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山东省莱芜市莱芜十七中2013届高三4月模拟数学文试题 Word版含答案


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莱芜市第十七中学 29 级文科数学高考模拟试题
本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分。共 150 分.测试时间 120 分钟.

第 I 卷(共 60 分)
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.) 1. 已知实数集 R,集合 M ? {x | 0 ? x ? 2}, 集合 N ? {x | y ? A. {x | 0 ? x ? 1} B. {x | 0 ? x ? 2}

1 } ,则 M ? (C R N ) = x ?1
D. ?

C. {x | x ? 1}

2. 复数 1 ? 在复平面上对应的点的坐标是 A. (1,1) B. (?1,1) C. (?1, ? 1) D. (1, ? 1)

1 i

3.已知 p:2 x ? 1 ? 1, q: ? a ?? x ? a ? 1? ? 0 .若 p 是 q 的充分不必要条件,则实数 a 的取值范围是 ?x A. ? ??, 0? ? ? , ?? ?

?1 ?2

? ?

B. ? 0, ?

? ?

1? 2?

C. ?0, ? 2

? 1? ? ?

D. ? ??, 0 ? ? ? , ?? ?

?1 ?2

? ?

x2 y 2 4. 已知双曲线的顶点与焦点分别是椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的焦点与顶点,若双曲线的离心率为 2,则 a b
椭圆离心率为 A.

1 3

B.

2 2

C.

3 3

D.

1 2

5.下列说法: ① 将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后,方差恒不变;

? ② 设有一个回归方程 y ? 3 ? 5 x ,变量 x 增加一个单位时, y 平均增加 5 个单位;

? ? ? ③ 线性回归方程 y ? bx ? a 必过 x, y ;
④ 在一个 2 ? 2 列联表中,由计算得 K2=7.079,则有 99%的把握确认这两个变量间有关系. 其中错误的个数是 .. A.0 B.1 C.2 D.3 本题可以参考独立性检验临界值表

? ?

P K2 ? k
k

?

?

0.5 0.455

0.40 0.708

0.25 1.323

0.15 2.072

0.10 2.706

0.05 3.841

0.025 5.024

0.010 6.535

0.005 7.879

0.001 10.828

?1, x ? 0 ? 6.已知符号函数 sgn( x) ? ?0, x ? 0 ,则函数 f ( x) ? sgn(ln x) ? ln x 的零点个数为 ? ?1, x ? 0 ?
A. 1 B. 2
2

C. 3

D. 4

2 7.点 P ? 2, ?1? 为圆 ? x ? 1? ? y ? 25 内弦 AB 的中点,则直线 AB 的方程为

A. x ? y ? 1 ? 0

B. 2 x ? y ? 3 ? 0

C. x ? y ? 3 ? 0

D. 2 x ? y ? 5 ? 0

8.角 ? 的终边经过点 A (? 3, a) ,且点 A 在抛物线 y ? ? A. ?

1 2 x 的准线上,则 sin ? ? 4
D.

1 2

B.

1 2

C. ?

3 2

3 2
2

9.某几何体的三视图如右图所示,则该几何体的表面积为 A. (5 ? 5 )? C. (10 ? 10)? B. (20 ? 2 5)? D. (5 ? 2 5 )?
2 2 主视图 2 左视图

10.函数 f ( x) ? sin(? x ? ?) (其中 ? ?

? )的图象如图所示, 2

俯视图

为了得到 g ( x) ? sin ? x 的图象,则只要将 f ( x) 的图象

(第 7 题图)

? 个单位长度 6 ? B.向右平移 个单位长度 12 ? C.向左平移 个单位长度 6 ? D.向左平移 个单位长度 12
A.向右平移 11.已知正项组成的等差数列 {an } 的前 20 项的和 100 ,那么 a6 ? a15 最大值是 A. 25 B. 50 C. 100 D.不存在

12. 已知 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数,满足 f (?

3 3 ? x) ? f ( ? x) ,当 2 2

3 x ? (0, ) 时, f ( x) ? ln( x2 ? x ? 1) ,则函数 f ( x) 在区间 [0, 6] 上的零点个数是 2
A.3 B.5 C.7 D.9

第 II 卷(非选择题
二、填空:(本大题共 4 小题,每小题 4 分,满分 16 分)

共 90 分)

13. 执行如右图的程序框图,如果输入的 n 是 4,则输出的 p 是

1 14. 如上图,在△ABC中, AN = NC ,P是BN上的一点, 3 2 若 AP =m AB + AC ,则实数 m 的值为___________. 11
B

A N P

C

(第 14 题图)

? 3x ? y ? 0 ??? ??? ? ? ? OA ? OP ? ? 15. 已知点 A(3, 3) , O 为坐标原点,点 P( x, y) 满足 ? x ? 3 y ? 2 ? 0 ,则 Z ? ??? 的最大值是 | OA | ? y?0 ? ?
16. 已知 f ( x) ? ?

