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2017届四川省成都外国语学校高三9月月考数学(理)试题


成都外国语学校 2017 届高三 9 月月考



学(理工类)

第Ⅰ卷(选择题共 60 分)
一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的.)
1.已知集合 A ? {x | ?3 ? x ? 3} , B ? {x |

y ? lg( x ? 1)} ,则集合 A ? B 为( A. [0,3) B. [?1,3) ) C. (?1,3) D. (?3, ?1] )

2.下列说法正确的是( A. a ? R ,“

1 ? 1 ”是“ a ? 1 ”的必要不充分条件 a B.“ p ? q 为真命题”是“ p ? q 为真命题”的必要不充分条件
C.命题“ ?x ? R ,使得 x ? 2 x ? 3 ? 0 ”的否定是:“ ?x ? R , x ? 2 x ? 3 ? 0 ”
2 2

D.命题 p :“ ?x ? R , sin x ? cos x ? 3.已知 a ? 5log3 3.4 , b ? 5log4 3.6 , c ? ? ? A. a ? c ? b B. b ? a ? c

2 ”,则 ? p 是真命题
,则( ) D. c ? a ? b )

?1? ?5?

log3 0.3

C. a ? b ? c

4.已知 y ? loga (2 ? ax) 在 ?0,1? 上是 x 的减函数,则 a 的取值范围是( A. ? 0,1? B. ?1, 2 ? C. ? 0, 2 ? D.

?2, ??)


? 1 x ( ? ), x ? ?? 1,0? 5.若函数 f ( x) ? ? 4 ?4 x , x ? ?0,1? ?
A.

则f?

?1 ?3

1 ?? ? f ? log 4 ? ? ? ( 3 ?? ?
D. 4 ) D. [0, e ? 1]

1 3
x

B. 3

C.

1 4

6.函数 f ( x) ? e ? x 在区间 [ ?1,1] 上的值域为( A. [1, e ? 1] B. [ ? 1, e ? 1]

1 e

C. [ ? 1,2]

1 e

7.设函数 f ( x) ? ln(x ? A.13

x 2 ? 1) ? 3 ,若 f (a) ? 10 ,则 f (?a) ? (
B. ? 7 C .7



D. ? 4



1第

8.将函数 f ( x) ? 3 sin( 4 x ?

?
6

) 图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍,再向右平移
) D. x ?

? 个单位长度,得 6

到函数 y ? g ( x) 的图象,则 y ? g ( x) 图象的一条对称轴是( A. x ?

?
12

B. x ?

?
6

C. x ?

?
3

2? 3

9.函数 f ( x ) 的定义域是 R , f (0) ? 2 ,对任意 x ? R , f ( x) ? f ' ( x) ? 1 ,则不等式 ex f ( x) ? ex ? 1 的解集为( A. {x | x ? 0} ) B. {x | x ? 0} C. {x | x ? ?1或x ? 1} D. {x | x ? ?1或0 ? x ? 1}

10.已知函数 f ? x ? ? Asin ??x ? ? ?? A ? 0, ? ? 0,0 ? ? ? ? ? 的部分图象如图所示,且

5? ? ?? ? f ?? ? ? 1, ? ? ? 0, ? ,则 cos ? 2? ? 6 ? 3? ?
A.

? ? ?( ? 2 2 3



1 3

B. ?

2 2 3

C.

D. ?

2 2 3


11. 已知函数 f ( x) ? x 2 ? x | x ? a | ?3a, a ? 3 . 若函数 f ( x) 恰有两个不同的 点 x1 , x2 ,则 | A. (1,??)

