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1[1].1.3集合的基本运算(1)


1.1.3 集合的基本运算 ? 万源中学

考察下列各个集合,你能说出集合C与集合A,B 之间的关系吗? (1) A={1,3,5}, B={2,4,6} ,C={1,2,3,4,5,6} (2) A={x|x是有理数},B={x|x是无理数}, C={x|x是实数}.

1.并集
一般地,由所有属于集合A或属于集合B的元素所 组成的集合,称为集合A与B的并集,记作A∪B,(读作 “A并B”).即 A∪B={x|x∈A,或x∈B}

例4 设A={4,5,6,8}, B={3,5,7,8},

求A∪B.

解: A∪B={4,5,6,8} ∪ {3,5,7,8}
={3,4,5,6,7,8}

例5 设集合A={x|-1<x<2},集合B={x|1<x<3} 求A∪B.
解: A∪B={x|-1<x<2} ∪ {x|1<x<3}

={x|-1<x<3}

2.交集
考察下列各个集合,你能说出集合A,B与集合C 之间的关系吗?
(1)A={2,4,6,8,10}, B={3,5,8,12} ,C={8}; (2) A={x|x是贵阳九中2011年9月在校的女同学}, B={x|x是贵阳九中2011年9月入学的高一级同学},

C={x|x是贵阳九中2011年9月入学的高一级女同 学}.

一般地,由属于集合A且属于集合B的

所有元素组成的集合,称为A与B的交集,记 作A∩B,(读作“A交B”),即 A∩B={x|x∈A,且x∈B}.

A

B

A∩B

例6 贵阳九中开运动会,设

A={x|x是贵阳九中高一年级参加百米赛跑的同学}
B={x|x是贵阳九中高一年级参加跳高比赛的同学},

求A∩B.
解:A∩B={x|x是贵阳九中高一年级既参加百米 赛跑又参加跳高比赛的同学}.

例7 设平面内直线 l1上的点的集合为 L1 , 直线l2 上点 的集合为L2 , 试用集合的运算表示 l1 , l2的位置关系 .

解 : (1)直线l1 , l2 相交于一点P可表示为 L1 ? L2 ? {点P}; (2)直线l1 , l2 平行可表示为 L1 ? L2 ? ?; (3)直线l1 , l2 重合可表示为 L1 ? L2 ? L1 ? L2 .

3.并集与交集的性质
(1) A ? A ? A

(2)A ?? ? ?

(3)A ? B = B ? A

(4)A ? B ? A , A ? B ? B
(5)A ? B 则 A ? B ? A

(1) A ? A ? A (2) A ? ? ? A (3) A ? B ? B ? A (4) A ? A ? B, B ? A ? B, A ? B ? A ? B (5) A ? B则A ? B ? B

4.反馈演练
1.已知A ? {x | x ? px ? 2 ? 0}, B ? {x | x ? qx ? r ? 0}
2 2

且A ? B ? {?2,1,5}, A ? B ? {?2}, 求p, q, r的值.
(解得 : p ? ?1, q ? ?3, r ? ?10)

2.设A ? {?4,2a ? 1, a 2 }, B ? {a ? 5,1 ? a,9}, 已知A ? B ? {9}, 求a的值, 并求出A ? B.

?解得a ? ?3且A ? B ? {?8,?4,4,?7,9}?

解: ? A ? B ? {9},? 9 ? A 所以a 2 ? 9或2a ? 1 ? 9, 解得a ? ?3或a ? 5 当a ? 3时,A ? {9,5,?4}, B ? {?2,?2,9}, B中元素违 背了互异性,舍去 . 当a ? ?3时,A ? {9,?7,?4}, B ? {?8,4,9}, A ? B ? {9} 满足题意,故A ? B ? {?7,?4,?8,4,9}. 当a ? 5时,A ? {25,9,?4}, B ? {0,?4,9}, 此时A ? B ? {?4,9}, 与A ? B ? {9}矛盾,故舍去 . 综上所述,a ? 3且A ? B ? {?7,?4,?8,4,9}.

3.已知A ? {x | x ? 3x ? 2 ? 0}, B ? {x | x ? ax ? a ? 1 ? 0}
2 2

若A ? B ? A, 求实数a的值.

4.设集合A ? {x | ?2 ? x ? ?1} ?{x | x ? 1}, B ? {x | a ? x ? b} (解得a ? ?1, b ? 3) 若A ? B ? {x | x ? ?2}, A ? B ? {x | 1 ? x ? 3}, 求a, b的值.

解: ? A ? {1,2}, A ? B ? A, ?B ? A ? B ? ?或B ? {1}或B ? {2}或B ? {1,2}. 当B ? ?时,? ? 0, a不存在. ?? ? 0 当B ? {1}时, ?a ? 2 ? ?1 ? a ? a ? 1 ? 0 ?? ? 0 当B ? {2}时, ? a不存在 ? ?4 ? 2a ? a ? 1 ? 0 ?1 ? 2 ? a 当B ? {1 , 2}时, ?a ? 3 ? ?1? 2 ? a ? 1 综上所述,a ? 2或a ? 3.

本课小结
1.交集与并集的概念 2.交集与并集的性质

作业布置
教材P12 A组 T6, 7, 8

B组 T1(写书上),3


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