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必修1第二章 基本初等函数(Ⅰ)学案完整版(超棒)


开远一中

高一数学◆必修 1◆导学案

编写:高一课题组

校审:

§ 2.1.1 指数与指数幂的运算(1)
学习目标
1. 了解指数函数模型背景及实用性、必要性; 2. 了解根式的概念及表示方法; 3. 理解根式的运算性质.

问题 2:生物死亡后,体内碳

14 每过 5730 年衰减 一半(半衰期) ,则死亡 t 年后体内碳 14 的含量 P 与死亡时碳 14 关系为 P
1 ? ( ) 5730 2
t

. 探究该式意义?

学习过程
一、课前准备 (预习教材 P48~ P50,找出疑惑之处) 复习 1:正方形面积公式为 ;正方体的 体积公式为 . 复习 2: (初中根式的概念)如果一个数的平方等于 a, 那么这个数叫做 a 的 , 记作 ; 如果一个数的立方等于 a,那么这个数叫做 a 的 ,记作 . 小结:实践中存在着许多指数函数的应用模型,如 人口问题、银行存款、生物变化、自然科学. 探究任务二:根式的概念及运算 考察: ( ? 2 ) 2 ? 4 ,那么 ? 2 就叫 4 的
3 ? 27
3

; ; . .

( ? 3)

4

,那么 3 就叫 27 的 ? 8 1 ,那么 ? 3 就叫做 8 1 的
n

依此类推, x 若

? a

,, 那么 x 叫做 a 的

二、新课导学 ※ 学习探究 探究任务一:指数函数模型应用背景 探究下面实例及问题,了解指数指数概念提出的 背景,体会引入指数函数的必要性. 实例 1. 某市人口平均年增长率为 1.25℅,1990 年 人口数为 a 万,则 x 年后人口数为多少万?

新知:一般地,若 x n ? a ,那么 x 叫做 a 的 n 次方根 ( n th root ),其中 n ? 1 , n ? ? ? . 简记: n
a

. 例如: 2 3

? 8 ,则

3

8 ? 2

.

反思: 当 n 为奇数时, n 次方根情况如何? 例如: 3
27 ? 3

,3

?27 ? ?3 ,

记: x

?

n

a

.

当 n 为偶数时,正数的 n 次方根情况? 例如: 8 1 的 4 次方根就是 ,记: ? n
a

.

强调:负数没有偶次方根;0 的任何次方根都是 实例 2. 给一张报纸,先实验最多可折多少次?你 能超过 8 次吗? 0,即 n
0 ? 0

. ; .

试试: b 4
3

? a

b ?

,则 a 的 4 次方根为 a ,则 a 的 3 次方根为

计算:若报纸长 50cm,宽 34cm,厚 0.01mm,进 行对折 x 次后,求对折后的面积与厚度?

新知:像 n a 的式子就叫做根式(radical) ,这里 n 叫做根指数(radical exponent) ,a 叫做被开方数 (radicand). 试试:计算 ( 2
3)
2

、3

4

3

、n

(?2)

n

.

问题 1:国务院发展研究中心在 2000 年分析,我国 未来 20 年 GDP(国内生产总值)年平均增长率达 7.3℅, 则 x 年后 GDP 为 2000 年的多少倍?

反思: 从特殊到一般, ( n
a)
n

、n

a

n

的意义及结果?

1

2011 年下学期◆高一




n

班级:

姓名:

第二章 基本初等函数(Ⅰ)

结论:( n

a) ? a
n

. 当 n 是奇数时, n
(a ? 0) (a ? 0)

a

? a

;当 n 是

学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为 ( A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
1.
4

偶数时, n

a

n

?a ? | a |? ? ??a

) .

.

※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分:
( ? 3)
4

※ 典型例题 例 1 求下类各式的值:
(1) (3) 6
3

的值是(

). D. 81 D. 25
1 b

(? a )

3

; (2)
6

4

(?7)

4


2

(3 ? ? )

; (4)

2

(a ? b )

(a

? b

).

A. 3 B. -3 C. ? 3 2. 625 的 4 次方根是( ). A. 5 B. -5 C. ±5 3. 化简 ( A.
?b
6
2

?b )

2

是(
b

). C.
?b

B.
(a ? b )
6

D.

4. 化简

= =

. ;2
3
4

5. 计算: ( 3

?5 )

3

.

课后作业
1. 计算: (1) 5 变式:计算或化简下列各式. (1) 5
?32

a

10



(2)

3

7

9

.



(2) 3

a

6

.

推广:

np

a

mp

?

n

a

m

(a ? 0).
7?4 3 ? 6?4

※ 动手试试
练 1. 化简
5? 2 6 ? 2

.

2. 计算 a 3 ? a ? 4 和 a 3 ? ( ? 8 ) ,它们之间有什么关系? 你能得到什么结论?

练 2. 化简 2

3?

3

1 .5 ?

6

12

.

3. 对比 ( a b ) n

? a b
n

n

与(

a b

) ?
n

a b

n n

,你能把后者归入

三、总结提升 ※ 学习小结 1. n 次方根,根式的概念; 2. 根式运算性质. ※ 知识拓展
1. 整数指数幂满足不等性质:若 a ? 0 ,则 a n 2. 正整数指数幂满足不等性质: ① 若 a ? 1 ,则 a n ? 1 ; ② 若 0 ? a ? 1 ,则 0 ? a n ? 1 . 其中 n ? N*.
? 0

前者吗?

.

§ 2.1.1 指数与指数幂的运算(2)
2

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高一数学◆必修 1◆导学案

编写:高一课题组

校审:

学习目标
1. 理解分数指数幂的概念; 2. 掌握根式与分数指数幂的互化; 3. 掌握有理数指数幂的运算.

① 0 的正分数指数幂为 ;0 的负分数指数 幂为 . ② 分数指数幂有什么运算性质?

学习过程
一、课前准备 (预习教材 P50~ P53,找出疑惑之处) 复习 1: 一般地, x n ? a , x 叫做 a 的 若 则 ? 其中 n ? 1 , n ? ? . 简记为: . 像 n a 的式子就叫做 运算性质:
( a)
n n

小结: 规定了分数指数幂的意义后,指数的概念就从整 数指数推广到了有理数指数,那么整数指数幂的运 算性质也同样可以推广到有理数指数幂. 指数幂的运算性质: ( a ? 0, b ? 0, r , s ? Q ) ,
a
r

·ar

? a

r?s



(a ) ? a
r s

rs



(ab) ? a a
r r

s



,具有如下 = ;
np

※ 典型例题
2

=



例 1 求值: 2 7 3 ; 1 6
a
mp

?

4 3



n

a

n

=

.

3 ?3 ( ) 5

;(

25 49

?

2 3

)

.

复习 2:整数指数幂的运算性质. (1) a m ?a n ? ; (2) ( a m ) n (3) ( a b )
n

?



?

. 变式:化为根式.

二、新课导学 ※ 学习探究 探究任务:分数指数幂
10

引例:a>0 时, 5 则类似可得
2 3

a
3

10

?
12

5

(a ) ? a
2 5

2

? a

5



a
2

?


a ?

a

2

?

3

(a 3 ) ? a 3
3

,类似可得

.

新知:规定分数指数幂如下
m

a
a

n

?
m n

n

a

m

( a ? 0 , m , n ? N , n ? 1)
*


*

例 2 用分数指数幂的形式表示下列各式 ( b (1) b 2 ?
b

? 0)



?

?

1
m

?
n

1 a
m

; (2) b 3 ?5

b

3

; (3) 3

b b

4

.

( a ? 0 , m , n ? N , n ? 1)

.

a

n

试试: (1)将下列根式写成分数指数幂形式:
2

3

5

=
m

; =
2 2

3

5

4

=
?

; . 例 3 计算(式中字母均正) :
2
4 3 5 2

a

(a ? 0, m ? N )

1

1

1

1

5

1

3

(2)求值: 8 3 ;

55



?

6



?

(1)(3 a 3 b 2 )( ? 8 a 2 b 3 ) ? ( ? 6 a 6 b 6 ) ; (2)( m 4 n 8 ) 1 6 . .

a

反思:
3

小结:例 2,运算性质的运用;例 3,单项式运算. 例 4 计算:

2011 年下学期◆高一





班级:

姓名:

第二章 基本初等函数(Ⅰ)

(1)

a

3

(a ? 0) ;
3 4

学习评价
)
6

a? a

(2) ( 2 m 2 n (3) ( 4 1 6

?