1 1 ? | 的取值范围是( x1 x2
B. ( ,?? )
x



1 3

C. ( ,1]

1 3

D. ( , ] )

1 1 2 3

12.已知函数 f ( x) ? e ? ax 有两个零点 x1 ? x2 ,则下列说法错误的是( A. a ? e B. x1 ? x2 ? 2 C. x1 x2 ? 1

D.有极小值点 x0 ,且 x1 ? x2 ? 2 x0

第 II 卷(非选择题共 90 分)
二、填空题(本大题共 4 小题,每题 5 分,满分 20 分. )
5? 1 ? ? ? ? ) ? ,且 ? ? ? ? ? ? ,则 cos( ? ? ) ? _______________. 12 3 2 12 1 14. 已知函数 f ( x) ? ln( 1 ? 9 x 2 ? 3x) ? 1 ,则 f (lg 2) ? f (lg ) ? _______. 2 ? a 6 2 3 15. 设 a ? ? (cosx ? sin x)dx ,则二项式 ( x ? ) 展开式中的 x 项的系数为 0 x
13. 已知 cos( 16. 设函数 f ( x) ? kx ? 2 x( k 为实常数) 为奇函数, 函数 g ( x) ? a
2 f ( x)

.

当 a ? 2 时, ? 1(a ? 0且a ? 1) .

g ( x) ? t 2 ? 2mt ? 1 对所有的 x ?[?1,1] 及 m ? [?1,1] 恒成立,则实数 t 的取值范围________.
三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
页 2第

17. (本小题满分 10 分)计算: (Ⅰ) log5 25 ? lg (Ⅱ) 已知 a 2 ? a
1 ? 1 2

1 ? ln e ? 2log2 3 ; 100

? 3? a ? R ? ,求值:

a 2 ? a ?2 ? 1 a ? a ?1 ? 1

18.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? cos(

π π 1 ? x) cos( ? x) ? sin x cos x ? 3 3 4

(1)化简 f ( x) 的解析式,并写出 f ( x ) 的最小正周期; (2)求当 x ? [0,

?
2

] 时,求函数 f ? x ? 的值

19. (本小题满分 12 分)已知函数 f ? x ? (1)求函数 f ? x ? 的单调递增区间; (2)证明:当 x ? 1 时, f ? x ? ? x ?1.

? x ? 1? ? ln x ?
2

2

.

20.(本小题满分 12 分)已知△ ABC 的面积为 S ,且 (Ⅰ)若 f ( x) ? 2 cos(?x ? B)

3 AB ? AC ? S , 2

AC ? AB ? 3 .

?? ? 0)? 的图象与直线 y ? 2 相邻两个交点间的最短距离为 2,

且 f ( ) ? 1 ,求△ ABC 的面积 S ; (Ⅱ)求 S ? 3 3 cosB ? cosC 的最大值.

1 6



3第

21.(本小题满分 12 分)某省环保研究所对市中心每天环境放射性污染情况进行调查研究后,发现一天中环 境综合放射性污染指数 f ( x) 与时刻 x (时) 的关系为 f ( x) ? 气象有关的参数,且 a ? [0, ] . (Ⅰ)令 t ?

x 2 ? a ? 2a ? , x ? [0, 24] ,其中 a 是与 x ?1 3
2

1 2

x ,x ? [0,24 ] ,写出该函数的单调区间,并选择其中一种情形进行证明; x ?1
2

(Ⅱ)若用每天 f ( x) 的最大值作为当天的综合放射性污染指数,并记作 M (a) 求 M (a) ; (Ⅲ)省政府规定,每天的综合放射性污染指数不得超过 2,试问目前市中心的综合放射性污染 指数是否超标?

22. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? x ln x ? (1)求 a 的取值范围;

a 2 x ? x ? a (a ? R ) 在其定义域内有两个不同的极值点. 2

(2)记两个极值点分别为 x1 , x2 ,且 x1 ? x2 ,已知 ? ? 0 ,
? 若不等式 e1?? ? x1 ? x2 恒成立,求 ? 的范围.

ln 2 ln 3 ln 4 ln n ? 1 ? n2 ? n ? 10 (3)证明: ? ? ??? 2 ? ?1 ? ? ? n ? N * , n ? 2? . ? 3 8 15 n ?1 ? n ? 4

n



4第

成都外国语学校高 2014 级 9 月月考理科数学参考答案
一、选择题 1. C【解析】因 B ? {x | x ? ?1} ,故 A ? B ? {x | ?1 ? x ? 3} ,应选 C.考点:集合的交集运
算.

