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数学全国卷1


2015 年普通高等学校招生全国统一考试(新课标 1 卷)文数
一、选择题:每小题 5 分,共 60 分 1、已知集合 A ? {x x ? 3n ? 2, n ? N}, B ? {6,8,10,12,14},则集合 A (A) 5 (B)4 (C)3 (B) (7, 4) (D)2 (C) (?1, 4) (D) (1, 4) 2、已知点 A(0,1), B(3, 2) ,向量 AC ? (?4, ?3) ,则向量 BC ? (A) (?7, ?4) 3、已知复数 z 满足 ( z ? 1)i ? 1 ? i ,则 z ? ( ) (A) ?2 ? i (B) ?2 ? i (C) 2 ? i (D) 2 ? i 4、如果 3 个正数可作为一个直角三角形三条边的边长,则称这 3 个数为一组勾股数,从 1, 2,3, 4,5 中 任取 3 个不同的数,则这 3 个数构成一组勾股数的概率为( ) (A)

B 中的元素个数为

3 10

(B)

1 5

(C)

1 10

(D)

1 20

5、已知椭圆 E 的中心为坐标原点,离心率为 是 C 的准线与 E 的两个交点,则 AB ?

1 ,E 的右焦点与抛物线 C : y 2 ? 8x 的焦点重合, A, B 2

(A) 3 (B) 6 (C) 9 (D) 12 6、 《九章算术》 是我国古代内容极为丰富的数学名著, 书中有如下问题: “今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺,问 ”积及为米几何?”其意思 为:“在屋内墙角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥的四分之一) ,米堆 底部的弧长为 8 尺,米堆的高为 5 尺,米堆的体积和堆放的米各位多 少?”已知 1 斛米的体积约为 1.62 立方尺,圆周率约为 3,估算出堆放 的米有( ) (A) 14 斛 (B) 22 斛 (C) 36 斛 (D) 66 斛 7 、已知 {an } 是公差为 1 的等差数列, Sn 为 {an } 的前 n 项和,若

S8 ? 4S4 ,则 a10 ? ( ) 17 19 (A) (B) (C) 10 (D) 12 2 2 8、函数 f ( x) ? cos(? x ? ? ) 的部分图像如图所示,则 f ( x ) 的单调递减区间为( ) 1 3 (A) ( k? ? , k? ? ), k ? Z 4 4 1 3 (B) (2k? ? , 2k? ? ), k ? Z 4 4 1 3 (C) (k ? , k ? ), k ? Z 4 4 1 3 (D) (2k ? , 2k ? ), k ? Z 4 4
9、执行右面的程序框图,如果输入的 t ? 0.01 ,则输出的 n ? ( ) (A) 5 (B) 6 (C) 10 (D) 12

? x ?1 10、已知函数 f ( x) ? ?2 ? 2, x ? 1 , ?? log 2 ( x ? 1), x ? 1

) ? (A)? (B)? (C)? (D)? 且 f (a) ? ?3 ,则 f (6 ? a

4 7

5 4

3 4

1 4

11、圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为 r )组成一个几何体,该几何体的三视图中 的正视图和俯视图如图所示,若该几何体的表面积为 16 ? 20? ,则 r ? ( ) (A) 1 (B) 2 (C) 4 (D) 8

12、设函数 y ? f ( x) 的图像与 y ? 2x?a 的图像关于直线 y ? ? x 对称,且

f (?2) ? f (?4) ? 1 ,则 a ? ( ) (A) ?1 (B) 1 (C) 2
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分

(D) 4 . .

13、数列 ?an ? 中 a1 ? 2, an?1 ? 2an , Sn 为 ?an ? 的前 n 项和,若 Sn ? 126 ,则 n ?

14.已知函数 f ? x ? ? ax3 ? x ?1 的图像在点 1, f ?1? 的处的切线过点 ? 2, 7 ? ,则 a ?

?

?

? x? y?2?0 ? 15. 若 x,y 满足约束条件 ? x ? 2 y ? 1 ? 0 ,则 z=3x+y 的最大值为 ?2 x ? y ? 2 ? 0 ?
16.已知 P 是双曲线 C : x ?
2



y2 ? 1 的右焦点,P 是 C 左支上一点, A 0, 6 6 8

2

?

?

,当 ?APF 周长最小

时,该三角形的面积为 三、解答题 (I)若 a ? b ,求 cos B;

17. (本小题满分 12 分)已知 a, b, c 分别是 ?ABC 内角 A, B, C 的对边, sin B ? 2sin A sin C . (II)若 B ? 90 ,且 a ? 2, 求 ?ABC 的面积. 18. (本小题满分 12 分)如图四边形 ABCD 为菱形,G 为 AC 与 BD 交点, BE ? 平面ABCD ,

(I)证明:平面 AEC ? 平面 BED ; (II)若 ?ABC ? 120 , AE ? EC , 三棱锥 E ? ACD 的体积为

6 ,求该三棱锥的侧面积. 3

19. (本小题满分 12 分)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费,需了解年宣传费 x(单位: 千元)对年销售量(单位:t)和年利润 z(单位:千元)的影响,对近 8 年的宣传费 xi ,和年销售量

yi ?i ? 1,2,3,

,8? 的数据作了初步处理,得到下面的散点图及一些统计量的值.

