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高中数学 第四章 数系的扩充 复数的概念知识归纳素材 北师大版选修1-2


复数的概念知识归纳
1 虚数单位 i : (1)它的平方等于-1,即

i 2 ? ?1 ;

(2)实数可以与它进行四则运算,进行四则运算时,原有加、乘运算律仍然成立
2 2 2 i 与-1 的关系: i 就是-1 的一个平方根,即方程 x =-1 的一个根,方程 x =-1 的

另一个根是- i
4n+1 4n+2 3 i 的周期性: i =i, i =-1,

i 4n+3=-i,

i 4n=1

4 复数的定义:形如 a ? bi(a, b ? R) 的数叫复数, a 叫复数的实部, b 叫复数的虚部全 体复数所成的集合叫做复数集,用字母 C 表示* 3 复数的代数形式: 复数通常用字母 z 表示,即 z ? a ? bi(a, b ? R) ,把复数表示成

a+bi 的形式,叫做复数的代数形式
4 复数与实数、虚数、纯虚数及 0 的关系:对于复数 a ? bi(a, b ? R) ,当且仅当 b=0 时,复数 a+bi(a、b∈R)是实数 a;当 b≠0 时,复数 z=a+bi 叫做虚数;当 a=0 且 b≠0 时,

z=bi 叫做纯虚数;当且仅当 a=b=0 时,z 就是实数 0
5 复数集与其它数集之间的关系:N Z Q R C 6 两个复数相等的定义: 如果两个复数的实部和虚部分别相等, 那么我们就说这两个复 数相等即:如果 a,b,c,d∈R,那么 a+bi=c+di ? a=c,b=d 一般地,两个复数只能说相等或不相等,而不能比较大小如果两个复数都是实数,就可 以比较大小 也只有当两个复数全是实数时才能比较大小 7 复平面、实轴、虚轴: 点 Z 的横坐标是 a,纵坐标是 b,复数 z=a+bi(a、b∈R)可用点
y b
Z(a,b)

Z(a, b)表示, 这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面,
o a x

也叫高斯平面,x 轴叫做实轴,y 轴叫做虚轴 实轴上的点都表示实数 对于虚轴上的点原点对应的有序实数对为(0, 0), 它所确定的复数是 z=0+0i=0 表示是 实数故除了原点外,虚轴上的点都表示纯虚数 复数集 C 和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系,即

? 复平面内的点 Z (a, b) 复数 z ? a ? bi ????
一一对应

这是因为,每一个复数有复平面内惟一的一个点和它对应;反过来,复平面内的每一个 点,有惟一的一个复数和它对应 这就是复数的一种几何意义也就是复数的另一种表示方法,即几何表示方法


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