1 1 1 ? 1 ,所以“ ? 1 ”是“ a ? 1 ”的必要条件,又因为 ? 1 时 a a a 1 1 不能推出 a ? 1 ,如 a ? ?1 ,所以所以 “ ? 1 ”是“ a ? 1 ”的不充分条件,综上可知“ ? 1 ”是“ a ? 1 ”的必 a a
2. A【解析】对于 A,由于当 a ? 1 时一定有 要不充分条件,故可知选 A. 考点:充分条件必要条件与命题的否定. 3. A【解析】 a ? 5log3 3.4 ? 5, b ? 5log4 3.6 ? 5, c ? ? ? 比较大小 4. B【解析】由题已知 a ? 0, t ? 2 ? ax 为减函数,又 y ? loga
? 2?ax?

?1? ?5?

log3 0.3

?5

log3

10 3

? 5log3 3.4 ,? a ? c ? b ,故选 A.考点:

在 0,1 为减函数,则可得: ,.

? ?

?a ? 1 ,解得 a 的取值范围是(1,2)考点:复合函数的单调性. ? ?2 ? a ? 0
? 1 x ( 1 1 log4 1 1 ? ), x ? ?? 1,0? 【解析】因为 f ( x) ? ? 4 ,因为 log 4 ? ? ?1, 0? ,所以 f(log 4 ) ? ( ) 3 ? 3 , 3 3 4 ?4 x , x ? ?0,1? ?

5. D

1 1 ?1 ? 1 ?? ? f(log 4 ) ? 1, f (1) ? 41 ? 4 ,所以 f ? f ? log 4 ? ? ? 4,答案为 D.考点:分段函数的应用. 3 3 3 ?? ?3 ?
6.A 【解析】f '( x) ? e x ?1 ,f '(0) ? 0 , 当 x ? [? 0 , 1 ) 时,f '( x) ? 0 ,f ( x ) 递减, 当 x ? (0,1] 时,f '( x) ? 0 ,

1 1 f ( x) 递增, f (0) ? e0 ? 0 ? 1 , f (?1) ? ? 1 , f (1) ? e ? 1 ? ? 1 ,所以 f ( x) 值域为 [1, e ?1] .故选 A. e e
考点:用导数求函数的值域. 7 . D 【解析】设 g ? x? ? ln x ?

?

x2 ? 1 ,则 g ? x? ? ln x ? x2 ? 1 是奇函数,由于 f (a) ? 10 ,即

?

?

?

10 ? g ? a? ? 3,? g? a? ? 7,从而 f (?a) ? g ? ?a ? ? 3 ? ?g ? a ? ? 3 ? ?4 ,故选 D.考点:函数的奇偶性.
4x ? 8 . C 【 解 析 】 将 函 数 f ( x) ? 3 s i n(

?
6

) 图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍得到函数

? ?? ? ? ?? ?? ? y ? 3 sin x ? ? 的图象,再向右平移 个单位长度,得到函数 y ? 3sin ?2 ? x ? ? ? ? ? 2 6 6? 6 ? 6? ? ? ?

? ?? ? ?? ? ? 3sin ? 2 x ? ? ,即 y ? g ( x) 的图象,而 g ? ? ? 3 ,则 y ? g ( x) 图象的一条对称轴是 x ? ,故选 C. 3 6? ? ?3?
考点:三角函数的图象和性质及其变换.
页 5第

9. A 【解析】令函数 F ( x) ? e x f ( x) ? e x ? 1,因

F / ( x) ? e x f ( x) ? e x f / ( x) ? e x ? e x [ f ( x) ? f / ( x) ? 1] ? 0 ,故函数 F ( x) ? e x f ( x) ? e x ? 1是单调递增函数,且 F (0) ? 2 ? 1 ? 1 ? 0 ,所以不等式 ex f ( x) ? ex ? 1
等价于 F ( x) ? F (0) ,故 x ? 0 ,应选 A. 考点:导数的有关知识及综合运用. 10. D 【解析】考点:三角函数的图象和性质及两角和的余弦公式的综合运用.