(I)根据散点图判断, y ? a ? bx 与 y ? c ? d x ,哪一个宜作为年销售量 y 关于年宣传费 x 的回归 方程类型(给出判断即可,不必说明理由); (II)根据(I)的判断结果及表中数据,建立 y 关于 x 的回归方程; (III)已知这种产品的年利润 z 与 x,y 的关系为 z ? 0.2 y ? x ,根据(II)的结果回答下列问题: (i)当年宣传费 x ? 90 时,年销售量及年利润的预报值时多少? (ii)当年宣传费 x 为何值时,年利润的预报值最大?

20. (本小题满分 12 分) 已知过点 A ?1,0 ? 且斜率为 k 的直线 l 与圆 C:? x ? 2 ? ? ? y ? 3? ? 1 交于 M,
2 2

N 两点. (I)求 k 的取值范围; (II) OM ? ON ? 12 ,其中 O 为坐标原点,求 MN . 21. (本小题满分 12 分)设函数 f ? x ? ? e
2x

? a ln x .

(I)讨论 f ? x ? 的导函数 f ? ? x ? 的零点的个数; (II)证明:当 a ? 0 时 f ? x ? ? 2a ? a ln

2 . a

22. (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图 AB 是圆 O 直径,AC 是圆 O 切线,BC 交圆 O 与点 E. (I)若 D 为 AC 中点,求证:DE 是圆 O 切线; (II)若 OA ? 3CE ,求 ?ACB 的大小. 23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中,直线 C1 : x ? ?2 ,圆 C2 : ? x ? 1? ? ? y ? 2 ? ? 1 ,
2 2

以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系. (I)求 C1 , C2 的极坐标方程.

(II)若直线 C3 的极坐标方程为 ? ?

π ? ? ? R ? ,设 C2 , C3 的交点为 M , N ,求 ?C2 MN 的面积. 4

24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式证明选讲 已知函数 f ? x ? ? x ?1 ? 2 x ? a , a ? 0 . (I)当 a ? 1 时求不等式 f ? x ? ? 1 的解集; (II)若 f ? x ? 图像与 x 轴围成的三角形面积大于 6,求 a 的取值范围.

2014 年普通高等学校招生全国统一考试(课标 I 文科卷)数学(文科)
一.选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 1.已知集合 M ? ?x | ?1 ? x ? 3? , B ? ?x | ?2 ? x ? 1?,则 M A. (?2,1) 2.若 tan ? ? 0 ,则 A. sin ? ? 0 3.设 z ? B. (?1,1) C. (1,3)

B ?( D. (?2,3)



B. cos ? ? 0

C. sin 2? ? 0

D. cos 2? ? 0

1 ? i ,则 | z |? 1? i 1 2 3 A. B. C. D. 2 2 2 2 x2 y2 ? 1(a ? 0) 的离心率为 2,则 a ? 4.已知双曲线 2 ? a 3 6 5 A. 2 B. C. D. 1 2 2 5.设函数 f ( x), g ( x) 的定义域为 R ,且 f ( x) 是奇函数, g ( x) 是偶函数,学科网则下列结论中正确的
是 A. f ( x) g ( x) 是偶函数 C. f ( x) | g ( x) | 是奇函数 B. | f ( x) | g ( x) 是奇函数 D. | f ( x) g ( x) | 是奇函数

6.设 D, E, F 分别为 ?ABC 的三边 BC, CA, AB 的中点,则 EB ? FC ? A. AD B.

1 AD 2

C.

1 BC 2

D. BC

7.在函数① y ? cos | 2 x | ,② y ?| cos x | ,③ y ? cos( 2 x ?

?

) ,④ y ? tan( 2 x ? ) 中,最小正周期为 ? 6 4


?

的所有函数为 A.① ② ③ B. ① ③ ④ C. ② ④ D. ① ③ 8.如图,网格纸的各小格都是正方形,粗实线画出的事一个几何体的三视图,则这个几何体是( A.三棱锥 B.三棱柱 C.四棱锥 D.四棱柱

9. 执 行 右面的 程序框 图,若 输入的

a, b, k

分别为 1,2,3,学科网则输出的 M ? ( A.

)

20 3

B.

7 2

C.

16 5

D.

15 8

10.已知抛物线 C: y 2 ? x 的焦点为 F , A A. 1 B. 2 C. 4 D. 8

?x , y ?是 C 上一点,zxxk AF ? 5 ,则 x 4x
0 0
0

0

?(



11.设 x , y 满足约束条件 ? (A)-5 (C)-5 或 3 (A) ? 2, ???

? x ? y ? a, 且 z ? x ? ay 的最小值为 7,学科网则 a ? ? x ? y ? ?1,
(B)3 (D)5 或-3

12.已知函数 f ( x) ? ax3 ? 3x 2 ? 1 ,若 f ( x ) 存在唯一的零点 x0 ,且 x0 ? 0 ,则 a 的取值 范围是 (B) ?1, ?? ? (C) ? ??, ?2? (D) ? ??, ?1? 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分 13.将 2 本不同的数学书和 1 本语文书在书架上随机排成一行,则 2 本数学书相邻的概率为________. 14.甲、乙、丙三位同学被问到是否去过 A 、 B 、zxxk C 三个城市时, 甲说:我去过的城市比乙多,但没去过 B 城市; 乙说:我没去过 C 城市; 丙说:我们三人去过同一城市; 由此可判断乙去过的城市为________.

