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初三数学三角形的证明------11月11日(1)


初三数学三角形的证明------11 月 11 日(1) 1. 已知 O 为直线 MN 上一点,OP⊥MN,在等腰 Rt△ABO 中,∠BAO=90°,AC∥OP 交 OM 于 C,D 为 OB 的中点,DE⊥DC 交 MN 于 E. (1)如图 1,若点 B 在 OP 上,则 ①AC ______ OE(填“<”,“=”或“>”); ②线段 CA、CO、CD 满足的等量关系式是______ ; (2)将图 1 中的等腰 Rt△ABO 绕 O 点顺时针旋转α (0°<α <45°), 如图 2,那么(1)中的结论②是否成立?请说明理由; (3)将图 1 中的等腰 Rt△ABO 绕 O 点顺时针旋转α (45°<α <90°), 请你在图 3 中画出图形,并直接写出线段 CA、CO、CD 满足的等量关系式 ______ .

2. 【操作发现】 (1)如图 1,△ABC 为等边三角形,现将三角板中的 60°角与∠ACB 重合,再将三角板绕点 C 按顺时针方向旋转(旋转角大于 0° 且小于 30°),旋转后三角板的一直角边与 AB 交于点 D,在三角板斜边上取一点 F,使 CF=CD,线段 AB 上取点 E,使∠DCE=30°, 连接 AF,EF. ①求∠EAF 的度数; ②DE 与 EF 相等吗?请说明理由; 【类比探究】 (2)如图 2,△ABC 为等腰直角三角形,∠ACB=90°,先将三角板的 90°角与∠ACB 重合,再将三角板绕点 C 按顺时针方向旋转 (旋转角大于 0°且小于 45°),旋转后三角板的一直角边与 AB 交于点 D,在三角板另一直角边上取一点 F,使 CF=CD,线段 AB 上取点 E,使∠DCE=45°,连接 AF,EF,请直接写出探究结果: ①求∠EAF 的度数; ②线段 AE,ED,DB 之间的数量关系.

3. 如图,将边长为 6 的正三角形纸片 ABC 按如下顺序进行两次折叠,展平后,得折痕 AD,BE(如图①),点 O 为其交点. (1)探求 AO 到 OD 的数量关系,并说明理由; (2)如图②,若 P,N 分别为 BE,BC 上的动点. ①当 PN+PD 的长度取得最小值时,求 BP 的长度; ②如图③,若点 Q 在线段 BO 上,BQ=1,则 QN+NP+PD 的最小值= ______ .

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4. △ABC 是等边三角形,点 E 为射线 AN 上任意一点(点 E 与点 A 不重合),将线段 CE 绕点 C 顺时针旋转 60°得到线段 CD,直线 DB 交直线 AN 于点 F. (1)如图 1,若∠NAC=90°,猜想∠DFA= ______ ; (2)如图 2,若∠NAC 是锐角时,其它条件不变,请你求出∠DFA 的 度数; (3)如图 3,若∠NAC=135°,∠ACE=15°,且 AC=6,请求出 BD 的 长.

5. 在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,∠A=30°,点 D 是 AB 的中点,连接 CD. (1)如图 1,BD 与 BC 的数量关系是______ ; (2)如图 2,若 P 是线段 CB 上一动点(点 P 不与点 B、C 重合),连接

DP,将线段 DP 绕点 D 逆时针旋转 60°,得到线段 DF,连接 BF,请猜想 BD、BF、BP 三者之间的数量关系,并证明你的结论;
(3)若点 P 是线段 CB 延长线上一动点,按照(2)中的作法,请在图 3 中补全图形,并直接写出 BD、BF、BP 三者之间的数量关系.

6. 问题:如图(1),在 Rt△ACB 中,∠ACB=90°,AC=CB,∠DCE=45°,试探究 AD、DE、EB 满足的等量关系. [探究发现] 小聪同学利用图形变换,将△CAD 绕点 C 逆时针旋转 90°得到△CBH,连接 EH,由已知条件易得∠EBH=90°,∠ECH=∠ECB+∠BCH= ∠ECB+∠ACD=45°. 根据“边角边”,可证△CEH≌ ______ ,得 EH=ED. 在 Rt△HBE 中,由______ 定理,可得 BH +EB =EH ,由 BH=AD,可得 AD、DE、EB 之间的等量关系是______ . [实践运用] (1)如图(2),在正方形 ABCD 中,△AEF 的顶点 E、F 分别在 BC、CD 边上,高 AG 与正方形的边长相等,求∠EAF 的度数; (2)在(1)条件下,连接 BD,分别交 AE、AF 于点 M、N,若 BE=2,DF=3,BM=2 2,运用小聪同学探究的结论,求正方形的边长 及 MN 的长.
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