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高考专题辅导与测试第1部分 专题七 第一讲 预测演练提能


1. 如图, Rt△ABC 中, ∠BAC=90° AD⊥BC 于 D, 平分∠ABC , BE 交 AC 于 E,EF⊥BC 于 F. 求证:EF∶DF=BC∶AC. 证明:∵∠BAC=90° ,且 AD⊥BC, ∴由射影定理得 AC2=CD· BC, ∴ AC BC = . CD AC ①

AE AC ∵EF⊥BC,AD⊥BC,∴EF∥AD,∴ = . DF CD 又 BE 平分∠ABC,且 EA⊥AB,EF⊥BC,∴AE=EF, ∴ EF AC = . DF CD ②

EF BC 由①②得 = , DF AC 即 EF∶DF=BC∶AC. 2.(2013· 广东高考改编)如图,AB 是圆 O 的直径,点 C 在圆 O 上.延长 BC 到 D 使 BC=CD,过 C 作圆 O 的切线交 AD 于 E.若 AB =6,ED=2,求 BC. 解:连接 OC,则 OC⊥CE,∠OCA+∠ACE=90° , ∵∠OAC=∠OCA,∴∠OAC+∠ACE=90° .易知 Rt△ACB≌Rt△ACD,则∠OAC=∠ EAC.∴∠EAC+∠ACE=90° ,∴∠AEC=90° ,在 Rt△ACD 中,由射影定理得 CD2=ED· AD ①, CD=BC, 又 AD=AB, AB=6, 将 ED=2 代入①式, CD= 12=2 得 3, ∴BC=2 3.

3.(2013· 湖南高考改编)如图,在半径为 7的⊙O 中,弦 AB,CD 相交于点 P,PA=PB =2,PD=1,求圆心 O 到弦 CD 的距离.

AP· PB 解:由相交弦定理得 AP· PB=DP· PC,从而 PC= =4,所以 DC=5,所以圆心 O DP 到弦 CD 的距离等于 5 3 ? 7?2-?2?2= . ? ? 2

4.如图,已知 AP 是圆 O 的切线,P 为切点,AC 是圆 O 的割线,与圆 O 交于 B、C 两点,圆 O 在∠PAC 的内部,点 M 是 BC 的中点.

1

(1)证明 A、P、O、M 四点共圆; (2)求∠OAM+∠APM 的大小. 解:(1)证明:连接 OP、OM.

因为 AP 与圆 O 相切,所以 OP⊥AP. 因为 M 是圆的弦 BC 的中点,所以 OM⊥BC. 于是∠OPA+∠OMA=180° . 由圆心 O 在∠PAC 的内部,可知四边形 APOM 的对角互补,所以 A、P、O、M 四点共 圆. (2)由(1),得 A、P、O、M 四点共圆, 所以∠OAM=∠OPM.由(1),得 OP⊥AP. 由圆心 O 在∠PAC 的内部,可知∠OPM+∠APM=90° ,所以∠OAM+∠APM=90° . 5.(2013· 新课标全国卷Ⅱ)如图,CD 为△ABC 外接圆的切线,AB 的延长线交直线 CD 于点 D,E、F 分别为弦 AB 与弦 AC 上的点,且 BC· AE=DC· AF,B,E,F,C 四点共圆.

(1)证明:CA 是△ABC 外接圆的直径; (2)若 DB=BE=EA,求过 B,E,F,C 四点的圆的面积与△ABC 外接圆面积的比值. 解:(1)证明:因为 CD 为△ABC 外接圆的切线, BC DC 所以∠DCB=∠A.由题设知 = , FA EA 故△CDB∽△AEF,所以∠DBC=∠EFA. 因为 B,E,F,C 四点共圆,所以∠CFE=∠DBC, 故∠EFA=∠CFE=90° . 所以∠CBA= 90° ,因此 CA 是△ABC 外接圆的直径. (2)连接 CE,因为∠CBE=90° ,所以过 B,E,F,C 四点的圆的直径为 CE.由 DB=BE,

2

有 CE=DC,又 BC2=DB· BA=2DB2,

所以 CA2=4DB2+BC2=6DB2. 而 DC2=DB· DA=3DB2,故过 B,E,F,C 四点的圆的面积与△ABC 外接圆面积的比 1 值为 . 2 6.(2013· 东北三省四市联考)自圆 O 外一点 P 引圆的一条切线 PA,切点为 A,M 为 PA 的中点,过点 M 引圆 O 的割线交该圆于 B,C 两点,且∠BMP=100° ,∠BPC=40° .

(1)求证:△MBP 与△MPC 相似; (2)求∠MPB 的大小. 解:(1)证明:因为 MA 为圆的切线,所以 MA2=MB· MC.又 M 为 PA 的中点,所以 MP2 =MB· MC. 因为∠BMP=∠PMC,所以△MBP 与△MPC 相似. (2)由(1)中△MBP 与△MPC 相似, 可得∠MPB=∠MCP. 在 △ MCP 中 , 由 ∠ MPB + ∠ MCP + ∠ BPC + ∠ BMP = 180°, 得 ∠ MPB = 180° -∠BPC-∠BMP =20° . 2

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