?e x ?1 , x ? 1, ? 15.设函数 f ? x ? ? ? 1 则使得 f ? x ? ? 2 成立的 x 的取值范围是________. 3 ? x , x ? 1, ? 16. 如图,为测量山高 MN ,选择 A 和另一座山的山顶 C 为测量观测点. 从 A 点测得 M 点的仰角 ?MAN ? 60? , C 点的仰角 ?CAB ? 45? 以及 ?MAC ? 75? ;从 C 点测学科网得 ?MCA ? 60? .已 知山高 BC ? 100m ,则山高 MN ? ________ m .
三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 12 分)
2

已知 ?an ? 是递增的等差数列, a2 , a4 是方程 x ? 5 x ? 6 ? 0 的根。 (I)求 ?an ? 的通项公式; (II)求数列 ?

? an ? 的前 n 项和. n ? ?2 ?

18.(本小题满分 12 分) 从某企业生产的某种产品中抽取 100 件, 测量这些产品的一项质量指标值, 由测量表得如下频数 分布表: 质量指标值分组 [75,85) [85,95) [95,105) [105,115) [115,125) 6 26 38 22 8 频数 (I)在答题卡上作出这些数据的频率分布直方图: (II)估计这种产品质量指标值的平均数及方差(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表) ;

(III)根据以上抽样调查数据,能否认为该企业生产的这种产品学科网符合“质量指标值不低于95的 产品至少要占全部产品的80%”的规定?

19.(本题满分12分) 如图, 三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, 侧面 BB1C1C 为

菱形, B1C zxxk 的中点为 O ,且 AO ? 平面 BB1C1C . (1)证明: B1C ? AB; (2)若 AC ? AB1 , ?CBB1 ? 60? , BC ? 1, 求三棱柱 ABC ? A1B1C1 的高.
20.(本小题满分 12 分) 已知点 P(2,2) ,圆 C : x ? y ? 8 y ? 0 ,过点 P 的动直线 l 与圆 C 交于 A, B 两点,线段 AB 的中点为
2 2

M , O 为坐标原点. (1)求 M 的轨迹方程;
(2)当 OP ? OM 时,求 l 的方程及 ?POM 的面积 21(12 分) 设函数 f ? x ? ? a ln x ? (1)求 b; (2)若存在 x0 ? 1, 使得 f ? x0 ? ?

1? a 2 x ? bx ? a ? 1? ,zxxk 曲线 y ? f ? x ? 在点?1 ,f ?1?? 处的切线斜率为 0 2

a ,求 a 的取值范围。 a ?1

请考生在第 22、23、24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分,解答时请写清题 号. 22.(本小题满分 10 分)选修 4-1,几何证明选讲 如图,四边形 ABCD 是 O 的内接四边形, AB 的延长线与 DC 的延长线交于点 E ,且 CB ? CE. (I)证明: ?D ? ?E ; (II)设 AD 不是 O 的直径, AD 的中点为 M ,zxxk 且 MB ? MC ,学科网证明: ?ABC 为 等边三角形.

23.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程

?x ? 2 ? t x2 y 2 ? ? 1 ,直线 l : ? ( t 为参数) 4 9 ? y ? 2 ? 2t (1)写出曲线 C 的参数方程,直线 l 的普通方程; (2)过曲线 C 上任意一点 P 作与 l 夹角为 30°的直线,交 l 于点 A ,学科网求 PA 的最大值与最小
已知曲线 C : 值. 24.(本小题满分 10 分)选修 4-5;不等式选讲 若 a ? 0, b ? 0, 且
3 3

1 1 ? ? ab a b

(I)求 a ? b 的最小值; (II)是否存在 a , b ,使得 2a ? 3b ? 6 ?并说明理由.

2013 年普通高等学校招生全国统一考试文科数学 一、选择题共 12 小题。每小题 5 分。在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的一项。 (1)已知集合 A={1,2,3,4} ,B={x|x=n2,n∈ A},则 A∩B= ( ) (A) {0} (B) {-1,,0} (C){0,1} (D) {-1, ,0, 1} (2) = (A)-1 (D)1 i i (B)-1 + i (C) 1+ i

(3)从 1,2,3,4 中任取 2 个不同的数,则取出的 2 个数之差的绝对值为 2 的概率是 (A) (B) (4)已知双曲线 C: (A)y=± x (5)已知命题 p: 中为真命题的是: (A) p∧q ¬p∧¬q (C) (D) = 1(a>0,b>0)的离心率为 ,则 C 的渐近线方程为 (B)y=± x (C)y=± x (D) y=±x ,则下列命题 (B)¬p∧q (C)p∧¬q (D)

(6)设首项为 1,公比为 的等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,则 (A)Sn =2an-1 (B)Sn =3an-2 (C)Sn =4-3an (D)Sn =3-2an