3 5

1

)

10

? (? m 2 n
4

?3

(m , n ? N )

?



※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为 ( A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差

) .

?

3

32 ) ?

64

.

※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1. 若 a ? 0 ,且 m , n 为整数,则下列各式中正确的 是( ).
m

A. C.

a

m

?a
n

n

? a

n

B. D.

a

m

?a ? a
n n

mn

?a ?
m

? a

m?n

1? a

? a

0?n

3

2. 化简 2 5 2 的结果是( ). A. 5 B. 15 C. 25 D. 125 小结:在进行指数幂的运算时,一般地,化指数为 正指数,化根式为分数指数幂,对含有指数式或根 式的乘除运算,还要善于利用幂的运算法则. 反思: ①
3
2

3. 计算 ? ? ?
? ?

2

?

?2

? ? ?

?

1 2

的结果是(
2

).
2 2

A.

2
? 2 3

B. ? =
n

C. .
3m ? n

D. ?

2 2

的结果?

4. 化简 2 7 5. 若 1 0 m

? 2, 1 0 ? 4

,则 1 0

2

=

.

结论:无理指数幂.(结合教材 P53 利用逼近的思想 理解无理指数幂意义) ② 无理数指数幂 a ( a ? 0 , ? 是 无 理 数 ) 是一个确定 的实数.实数指数幂的运算性质如何?
?

课后作业
1. 化简下列各式: (1) (
36 49
3

)2



(2)

a

2

b

3

a b
3

.

※ 动手试试
练 1.
? 把? ? ?
1

b

a

x3? x

3

?2

? ? ? ?

?

8 5

化成分数指数幂.

练 2. 计算: (1) 3

3 ? 3 ? 27

4

4

; (2) 6

(

8a

3 3

)

4

.

1 2 5b

3

三、总结提升 ※ 学习小结 ①分数指数幂的意义;②分数指数幂与根式的互 化;③有理指数幂的运算性质. ※ 知识拓展
放射性元素衰变的数学模型为: m
? m0 e
??t

2. 计算:

a

4

? 8 ab
3 3

3

a

2

? 2

ab ? 4

3

a

4

? b ? ? ?1 ? 2 3 ? ? a ? ? ?

.

,其

中 t 表示经过的时间, m 0 表示初始质量,衰减后的 质量为 m, ? 为正的常数.

4

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高一数学◆必修 1◆导学案

编写:高一课题组

校审:

§ 2.1.1 指数与指数幂的运算 (练习)
学习目标
1. 掌握 n 次方根的求解; 2. 会用分数指数幂表示根式; 3. 掌握根式与分数指数幂的运算.

小结:① 平方法;② 乘法公式; ③ 根式的基本性质 a m p ? n a m (a≥0)等. 注意, a≥0 十分重要,无此条件则公式不成立. 例如, 6
(?8)
2

np

?

3

?8
1 2

.
?3

1

变式:已知 a 2
1

?a

?

,求:
3

学习过程
一、课前准备 (复习教材 P48~ P53,找出疑惑之处) 复习 1:什么叫做根式? 运算性质? 像n
( a)
n n

(1) a 2

? a

?

1 2



(2) a 2

? a

?

3 2

.

a

的式子就叫做 ;
n

,具有性质: = ;
np

=

a

n

a

mp

=

.

复习 2:分数指数幂如何定义?运算性质?
m

① ②a

a

n

?

;a
*

?

m n

?

.
s

其中 a
r s

? 0, m , n ? N , n ? 1

?a ?
s

; .

(a ) ?
r



(ab) ?

复习 3:填空. ① n为 时, n
x
n

( x ? 0) ? ? | x | ? ? ........... ( x ? 0) ?

. 例 2 从盛满 1 升纯酒精的容器中倒出 升,然后用
3 1

② 求下列各式的值:
3

2

6

=
2

; =

4

16
15

=
?32

; =

6

81

=

; 水填满,再倒出 升,又用水填满,这样进行 5 次,
1 3

6

(?2)
4

; ;6

; .

则容器中剩下的纯酒精的升数为多少?

x

8

=

a b

2

4

=

二、新课导学 ※ 典型例题
1 ? 1 2

例 1 已知 a 2 (1) a
? a
?1

? a

=3,求下列各式的值:
3
2

; (2) a
3

? a
3

?2

; (3)
2

a2 ? a
1

?

3 2

a

2

?a

?

1 2

. . 变式:n 次后?

补充:立方和差公式 a

? b ? ( a ? b )( a ? a b ? b )
2

小结:① 方法:摘要→审题;探究 → 结论; ② 解应用问题四步曲:审题→建模→解答→作答.
5

2011 年下学期◆高一





班级:

姓名:

第二章 基本初等函数(Ⅰ)

※ 动手试试
1 1 1 1

学习评价
? y 2 ) ? (x 4 ? y 4 ) .

练 1. 化简: ( x 2

※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为 ( A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
3

) .

※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分:
1. A. 2.
a

92

的值为(
3
3

). C. 3 D. 729 ).
1 17

B.
4

3 3

(a>0)的值是(
5

a? a

A. 1 B. a C. 3. 下列各式中成立的是( 练 2. 已知 x+x =3,求下列各式的值.
1

a5

D. ).

a 10

-1

A. ( C. 4 4.

n m

1

) ? n m7
7 7
3 3 3

B. 1 2 ( ? 3) 4 D. .
1 1
3

?

3

?3

(1) x 2 ? x

?

1 2

3



(2) x 2 ? x

?

3 2

.

x ? y

? (x ? y)4

9 ?

3

3

化简 (

25 4
2

?

3 2

)
1

=
1 3

1

5

5. 化简 ( a 3 b 2 )( ? 3 a 2 b 3 ) ? (

a 6b 6 )

=

.

课后作业
1. 已知 x
? a
?3

?b

?2

, 求4

x ? 2a
2

?3

x? a

?6

的值.

练 3. 已知 的值.

f ( x ) ? ? , x1 ? x 2 ? 0
x

, 试求

f ( x1 ) ? f ( x 2 )

2. 探究:n a n 满足的条件.

? ( a ) ? 2a
n n

时, 实数 a 和整数 n 所应

三、总结提升 ※ 学习小结 1. 根式与分数指数幂的运算; 2. 乘法公式的运用. ※ 知识拓展 1. 立方和差公式:
a ? b ? ( a ? b )( a ? a b ? b )
3 3 2 2

; .
3

a ? b ? ( a ? b )( a ? a b ? b )
3 3 2 2

2. 完全立方公式:
(a ? b ) ? a ? 3a b ? 3ab ? b
3 3 2 2

; .
6

(a ? b ) ? a ? 3a b ? 3ab ? b
3 3 2 2

3

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高一数学◆必修 1◆导学案

编写:高一课题组

校审:

§ 2.1.2 指数函数及其性质(1)
学习目标
1. 了解指数函数模型的实际背景, 认识数学与现实 生活及其他学科的联系; 2. 理解指数函数的概念和意义; 3. 能画出具体指数函数的图象, 掌握指数函数的性 质(单调性、特殊点).

探究任务二:指数函数的图象和性质 引言:你能类比前面讨论函数性质时的思路,提出 研究指数函数性质的内容和方法吗? 回顾: 研究方法: 画出函数图象, 结合图象研究函数性质. 研究内容:定义域、值域、特殊点、单调性、最大 (小)值、奇偶性. 作图:在同一坐标系中画出下列函数图象:

学习过程
一、课前准备 (预习教材 P54~ P57,找出疑惑之处) 复习 1: 零指数、 负指数、 分数指数幂怎样定义的? 0 (1) a ? ; ?n (2) a ? ;
m

1 x y ? ( ) 2



y ? 2

x

(3) a n 其中 a

?
*

;a

?

m n

?

.

? 0, m , n ? N , n ? 1

讨论: (1)函数 y
? 2
x

与y

1 x ? ( ) 2

的图象有什么关系?如 的图象?

复习 2:有理指数幂的运算性质. (1) a m ?a n ? ; (2) ( a m ) n (3) ( a b ) n
?

何由 y
?

? 2

x

的图象画出 y



1 x ? ( ) 2

.

