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函数应用(学生版)


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函数与方程
环节 教学内容设置 先来观察几个具体的一元二次方程的根及其相应的二次 创 设 情 境 函数的图象:
1 ○方程 x ? 2 x ? 3 ? 0 与函数 y ? x ? 2 x ? 3
2

师生双边互动

2

生:独立思考完成 解答,观察、思考、 总结、概括得出结 论,并进行交流.

2 ○方程 x ? 2 x ? 1 ? 0 与函数 y ? x ? 2 x ? 1
2

2

3 ○方程 x ? 2 x ? 3 ? 0 与函数 y ? x ? 2 x ? 3
2

2

函数零点的概念: 对于函数 y ? f ( x )( x ? D ) ,把使 f ( x ) ? 0 成立的实数 x 叫做函数 y ? f ( x )( x ? D ) 的零点. 组 函数零点的意义: 函数 y ? f ( x ) 的零点就是方程 f ( x ) ? 0 实数根,亦即函 织 数 y ? f ( x ) 的图象与 x 轴交点的横坐标. 即: 方程 f ( x ) ? 0 有实数根 ? 函数 y ? f ( x ) 的图象与 x 轴 探 有交点 ? 函数 y ? f ( x ) 有零点. 函数零点的求法: 究 求函数 y ? f ( x ) 的零点:
1 ○ (代数法)求方程 f ( x ) ? 0 的实数根; 2 ○ (几何法)对于不能用求根公式的方程,可以将它与

生:认真理解函数 零点的意义,并根 据函数零点的意义 探索其求法:
1 ○ 2 ○

代数法; 几何法.

函数 y ? f ( x ) 的图象联系起来,并利用函数的性质找出零点.
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二次函数的零点: 二次函数
y ? ax
2

? bx ? c ( a ? 0 ) .
2

1)△>0,方程 ax ? bx ? c ? 0 有两不等 环节 组 教学内容设置 实根,二次函数的图象与 x 轴有两个交点,二次函数有两 个零点. 2)△=0,方程 ax ? bx ? c ? 0 有两相等实根(二重
2

师生双边互动 生:根据函数零点 的意义探索研究二 次函数的零点情 况,并进行交流, 总结概括形成结 论.



根) ,二次函数的图象与 x 轴有一个交点,二次函数有一 个二重零点或二阶零点. 3)△<0,方程 ax ? bx ? c ? 0 无实根,二次函数的
2



图象与 x 轴无交点,二次函数无零点.

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零点存在性的探索: (Ⅰ)观察二次函数 f ( x ) ? x ? 2 x ? 3 的图象:
2

生:分析函数,按 提示探索,完成解 答,并认真思考.

1 ○ 在区间 [? 2 ,1] 上有零点______;

f ( ? 2 ) ? _______, f (1) ? _______,

. f ( ? 2 ) · f (1) _____0(<或>)
2 ○ 在区间 [ 2 , 4 ] 上有零点______;

师:引导学生结合 函数图象,分析函 数在区间端点上的 函数值的符号情 况,与函数零点是 否存在之间的关 系.

. f ( 2 ) · f ( 4 ) ____0(<或>) (Ⅱ)观察下面函数 y ? f ( x ) 的图象

1 ○ 在区间 [ a , b ] 上______(有/无)零点;

f ( a ) · f (b ) _____0(<或>) .
2 ○ 在区间 [ b , c ] 上______(有/无)零点;

生: 结合函数图象, 思考、讨论、总结 归纳得出函数零点 存在的条件,并进 行交流、评析.

f (b ) · f (c ) _____0(<或>) .
3 ○ 在区间 [ c , d ] 上______(有/无)零点;

f (c ) · f ( d ) _____0(<或>) .