(7)执行右面的程序框图,如果输入的 t∈ [-1,3],则输出的 s 属于 (A)[-3,4] (B)[-5,2] (C)[-4,3] (D)[-2,5] (8)O 为坐标原点,F 为抛物线 C:y?=4 丨 PF 丨=4 (A)2 ,则△POF 的面积为 (B)2 (C)2 x 的焦点,P 为 C 上一点,若

(D)4 (9)函数 f(x)=(1-cosx)sinx 在[-π ,π ]的图像大致为 (10)已知锐角△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,23cos? A+cos2A=0,a=7,c=6,则 b= (A)10 (B)9 (C)8 (11)某几何函数的三视图如图所示,则该几何的体积为 (A)18+8π (B)8+8π (C)16+16π (D)8+16π 第 9 题

(D)5

( 12 ) 已 知 函 数

f ( x ) =

若|f(x)|≥ax,则 a 的取值范围是 (A) (-∞] (B) (-∞] (C)[-2,1] (D)[-2,0] 二.填空题:本大题共四小题,每小题5分。 (13)已知两个单位向量a,b的夹角为60°,c=ta+(1-t)b,若b?c=0,则t=_____.

(14)设 x,y 满足约束条件 ,则 z=2x-y 的最大值为______. (15)已知H是求O的直径AB上一点,AH:HB=1:2,AB⊥平面a,H为垂足,a截球o所得截面的面积为 π ,则求o的表面积为_______.

(16)设当x=θ 时,函数f(x)=sinx-2cosx取得最大值,则cosθ =______. 三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 (17)(本小题满分12分) 已知等差数列{an}的前n项和Sn满足S3=0,S5=-5. (Ⅰ )求{an}的通项公式;

(Ⅱ )求数列 的前n项和 18(本小题满分共 12 分) 为了比较两种治疗失眠症的药(分别成为 A 药,B 药)的疗效,随机地选取 20 位患者服用 A 药,20 位患者服用 B 药,这 40 位患者服用一段时间后,记录他们日平均增加的睡眠时间(单位:h)实验的 观测结果如下: 服用 A 药的 20 位患者日平均增加的睡眠时间: 0.6 1.2 2.7 1.5 2.8 1.8 2.2 2.3 3.2 3.5 2.5 2.6 1.2 2.7 1.5 2.9 3.0 3.1 2.3 2.4 服用 B 药的 20 位患者日平均增加的睡眠时间: 3.2 1.7 1.9 0.8 0.9 2.4 1.2 2.6 1.3 1.4 1.6 0.5 1.8 0.6 2.1 1.1 2.5 1.2 2.7 0.5

19.(本小题满分 12 分) 如图,三棱柱 ABC-A1B1C1 中,CA=CB,AB=A A1,∠ BA A1=600. (Ⅰ)证明 AB⊥ A1C; (Ⅱ)若 AB=CB=2, A1C= ,求三棱柱 ABC-A1B1C1 的 体积 (20)(本小题满分共 12 分) 已知函数 f(x)=ex(ax+b)-x2-4x,曲线 y=f(x)在点 (0,f(0))处切线方程为 y=4x+4 (Ⅰ)求 a,b 的值 (Ⅱ)讨论 f(x)的单调性,并求 f(x)的极大值

(21)(本小题满分 12 分) 已知圆 M:(x+1)2+y2=1,圆 N:(x+1)2+y2=9,动圆 P 与 M 外切并且与圆 N 内切,圆 心 P 的轨迹为曲线 C. (Ⅰ )求 C 得方程; (Ⅱ )l 是与圆 P,圆 M 都相切的一条直线,l 与曲线 C 交于 A,B 两点,当圆 P 的半径最 长是,求|AB|.
(22) (本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 如图,直线 AB 为圆 的切线,切点为 B,点 C 在圆上,∠ABC 的角平分线 BE 交圆于点 E,DB 垂 直 BE 交圆于 D。

(Ⅰ )证明:DB=DC; (Ⅱ )设圆的半径为 1,BC= ,延长 CE 交 AB 于点 F,求△BCF 外接圆的半径。 (23) (本小题 10 分) 选修 4—4: 坐标系与参数方程 已知曲线 C1 的参数方程为 x=4+5cost, y=5+5sint, (t 为参数) ,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴简历极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程为ρ =2sin θ 。 (Ⅰ )把 C1 的参数方程化为极坐标方程; (Ⅱ )求 C1 与 C2 交点的极坐标(ρ ≥0,0≤θ <2π ) 。 (24) (本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 已知函数 f(x)= ∣ 2x-1∣ +∣ 2x+a∣ ,g(x)=x+3. (Ⅰ )当 a=2 时,求不等式 f(x) <g(x)的解集; (Ⅱ )设 a>-1,且当 x∈ [- , )时,f(x) ≤g(x),求 a 的取值范围.