? ? x 2 ? 2, x ? 0 ,若 | f ( x) |? ax 在 x ? [?1,1] 上恒成立,则实数 a 的取值范围是 ?3x ? 2, x ? 0 ?

.

三、解答题: (本大题共 6 小题,满分 74 分.解答须写出文字说明,证明过程和演算步骤) 17.(本小题 12 分)已知向量 a =( cos ? x,sin ? x ) b =( cos?x , 3 cos?x ) , ,其中( 0 ? ? ? 2 ) .函

?

?

1 ? ,其图象的一条对称轴为 x ? . 2 6 (I)求函数 f ( x ) 的表达式及单调递增区间;
数 f ( x) ? a ? b ? (Ⅱ )在△ABC 中,a、b、c 分别为角 A、B、C 的对边,S 为其面积,若 f ( ) =1,b=l,S△ABC= 3 ,求 a 的值.

A 2

18. (本小题 12 分)如图所示,PA⊥ 平面 ABCD,四边形 ABCD 为正方形,且 2PA=AD=2,E、F、G 分别是 P 线段 PA、PD、CD 的中点。 (Ⅰ )求异面直线 EF 与 AG 所成角的余弦值; F E (Ⅱ )求证:BC∥ EFG; 面 (Ⅲ )求三棱锥 E-AFG 的体积. A G B C D

19.(本小题 12 分)已知数列 {an } 的前 n 项和 Sn 满足 Sn ? 2an ?1 ,等差数列 {bn } 满足 b1 ? a1 , b4 ? S3 . (1)求数列 {an } 、 {bn } 的通项公式; (2)设 cn ?

1001 1 ,数列 {cn } 的前 n 项和为 Tn ,问 Tn > 的最小正整数 n 是多少? 2012 bnbn ?1

20. (本小题 12 分)一个袋中装有四个形状大小完全相同的球,球的编号分别为 1,2,3,4. (I)从袋中随机抽取一个球,将其编号记为 a ,然后从袋中余下的三个球中再随机抽取一个球,将其编号 记为 b .求关于 x 的一元二次方程 x ? 2ax ? b ? 0 有实根的概率;
2 2

(II)先从袋中随机取一个球,该球的编号为 m,将球放回袋中,然后再从袋中随机取一个球,该球的编号 为 n.若以 (m, n) 作为点 P 的坐标,求点 P 落在区域 ?
?x ? y ? 0 内的概率. ?x ? y ? 5 ? 0

21. (本小题 13 分)已知函数 f ? x ? ?

1 3 x ? ax 2 ? bx ? a,b? R ? . 3

(Ⅰ 若曲线 C : y ? f ? x ? 过点 P ?1, 2 ? ,曲线 C 在点 P 处的切线与直线 x ? 2 y ? 14 ? 0 垂直, a,b 的值; ) 求 (Ⅱ )在(Ⅰ )的条件下,试求函数 g ? x ? ? m ? 1 ? f ? x ? ? x ? ( m 为实常数, m ? ?1 )的极大值与极 3
2

?

?? ?

7 ? ?

小值之差; (Ⅲ )若 f ? x ? 在区间 ?1, 2 ? 内存在两个不同的极值点,求证: 0 ? a ? b ? 2 .

22.(本小题 13 分)已知椭圆

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左右焦点分别为 F1 , F2 ,短轴两个端点为 A, B ,且 a2 b2

四边形 F1 AF2 B 是边长为 2 的正方形. (Ⅰ 求椭圆方程; ) (Ⅱ 若 C, D 分别是椭圆长轴的左右端点,动点 M 满足 MD ? CD ,连接 CM ,交椭圆于点 P ,证明: )

OM ? OP 为定值;

?

?

[学|科|

(Ⅲ) (Ⅱ 的条件下, 在 ) 试问 x 轴上是否存在异于点 C 的定点 Q , 使得以 MP 为直径的圆恒过直线 DP, MQ 的交点,若存在,求出点 Q 的坐标;若不存在,请说明理由.

莱芜市第十七中学 29 级文科数学高考模拟试题答案
一、选择题:1—5 ADCDB 6—10 CCBAA 11-12 AD

二、填空题:13. 3 14. 三、解答题:

3 11

15.