由以上两步探索,你可以得出什么样的结论? 师:引导学生理解 怎样利用函数零点存在性定理,断定函数在某给定区间上 是否存在零点. 函数零点存在定 理,分析其中各条 件的作用. 环节 例 题 研 教学内容设置 例 1.求函数 f ( x ) ? ln x ? 2 x ? 6 的零点个数. 问题: 1)你可以想到什么方法来判断函数零点个数? 生:借助计算机或 计算器画出函数的 师生互动设计

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2)判断函数的单调性,由单调性你能得该函数的单调性 具有什么特性?
3 2

图象,结合图象确 定零点所在的区 间,然后利用函数

例 2. 求函数 y ? x ? 2 x ? x ? 2 , 并画出它的大致图象. 单调性判断零点的 个数. 1.利用函数图象判断下列方程有没有根,有几个根: (1) ? x ? 3 x ? 5 ? 0 ;
2

(2) 2 x ( x ? 2 ) ? ? 3 ; 尝 试 练 习 (3) x ? 4 x ? 4 ;
2

(4) 5 x ? 2 x ? 3 x ? 5 .
2 2

2.利用函数的图象,指出下列函数零点所在的大致区间: (1) f ( x ) ? ? x ? 3 x ? 5 ;
3

(2) f ( x ) ? 2 x ln( x ? 2 ) ? 3 ; (3) f ( x ) ? e
x ?1

? 4x ? 4 ;

(4) f ( x ) ? 3 ( x ? 2 )( x ? 3 )( x ? 4 ) ? x .

1.已知 f ( x ) ? 2 x ? 7 x ? 17 x ? 58 x ? 24 ,请探究方
4 3 2

探 究 与 发 现

程 f ( x ) ? 0 的根.如果方程有根,指出每个根所在的区间(区 间长度不超过 1) . 2.设函数 f ( x ) ? 2 ? ax ? 1 .
x

(1)利用计算机探求 a ? 2 和 a ? 3 时函数 f ( x ) 的零点 个数; (2)当 a ? R 时,函数 f ( x ) 的零点是怎样分布的?

环节

教学内容设置

师生互动设计

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1. 求下列函数的零点: (1) y ? x ? 5 x ? 4 ;
2

(2) y ? ? x ? x ? 20 ;
2

(3) y ? ( x ? 1)( x ? 3 x ? 1) ;
2

(4) f ( x ) ? ( x ? 2 )( x ? 3 x ? 2 ) .
2 2

2. 求下列函数的零点,图象顶点的坐标,画出各自的简 图,并指出函数值在哪些区间上大于零,哪些区间上 小于零: 作 业 回 馈 (1) y ?
1 3 x ? 2x ? 1;
2

(2) y ? ? 2 x ? 4 x ? 1 .
2

3. 已知 f ( x ) ? 2 ( m ? 1) x ? 4 mx ? 2 m ? 1 :
2

(1) m 为何值时,函数的图象与 x 轴有两个零点; (2)如果函数至少有一个零点在原点右侧,求 m 的值. 4. 求下列函数的定义域: (1) y ? (2) y ? (3) y ? 课 外 活 动
ax
2

x ?9 ;
2

x ? 3x ? 4 ;
2

? x ? 4 x ? 12
2

研究 y ? ax

2

? bx ? c , ax ? bx ? c ? 0 ,
2 2

? bx ? c ? 0 , ax ? bx ? c ? 0 的相互关系,以零点作为

考虑列表,建议画 出图象帮助分析.

研究出发点,并将研究结果尝试用一种系统的、简洁的方式总 结表达.

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收 获 与 体 会 说说方程的根与函数的零点的关系, 并给出判定方程在某 个区产存在根的基本步骤.

用二分法求方程的近似解
教学过程与操作设计: 环节 教学内容设计 材料一:二分查找(binary-search) (第六届全国青少年信息学(计算机)奥林匹克分区联赛 提高组初赛试题第 15 题)某数列有 1000 个各不相同的单元, 由低至高按序排列;现要对该数列进行二分法检索 (binary-search),在最坏的情况下,需检索( )个单元。 A.1000 创 设 情 境 B.10 C.100 D.500 二分法检索(二分查找或折半查找)演示. 材料二:高次多项式方程公式解的探索史料 由于实际问题的需要, 我们经常需要寻求函数 y ? f ( x ) 的 零点(即 f ( x ) ? 0 的根) ,对于 f ( x ) 为一次或二次函数,我们 有熟知的公式解法(二次时,称为求根公式) . 在十六世纪,已找到了三次和四次函数的求根公式,但对 于高于 4 次的函数,类似的努力却一直没有成功,到了十九世 纪,根据阿贝尔(Abel)和伽罗瓦(Galois)的研究,人们认 识到高于 4 次的代数方程不存在求根公式,亦即,不存在用四 则运算及根号表示的一般的公式解.同时,即使对于 3 次和 4 次的代数方程,其公式解的表示也相当复杂,一般来讲并不适 宜作具体计算.因此对于高次多项式函数及其它的一些函数, 有必要寻求其零点的近似解的方法,这是一个在计算数学中十 分重要的课题. 生: 体会二分查找的思 想与方法. 师生双边互动