2012 年
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分 (1) 已知集合 A={x|x2-x-2<0},B={x|-1<x<1},则 (A)A? (B)B? (C)A=B (D)A∩B=? ?B ?A -3+i (2) 复数 z= 的共轭复数是 (A)2+i(B)2-i(C)-1+i (D)-1-i 2+i (3) 在一组样本数据(x1,y1) , (x2,y2) ,?, (xn,yn) (n≥2,x1,x2,?,xn 不全相等)的散点图中, 1 若所有样本点(xi,yi)(i=1,2,?,n)都在直线 y= x+1 上,则这组样本数据的样本相关系数为 2 1 (A)-1 (B)0 (C) (D)1 2 2 2 x y 3a (4) 设 F1、F2 是椭圆 E: 2 + 2=1(a>b>0)的左、右焦点,P 为直线 x= 上一点,△F1PF2 是底角为 30° a b 2 1 2 3 4 的等腰三角形,则 E 的离心率为(A) (B) (C) (D) 2 3 4 5 (5) 已知正三角形 ABC 的顶点 A(1,1),B(1,3),顶点 C 在第一象限,若点(x,y)在△ABC 内部,则 z=-x+y 的取值范围是 (A)(1- 3,2) (B)(0,2) (C)( 3-1,2) (D)(0,1+ 3) (6) 如果执行右边的程序框图,输入正整数 N(N≥2)和实数 a1,a2,?,aN,输出 A,B,则 (A)A+B 为 a1,a2,?,aN 的和 A+B (B) 为 a1,a2,?,aN 的算术平均数 2 (C)A 和 B 分别是 a1,a2,?,aN 中最大的数和最小的数 ( D ) A 和 B 分 别 是 a1,a2, ? ,aN 中 最 小 的 数 和 最 大 的 数 [ 来 源 : 高 [ 考 ∴ 试 ﹤ 题 ∴ 库 ] (7)如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗线画出的是某几何体的三视图,则此几何体的体积为 (A)6 (B)9 (C)12 (D)18

(8)平面α 截球 O 的球面所得圆的半径为 1,球心 O 到平面α 的距离为 2,则此球的体积为 (A) 6π (B)4 3π (C)4 6π (D)6 3π π 5π (9)已知 ω>0,0<φ<π,直线 x= 和 x= 是函数 f(x)=sin(ωx+φ)图像的两条相邻的对称轴,则 φ= 4 4 π π π 3π (A) (B) (C) (D) 4 3 2 4

(10) 等轴双曲线 C 的中心在原点, 焦点在 x 轴上, C 与抛物线 y2=16x 的准线交于 A, B 两点, |AB|=4 3, 则 C 的实轴长为 (A) 2 (B)2 2 (C)4 (D)8 1 2 2 (11)当 0<x≤ 时,4x<logax,则 a 的取值范围是 A. (0, )(B)( ,1)(C)(1, 2)(D)( 2,2) 2 2 2 (12)数列{an}满足 an+1+(-1)n an =2n-1,则{an}的前 60 项和为 (A)3690 (B)3660 (C)1845 (D)1830 二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分。 (13)曲线 y=x(3lnx+1)在点(1,1)处的切线方程为________ (14)等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S3+3S2=0,则公比 q=_______ (15)已知向量 a,b 夹角为 45°,且|a|=1,|2a-b|= 10,则|b|= (x+1)2+sinx (16)设函数 f(x)= 的最大值为 M,最小值为 m,则 M+m=___ x2+1 三、解答题: (17) (本小题满分 12 分) 已知 a,b,c 分别为△ ABC 三个内角 A,B,C 的对边,c = 3asinC-ccosA (1) 求 A (2) 若 a=2,△ ABC 的面积为 3,求 b,c 18.(本小题满分 12 分) 某花店每天以每枝 5 元的价格从农场购进若干枝玫瑰花,然后以每枝 10 元的价格出售。如果当天 卖不完,剩下的玫瑰花做垃圾处理。 (Ⅰ)若花店一天购进 17 枝玫瑰花,求当天的利润 y(单位:元)关于当天需求量 n(单位:枝,n∈ N) 的函数解析式。 (Ⅱ)花店记录了 100 天玫瑰花的日需求量(单位:枝) ,整理得下表: 日需求量 n 频数 14 10 15[ 20 16 16 17 16 18 15 19 13 20 10

(1)假设花店在这 100 天内每天购进 17 枝玫瑰花,求这 100 天的日利润(单位:元)的平均数; (2)若花店一天购进 17 枝玫瑰花,以 100 天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率,求当天 的利润不少于 75 元的概率。 (19) (本小题满分 12 分) 1 如图, 三棱柱 ABC-A1B1C1 中, 侧棱垂直底面, ∠ ACB=90° , AC=BC= AA1, 2 C1 D 是棱 AA1 的中点 (I)证明:平面 BDC1⊥平面 BDC A1 (Ⅱ)平面 BDC1 分此棱柱为两部分,求这两部分体积比。 (20) (本小题满分 12 分) 设抛物线 C:x2=2py(p>0)的焦点为 F,准线为 l,A 为 C 上一点,已知以 F D 为圆心,FA 为半径的圆 F 交 l 于 B,D 两点。 (I)若∠BFD=90°,△ABD 的面积为 4 2,求 p 的值及圆 F 的方程; C (II)若 A,B,F 三点在同一直线 m 上,直线 n 与 m 平行,且 n 与 C 只 有一个公共点,求坐标原点到 m,n 距离的比值。 A (21)(本小题满分 12 分)设函数 f(x)= ex-ax-2 (Ⅰ)求 f(x)的单调区间 (Ⅱ)若 a=1,k 为整数,且当 x>0 时, ( x ? k ) f ?( x) ? x ? 1 >0,求 k 的最大值 请考生在第 22,23,24 题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清楚题号。 (22)(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 A 如图,D,E 分别为△ ABC 边 AB,AC 的中点,直线 DE 交△ ABC 的外接圆于 F,G 两点,若 CF//AB,证明: (Ⅰ )CD=BC; (Ⅱ)△ BCD∽ △ GBD E