3 16. [?1,0]

由余弦定理得 a ? 4 ? 1 ? 2 ? 4 ?1cos 60? ? 13 ,……11 分故 a ? 13 ………12 分
2 2 2

18.(Ⅰ )解:因为 E,F 分别是 PA,PD 的中点,所以 EF∥ AD, 于是,∠ DAG 是 EF 与 AG 所成的角.......... 分 ..........2

? AD ? 2, DG ? 1, AG ? 5,? cos?DAG ? 2 5
5

? EF 与 AG 所成角的余弦值是

2 5 ......... 分 .........4 5

(Ⅱ )因为 BC∥ AD,AD∥ EF,所以 BC∥ .....6 分 EF..... 平面 EFG...... 分 ......8 ? BC ? 平面EFG, EF ? 平面EFG? BC ∥ (Ⅲ E-AFG=VG-AEF= 1 S ?AEF ? DG ? 1 ........12 分 )V ....... 3 12 19. 解: (1)当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? 2a1 ? 1,∴ a1 ? 1 …………1 分

当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? (2an ?1) ? (2an?1 ?1) ? 2an ? 2an?1 , 即

an ?2 an ?1

…………3 分

∴数列 {an } 是以 a1 ? 1 为首项, 2 为公比的等比数列,∴ an ? 2n?1, Sn ? 2n ?1 设 {bn } 的公差为 d , b1 ? a1 ? 1 , b4 ? 1 ? 3d ? 7 ,∴ d ? 2

∴ bn ? 1 ? (n ?1) ? 2 ? 2n ?1 …………………………………………………6 分 (2) cn ?

1 1 1 1 1 ? ? ( ? ) bnbn?1 (2n ? 1)(2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1

1 1 1 1 1 1 1 1 n (1 ? ? ? ? ... ? ? ) ? (1 ? )? ……9 分 2 3 3 5 2n ? 1 2n ? 1 2 2n ? 1 2n ? 1 1001 n 1001 由 Tn > ,得 > ,解得 n > 100.1 2012 2n ? 1 2012
∴ Tn ? ∴ Tn >

1001 的最小正整数 n 是 101 ………………………12 分 2012

20. 解: (1)基本事件(a,b)有: (1,2)(1,3)(1,4)(2,1)(2,3)(2,4)(3,1)(3,2)(3,4) , , , , , , , , , (4,1)(4,2)(4,3)共 12 种。 , , ∵ x ? 2ax ? b ? 0 有实根, ∴△=4a -4b ≥0,即 a ≥b 。记“ x ? 2ax ? b ? 0 有实根”为事件 A,则 A 包含的事件有: (2,1)(3,1)(3,2)(4,1)(4,2)(4,3) 共 6 种。 , , , , ,
2 2
2 2 2 2

2

2

∴PA.=

6 1 ? 。 12 2

???????6 分

(2)基本事件(m,n)有: (1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(3,1)(3,2) , , , , , , , , , , (3,3)(3,4)(4,1)(4,2)(4,3)(4,4)共 16 种。 , , , , ,

?x ? y ? 0 内”为事件 B,则 B 包含的事件有: ?x ? y ? 5 ? 0 4 1 ? 。 …………………12 分 (1,1)(2,1)(2,2)(3,1) 共 4 种。∴ , , , PB.= 16 4 1 ? f ? ? x ? ? x2 ? 2ax ? b ? x ? 2 y ? 14 ? 0 的斜率为 2 ,? 曲线 C 在点 P 处的切线 21. 解: ) ? (Ⅰ , 直线
记“点 P 落在区域 ? 的斜率为 2 ,

? f ? ?1? ? 1 ? 2a ? b ? 2

? ……① 曲线

C : y ? f ? x?

经过点

P ?1, 2?



2 ? ?a ? ?3, 1 ? ? f ?1? ? ? a ? b ? 2 ……② ② ,由① 得: ? 3 ?b ? 7. ? 3 ?
(Ⅱ )由(Ⅰ )知: f ? x ? ?

…………………3 分

4? 1 3 2 2 7 ? m2 ? 1 3 2 x ? x ? x ,? g ? x ? ? x ? 2 x 2 ,? g ? ? x ? ? m ? 1 x ? x ? ? , 3? 3 3 3 ? 3

?

?

?

?

由 g? ? x ? ? 0 ? x ? 0 ,或 x ?