二、新课导学 ※ 学习探究 探究任务一:指数函数模型思想及指数函数概念 实例: A.细胞分裂时,第一次由 1 个分裂成 2 个,第 2 次由 2 个分裂成 4 个,第 3 次由 4 个分裂成 8 个, 如此下去,如果第 x 次分裂得到 y 个细胞,那么细 胞个数 y 与次数 x 的函数关系式是什么? B.一种放射性物质不断变化成其他物质,每经 过一年的残留量是原来的 84%, 那么以时间 x 年为 自变量,残留量 y 的函数关系式是什么?
讨论:上面的两个函数有什么共同特征?底数是什 么?指数是什么? 性 质 新知:一般地,函数 y ? a x ( a ? 0 , 且 a ? 1) 叫做指数 函数(exponential function) ,其中 x 是自变量,函 数的定义域为 R. 反思:为什么规定 a >0 且 a ≠1 呢?否则会出现什 么情况呢? (2)根据两个函数的图象的特征,归纳出这两个 指数函数的性质. 变底数为 3 或 后呢?
3 1

新知:根据图象归纳指数函数的性质. a>1 0<a<1 图 象 (1)定义域:R (2)值域: (0,+∞) (3)过点(0,1) ,即 x=0 时,y=1 (4)在 R 上是增函数 (4)在 R 上是减函数

※ 典型例题
例 1 函数 f ( x ) ? a x( a ? 0, 且 a 求 f ( 0 ) , f ( ? 1) , f (1) 的值.
?1) 的图象过点 ( 2 , ? )



试试:举出几个生活中有关指数模型的例子?

7

2011 年下学期◆高一





班级:

姓名:

第二章 基本初等函数(Ⅰ)

小结:①确定指数函数重要要素是 ② 待定系数法. 例 2 比较下列各组中两个值的大小: (1) 2 0 .6 , 2 0 .5 ; (2) 0 .9 ? 2 , 0 .9 ? 1 .5 ; (3) 2 .1 0 .5 , 0 .5 2 .1 ; (4) ?
2? 3



学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为 ( A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
) .

与1 .

※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分:
1. 函数 y ? ( a 2 ? 3 a ? 3) a x 是指数函数,则 a 的值为 ( ). A. 1 B. 2 C. 1 或 2 D. 任意值 x?2 2. 函数 f(x)= a ? 1 (a>0,a≠1)的图象恒过定点 ( ). A. (0,1) B. (0 , 2 ) C. ( 2,1) D. ( 2 , 2 ) 3. 指数函数① f ( x ) ? m x ,② g ( x ) ? 0 ? m ? n ? 1 ,则它们的图象是(
n
x

满足不等式 ).

小结:利用单调性比大小;或间接利用中间数.

※ 动手试试 练 1. 已知下列不等式,试比较 m、n 的大小:
(1) (
2 3 )
m

2

4

? ( ) 3

2

n

; (2)

1 .1

m

? 1 .1

n

.

4. 比较大小: ( ? 2 .5 ) 3 5. 函数 y
? 1 x ( ) ?1 9

( ? 2 .5 ) 5

. .

的定义域为

课后作业
练 2. 比较大小: (1) a ? 0 .8 0 .7 , b ? (2) 1
0

1. 求函数 y=
0 .8
0 .9

1
x

的定义域.

5 1? x ? 1
, c ? 1 .2
1 .6
0 .8



, 0 .4

? 2 .5

, 2

? 0 .2

, 2 .5 .

三、总结提升 ※ 学习小结 ①指数函数模型应用思想;②指数函数概念;③指 数函数的图象与性质;③单调法. ※ 知识拓展
因为 y
y ? a
f (x)

2. 探究: 在[m, n]上,f ( x ) ?

a ( a ? 0 且 a ? 1)
x

值域?

? a

x

( a ? 0, 且 a ? 1)

的定义域是 R, 所以 的定义域 的 定 义域 ,由

( a ? 0, 且 a ? 1) 的定义域与 f ( x )
x

相同. 而 y ? ? (a ) (a ? y ? ? ( t ) 的定义域确定.

0, 且 a ? 1)

8

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高一数学◆必修 1◆导学案

编写:高一课题组

校审:

§ 2.1.2 指数函数及其性质(2)
学习目标
1. 熟练掌握指数函数概念、图象、性质; 2. 掌握指数型函数的定义域、值域,会判断其单调 性; 3. 培养数学应用意识.

小结:学会读题摘要;掌握从特殊到一般的归纳法. 试试:2007 年某镇工业总产值为 100 亿,计划今后 每年平均增长率为 8%, 经过 x 年后的总产值为原来 的多少倍?多少年后产值能达到 120 亿?

学习过程
一、课前准备 (预习教材 P57~ P60,找出疑惑之处) 复习 1:指数函数的形式是 其图象与性质如下 a>1 0<a<1 图 象 性 质 (1)定义域: (2)值域: (3)过定点: (4) 单调性:

小结:指数函数增长模型. 设原有量 N,每次的增长率为 p,则经过 x 次增 长后的总量 y= . 我们把形如 y ? ka x ,
( k ? R , a ? 0 , 且 a ? 1)

的函数称为指数型函数.

例 2 求下列函数的定义域、值域:
1

(1) y

? 2 ?1
x

; (2) y

? 3

5 x ?1

; (3) y

? 0 .4 x ? 1

.

复习 2:在同一坐标系中,作出函数图象的草图:
y ? 2
x

,y

1 x x ? ( ) ,y ? 5 2

,y

1 x ? ( ) 5

,

y ? 10

x

,y

? (

1 10

)

x

.

变式:单调性如何?

思考:指数函数的图象具有怎样的分布规律? 小结:单调法、基本函数法、图象法、观察法.

二、新课导学 ※ 典型例题 例 1 我国人口问题非常突出,在耕地面积只占世界 7%的国土上,却养育着 22%的世界人口.因此,中 国的人口问题是公认的社会问题. 2000 年第五次人 口普查,中国人口已达到 13 亿,年增长率约为 1%. 为了有效地控制人口过快增长, 实行计划生育 成为我国一项基本国策. (1)按照上述材料中的 1%的增长率,从 2000 年 起,x 年后我国的人口将达到 2000 年的多少倍? (2) 2000 年起到 2020 年我国人口将达到多少? 从
试试:求函数 y 论其单调性.
? 2
?x

?

1 2

的定义域和值域,并讨

9

2011 年下学期◆高一





班级:

姓名:

第二章 基本初等函数(Ⅰ)

※ 动手试试
练 1. 求指数函数 y 其单调性.
? 2
x ?1
2

学习评价
的定义域和值域, 并讨论

※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为 ( A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差

) .

练 2. 已知下列不等式,比较 m , n 的大小. (1) 3 m (3) a m
?3
n


( a ? 1)

? a

n

(2) 0 .6 m ; (4) a m

? 0 .6

n



? a

n

(0 ? a ? 1) .

※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1. 如果函数 y=ax (a>0,a≠1)的图象与函数 y=bx (b>0,b≠1)的图象关于 y 轴对称,则有( ). A. a>b B. a<b C. ab=1 D. a 与 b 无确定关系 - 2. 函数 f(x)=3 x-1 的定义域、值域分别是( ). A. R, R ? B. R, (0, ? ? ) C. R, ( ? 1, ? ? ) D.以上都不对 3. 设 a、b 均为大于零且不等于 1 的常数,则下列 说法错误的是( ). - A. y=ax 的图象与 y=a x 的图象关于 y 轴对称? 1-x B. 函数 f(x)=a (a>1)在 R 上递减 C. 若 a 2 >a 2 ? 1 ,则 a>1 ? D. 若 2 x >1,则 x ? 1 4. 比较下列各组数的大小:
2 ? ( ) 2 5
1

(0 . )2 4

?

3





3 3



0 . 7 6

( 3)

? 0 .7 5

.

5. 在同一坐标系下, 函数 y=ax, y=bx, y=cx, y=dx 的图象如右 图,则 a、b、c、d、1 之间从 小到大的顺序是 . 练 3. 一片树林中现有木材 30000 m3,如果每年增 长 5%,经过 x 年树林中有木材 y m3,写出 x,y 间 的函数关系式,并利用图象求约经过多少年,木材 可以增加到 40000m3.

课后作业
1. 已知函数 f(x)=a-
a?R

2 2 ?1
x

(a∈R),求证:对任何

, f(x)为增函数.