B1

B

G

D

F

B

C

(23)(本小题满分 10 分)选修 4—4;坐标系与参数方程 ?x=2cosφ ? 已知曲线 C1 的参数方程是? (φ 为参数),以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建 ? ?y=3sinφ 立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程是 ρ=2.正方形 ABCD 的顶点都在 C2 上,且 A、B、C、D 以逆时针 π 次序排列,点 A 的极坐标为(2, ) 3 (Ⅰ)求点 A、B、C、D 的直角坐标; (Ⅱ)设 P 为 C1 上任意一点,求|PA| 2+ |PB|2 + |PC| 2+ |PD|2 的取值范围。 (24) (本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 已知函数 f(x) = |x + a| + |x-2|. (Ⅰ)当 a =-3 时,求不等式 f(x)≥3 的解集; (Ⅱ)若 f(x)≤|x-4|的解集包含[1,2],求 a 的取值范围。

2011 年普通高等学校招生全国统一考试文科数学
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分 1.已知集合 M={0,1,2,3,4},N={1,3,5},P=M N ,则 P 的子集共有 A.2 个 B.4 个 C.6 个 D.8 个 2.复数

3.下列函数中,既是偶函数又在 (0, ??) 单调递增的函数是 A . y ? x3 4.椭圆 B. y ?| x | ?1 C. y ? ? x 2 ? 1 D. y ? 2?|x|

5i ? 1 ? 2i

A. 2 ? i

B. 1 ? 2 i

C. ?2 ? i

D. ?1 ? 2i

x2 y 2 ? ? 1 的离心率为 16 8 1 1 A. B. 3 2 3 2 C. D. 3 2

5.执行右面的程序框图,如果输入的 N 是 6,那么输出的 p 是 A.120 B. 720 C. 1440 D. 5040 6.有 3 个兴趣小组,甲、乙两位同学各自参加其中一个小组,每 位同学参加各个小组的可能性相同,则这两位同学参加同一 个兴趣小组的概率为

1 1 B. 3 2 2 3 C. D. 3 4 7.已知角 ? 的顶点与原点重合,始边与 x 轴的正半轴重合,终边 在直线 y ? 2 x 上,则 cos 2? = 4 3 3 4 A. ? B. ? C. D. 5 5 5 5
A. 8.在一个几何体的三视图中,正视图与俯视图如右图所示,则相应的侧 视图可以为

9.已知直线 l 过抛物线 C 的焦点,且与 C 的对称轴垂直,l 与 C 交于 A,B 两点,| AB |? 12 ,P 为 C 的准线上一点,则 ?ABP 的面积为
x

A.18 B.24 C.36

D. 48

10.在下列区间中,函数 f ( x) ? e ? 4 x ? 3 的零点所在的区间为 A. (? ,0)

1 4

B. (0, )

11.设函数 f ( x) ? sin(2 x ? A. y ? f ( x) 在 (0, B. y ? f ( x) 在 (0, C. y ? f ( x) 在 (0, D. y ? f ( x) 在 (0,

?

1 4

C. ( , )

? ?
2

) ? cos(2 x ? ) ,则 4 4

?

1 1 4 2

D. ( , )

1 3 2 4

) 单调递增,其图象关于直线 x ? ) 单调递增,其图象关于直线 x ?

? ?
4

对称 对称 对称 对称

?

2

?

2
2

) 单调递减,其图象关于直线 x ?
) 单调递减,其图象关于直线 x ?

?

2

?

4

2 12 .已知函数 y ? f ( x) 的周期为 2,当 x ?[?1,1] 时 f ( x) ? x2 ,那么函数 y ? f ( x) 的图象与函数 y ?| lg x | 的图象的交点共有 A.10 个 B.9 个 C.8 个 D.1 个
二、填空题 :本大题共 4 小题, 每小题 5 分. 13. 已知 a 与 b 为两个不共线的单位向量, k 为实数, 若向量 a+b 与向量 ka-b 垂直, 则 k=_____________.