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二分法及步骤: 组 织 探 究 对于在区间 [ a , b ] 上连续不断,且满足 f ( a ) · f (b ) ? 0 的函数 y ? f ( x ) ,通过不断地把函数 f ( x ) 的零点所在的区间 一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近 似值的方法叫做二分法. 给定精度 ? ,用二分法求函数 f ( x ) 的零点近似值的步骤 如下: 2.求区间 ( a , b ) 的中点 x 1 ; 3.计算 f ( x1 ) : 环节 呈现教学材料
1 ○ 若 f ( x1 ) = 0 ,则 x 1 就是函数的零点; 2 ○ 若 f ( a ) · f ( x1 ) < 0 , 则 令 b = x 1 ( 此 时 零 点

分析条件 “ f ( a ) · f (b ) ? 0 ” 、 “精度 ? ” “区间中 、 点”及“ | a ? b |? ? ”

1. 确定区间 [ a ,b ] , 验证 f ( a ) · f (b ) ? 0 , 给定精度 ? ; 的意义.

师生互动设计

生:结合引例“二分查 找” 理解二分法的算法 思想与计算原理.

x 0 ? ( a , x1 ) ) ;
3 ○ 若 f ( x1 ) · f (b ) < 0 , 则 令 a = x 1 ( 此 时 零 点

x 0 ? ( x1 , b ) ) ;

4.判断是否达到精度 ? ; 组 织 探 究 即若 | a ? b |? ? ,则得到零点零点值 a (或 b ) ;否则重复 步骤 2~4. 例题解析: 例 1. 求函数 f ( x ) ? x ? x ? 2 x ? 2 的一个正数零点 (精
3



确到 0 . 1 ) . 分析:首先利用函数性质或借助计算机、计算器画出函数 图象,确定函数零点大致所在的区间,然后利用二分法逐步计 算解答. 解: (略) . 注意:
1 ○ 第一步确定零点所在的大致区间 ( a , b ) ,可利用函数

生: 根据二分法的思想 与步骤独立完成解答, 并进行交流、讨论、评 析.

性质, 也可借助计算机或计算器, 但尽量取端点为整数的区间, 尽量缩短区间长度,通常可确定一个长度为 1 的区间;
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2 ○ 建议列表样式如下:

零点所在区间 [1,2] [1,1.5] [1.25,1.5]

中点函数值
f (1 . 5 ) >0 f (1 . 25 ) <0 f (1 . 375 ) <0

区间长度 1 0.5 0.25 生:认真思考,运用所 学知识寻求确定方程 行、 讨论、 交流、 归纳、 概括、评析形成结论.

并进 如此列表的优势:计算步数明确,区间长度小于精度时, 解的个数的方法, 即为计算的最后一步. 例 2.借助计算器或计算机用二分法求方程
2 ? 3 x ? 7 的近似解(精确到 0 . 1 ) .
x

解: (略) . 思考:本例除借助计算器或计算机确定方程解所在的大致 区间和解的个数外,你是否还可以想到有什么方法确定方程的 根的个数? 结论:图象在闭区间 [ a , b ] 上连续的单调函数 f ( x ) ,在
( a , b ) 上至多有一个零点.

环节 1) 函数零点的性质

呈现教学材料 从“数”的角度看:即是使 f ( x ) ? 0 的实数; 从“形”的角度看:即是函数 f ( x ) 的图象与 x 轴交点的

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探 究 与 发 现

横坐标; 若函数 f ( x ) 的图象在 x ? x 0 处与 x 轴相切,则零点 x 0 通 常称为不变号零点; 若函数 f ( x ) 的图象在 x ? x 0 处与 x 轴相交,则零点 x 0 通 常称为变号零点. 2) 用二分法求函数的变号零点 二分法的条件 f ( a ) · f (b ) ? 0 表明用二分法求函数的近
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似零点都是指变号零点. 1) 求方程 log 尝 试 练 习
x ? x ? 3 的解的个数及其大致所在区间;
2 21 x ? 0 的实数解的个数;

3

2) 求方程 0 . 9 ?
x

3) 探究函数 y ? 0 . 3 与函数 y ? log
x

0 .3

x 的图象有无交

点,如有交点,求出交点,或给出一个与交点距离不 超过 0 . 1 的点.