三、总结提升 ※ 学习小结
1. 指数函数应用模型 y ? ka x 2. 定义域与值域; 2. 单调性应用(比大小).
( k ? R , a ? 0 且 a ? 1)

; 2. 求函数 y
? 2 ?1
x

※ 知识拓展
形如
y ? a
f (x)

2 ?1
x

的定义域和值域,并讨论函数

的单调性、奇偶性.
( a ? 0, 且 a ? 1)

的函数值域的研

究,先求得 f ( x ) 的值域,再根据 a t 的单调性,列 出简单的指数不等式,得出所求值域,注意不能忽 , 视 y ? a f ( x ) ? 0 . 而 形 如 y ? ? ( ax ) ( a ? 0 且 a ? 1 ) 的函数值域的研究, 易知 a x ? 0 , 再结合函数 ? ( t ) 进 行研究. 在求值域的过程中,配合一些常用求值域 的方法,例如观察法、单调性法、图象法等.

10

开远一中

高一数学◆必修 1◆导学案

编写:高一课题组
x

校审:

§ 2.2.1 对数与对数运算(1)
学习目标
1. 理解对数的概念; 2. 能够说明对数与指数的关系; 3. 掌握对数式与指数式的相互转化.

新知:一般地,如果 a ? N ( a ? 0 , a ? 1) ,那么数 x 叫做以 a 为底 N 的对数(logarithm). 记作 x ? lo g a N ,其中 a 叫做对数的底数,N 叫做真数
王新敞
奎屯 新疆

试试:将复习 2 及问题中的指数式化为对数式.

学习过程
一、课前准备 (预习教材 P62~ P64,找出疑惑之处) 复习 1:庄子:一尺之棰,日取其半,万世不竭. (1)取 4 次,还有多长? (2)取多少次,还有 0.125 尺?

新知:我们通常将以 10 为底的对数叫做常用对数 (common logarithm) 并把常用对数 lo g 1 0 N 简记为 , lgN 在 科 学 技 术 中 常 使 用 以 无 理 数 e=2.71828??为底的对数, e 为底的对数叫自然 以 对数,并把自然对数 lo g e N 简记作 lnN
王新敞
奎屯 新疆

王新敞
奎屯

新疆

试试:分别说说 lg5 、lg3.5、ln10、ln3 的意义.

复习 2:假设 2002 年我国国民生产总值为 a 亿元, 如果每年平均增长 8%,那么经过多少年国民生产 是 2002 年的 2 倍? (只列式)

反思: (1)指数与对数间的关系? a ? 0 ,a ? 1 时, a x ? N ? (2)负数与零是否有对数?为什么? (3) lo g a 1 ? , lo g a a ?

. .

※ 典型例题 例 1 下列指数式化为对数式,对数式化为指数式.
(1) 5 3 (4)
? 125
?2

; (2) 2 ? 7

?

1 128

; (3) 3 a
32 ? ?5

? 27



10

? 0 .0 1 ;

(5) lo g 1
2



二、新课导学 ※ 学习探究 探究任务:对数的概念 问题:截止到 1999 年底,我国人口约 13 亿. 如果 今后能将人口年平均增长率控制在 1%,那么多少 年后人口数可达到 18 亿,20 亿,30 亿?

(6)lg0.001= ? 3 ;

(7)ln100=4.606.

变式: lo g 1 讨论: (1)问题具有怎样的共性? (2) 已知底数和幂的值, 求指数 怎样求呢?例如: 由 1 .0 1 x ? m ,求 x.
王新敞
奎屯 新疆

32 ? ?

lg0.001=?

2

小结:注意对数符号的书写,与真数才能构成整体.
11

2011 年下学期◆高一





班级:

姓名:

第二章 基本初等函数(Ⅰ)

例 2 求下列各式中 x 的值: (1) lo g 6 4 (3) lg x
x ? 2 3

学习评价
? ?6

; (2) lo g x 8 (4) ln e
3



? 4



? x

.

※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为 ( A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差

) .

※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1. 若 lo g 2 x ? 3 ,则 x ? ( ). A. 4 B. 6 C. 8 D. 9
2.
lo g (
n ?1 ? n)

( n ?1 ?

n)

= (

).

A. 1 B. -1 3. 对数式 lo g a ? 2 (5 ? ( ). A. ( ? ? , 5) C. ( 2, ? ? ) 4. 计算: lo g 小结:应用指对互化求 x. 5. 若
l o g 2 ? 8y
2 ?1

a) ? b

C. 2 D. -2 中,实数 a 的取值范围是

B.(2,5) D. ( 2 , 3) ?
2) ?

(3, 5 )

(3 ? 2

.

lo g x ( 2 ? 1) ? ? 1

, 则 x=________ , 若

※ 动手试试 练 1. 求下列各式的值.
(1) lo g 5 2 5 ; (2) lo g 2
1 16

,则 y=___________.

; (3) lg 10000. (1) 3 5 (4) (
1 2

课后作业
1. 将下列指数式化成对数式,对数式化成指数式.
? 243
m

; (2) 2 ? 5

?

1 32

; (3) 4 a
? ?4
? a

? 30

)

? 1 .0 3
? 7

; (5) lo g 1 1 6
2

; .

(6) lo g 2 1 2 8 练 2. 探究 lo g a
a ??
n

; (7) lo g 3 2 7

a

l o agN

??

三、总结提升 ※ 学习小结 ①对数概念;②lgN 与 lnN;③指对互化;④如何求 对数值 ※ 知识拓展 对数是中学初等数学中的重要内容,那么当初是 谁首创“对数”这种高级运算的呢?在数学史上, 一般认为对数的发明者是十六世纪末到十七世纪 初的苏格兰数学家——纳皮尔(Napier,1550-1617 年)男爵. 在纳皮尔所处的年代,哥白尼的“太阳 中心说”刚刚开始流行,这导致天文学成为当时的 热门学科. 可是由于当时常量数学的局限性,天文 学家们不得不花费很大的精力去计算那些繁杂的 “天文数字”,因此浪费了若干年甚至毕生的宝贵 时间. 纳皮尔也是当时的一位天文爱好者,为了简 化计算,他多年潜心研究大数字的计算技术,终于 独立发明了对数.
2. 计算: (1) lo g 9 2 7 ; (2) lo g 3 2 4 3 ; (3) lo g (3) lo g ( 2 ?
3)

4

3

81 ;

(2 ?

3)



(4) lo g

3

5

4

625

.

12

开远一中

高一数学◆必修 1◆导学案

编写:高一课题组

校审:

§ 2.2.1 对数与对数运算(2) §
学习目标
1. 掌握对数的运算性质, 并能理解推导这些法则的 依据和过程; 2. 能较熟练地运用对数运算法则解决问题..

反思: 自然语言如何叙述三条性质? 性质的证明思路? (运用转化思想,先通过假设,将对数式化成指数 式,并利用幂运算性质进行恒等变形;然后再根据 对数定义将指数式化成对数式 )
王新敞
奎屯 新疆

学习过程
一、课前准备 (预习教材 P64~ P66,找出疑惑之处) 复习 1: (1)对数定义:如果 a x ? N ( a ? 0, a ? 1) ,那么数 x 叫做 ,记作 . (2)指数式与对数式的互化: x a ? N ? . 复习 2:幂的运算性质. (1) a m ?a n ? ; (2) ( a m ) n (3) ( a b )
n

※ 典型例题 例 1 用 lo g a x ,
(1) lo g a
xy z
2

lo g a y

,

lo g a z

表示下列各式:
x
3



(2)

lo g a

y z

5

.

?



?

.

复习 3: 根据对数的定义及对数与指数的关系解答: 例 2 计算: (1)设 lo g a 2 ? m , lo g a 3 ? n ,求 a m ? n ; (1) lo g 5 2 5 ; (2) lo g 0 .4 1 ; (2)设 log a M ? m , lo g a N ? n ,试利用 m 、 n 表 (3) lo g ( 4 8 ? 2 5 ) ; (4)lg 9 1 0 0 .
2

示 lo g a ( M · N ) .

二、新课导学 ※ 学习探究 探究任务:对数运算性质及推导 问题: a p a q ? a p ? q , 由 如何探讨 lo g a lo g a N 之间的关系?
问题:设 lo g a ,
王新敞
奎屯 新疆

MN

和 lo g a

M



探究: 根据对数的定义推导换底公式 lo g a b
M ? p

?

lo g c b lo g c a

,

lo g a N ? q

由对数的定义可得:M= a p ,N= a q ∴MN= a p a q = a p ? q , ∴ lo g a MN=p+q,即得 lo g a MN= lo g a M + lo g a N 根据上面的证明,能否得出以下式子? 如果 a > 0,a ? 1,M > 0, N > 0 ,则 (1) lo g a ( M N ) ? lo g a M ? lo g a N ; (2) lo g a (3)
M N ? lo g a M ? lo g a N
n

(a

? 0

,且 a

? 1;c ? 0

,且 c

?1

;b

? 0

) .