?3 ? 2 x ? y ? 9 ,则 z ? x ? 2 y 的最小值是_________. ?6 ? x ? y ? 9 15. ?ABC 中, B ? 120?, AC ? 7, AB ? 5 ,则 ?ABC 的面积为_________.
14.若变量 x,y 满足约束条件 ? 16.已知两个圆锥有公共底面,且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上.若圆锥底面面积是 这个球面面积的

3 ,则这两个圆锥中,体积较小者的高与体积较大者的高的比值为 16

三、解答题:解答应写文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分)

1 1 ,公比 q ? . 3 3 1 ? an (I) Sn 为 {an} 的前 n 项和,证明: S n ? 2 (II)设 bn ? log3 a1 ? log3 a2 ? ? log3 an ,求数列 {bn} 的通项公式.
已知等比数列 {an} 中, a1 ? 18. (本小题满分 12 分) 如图, 四棱锥 P ? ABCD 中, 底面 ABCD 为平行四边形, ?DAB ? 60? , AB ? 2 AD , PD ? 底面 ABCD. (I)证明: PA ? BD ; (II)设 PD=AD=1,求棱锥 D-PBC 的高. 19. (本小题满分 12 分) 某种产品的质量以其质量指标值衡量, 质量指标越大表明

质量越好,且质量指标值大于或等于 102 的产品为优质品.现用两种新配方(分别称为 A 配方和 B 配 方)做试验,各生产了 100 件这种产品,并测量了每产品的质量指标值,得到时下面试验结果: A 配方的频数分布表 指标值分组 [90,94) [94,98) [98,102) [102,106) [106,110] 8 20 42 22 8 频数 B 配方的频数分布表 指标值分组 [90,94) [94,98) [98,102) [102,106) [106,110] 4 12 42 32 10 频数 (I)分别估计用 A 配方,B 配方生产的产品的优质品率; (II)已知用 B 配方生产的一种产品利润 y(单位:元)与其质量指标值 t 的关系式为

? ?2, t ? 94 ? y ? ? 2,94 ? t ? 102 ? 4, t ? 102 ?
估计用 B 配方生产的一件产品的利润大于 0 的概率, 并求用 B 配方生产的上述 100 件产品平均一 件的利润. 20. (本小题满分 12 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 y ? x2 ? 6 x ? 1与坐标轴的交点都在圆 C 上. (I)求圆 C 的方程; (II)若圆 C 与直线 x ? y ? a ? 0 交于 A,B 两点,且 OA ? OB, 求 a 的值. 21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ?

a ln x b ? ,曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程为 x ? 2 y ? 3 ? 0 . x ?1 x ln x . x ?1

(I)求 a,b 的值; (II)证明:当 x>0,且 x ? 1 时, f ( x ) ?

请考生在第 22、23、24 三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分 22. (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,D,E 分别为 ?ABC 的边 AB,AC 上的点,且不与 ?ABC 的 顶点重合.已知 AE 的长为 m,AC 的长为 n,AD,AB 的长是关于 x 的方程 x ? 14 x ? mn ? 0 的两个根. (I)证明:C,B,D,E 四点共圆; (II)若 ?A ? 90? ,且 m ? 4, n ? 6, 求 C,B,D,E 所在圆的半 径.
2

23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的参数方程为 ? 点满足 OP ? 2OM ,点 P 的轨迹为曲线 C2 . (I)求 C2 的方程; (II)在以 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线 ? ? A,与 C2 的异于极点的交点为 B,求|AB|. 24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 设函数 f ( x) ?| x ? a | ?3x ,其中 a ? 0 . (I)当 a=1 时,求不等式 f ( x) ? 3x ? 2 的解集. (II)若不等式 f ( x) ? 0 的解集为{x| x ? ?1} ,求 a 的值.

? x ? 2cos ? ,M 为 C1 上的动点,P (? 为参数) ? y ? 2 ? 2sin ?

?
3

与 C1 的异于极点的交点为

2010
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分 (1)已知集合 A ? x x ? 2, x ? R, B ? x |

x ? 4, x ? Z | ,则 A B ?

(A) (0,2) (B)[0,2] (C)|0,2| (D)|0,1,2| (2)a,b 为平面向量,已知 a=(4,3) ,2a+b=(3,18) ,则 a,b 夹角的余弦值等于 (A)

8 65

(B) ?

8 65

(C)

16 65

(D) ?

16 65

3 ?i ,则 i = (1 ? 3i)2 1 1 (A) (B) (C)1 (D)2 4 2 (4)曲线 y ? x2 ? 2 x ? 1 在点(1,0)处的切线方程为 (A) y ? x ? 1 (B) y ? ? x ? 1 (C) y ? 2 x ? 2 (D) y ? ?2 x ? 2 (5)中心在远点,焦点在 x 轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4,2) ,则它的离心率为 (A) 6 (B) 5
(3)已知复数 z ? (C)

6 2

(D)

5 2

(6) 如图, 质点 p 在半径为 2 的圆周上逆时针运动, 其初始位置为 p0 ( 2, , ? 2) 角速度为 1,那么点 p 到 x 轴距离 d 关于时间 t 的函数图像大致为 (7) 设长方体的长、宽、高分别为 2a、a、a,其顶点都在一个球面上,则该球的表面 积为 (A)3 ? a2 (B)6 ? a2 (C)12 ? a2 (D) 24 ? a2 (8)如果执行右面的框图,输入 N=5,则输出的数等于 (A)

5 4 6 5 (B) (C) (D) 4 5 5 6

(9)设偶函数 f(x)满足 f(x)=2x-4 (x ? 0) ,则 x f ? x ? 2 ? ? 0 =

? ? (C) ? x x ? 0或x ? 6?
(A) x x ? ?2或x ? 4 (10)若 sin a = -

? ? (D) ? x x ? ?2或x ? 2?
(B) x x ? 0或x ? 4

?