4 .当 m2 ? 1 ? 0 ,即 m ? 1, 或 m ? ?1 时, x , g? ? x ? , g ? x ? 变化如下表 3

x
g? ? x ? g ? x?

? ??,0?

0

? 4? ? 0, ? ? 3?

4 3

?4 ? ? , ?? ? ?3 ?

+

0 极大值

-

0 极小值

+

由表可知: g ? x ?极大 ? g ? x ?极小 ? g ? 0 ? ? g ? ? ? 0 ? ? ?

?4? ?3?

? 32 2 ? m ? 1?? ? 32 ? m2 ? 1? ……………5 分 ? 81 ? 81 ?

当 m2 ? 1 ? 0, 即 ?1 ? m ? 1 时, x , g? ? x ? , g ? x ? 变化如下表:

x
g? ? x ?
g ? x?

? ??,0?

0

? 4? ? 0, ? ? 3?

4 3

?4 ? ? , ?? ? 3 ? ?

-

0 极小值

+

0 极大值

-

由表可知: g ? x ?极大 ? g ? x ?极小 ? g ? ? ? g ? 0 ? ? ?

?4? ?3?

32 2 ? m ? 1? ? 0 ? ? 32 ? m2 ? 1? ………………7 分 81 81 32 2 ? m ? 1? ; 81

综上可知:当 m ? 1, 或 m ? ?1 时, g ? x ?极大 ? g ? x ?极小 ? 当 ?1 ? m ? 1 时, g ? x ?极大 ? g ? x ?极小 ? ?

32 2 ? m ? 1? ……………………………………9 分 81

(Ⅲ )因为 f ? x ? 在区间 ?1, 2 ? 内存在两个极值点 ,所以 f ?( x) ? 0 ,即 x 2 ? 2ax ? b ? 0 在 (1, 2) 内有两个 不等的实根.

? f ?(1) ? 1 ? 2a ? b ? 0, ? f ?(2) ? 4 ? 4a ? b ? 0, ? ∴? ?1 ? ? a ? 2, ?? ? 4(a 2 ? b) ? 0. ?

(1) (2) (3) (4)

…………………………………………………………11 分

由 (1)+(3)得: a ? b ? 0 ,………………………………………………………12 分 由(4)得: a ? b ? a 2 ? a ,由(3)得: ?2 ? a ? ?1 ,? a ? a ? (a ? ) ?
2 2

1 2

1 ? 2 ,∴a ? b ? 2 . 4

故0 ? a ?b ? 2

…………………………………………………………………………13 分
2

2 2 2 22. 解: (1) a ? 2, b ? c, a ? b ? c ,?b ? 2 ,

? 椭圆方程为

x2 y2 ? ? 1 ??????????????????????(2 分) 4 2
? ?

(2) C (?2,0), D(2,0) ,设 M (2, y0 ), P( x1 , y1 ) ,则 OP ? ( x1 , y1 ), OM ? (2, y 0 ) 。 直线 CM :

y 1 x ? 2 y ? y0 ,即 y ? 0 x ? y 0 ,???????????(3 分) ? 4 2 4 y0

将y?

y0 1 x ? y 0 代入椭圆 x 2 ? 2 y 2 ? 4 得 4 2

2 y0 2 1 2 1 2 (1 ? ) x ? y 0 x ? y 0 ? 4 ? 0 ?????????????????(5 分) 8 2 2

由韦达定理有

? x1 (?2) ?
?

2 8y 4( y0 ? 8) 2( y 2 ? 8) ,? y1 ? 2 0 。?????????(7 分) ,? x1 ? ? 20 2 y0 ? 8 y0 ? 8 y0 ? 8

2 2( y0 ? 8) 8 y0 ? OP ? (? 2 , 2 ), y0 ? 8 y0 ? 8 ? ? 2 4( y0 ? 8) 8y2 4 y 2 ? 32 ? 2 0 ? 0 ? 4 (定值)?????????(9 分) 2 2 y0 ? 8 y0 ? 8 y0 ? 8

? OP? OM ? ?

(3)设存在 Q(m,0) 满足条件,则 MQ ? DP 。???????????????(10 分)

MQ ? (m ? 2,? y0 ) , DP ? (?
? ?

?

?

2 4 y0 8y , 2 0 ) ,??????????????(11 分) 2 y0 ? 8 y0 ? 8

则由 MQ? DP ? 0 得

2 2 4 y0 8 y0 ? 2 (m ? 2) ? 2 ? 0 ,从而得 m ? 0 。 y0 ? 8 y0 ? 8

? 存在 Q(0,0) 满足条件。????????????????????????(13 分)


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