王新敞
奎屯

新疆

; . 试试:2000 年人口数 13 亿,年平均增长率 1℅, 多少年后可以达到 18 亿?

lo g a M

? n lo g a M ( n ? R )

13

2011 年下学期◆高一





班级:

姓名:

第二章 基本初等函数(Ⅰ)

※ 动手试试 练 1. 设 lg 2 ? a , lg 3 ? b ,试用 a 、 b 表示 lo g 5 1 2 .

学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为 ( A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
) .

※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1. 下列等式成立的是( ) A. lo g 2 (3 ? 5) ? lo g 2 3 ? lo g 2 5
B. lo g 2 ( ? 1 0 ) 2 变式: 已知 lg2=0.3010, lg3=0.4771, lg6、 求 lg12. lg
3
3

? 2 lo g 2 ( ? 1 0 )
lo g 2 3 ?lo g 2 5

C. lo g 2 (3 ? 5) ? 的值.

D. lo g 2 ( ? 5 ) ? ? lo g 2 5 3 2. 如果 lgx=lga+3lgb-5lgc,那么( A.x=a+3b-c C. x
? ab c
5 3

).

B. x

?

3ab 5c

D.x=a+b3-c3 ,那么( ).

3. 若 2 lg ? y

? 2 x ? ? lg x ? lg y

A. y ? x C. y ? 3 x 练 2. 运用换底公式推导下列结论. (1) lo g a
m

B. y D. y
1 2

? 2x ? 4x
lo g 9 2 7 ?

4. 计算: (1) lo g 9 3 ?
? 1 lo g b a

; . .

b

n

?

n m

lo g a b

; (2) lo g a b

.

(2) lo g 2 5. 计算: lg

? lo g 1 2 ?
2

3 5

?

1 2

lg

5 3

?

课后作业
1. 计算: 练 3. 计算:1) 1 4 ? ( lg
2 lg 7 3 ? lg 7 ? lg 1 8

;2) (

lg 2 4 3 lg 9

.

(1)

lg

2 7 ? lg 8 ? 3 lg lg 1 .2

10



(2) lg 2 2 ?

lg 2 ? lg 5 ? lg 5

.

三、总结提升 ※ 学习小结 ①对数运算性质及推导;②运用对数运算性质;③ 换底公式. ※ 知识拓展
① 对数的换底公式 lo g a
N ? lo g b N lo g b a
? 1 lo g b a
? lo g a N

2. 设 a 、 b 、 c 为正数,且 3 a
1

? 4 ?6
b

c

,求证:



?

1 a

?

1 2b

.

c

② 对数的倒数公式 lo g a b ③ 对数恒等式: lo g a
lo g
a
m
n

. ,
a ? 1.

N

n

N

n

?

n m

lo g a N

, lo g a b ?lo g b c ?lo g c

14

开远一中

高一数学◆必修 1◆导学案

编写:高一课题组

校审:

§ 2.2.1 对数与对数运算(3)
学习目标
1. 能较熟练地运用对数运算性质解决实践问题; 2. 加强数学应用意识的训练, 提高解决应用问题的 能力.

(2)5 级地震给人的振感已比较明显,计算 7.6 级 地震最大振幅是 5 级地震最大振幅的多少倍?(精 确到 1)

学习过程
一、课前准备 (预习教材 P66~ P69,找出疑惑之处) 复习 1:对数的运算性质及换底公式. 如果 a > 0,a ? 1,M > 0, N > 0 ,则 (1) lo g a ( M N ) ? ; (2) lo g a (3)
M N
n

?


?
?

小结:读题摘要→寻找数量关系→利用对数计算. 例 2 当生物死亡后,它机体内原有的碳 14 会按确 定的规律衰减,大约每经过 5730 年衰减为原来的 一半,这个时间称为“半衰期” .根据些规律,人 们获得了生物体碳 14 含量 P 与生物死亡年数 t 之间 的关系.回答下列问题: (1) 求生物死亡 t 年后它机体内的碳 14 的含量 P, 并用函数的观点来解释 P 和 t 之间的关系,指出是 我们所学过的何种函数? (2)已知一生物体内碳 14 的残留量为 P,试求该 生物死亡的年数 t,并用函数的观点来解释 P 和 t 之间的关系,指出是我们所学过的何种函数? (3)长沙马王墓女尸出土时碳 14 的余含量约占原 始量的 76.7%,试推算古墓的年代?

lo g a M

. . 3 = a,
lo g 3 7

换底公式 lo g a b 复习 2:已知 示 lo g 4 2 56.

lo g 2

= b,用 a,b 表

复习 3:1995 年我国人口总数是 12 亿,如果人口 的年自然增长率控制在 1.25℅,问哪一年我国人口 总数将超过 14 亿? (用式子表示)

二、新课导学 ※ 典型例题 例 1 20 世纪 30 年代,查尔斯.里克特制订了一种表 明地震能量大小的尺度,就是使用测震仪衡量地震 能量的等级,地震能量越大,测震仪记录的地震曲 线的振幅就越大. 这就是我们常说的里氏震级 M, 其计算公式为: M ? lg A ? lg A0 ,其中 A 是被测地 震的最大振幅, A 0 是“标准地震”的振幅(使用标 准地震振幅是为了修正测震仪距实际震中距离造 成的偏差). (1)假设在一次地震中,一个距离震中 100 千米 的测震仪记录的地震最大振幅是 20, 此时标准地震 的振幅是 0.001, 计算这次地震的震级(精确到 0.1) ;
15

反思: ① P 和 t 之间的对应关系是一一对应; ② P 关于 t 的指数函数 P 函数为 .
? ( 5730 1 2 )
x

, t 关于 P 的 则

2011 年下学期◆高一





班级:

姓名:

第二章 基本初等函数(Ⅰ)

※ 动手试试 练 1. 计算: (1) 5 1 ? lo g 3 ; (2) lo g 4 3 ? lo g 9 2 ? lo g 1
0 .2

学习评价
4

32

.

2

※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为 ( A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
lo g 5 ( ? a )
2

) .

※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分:
1.
5

A.-a

(a≠0)化简得结果是( ). 2 B.a C.|a| D. a
1

2. 若 log7[log3(log2x) ]=0,则 x 2 =( A. 3 3. 已知 3 a ( ). B.
b

).
3 2

2 3

C. ,且
1 a ?

2
1 b

2
? 2

D.

?5 ? m

,则 m 之值为

A.15 B. 1 5 C.± 1 5 D.225 a 4. 若 3 =2, log38-2log36 用 a 表示为 则 5. 已知 lg 2 ? 0.3010 , lg 1 .0 7 1 8 ? 0 .0 3 0 1 ,则
1

.

lg 2 .5 ?

; 2 10

?



练 2. 我国的 GDP 年平均增长率保持为 7.3%, 约多 少年后我国的 GDP 在 2007 年的基础上翻两番?

课后作业
1. 化简: (1) lg 5 2
? 2 3 lg 8 ? lg 5 lg 2 0 ? (lg 2 )
2



(2) ? lo g 2 5 + lo g 4 0 .2 ? ? lo g 5 2 + lo g 2 5 0 .5 ? .

三、总结提升 ※ 学习小结 1. 应用建模思想 (审题→设未知数→建立 x 与 y 之 间的关系→求解→验证) ; 2. 用数学结果解释现象. ※ 知识拓展 在给定区间内,若函数 f ( x ) 的图象向上凸出, 则函数 f ( x ) 在该区间上为凸函数, 结合图象易得到
f( x1 ? x 2 2 )? f ( x1 ) ? f ( x 2 ) 2

2. 若 lg ? x ? y ? ? lg ? x ? 的值.

2 y ? ? lg 2 ? lg x ? lg y

,求

x y



在给定区间内,若函数 f ( x ) 的图象向下凹进, 则函数 f ( x ) 在该区间上为凹函数, 结合图象易得到
f( x1 ? x 2 2 )? f ( x1 ) ? f ( x 2 ) 2

.
16

开远一中

高一数学◆必修 1◆导学案

编写:高一课题组

校审:

§ 2.2.2 对数函数及其性质(1)
学习目标
1. 通过具体实例, 直观了解对数函数模型所刻画的 数量关系,初步理解对数函数的概念,体会对数函 数是一类重要的函数模型; 2. 能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图 象,探索并了解对数函数的单调性与特殊点; 3. 通过比较、对照的方法,引导学生结合图象类比 指数函数,探索研究对数函数的性质,培养数形结 合的思想方法,学会研究函数性质的方法.