11. C 考点:分段函数,函数的零点.

12. C【解析】因为 f ?( x) ? e x ? a ,则当 a ? 0 时, f ?( x) ? 0 恒成立,所以 f ( x ) 在 R 上递增,不满足 条件;当 a ? 0 时,由 f ?( x) ? 0 得 x ? ln a ,由 f ?( x) ? 0 得 x ? ln a ,所以 f ( x ) 在 (??,ln a) 上递减,在

(ln a, ??) 上递增.因为 f ( x) ? e x ? ax 有两个零点 x1 , x2 ,且 x1 ? x2 ,所以 f (ln a ) ? 0, a ? 0 ,所以

eln a ? a ln a ? 0 ,解得 a ? e ,所以 A 正确;因为 ex1 ? ax1 , ex2 ? ax2 ,所以 e x2 ? x1 ?

x2 x ,设 t ? 2 ,则 x1 x1

t ? 1, e(t ?1) x1 ? t ? x1 ?
令 g (t ) ? ln t ? 2 ?


ln t t ?1 t ?1 t ?1 4 (ln t ? 2 ? )? (ln t ? 2 ? ) ,因此 x1 ? x2 ? 2 ? (t ? 1) x1 ? 2 ? t ?1 t ?1 t ?1 t ?1 t ?1
g (?1 ) , 0 因 此

1 4 (t ? 1)2 4 ? ? ? 0 , 所 以 g( t) , 则 g ?(t ) ? ? t ?1 t (t ? 1)2 t (t ? 1)2
6第

x1 ? x2 ? 2 ? 0, x1 ? x2 ? 2.

B







x1 x2 ? 1 ? tx12 ? 1 ? ( t

ln t ln t ? 1)( t ? 1) t ?1 t ?1



t ?1 t t ?1 ln t 1 t? 1 (t ? 21 ) , 则 h?(t )? ? ? t (ln t ? )( t ? 1) , 令 h( t )? l n ?? ? 0, 所 以 t ?1 t ?1 t 2t t t t 2t t
h( t )? h( ? 1 ) ,因此 0 x x ?1 ? 0, x x ? 1 ,C 错;又 f ( x) 在 (??,ln a) 上递减,在 (ln a, ??) 上递增,所 1 2 1 2
以 f ( x ) 有 极 小 值 点 x0 ? ln a , 由 e x1 ? ax1 , e x2 ? ax2 得 x1 ? ln a ? ln x1 , x2 ? ln a ? ln x2 , 因 此

x1 + x2 ? 2 l na? l n x 1?

l,即 x n x1 +x2 ? 2ln a ?ln x1x2 ?0 ,所以 x1 +x2 ? 2ln a ? 2 x0 ,所以 D 正确故选 2

C.考点:1、利用导数研究函数的单调性;2、函数零点;3、不等式性质.

二、填空题(本大题共 4 小题,每题 5 分,满分 20 分. )
13.
【答案】 ?

2 2 ? ? 5? 5? 2 2 【解析】 cos( ? ? ) ? cos( ? ( . ? ? )) ? sin( ? ? ) ? ? 3 12 2 12 12 3

14.【答案】2【解析】 f ?? x ? ? f ?x ? ? ln 1 ? 9 x 2 ? 3x ? ln 1 ? 9 x 2 ? 3x ? 2 ? ln1 ? 2 ? 2 ,

?

? ?

?

? 1? f ?lg 2? ? f ? lg ? ? f ?lg 2? ? f ?? lg 2? ? 2 考点:函数的性质 ? 2?
15. 【 答 案 】 ? 1 6 0【 解 析 】 因 为 a ?
6
2

?

?

0

(cosx ? sin x)dx ? ?sin x ? cos x ?

