin ? m m? 2? 4 2 4
m km ? ? m 计算得出 ? 2 ? k ? 2 ,又∵ k ? 0 2 4

2

(Ⅲ)根据题意得:0 ? x ? y ? m ,即 0 ? ∴0 ? k ? 2

22 . (Ⅰ)证明: EF // 平面PBC . EF ? 平面ABC 平面PBC ? 平面ABC ? BC
所以根据线面平行的性质可知 EF // BC (Ⅱ)由 DE ? EC, PD ? PC 可知 E为等腰?PDC中DC 边的中点,故 PE ? AC

又平面PAC ? 平面ABC 平面PAC ? 平面ABC ? AC PE ? 平面PAC PE ? AC ? PE ? 平面ABC , AB ? 平面ABC ? PE ? AB ,又
? AB ? BC , EF // BC 所以 AB ? EF , PE ? EF ? E ? AB ?
(Ⅲ)设 BC ? x ,在直角三角形 ABC 中, AB ?

PEF

36 ? x2 ,

S ?ABC ?

1 1 ? AB ? BC 即 S?ABC ? x 36 ? x 2 , 2 2
4 9

EF // BC 知 ?AEF 相似于 ?ABC ,所以 S?AEF : S?ABC ?

1 1 AE S?AFD ? x 36 ? x 2 , 2 9 7 x 36 ? x 2 , 从而四边形 DFBC 的面积为 18
由 AD ? 由(Ⅱ)可知 PE 是四棱锥 P ? DFBC 的高, PE ? 2 3 , 所以 VP?DFBC ?
4 2

1 7 ? x 36 ? x 2 ? 2 3 ? 7 3 18

所以 x ? 36 x ? 243 ? 0 ,所以 x ? 3 或者 x ? 3 3 , 所以 BC ? 3 或 BC ? 3 3 .


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