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【数学】4.1.2


第四章 定积分 4.1.2 定积分

复习回顾
曲边梯形面积求法 分割:
y
a ? x0 ? x1 ? x2 ? ? ? ? ? xn?1 ? xn ? b
f (? i )

y ? f (x)

? f (? i ) ?
x?b

x?a

O

x ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? xn ?1xn ? b a ? x0 x1 x2 ? ? ? ? ? ? xi ?1 xi ? ? ? ? ? ?

讲授新课
一般地,设函数在 f (x)区间 [a, b]上连续,用分点 a ? x0 ? x1 ? x2 ?? ? xi?1 ? xi ? ? ? xn ? b 将区间

[a, b] 分成

n 个小区间,每个小区间长度为 ?x

i

( ?xi ? xi ? xi ?1 ),在每个小区间 [ xi ?1 , xi ] 上取一点

?i (i ? 1,2,3,? ? ?, n) ,作和式:
S n ? f (?1 )?x1 ? f (? 2 )?x2 ? ? ? ? ? f (? i )?xi ? ? ? ? ? f (? n )?xn
如果 f (? i ) 是区间 [ xi ?1 , xi ]上的最大值,则 S n 是曲边梯形 面积的过剩估计值; 如果f (? i ) 是区间[ xi ?1 , xi ]上的最小值, 则 S 是曲边梯形面积的不足估计值.
n

基本概念
如果 ?xi 趋近于0(亦即 n ? ?? )时,上述和式

Sn ? f (?1 )?x1 ? f (?2 )?x2 ? ? ? ? ? f (?i )?xi ? ? ? ? ? f (?n )?xn
无限的趋近某个常数A(即曲边梯形面积).称A是 函数 y ? f (x) 在区间 [ a, b] 上的定积分. 记作 ?a f ( x)dx,即
b

?

b

a

f ( x)dx ? A

a 其中,? 叫作积分号, 叫作积分的下限,b 叫作积分
x f 的上限,(x) 叫作被积函数, 叫作积分变量,[ a, b]
叫作积分区间.

概念说明
(1).定积分?a f ( x)dx 是一个常数,即 n ? ?? 时,
b

S n无限接近的常数A,而不是 S n .

(2).用定义求积分的一般方法是: 分割 近似代替 求和
b

取极限
b

(3).定积分的值与积分变量用什么字母表示无关,
即有

?

b

a

f ( x)dx ? ? f (t )dt ? ? f (u)du
a a

? f ? x ?dx t 变速运动路程: S ? ?t v(t )dt
曲边梯形面积: S ?
b a
2 1

变力做功:

W ?

?

b

a

F (r )dr

定积分的几何意义
从几何图形上看,如果函数 y ? f (x) 在 区间 [a, b] 上连续且恒有 f ( x) ? 0 , 那么 b 定积分 ?a f ( x)dx表示由直线 x ? a, x ? b 以 及 x 轴和曲线 y ? f (x) 所围成曲边梯形 b 的面积,这就是定积分?a f ( x)dx的几何 意义. 说明:一般情况下,定积分
y
y ? f (x)

O

x

是介于 x 轴、函数 f (x) 的图形以及直线 x ? a,

?

b

a

f ( x)dx

的几何意义

x?b

之间各部分面积的代数和, x

x.

例:说明下列定积分所表示的几何意义,并根据 其意义求出定积分的值. (1)

? 2dx

1 0

;

2 (2) 1

? xdx ;

(3)

?

1 ?1

1 ? x dx ;
2

.

解(1): ?

1 0

2dx表示的是图

中所示长方形的面积, 由于这个长方形的面 积为2. 所以

y
2

y?2

? 2dx ? 2
1 0

o

1

x

解(2):

? xdx 表示的是图
中所示梯形的面积, 由于这个梯形的面

2 1

3 积为 . 所以 2 3 2 ?2 ?1

y
2 1

y?x

xdx

o

1

2

x

y
解(3): 1 ?1

?

1 ? x dx
2
-1

1

y ? 1 ? x2

表示的是图中所示 半径为1的半圆的面

x
o o 1

积, 由于这个半圆

? 的面积为 2

.

所以

?

1 ?1

1 ? x dx
2

? ? 2

定积分的基本性质
(1) (2)

?

b

a

1dx ? b ? a
b a

? kf ( x)dx ? k ? f ( x)dx
b a

(3)
(4)

? [ f ( x) ? f ( x)]dx ? ?
a 1 2

b

b

a

f1 ( x)dx ? ? f 2 ( x)dx
a

b

? f ( x)dx ? ? f ( x)dx ? ? f ( x)dx
b a c a b c

其中(2)(3)叫作定积分的线性性质 (4)叫作定积分对积分区间的可加性

小结
1.定积分的实质:特殊和式的逼近值. 2.定积分的思想和方法:
分割 化整为零
求近似以直(不变)代曲(变)

求和 取逼近

积零为整
取逼近

精确值——定积分

3.定积分的几何意义及简单应用


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