?
0

? ?2 , 从 而 可 求 得

a 2? ? ( x ? ) 6 ? ? x 2 ? ? 展开式中的 x 3 项的系数为 ? 160 ,故答案填 ? 160 .考点:定积分,二项式定理. x x? ?
16.【答案】 t ? (??, ?2] ? {0} ? [2, ??)
2 2 【解析】由 f (? x) ? ? f ( x) 得 kx ? 2 x ? ?kx ? 2 x ,∴ k ? 0 .∵ g ( x) ? a f ( x ) ? 1 ? a2 x ? 1 ? (a2 ) x ? 1

g ( x) 在 x ?[?1,1] 上的最大值为 g (1) ? ( 2)2 ? 1 ? 1 ,
2 2 ∴ 1 ? t ? 2mt ? 1 即 t ? 2mt ? 0 在 [?1,1] 上恒成立分令 h(m) ? ?2mt ? t 2 ,

2 ? ?h(?1) ? t ? 2t ? 0, ?? 2 ? ?h(1) ? t ? 2t ? 0,

即?

?t ? ?2或t ? 0, ?t ? 0或t ? 2.

所以 t ? (??, ?2] ? {0} ? [2, ??) .

考点: (1)函数的奇函数. (2)指数函数的性质. (3)恒成立问题及函数思想.

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17. 【答案】 (Ⅰ)

1 7 7 ; (Ⅱ)6.【解析】 (Ⅰ)原式= 2 ? ( ?2) ? ? 3 ? ; 2 2 2



7第

(Ⅱ)? a ? a

1 2

?

1 2

a 2 ? a ?2 ? 1 47 ? 1 ? ?6 ? 3,? a ? a ? 7,? a ? a ? 47, ? a ? a ?1 ? 1 7 ?1
?1 2 ?2

18. 【答案】(Ⅰ)? f ( x) ? cos(

π π 1 1 ? x) cos( ? x) ? sin 2 x ? 3 3 2 4

1 3 1 3 1 1 ? ( cos x ? sin x)( cos x ? sin x) ? sin 2 x ? 2 2 2 2 2 4
? ? 1 3 1 1 1 ? cos 2 x 3 ? 3cos 2 x 1 1 cos 2 x ? sin 2 x ? sin 2 x ? ? ? ? sin 2 x ? 4 4 2 4 8 8 2 4

2 ?? 1 ? cos ? 2 x ? ? (cos 2 x ? sin 2 x) ? 2 2 4? ?
2 2

函数 f ( x ) 的最小正周期为 T ? ? ,

函数 f ( x ) 的最大值



(II)由 x ? [0,

?
2

] ,得 2 x ?

?

? 5? ? 2 ? [ , ] , cos(2 x ? ) ? [?1, ] 4 4 4 4 2
2 1 , ] 2 2
1 ? x2 ? x ? 1 ? x ?1 ? , 令 f ' ? x? ? 0 , 得 x x

所以当 x ? [0,

?
2

] 时,求函数 f ? x ? 的值域为 [?

19 . 【解析】 ( 1 ) f ? x ? 的 定 义 域 为 ? 0, ?? ? , f ' ? x ? ?

? 1? 5 ? ?x ? 0 1? 5 ,解得 0 ? x ? ,所以函数 f ? x ? 的单调递增区间是 ? 0, ?. ? 2 ? 2 ? 2 ? ? ?? x ? x ? 1 ? 0
( 2 ) 令 g ? x? ? f ? x ? ?? x?1? , x? ? 1, ?? ? , 则 g '? x? ?

1 ? x2 ? 0 在 ?1, ?? ? 上 恒 成 立 , 所 以 g ? x ? 在 x

?1, ??? 上单调递减,所以当 x ? 1 时, g ? x ? ? g ?1? ? 0 ,
2?

即当 x ? 1 时, f ? x ? ? x ?1.

20. (Ⅰ)? f ( x) ? 2 cos(?x ? B) 的图象与直线 y ? 2 相邻两个交点间的最短距离为 T,

?T ? 2 ,即:
即: cos(

1 ? ? 2 ,解得 ? ? ? , f ( x) ? 2 cos(? x ? B) , f ( ) ? 2 cos( ? B) ? 1 , ? 6 6

?
6

? B) ?