反思: 对数函数定义与指数函数类似,都是形式定义, 注意辨别,如: y ? 2 lo g 2 x , y ? lo g 5 (5 x ) 都不是 对数函数,而只能称其为对数型函数;对数函数对 底数的限制 ( a ? 0 ,且 a ? 1) . 探究任务二:对数函数的图象和性质 问题:你能类比前面讨论指数函数性质的思路,提 出研究对数函数性质的内容和方法吗?

学习过程
一、课前准备 (预习教材 P70~ P72,找出疑惑之处) 复习 1:画出 y
? 2
x

研究方法: 画出函数图象, 结合图象研究函数性质. 研究内容:定义域、值域、特殊点、单调性、最大 (小)值、奇偶性. 试试:同一坐标系中画出下列对数函数的图象. y ? lo g 2 x ; y ? lo g 0 .5 x .

、y

1 x ? ( ) 2

的图象,并以这两

个函数为例,说说指数函数的性质.

反思: (1) 根据图象, 你能归纳出对数函数的哪些性质? 复习 2:生物机体内碳 14 的“半衰期”为 5730 年, a>1 0<a<1 湖南长沙马王堆汉墓女尸出土时,碳 14 的残余量 约占原始含量的 76.7%,试推算马王堆古墓的年代. 图 (列式) 象 性 质 (1)定义域: (2)值域: (3)过定点: (4)单调性:

二、新课导学 ※ 学习探究 探究任务一:对数函数的概念 问题:根据上题,用计算器可以完成下表:
碳 14 的含量 P 生物死亡年数 t 讨论:t 与 P 的关系? (对每一个碳 14 的含量 P 的取值,通过对应关系 t ? lo g 1 P ,生物死亡年数 t 都有唯一的值与之对
5730

(2)图象具有怎样的分布规律?

0.5

0.3

0.1

0.01

0.001

※ 典型例题 例 1 求下列函数的定义域: (1) y ? lo g a x 2 ; (2) y ? lo g a (3 ?

x)



2

应,从而 t 是 P 的函数) 新知:一般地,当 a>0 且 a≠1 时,函数 y ? lo g a x 叫做对数函数(logarithmic function),自变量是 x; 函数的定义域是(0,+∞).
17

变式:求函数 y

?

lo g 2 (3 ? x )

的定义域.

2011 年下学期◆高一




lo g 0 .3 2 .7

班级:

姓名:

第二章 基本初等函数(Ⅰ)
f ( x1 ) ? f ( x 2 ) 2 ? f( x1 ? x 2 2 )

例 2 比较大小: (1) ln 3 .4 , ln 8 .5 ; (2) lo g 0 .3 2 .8, (3) lo g a 5 .1,
lo g a 5 .9



当0 ?

a ? 1 时,

.

.

学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为 ( A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
1. 当 a>1 时,在同一坐标系中,函数
y ? lo g a x

) .

※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分:
y ? a
?x



的图象是(

).

小结:利用单调性比大小;注意格式规范.

※ 动手试试 练 1. 求下列函数的定义域. (1) y ? lo g 0 .2 ( ? x ? 6 ) ; (2) y

?

3

lo g 2 x ? 1

.

2. 函数 y ? 2 ? lo g 2 A. ( 2, ? ? ) C. ? 2, ? ? ? 3. 不等式的 lo g 4 A. B.
( 2, ? ? )
( 1 2 , ?? )

x ( x ≥ 1)

的值域为(

).

B.
1 2

(?? , 2)

D. ? 3, ? ? ?
x ?

解集是(
(0 , 2 )
(0 , 1 2 )

).

B. D.

练 2. 比较下列各题中两个数值的大小. (1) lo g 2 3 和 lo g 2 3 .5 ; (2) lo g 0 .3 4 和 lo g 0 .2 0 .7 ; (3) lo g 0 .7 1 .6 和 lo g 0 .7 1 .8 ; (4) lo g 2 3 和 lo g 3 2 .

4. 比大小: (1) 67 log 5. 函数 y

log 7 6 ; (2) 31.5 log 的定义域是

log 2 0.8. .

? lo g ( x -1) (3 - x )

课后作业
1. 已知下列不等式,比较正数 m、n 的大小: (1) lo g 3 m< lo g 3 n ; (2) lo g 0 .3 m> lo g 0 .3 n; (3) lo g a m> lo g a n (a>1)

三、总结提升 ※ 学习小结 1. 对数函数的概念、图象和性质; 2. 求定义域; 3. 利用单调性比大小. ※ 知识拓展 对数函数凹凸性:函数 f ( x ) ? x1 , x 2 是任意两个正实数.
当a
? 1 时,

2. 求下列函数的定义域: (1) y
? lo g 2 (3 x ? 5 )

; (2) y

?

lo g 0 .5 4 x ? 3

.

lo g a x , ( a ? 0, a ? 1)



f ( x1 ) ? f ( x 2 ) 2

? f(

x1 ? x 2 2

)



18

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高一数学◆必修 1◆导学案

编写:高一课题组

校审:

§ 2.2.2 对数函数及其性质(2)
学习目标
1. 解对数函数在生产实际中的简单应用; 2. 进一步理解对数函数的图象和性质; 3. 学习反函数的概念,理解对数函数和指数函数互 为反函数,能够在同一坐标上看出互为反函数的两 个函数的图象性质.

新知:当一个函数是一一映射时, 可以把这个函数 的因变量作为一个新函数的自变量, 而把这个函数 的自变量新的函数的因变量. 我们称这两个函数为 反函数(inverse function) 例如:指数函数 y ? 2 x 与对数函数 y ? lo g 2 x 互为 反函数. 试试:在同一平面直角坐标系中,画出指数函数 x y ? 2 及其反函数 y ? lo g 2 x 图象,发现什么性质?

学习过程
一、课前准备 (预习教材 P72~ P73,找出疑惑之处) 复习 1: 对数函数 y ? lo g a x ( a ? 0, 且 a ? 1) 图象和性质. a>1 0<a<1 图 象 性 质 (1)定义域: (2)值域: (3)过定点: (4)单调性: 反思: (1)如果 P0 ( x 0 , y 0 ) 在函数 y
? 2
x

的图象上,那么
? lo g 2 x

P0 关于直线 y ? x 的对称点在函数 y 上吗?为什么?

的图象

(2)由上述过程可以得到结论:互为反函数的两 个函数的图象关于 对称. 与 lo g 0 .5 0 .8 .

复习 2:比较两个对数的大小. (1)lo g 1 0 7 与 lo g 1 0 1 2 ;(2)lo g

0 .7
0 .5

※ 典型例题 例 1 求下列函数的反函数: (1) y ? 3 x ; (2) y ?

lo g a ( x ? 1)

.

复习 3:求函数的定义域. (1) y
? 1 1 ? lo g 3 2 x

; (2) y

? lo g a ( 2 x ? 8 ) .

二、新课导学 ※ 学习探究 探究任务:反函数 问题:如何由 y ? 2 x 求出 x?
小结: 求反函数的步骤 (解 x →习惯表示→定义域) 变式:点 ( 2 , 3) 在函数 y 上,求实数 a 的值.
? lo g a ( x ? 1) 的反函数图象

反思:函数 x
y ? 2
x

? lo g 2 y

由y

? 2

x

解出,是把指数函数

中的自变量与因变量对调位置而得出的. 习 惯上我们通常用 x 表示自变量,y 表示函数,即写 为 y ? lo g 2 x .
19

2011 年下学期◆高一





班级:

姓名:

第二章 基本初等函数(Ⅰ)

例 2 溶液酸碱度的测量问题:溶液酸碱度 pH 的计 算公式 p H ? ? lg [ H ? ] ,其中 [ H ? ] 表示溶液中氢离 子的浓度,单位是摩尔/升. (1)分析溶液酸碱度与溶液中氢离子浓度之间的 变化关系? (2)纯净水 [ H ? ] ? 1 0 ? 7 摩尔/升,计算其酸碱度.

学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为 ( A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
) .

※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1. 函数 y ? lo g 0.5 x 的反函数是( ). A. y ? ? lo g 0 .5 x B. y ? lo g 2 x
C.
y ? 2
x

D.