1) 教材 P108 习题 3.1(A 组)第 3~6 题、 组)第 4 题; (B 2) 提高作业:
1 ○ 已知函数

作 业 回 馈

f ( x ) ? 2 ( m ? 1) x ? 4 mx ? 2 m ? 1 .
2

(1) m 为何值时,函数的图象与 x 轴有两个交点? (2)如果函数的一个零点在原点,求 m 的值.
2 ○ 借助于计算机或计算器,用二分法求函数

f ( x ) ? x ? 2 的零点(精确到 0 . 01 ) ;
3

3 ○ 用二分法求 3 3 的近似值(精确到 0 . 01 ) .

环节 课 外 活 动

呈现教学材料 查找有关系资料或利用 internet 查找有关高次代数方程的 解的研究史料,追寻阿贝尔(Abel)和伽罗瓦(Galois) ,增强 探索精神,培养创新意识.

师生互动设计

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收 获 与 体 会

说说方程的根与函数的零点的关系,并给出判定方程在某 个区间存在根的基本步骤,及方程根的个数的判定方法; 谈谈通过学习求函数的零点和求方程的近似解,对数学有 了哪些新的认识?

几类不同增长的函数模型
教学过程与操作设计: 环节 教学内容设计 材料:澳大利亚兔子数“爆炸” 在教科书第三章的章头图中, 有一大群喝水、 嬉戏 创 设 情 境 的兔子, 但是这群兔子曾使澳大利亚伤透了脑筋. 1859 年,有人从欧洲带进澳洲几只兔子,由于澳洲有茂盛 的牧草,而且没有兔子的天敌,兔子数量不断增加, 不到 100 年,兔子们占领了整个澳大利亚,数量达到 75 亿只.可爱的兔子变得可恶起来,75 亿只兔子吃掉 了相当于 75 亿只羊所吃的牧草, 草原的载畜率大大降 低,而牛羊是澳大利亚的主要牲口.这使澳大利亚头 痛不已,他们采用各种方法消灭这些兔子,直至二十 世纪五十年代,科学家采用载液瘤病毒杀死了百分之 九十的野兔,澳大利亚人才算松了一口气. 师生双边互动

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例 1.假设你有一笔资金用于投资,现有三种投 资方案供你选择,这三种方案的回报如下: 方案一:每天回报 40 元; 方案二: 第一天回报 10 元, 以后每天比前一天多 回报 10 元; 组 方案三:第一天回报 0 .4 元,以后每天的回报比 前一天翻一番. 请问,你会选择哪种投资方案? 织 探究: 1) 在本例中涉及哪些数量关系?如何用函数描述 探 这些数量关系? 生:观察表格,获 取信息,体会三种 函数的增长差异, 特别是指数爆炸, 说出自己的发现, 并进行交流. . 究 2)分析解答(略) 生:阅读题目,理 解题意,思考探究 问题.

3) 根据例 1 表格中所提供的数据, 你对三种方案 分别表现出的回报资金的增长差异有什么认识? 环节 教学内容设计 师生双边互动

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生:对三种方案的 4) 你能借助计算器或计算机作出函数图象, 并通 过图象描述一下三种方案的特点吗? 不同变化趋势作出 描述,并为方案选 择提供依据. 生:通过自主活动, 分析整理数据,并 根据其中的信息做 出推理判断,获得 5)根据以上分析,你认为就作出如何选择? 组 累计收益并给出本 全的完整解答,然 后全班进行交流. 织

例 2.某公司为了实现 1000 万元利润的目标,准 备制定一个激励销售部门的奖励方案:在销售利润达

生:进一步体会三 种基本函数模型在 用,体会它们的增 长差异.