? ???? 1 ? 3 ??? , ? B 是△ ABC 的内角,? B ? , 又 AB ? AC ? S , 2 6 2 3 1 bc cos A ? bc sin A , tan A ? 3, 2 2

设△ ABC 的三个内角的对边分别为 a, b, c ,?

A?

?
3



从而△ ABC 是直角三角形,由已知 AC ? AB ? 3 得, BC ? a ? 3 ,从而 b ? 3 , S ?ABC ?

???? ??? ?

??? ?

1 3 3 . ab ? 2 2



8第

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 A ?

?
3

, a ? 3 ,设 ?ABC 的外接圆半径为 R,则 2 R ?

a ? 2 3 ,解得 R ? 3 sin A

1 3 ? S ? 3 3 cos B cosC ? bcsin A ? 3 3 cos B cosC ? bc ? 3 3 cos B cosC 2 4

? 3 3 sin B sin C ? 3 3 cosB cosC ? 3 3 cos(B ? C) ? 3 3
所以当 B ? C 时,最大值为 3 3 考点:向量的数量积公式和正弦定理三角变换等有关知识的综合运用. 21.解:(1)单调递增区间为 [0,1] ;单调递减区间为 [1, 24] . 证明:任取 0 ? x1 ? x2 ? 1, t ( x1 ) ? t ( x2 ) ?

( x1 ? x2 )(1 ? x1 x2 ) , (1 ? x12 )(1 ? x2 2 )

x1 ? x2 ? 0, (1 ? x1 x2 ) ? 0 ,

所以 t ( x1 ) ? t ( x2 ) ? 函数)

( x1 ? x2 )(1 ? x1 x2 ) ? 0 .所以函数 t ( x) 在 [0,1] 上为增函数.(同理可证在区间 [1, 24] 上减 (1 ? x12 )(1 ? x2 2 )

(2)由函数的单调性知 tmax ( x) ? t (1) ? 1; tmin ( x) ? t (0) ? 0 , ∴ t ?

x 1 1 ? ? [0, ] ,即 t 的取值范围 x ?1 x ? 1 2 x
2

是 [0, ] .

1 2

当 a ? [0, ] 时 , 记 g (t ) ? t ? a ? 2a ?

1 2

2 ? 2 ?t ? 3a ? , 0 ? t ? a ? 则 ∵ g (t ) 在 [0, a ] 上单调 ? 3 g (t ) ? ? 3 2 1 ?t ? a ? , a ? t ? ? 3 2 ?

递减,在 ( a, ] 上单调递增,
g ( ), 0 ? a ? 2 ?1? 7 1? ?1? ? ?a ? 6 , 0 ? a ? 4 . ? 2 4?? 且 g ? 0 ? ? 3a ? , g ? ? ? a ? , g ? 0 ? ? g ? ? ? 2 ? a ? ? .故 M (a) ? ? ? ? 3 ?2? 6 4? ?2? ? 1 1 2 1 1 ? g (0), ? a ? ? ? 4 2 ?3a ? , ? a ? ? 3 4 2 ? ? 1 1 ? 7 1

1 2

(3)因为当且仅当 a ?

4 时, M ( a ) ? 2 . 9

故当 0 ? a ?

4 4 1 时不超标,当 ? a ? 时超标. 9 9 2

22. 试题解析: (1)依题,函数 f ( x ) 的定义域为 (0, ??) ,所以方程 f ' ( x) ? 0 在 (0, ??) 有两个不同根, 即,方程 ln x ? ax ? 0 在 (0, ??) 有两个不同根.转化为,函数 y ? ln x 与函数 y ? ax 的图角在 (0, ??) 上有 两个不同交点, 可见,若令过原点且切于函数 y ? ln x 图象的直线斜率为 k ,只须 0 ? a ? k .令切点 A( x0 ,ln x0 ) , 所以 k ? y
' x ? x0

?