1 x y ? ( ) 2

小结:抽象出对数函数模型,然后应用对数函数模 型解决问题,这就是数学应用建模思想.

2. 函数 y ? 2 x 的反函数的单调性是( A. 在 R 上单调递增 B. 在 R 上单调递减 C. 在 (0, ? ? ) 上单调递增 D. 在 (0, ? ? ) 上单调递减 3. 函数 y A.
? x
2

).

( x ? 0)

的反函数是( B. D.
y ? y ? ?

).
x ( x ? 0) x

※ 动手试试
练 1. 己知函数
f (x) ? a ? k
x

y ? ? y ? ?

x ( x ? 0) x ( x ? 0)
x

的图象过点(1,3)其

C.

反函数的图象过点(2,0) ,求 f ? x ? 的表达式.

4. 函数 y ? a 的反函数的图象过点 (9 , 2 ) ,则 a 的 值为 . 5. 右 图 是 函 数 y ? l o ga x ,
1

y ? lo g a x
2

y ? lo g a x
3



y ? lo g a x
4

的图象,则底数之 .

间的关系为 练 2. 求下列函数的反函数. (1) y= (
2)
x 2
x

(x∈R); (a>0,a≠1,x>0)

课后作业
1. 现有某种细胞 100 个, 其中有占总数
1 2

(2)y= lo g a

的细胞每

小时分裂一次,即由 1 个细胞分裂成 2 个细胞,按 这种规律发展下去,经过多少小时,细胞总数可以 超过 1 0 1 0 个? (参考数据:lg 3 ? 0 .4 7 7 , lg 2 ? 0 .3 0 1 ) .

三、总结提升 ※ 学习小结 ① 函数模型应用思想;② 反函数概念. ※ 知识拓展 函数的概念重在对于某个范围(定义域)内的 任意一个自变量 x 的值,y 都有唯一的值和它对应. 对于一个单调函数,反之对应任意 y 值,x 也都有 惟一的值和它对应,从而单调函数才具有反函数. 反函数的定义域是原函数的值域,反函数的值域是 原函数的定义域,即互为反函数的两个函数,定义 域与值域是交叉相等.
2. 探究:求 y
? ax ? b cx ? d (ac ? 0)

的反函数,并求出

两个函数的定义域与值域,通过对定义域与值域的 比较,你能得出一些什么结论?

20

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编写:高一课题组

校审:

§ 2.2 对数函数(练习)
学习目标
1. 掌握对数函数的性质; 2. 能应用对数函数解决实际中的问题.

例 2 证明函数

f ( x ) ? lo g 2 ( x ? 1)
2

在 (0, ? ? ) 上递增.

学习过程
一、课前准备 (复习教材 P62~ P76,找出疑惑之处) 复习 1: 对数函数 y ? lo g a x ( a ? 0, 且 a ? 1) 图象和性质. a>1 0<a<1 图 象 性 质 (1)定义域: (2)值域: (3)过定点: (4)单调性: 变式:函数 f ( x ) ? 还是增函数?
lo g 2 ( x ? 1)
2

在 ( ? ? , 0 ) 上是减函数

复习 2:根据对数函数的图象和性质填空. ① 已知函数 y ? lo g 2 x , 则当 x ? 0 时,y ? 当 x ? 1 时,y ? ; 0 ? x ? 1 时,y ? 当 当 x ? 4 时, y ? . ② 已知函数 y
? lo g 1 x
3

; ; ; ; .

例 3 求函数

f ( x ) ? lo g 0 .2 ( ? 4 x ? 5)

的单调区间.

, 则当 0

? x ? 1 时,y ?

当 x ? 1 时,y ? 当 0 ? x ? 2 时,y ?

; x ? 5 时,y ? 当 ; y ? 2 时,x ? 当

小结:数形结合法求值域、解不等式.

二、新课导学 ※ 典型例题 例 1 判断下列函数的奇偶性.
(1) (2)
f ( x ) ? lo g 1? x 1? x

变式:函数

f ( x ) ? lo g 2 ( ? 4 x ? 5)

的单调性是

.


2

小结: 复合函数单调性的求法及规律: “同增异减” . .

f ( x ) ? ln ( 1 ? x

? x)

※ 动手试试 练 1. 比较大小: (1) lo g a ? 和 lo g a e
(2) lo g 2
1 2

( a ? 0 且 a ? 1)
2

; .

和 lo g 2 ( a ? a ? 1) ( a ? R )

21

2011 年下学期◆高一


? 1)



班级:

姓名:

第二章 基本初等函数(Ⅰ)

练 2. 已知 lo g a (3 a

恒为正数,求 a 的取值范围.

学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为 ( A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
) .

※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1. 下列函数与 y ? x 有相同图象的一个函数是(
A. C. 练 3. 函数 y ? lo g a 大 1,求 a 的值.
x
y ? x
2



B.
( a ? 0 且 a ? 1)

y ?

x

2

x

y ? a
?

lo g a x

D.

y ? lo g a a

x

在[2,4]上的最大值比最小值

2. 函数 y A. C.

lo g 1 (3 x ? 2 )
2

的定义域是(
, ?? )

).

[1, ? ? )
[ 2 3 ,1]

B. D.

(

2 3

(

2 3

,1]

3. 若 f (ln x ) ? 3 x ? 4 ,则 f ( x ) 的表达式为( ) A. 3 ln x B. 3 ln x ? 4 x C. 3 e D. 3 e x ? 4 4.函数 f ( x ) ? lg ( x 2 ? 8 ) 的定义域为 ,值域 为 . 2 5. 将 0 .3 ,lo g 2 0 .5 ,lo g 0 .5 1 .5 由小到大排列的顺序 是 . 练 4. 求函数 y
? lo g 3 ( x ? 6 x ? 1 0 )
2

的值域.

课后作业
1. 若定义在区间 ( ? 1, 0 ) 内的函数 f ( x ) ? 满足 f ( x ) ? 0 ,则实数 a 的取值范围.
lo g 2 a ( x ? 1)

三、总结提升 ※ 学习小结 1. 对数运算法则的运用; 2. 对数运算性质的运用; 3. 对数型函数的性质研究; 4. 复合函数的单调性. ※ 知识拓展 复合函数 y ? f (? ( x )) 的单调性研究, 遵循一般步 骤和结论,即:分别求出 y ? f ( u ) 与 u ? ? ( x ) 两个 函数的单调性,再按口诀“同增异减”得出复合后 的单调性,即两个函数同为增函数或者同为减函 数, 则复合后结果为增函数; 若两个函数一增一减, 则复合后结果为减函数. 为何有“同增异减”?我 们 可 以 抓 住 “ x 的 变 化 → u ? ? (x) 的 变 化 → y ? f ( u ) 的变化”这样一条思路进行分析

2. 已知函数

f (x) ?

1 x

? lo g 2

1? x 1? x

, 求函数

f (x)

的定

义域,并讨论它的奇偶性和单调性.

22

开远一中

高一数学◆必修 1◆导学案

编写:高一课题组

校审:

§ 2.3 幂函数
学习目标
1. 通过具体实例了解幂函数的图象和性质; 2. 体会幂函数的变化规律及蕴含其中的对称性并 能进行简单的应用.

①y

?

1 x

;② y

? 2x

2

;③ y

? x ? x
3

;④ y

?1.

探究任务二:幂函数的图象与性质
1

问题: 作出下列函数的图象: y (1)
2 ?1

? x

; y (2)
x
3

? x2



(3) y ? x ; (4) y ? x ; (5) y ? 从图象分析出幂函数所具有的性质.