?

4 ? ,a 是第一象限的角,则 sin( a ? ) = 5 4 7 2 7 2 2 2 (A)(B) (C) (D) 10 10 10 10

(11)已知 ABCD 的三个顶点为 A(-1,2) ,B(3,4) ,C(4,-2) ,点 (x,y)在 ABCD 的内部,则 z=2x-5y 的取值范围是 (A) (-14,16) (B) (-14,20) (C) (-12,18) (D) (-12,20)

? lg x1 ,0? x?10 ? ? 1 x ?6, x ?0 (12)已知函数 f(x)= ? 2
围是

若 a,b,c 均不相等,且 f(a)= f(b)= f(c),则 abc 的取值范

(A) (1,10) (B)(5,6) (C)(10,12) (D)(20,24) 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分。 (13)圆心在原点上与直线 x ? y ? 2 ? 0 相切的圆的方程为-----------。 (14)设函数 y ? f ( x) 为区间 ? 0,1? 上的图像是连续不断的一条曲线,且恒有 0 ? f ? x ? ? 1,可以用 随机模拟方法计算由曲线 y ? f ( x) 及直线 x ? 0 , x ? 1 , y ? 0 所围成部分的面积,先产生两组 i 每 组 N 个,区间 ? 0,1? 上的均匀随机数 x1, x2..... xn 和 y1, y2..... yn ,由此得到 V 个点 ? x, y ??i ?1,2....N ? 。再 数出其中满足 y1 ? f ( x)(i ? 1, 2.....N ) 的点数 N1 , 那么由随机模拟方法可得 S 的近似值为___________ (15)一个几何体的正视图为一个三角形, 则这个几何体可能是下列几何体中的_______(填入所有可能的 几何体前的编号) ①三棱锥 ②四棱锥 ③三棱柱 ④四棱柱 ⑤圆锥 ⑥圆柱 (16) 在 ABC 中, D 为 BC 边上一点, BC ? 3BD , AD ? 2 , ?ADB ? 135 . 若 AC ? BD=_____ 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 (17) (本小题满分 12 分) 设等差数列 ?an ? 满足 a3 ? 5 , a10 ? ?9 。 (Ⅰ)求 ?an ? 的通项公式;
?

2 AB ,则

(Ⅱ)求 ?an ? 的前 n 项和 Sn 及使得 Sn 最大的序号 n 的值。 (18) (本小题满分 12 分) 如图,已知四棱锥 P ? ABCD 的底面为等腰梯形, AB ∥ CD , AC ? BD ,垂足为 H , PH 是四棱锥 的高。 (Ⅰ)证明:平面 PAC ? 平面 PBD ; (Ⅱ)若 AB ? 6 , ?APB ? ?ADB ? 60°,求四棱锥 P ? ABCD 的体积。 请考生在第(22) 、 (23) 、 (24)三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。作答 时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑。 (19)为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助,用简单随机抽样方法从该地区调查了 500 位老 人,结果如下: (Ⅰ)估计该地区老年人中,需要志愿提供帮助的老年人的比例; (Ⅱ)能否有 99℅的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关 (Ⅲ)根据(Ⅱ)的结论,能否提出更好的调查办法来估计该地区的老年人中,需要志愿者提供帮助 的老年人的比例?说明理由。 附: ≧ P(K ≧k) 0.050 0.010 0.001 3.841 6.625 10.828 k 2 n (ad-bc) K2= (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) (20) (本小题满分 12 分) 设 F1 , F2 分别是椭圆 E: x +
2

y2 =1(0﹤b﹤1)的左、右焦点,过 F1 的直线 l 与 E 相交于 A、B 两 b2

点,且 AF2 , AB , BF2 成等差数列。 (Ⅰ)求 AB (Ⅱ)若直线 l 的斜率为 1,求 b 的值。 (21)本小题满分 12 分)
x 2 设函数 f ? x ? ? x e ? 1 ? ax

?

?

1 ,求 f ? x ? 的单调区间; 2 (Ⅱ)若当 x ≥0 时 f ? x ? ≥0,求 a 的取值范围
(Ⅰ)若 a= (22) (本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 如图:已知圆上的弧 AC ? BD ,过 C 点的圆的切线与 BA 的延长线交于 E 点,证明: (Ⅰ) ?ACE = ?BCD 。 (Ⅱ) BC =BE x CD。 (23) (本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 已知直线 C1 :{ {t 为参数}。图 C2 :{ { ? 为参数} X=1+tcosa X= cos ? ? (Ⅰ)当 a= 时,求 C1 与 C2 的交点坐标: 3 y=tsina y= sin ? (Ⅱ)过坐标原点 O 做 C1 的垂线,垂足为 A、P 为 OA 的中点,当 a 变化时,求 P 点轨迹的参 数方程,并指出它是什么曲线。 (24) (本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 设函数 ( x ) = 2 x ? 4 + 1。 (Ⅰ)画出函数 y= ( x ) 的图像: (Ⅱ)若不等式 ( x ) ≤ax 的解集非空,求 n 的取值范围
2

?

?

?


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