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高职高专考数学科复习5.数列


第五章 数列
第一部分 等差数列 一 定义式:

an ? an?1 ? d

二 通项公式: an ?

?? am ? (n ? m)d ?? a1 ? (n ? 1)d

三 前 n 项和公式:

Sn ?

n(a1 ? an ) 2
n(n ? 1) d 2

………… ① ………… ② …… ③

? na中间项
? na1 ?

按照序号顺序,使用公式。即首选①公式解题,再选②、③

四 性质结论 (一)3 或 4 个数成等差数列求数值时应按对称性原则设置, 如:3 个数 a-d,a,a+d; 4 个数 a-3d,a-d,a+d,a+3d (二) a 与 b 的等差中项 A ? a ? b ; 2

在等差数列?an ? 中,若 m ? n ? p ? q ,则

am ? an ? ap ? aq ;若 m ? n ? 2p ,则 am ? an ? 2ap ;

第二部分

等比数列

一 定义:

an ? q(n ? 2, an ? 0, q ? 0) ? {an } 成等比数列。 an?1

二 通项公式: an

? a1q n?1 , an ? amqn?m

(q ? 1) ?na1 ? n 三 前 n 项和: S n ? ? a1 (1 ? q ) a1 ? an ?1q ; ? 1 ? q ? 1 ? q (q ? 1) ?
(注意对公比的讨论) 四 性质结论: (一) a 与 b 的等比中项 G ? G ? ab ? G ? ? ab ( a , b 同号);
2

(二)在等比数列?an ? 中,若 m ? n ? p ? q ,则 am ?an ? a p ?aq ; 若 m ? n ? 2 p ,则 am ?an ?ap ;
2

第三部分 求前 n 项和 S n 一 裂项分组法:

1 1 1 1 ? ? ??? ? 1 1 1 1 1? 2 2 ? 3 3 ? 4 ( n n ? 1) 1 , 2 ,3 , 4 ,?的前n和是: 3 9 27 81 1 1 1 1 1 1 1 1 ( ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ??? ( ? )、 1 1 1 1 1 2 2 3 3 4 n n ?1 (+ 1 2+ 3+ 4+ ?)+ ( + + + ? ?) 1 1 n 3 9 27 81 ? ? ? 1 n ?1 n ?1
二 错位相减法: 凡等差数列和等比数列对应项的乘积构成的数列求和时用此方法, 求:

Sn =x ? 3x 2 ? 5x 3 ? ? ? (2n-5)x n-2 ? (2n-3)x n-1 ?(2n-1)x n (x ? 1)
Sn =x ? 3x 2 ? 5x3 ? ? ? (2n-5)x n-2 ? (2n-3)x n-1 ? (2n-1)x n (x ? 1) ① xSn =x 2 ? 3x3 ? 5x 4 ? ? (2n-5)x n-1 ? (2n-3)x n ? (2n-1)x n+1 (x ? 1) ②
①减②得:

(1 ? x)Sn =x ? ? 2x 2 ? 2x 3 ? ? ? 2x n-1 ? 2x n ? ? ? 2n ? 1? x n+1 ?x? 2x 2 ?1 ? x n-1 ? ? ? 2n ? 1? x n+1

1? x 从而求出 S n 。

错位相减法的步骤: (1)将要求和的杂数列前后各写出三项,列出①式 (2)将①式左右两边都乘以公比 q,得到②式 (3)用① ? ②,错位相减 (4)化简计算


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