学习过程
一、课前准备 (预习教材 P77~ P79,找出疑惑之处) 复习 1:求证 y ? x 3 在 R 上为奇函数且为增函数. 观察图象,总结填写下表:
y ? x
y ? x
2

y ? x

3

1

y ? x

2

y? x

?1

复习 2:1992 年底世界人口达到 54.8 亿,若人口年 平均增长率为 x%, 2008 年底世界人口数为 y (亿) , 写出: 小结: (1) 1993 年底、 1994 年底、 2000 年底世界人口数; 幂函数的的性质及图象变化规律: (2) 2008 年底的世界人口数 y 与 x 的函数解析式. (1) 所有的幂函数在 (0, ? ? ) 都有 定义,并且图象都过点(1,1) ; (2) ? ? 0 时,幂函数的图象通 过原点,并且在区间 [0, ? ? ) 上是 增函数.特别地,当 ? ? 1 时,幂 二、新课导学 函数的图象下凸;当 0 ? ? ? 1 时, 幂函数的图象上凸; ※ 学习探究 (3)? ? 0 时,幂函数的图象在区间 (0, ? ? ) 上是减 探究任务一:幂函数的概念 问题:分析以下五个函数,它们有什么共同特征? 函数.在第一象限内,当 x 从右边趋向原点时,图 当 (1) 边长为 a 的正方形面积 S ? a 2 ,S 是 a 的函数; 象在 y 轴右方无限地逼近 y 轴正半轴, x 趋于 ? ? 1 时,图象在 x 轴上方无限地逼近 x 轴正半轴. a (2) 面积为 S 的正方形边长 a ? S 2 , 是 S 的函数; V (3) 边长为 a 的立方体体积 V ? a 3 , 是 a 的函数; ※ 典型例题 (4)某人 ts 内骑车行进了 1 km ,则他骑车的平均 例 1 讨论 f ( x ) ? x 在 [0, ? ? ) 的单调性. 速度 v ? t ? 1 km / s ,这里 v 是 t 的函数; (5)购买每本 1 元的练习本 w 本,则需支付 p ? w 元,这里 p 是 w 的函数.

定义域 值域 奇偶性 单调性 定点

新知:一般地,形如 y 数,其中 ? 为常数.

? x

?

(a ? R )

的函数称为幂函 变式:讨论
f (x) ?

试试:判断下列函数哪些是幂函数.

3

x

的单调性.

23

2011 年下学期◆高一





班级:

姓名:

第二章 基本初等函数(Ⅰ)

例 2 比较大小:
( (1) a ? 1)
? 1 2

的右侧,图象由下至上,指数 ? 由小到大. y 轴和 直线 x ? 1 之间,图象由上至下,指数 ? 由小到大.
( ( a ? 0 ) ; (2) 2 ? a )
2 ? 2 3

1 .5

与 a 1 .5
? 1 2

与2

?

2 3



学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为 ( A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
1. 若幂函数 ( ). A. ? >0 C. ? =0
4

) .

(3) 1 .1 与 0 .9

.

※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分:
f (x) ? x
?

在 (0, ? ? ) 上是增函数,则 B. ? <0 D.不能确定

2. 函数 y

? x3

的图象是(

).

小结:利用单调性比大小.

※ 动手试试
2

A.
1

B.
? 0 .9
? 1 2

C.

D.

练 1. 讨论函数 y ? x 3 的定义域、 奇偶性, 作出它的 图象,并根据图象说明函数的单调性.

3. 若 a ? 1 .1 2 , b ( ). A. a <l< b C. b <l< a 4. 比大小:
1

,那么下列不等式成立的是 B.1< a < b D.1< b < a

1

(1) 1 .3 2

_ _ _ _ _ 1 .5 2

; (2) 5 .1 ? 2

_ _ _ _ _ _ 5 .0 9
2)

?2

.

5. 已知幂函数 y 解析式为

? f (x)

的图象过点 ( 2 , .

, 则它的

课后作业
练 2. 比大小:
3 3 6 6

(1) 2 .3 4 与 2 .4 4 ; (3) (
? 3 2

(2) 0 .3 1 5 与 0 .3 5 5 ;
? 3 2

2)

与(

3)

.

2 ) 1. 已知幂函数 f(x)= x 2 (p∈Z)在 (0, ? ? 上是增函数, 且在其定义域内是偶函数, p 的值, 求 并写出相应的函数 f(x).

?

1

p

2 ? p? 3

三、总结提升 ※ 学习小结 1. 幂函数的的性质及图象变化规律; 2. 利用幂函数的单调性来比较大小. ※ 知识拓展
幂函数 y
? x
?

2. 在固定压力差(压力差为常数)下,当气体通过 圆形管道时,其流量速率 R 与管道半径 r 的四次方 成正比. (1)写出函数解析式; (2)若气体在半径为 3cm 的管道中,流量速率为 400cm3/s,求该气体通过半径为 r 的管道时,其流 量速率 R 的表达式; (3)已知(2)中的气体通过的管道半径为 5cm, 计算该气体的流量速率.

的图象,在第一象限内,直线 x

?1

24

开远一中

高一数学◆必修 1◆导学案

编写:高一课题组
10 ? 10
x ?x ?x

校审:

第二章 基本初等函数Ⅰ(复习)
学习目标
1. 掌握指数函数、 对数函数的概念, 会作指数函数、 对数函数的图象,并能根据图象说出指数函数、对 数函数的性质; 2. 了解五个幂函数的图象及性质.

例 2 已知函数 性和单调性.

f (x) ?

10 ? 10
x

,判断

f (x)

的奇偶

学习过程
一、课前准备 (复习教材 P48~ P83,找出疑惑之处) 复习 1:指数函数、对数函数、幂函数的图象和性 质?

例 3 已知定义在 R 上的偶函数 f ? x ? 在 ( ? ? , 0 ] 上是 减函数,若 复习 2:已知 0<a<1,试比较 a a , ( a a ) a , a ( a ) 的 大小.
a

1 f( )? 0 2

,求不等式 f ? lo g 4 x ? ?

0

的解

集.

二、新课导学 ※ 典型例题 例 1 求下列函数的定义域:
(1) (2) (3)
y ? 1 x ( ) ?1 2

; ; .

f (x) ?

1 lo g 2 ( x ? 1) ? 3

f ( x ) ? lo g 2 x ? 1

3x ? 2

※ 动手试试 练 1. 求下列函数的定义域与值域.
1

(1) y

? 8 2 x ?1



(2) y

?

1? 2

x

25

2011 年下学期◆高一





班级:

姓名:

第二章 基本初等函数(Ⅰ)

练 2. 讨论函数 y

1 x2 ?3 x ? 2 ? ( ) 2

的单调性.

学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为 ( A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
1. 函数 y A. C.
? 2
? x ?3x? 2
2

) .

※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分:
的单调递增区间为( B.
) ( 3 2 3 2 , ?? )

).

(?? ,

3 2

)

(?? , ?

D.
? 0)

(?

3 2

, ?? )

练 3. 函数

f ( x ) ? lo g a

x?b x?b

?a

? 0, b ? 0且 a ? 1?



2. 设 f (lo g 2 x ) ? 2 x ( x A. 128 B. 256

, 则 C. 512

f () 3

的值是 ( D. 8

) . ).

(1)求 f ( x ) 的定义域; (2)讨论 f ( x ) 的奇偶性; (3)讨论 f ( x ) 的单调性.

3. 函数 y ? lo g 2 ( x ? x 2 ? 1 ) 的奇偶性为( A.奇函数而非偶函数 B.偶函数而非奇函数 C.非奇非偶函数 D.既奇且偶函数 4. 函数 y
? x
?2

在区间 [
x

1 2

, 2]

上的最大值是

.

5. 若函数 y 是

? (lo g 1 a )
2

为减函数,则 a 的取值范围

.

课后作业
1. 按复利计算利息的一种储蓄,本金为 a 元,每期 利率为 r ,设本利和为 y 元,存期为 x ,写出本利 和 y 随存期 x 变化的函数解析式. 如果存入本金 1000 元,每期利率为 2.25%,试计算 5 期后的本利 和是多少(精确到 1 元)?

三、总结提升 ※ 学习小结 1. 幂、指、对函数的图象与性质; 2. 指数、对数运算; 3. 函数定义域与值域; 4. 函数单调性与奇偶性; 5. 应用建模问题. ※ 知识拓展 1. 图象平移变换: ①水平平移: y=f(x±a)(a>0)的图象, 可由 y=f(x) 的图象向左或右平移 a 个单位得到. ②竖直平移: y=f(x)±b(b>0)的图象, 可由 y=f(x) 的图象向上或向下平移 b 个单位而得到. 2. 图象翻折变换: ①y=f(|x|)的图象在 y 轴右侧(x>0)的部分与 y=f(x) 的图象相同,在 y 轴左侧部分与其右侧部分关于 y 轴对称. ②y=|f(x)|的图象在 x 轴上方部分与 y=f(x)的图象 相同,其他部分图象为 y=f(x)图象下方部分关于 x 轴的对称图形.
2. 某公司经过市场调查, 某种商品在最初上市的几 个月内销路很好,几乎能将所生产的产品全部销售 出去. 为了追求最大的利润,该公司计划从当月开 始,每月让产品生产量递增,且 10 个月后设法将 该商品的生产量翻两番,求平均每月生产量的增长 率.

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