1 ln x0 1 1 ln x0 1 ,又 k ? ,所以 ,解得, x0 ? e ,于是 k ? ,所以 0 ? a ? . ? e x0 x0 x0 x0 e

? (2)因为 e1?? ? x1 ? x2 等价于 1 ? ? ? ln x1 ? ? ln x2 .



9第

由(1)可知 x1 , x2 分别是方程 ln x ? ax ? 0 的两个根,即 ln x1 ? ax1 ,ln x2 ? ax2 . 所以原式等价于 1 ? ? ? ax1 ? ?ax2 ? a( x1 ? ? x2 ) ,因为 ? ? 0,0 ? x1 ? x2 ,所以原式等价于 a ?

1? ? . x1 ? ? x2

又 由 l nx1 ? a x x ? 1 , l n 2

x1 x2 x .所以原式等价于 a, x 作 差 得 , ln 1 ? a( x1 ? x2 ) , 即 a ? 2 x1 ? x2 x2 ln

x1 x2 1? ? , ? x1 ? x2 x1 ? ? x2 ln
因为 0 ? x1 ? x2 ,原式恒成立,即 ln

x1 (1 ? ? )( x1 ? x2 ) 恒成立. ? x2 x1 ? ? x2
上 恒 成 立 . 令

令t ?

x1 , t ? (0,1) , x2
(1 ? ? )(t ? 1) t ??

则不等式

ln t ?
'

(1 ? ? )(t ? 1) t??



t ? (0,1)

h(t ) ? ln t ?





1 (1 ? ? )2 (t ? 1)(t ? ? 2 ) , h (t ) ? ? ? t (t ? ? )2 t (t ? ? ) 2
当 ? 2 ? 1 时,可见 t ? (0,1) 时, h' (t ) ? 0 ,所以 h (t ) 在 t ? (0,1) 上单调增,又 h(1) ? 0 , 符合题意.当 ? 2 ? 1 时, 可见 t ? (0, ? 2 ) 时, h(t ) ? 0 在 t ? (0,1) 恒成立, h' (t ) ? 0 , t ? (? 2 ,1) 时, h' (t ) ? 0 , 所以 h (t ) 在 t ? (0, ? 2 ) 时单调增,在 t ? (? 2 ,1) 时单调减,又 h(1) ? 0 ,所以 h (t ) 在 t ? (0,1) 上不能恒小于
? 0,不符合题意,舍去.综上所述,若不等式 e1?? ? x1 ? x2 恒成立,只须 ? 2 ? 1 ,又 ? ? 0 ,所以 ? ? 0 ,所

以? ?1.
2 (3)当 a ? 2 时,令 g ( x) ? f ( x) ? 2x ? 2 ? x ln x ? x ? x ,则 g ' ( x) ? ln x ? 2 ? 2 x, g ' ' ( x) ?

1 ?2 x

当 x ? 1 时 g ' ' ( x) ? 0 ,则 g ' ( x ) 在 (1,??) 单调站递减,而 g ' (1) ? 0 当 x ? 1 时 g ' ( x) ? 0 ,则 g ( x) 在

(1,??) 单调站递减,又 g (1) ? 0 所以当 x ? 1 时有 g ( x) ? x ln x ? x 2 ? x ? g (0) ? 1 ? ln x ? x ?1
令x?n
2

?n ? N

*

, n ? 2 ? ,有 ln n 2 ? n 2 ? 1,即

ln n 1 n ? ? 2 n ?1 2 2

? n ? 1?? n ? 2 ? ,①. ln 2 ln 3 ln 4 ln n 1 ? ? ?? ? 2 ? ? 2 ? 3 ?? ? n? ? 3 8 15 n ?1 2 4
令 x ? 1?

1 ? 1? 1 ? 1? ,有 ln ?1 ? ? ? ? ?1 ? ? ? e ? 3 n ? n? n ? n?

n





10 第

ln 2 ln 3 ln 4 ln n ? 1 ? n2 ? n ? 10 ①+②有: ? ? ??? 2 ? ?1 ? ? ? n ? N * , n ? 2? ? 3 8 15 n ?1 ? n ? 4

n



11 第


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