到 10 万元时, 按销售利润进行奖励, 且奖金 y (单位: 实 际 中 的 广 泛 应 探 万元)随销售利润 x (单位:万元)的增加而增加但 奖金不超过 5 万元,同时奖金不超过利润的 25%.现 有三个奖励模型: 究
y ? 0 . 25 x

y ? log

7

x ?1

y ? 1 . 002

x



问:其中哪个模型能符合公司的要求? 探究: 1) 本例涉及了哪几类函数模型? 本例的实质是什么?

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2) 你能根据问题中的数据, 判定所给的奖励模型 是否符合公司要求吗? 环节 呈现教学材料 师生互动设计 生:分析数据特点 组 织 3) 通过对三个函数模型增长差异的比较, 写出例 探 究 2 的解答. 生:进一步认识三 个函数模型的增长 差异,对问题作出 具体解答. 生:仿照例题的探 幂函数、指数函数、对数函数的增长差异分析: 探 究 与 发 现 你能否仿照前面例题使用的方法,探索研究幂函 数 y ? x ( n ? 0 ) 、指数函数 y ? a ( a ? 1) 、对数函数
n x

与作用判定每一个 奖励模型是否符合 要求.

究方法,选用具体 函数进行研究、论 证,并进行交流总 结,形成结论性报 告.

y ? log

a

x ( a ? 1) 在区间 ( 0 , ?? ) 上的增长差异,并进

行交流、讨论、概括总结,形成较为准确、详尽的结 论性报告.

巩 固 与 反 思

小结与反思: 通过实例和计算机作图体会、认识直线上升、指 数爆炸、对数增长等不同函数模型的增长的含义,认 识数学的价值,认识数学与现实生活、与其他学科的 密切联系,从而体会数学的实用价值,享受数学的应 用美.

生:通过尝试练习 进一步体会三种不 同增长的函数模型 的增长差异及其实 际应用.

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收集一些社会生活中普遍使用的递增的一次函 课 外 活 动 数、指数函数、对数函数的实例,对它们的增长速度 进行比较,了解函数模型的广泛应用; 有时同一个实际问题可以建立多个函数模型.具 体应用函数模型时,你认为应该怎样选用合理的函数 模型?

函数模型的应用实例学案 学习过程 一、复习提问 我们学过的一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数的一般形式是什么? 二、新课 例 3、一辆汽车在某段路程中的行驶速度与时间的关系如图所示。 (1)求图中阴影部分的面积,并说明所求面积的实际含义; (2)假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为 2004km,试建立汽车行 驶这段路程时汽车里程表读数 skm 与时间 th 的函数解析式,并作出檅应的图象。

例 4、 人口问题是当今世界各国普遍关注的问题, 认识人口数量的变化规律,可 以为有效控制人口增长依据。早在 1798 年,英国经济学家马尔萨斯就提出了自然状 态下的人口增长模型:y= y 0 e ,其中 t 表示经过的时间,y0 表示 t=0 时的人口数, r 表示人口的年平均增长率。 表 3-8 是 1950――1959 年我国的人口数据资料
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rt

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(1)如果以各年人口增长率的平均值作为我国这一时期的人口增长率(精确到 0.0001) 用马尔萨斯人口增长模型建立我国在这一时期的具体人口增长模型,并检验所得模型 与实际人口数据是否相符; (2)如果按表 3-8 的增长趋势,大约在哪一年我国的人口达到 13 亿?

例 5、某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为 200 元,每桶水的进 价是 5 元,销售单价与日均销售量的关系如下表所示: 销售单价/ 元 6 7 8 9 10 11 12 日均销售量/桶 480 440 400 360 320 280 240 请根据以上根据作出分析,这个经营部怎样定价才能获得最大利润?

例 6、某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如表所示: 身高/cm 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 体 重 /kg 6.13 7.90 9.99 12.15 15.02 17.50 20.92 26.86 31.11 38.85 47.25 55.05 (1)根据表提供的数据,能否建立恰当的函数模型,使它能比较近似地反映这个地区未 成年男性体重 ykg 与身高 xcm 的函数关系?试写出这个函数模型的解析式。 (2)若体重超过相同身高男性体重平均值的 1.2 倍为偏胖,低于 0.8 倍为偏瘦,那么 这个地区一名身高为 175cm,体重为 78kg 的在我校男生的体重是否正常?

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