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6.4 数列求和


§6.4
基础知识
要点梳理
数列求和的常用方法 1.公式法

数列求和
自主学习

(1)直接用等差、等比数列的求和公式. (2)掌握一些常见的数列的前n项和.

1+2+3+?+n=

1 n(n ? 1) 2

; 1+3+5+?+(2n-1)= n2 .

n(n ? 1)( 2n ? 1) ; 6 n(n ? 1) 2 3+23+33+?+n3= [ ] . 1 2

12+22+32+?+n2=

2.倒序相加法
如果一个数列{an},与首末两端等“距离”的 两项的和相等或等于同一常数,那么求这个数 列的前n项和即可用倒序相加法,如等差 数列的 前n项和即是用此法推导的.

3.错位相减法
如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个 等比数列的对应项之积构成的,那么这个数列 的前n项和即可用此法来求,如等比 数列的前n 项和就是用此法推导的.

4.裂项相消法
把数列的通项拆成两项之差,在求和时中间的 一些项可以相互抵消,从而求得其和. 常见的拆项公式有: 1 1 1 (1) ? ? ; n n ?1 n(n ? 1)
1 1 1 1 (2) ? ( ? ); (2n ? 1)(2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1 1 (3) ? n ?1 ? n . n ? n ?1

基础自测
1.(2010·淮安模拟)若数列{an}的通项公式为 an=2n+2n-1,则数列{an}的前n项和为 2n+1+n2-2 .
2(1 ? 2n ) n(1 ? 2n ? 1) 解析 S n ? ? ? 2n?1 ? 2 ? n 2 . 1? 2 2 1 1 1 ?前10项的和为 145 511 . 2.数列1,4 ,7 ,10 , 512 2 4 8

解析

1 1 1 1 1 ? 4 ? 7 ? 10 ? ? ? 28 2 4 8 512 1 1 1 1 ? (1 ? 4 ? 7 ?? ? 28) ? ( ? ? ? ? ? ) 2 4 8 512 511 ? 145 . 512

3.数列{an}的通项公式为an=(-1)n-1(4n-3),则

S100= -200 .
解析 S100=(1-5)+(9-13)+?+[(4×993)-(4×100-3)]=(-4)×50=-200. 4.若Sn=1-2+3-4+?+(-1)n-1·n,则S17+S33+S50 = 1 .
?n ?1 ? 2 (n为奇数), 由题意知 S n ? ? ? ?? n (n为偶数). ? 2 ?

解析

∴S17=9,S33=17,S50=-25,∴S17+S33+S50=1.

典型例题 深度剖析
【例1】求和Sn= 1 ? (1 ? 1 ) ? (1 ? 1 ? 1 ) ? ? ? (1 ? 1 ? 1
1 ? ? ? n ?1 ). 2 2 2 4 2 4

分析

某些数列通过适当分组,可得出两个

或几个等差数列或等比数列,进而利用等差数
列或等比数列的求和公式分别求和,从而得出 原数列的和.它是通过对数列通项结构特点的分 析研究,将数列分解转化为若干个能求和的新 数列的和或差,从而求得原数列的和的一种求

和方法.

1 1 ? ( )k 1 1 1 2 ? 2(1 ? 1 ). ak ? 1 ? ? ? ? ? k ?1 ? 1 2 4 2 2k 1? 2 1 1 1 ? S n ? 2[(1 ? ) ? (1 ? 2 ) ? ? ? (1 ? n )] 2 2 2 1 1 1 ? 2[(1 ? 1 ? ? ? 1) ? ( ? 2 ? ? ? n )] 2 2 2 1 1 (1 ? n ) 2 2 ] ? 2[n ? (1 ? 1 )] ? 2[n ? 1 2n 1? 2 1 ? 2n ? 2 ? n ?1 . 2



和式中第k项为

跟踪练习1

(2010·扬州模拟)求下面数列的前

1 1 1 n项和:1 ? 1, ? 4, 2 ? 7,? , n ?1 ? 3n ? 2,?. a a a 解 前n项和为Sn= (1 ? 1) ? ( 1 ? 4) a 1 1 ? ( 2 ? 7) ?? ? ( n ?1 ? 3n ? 2) a a 1 1 1 ? (1 ? ? 2 ?? ? n ?1 ) ? [1 ? 4 ? 7 ? ? ? (3n ? 2)], a a a 1 1 1 设S1 ? 1 ? ? 2 ?? ? n ?1 , a a a 当a=1时,S1=n;当a≠1时,

1 n an ?1 a ? S1 ? , n n ?1 1 a ?a 1? a 1? (3n ? 1)n S 2 ? 1 ? 4 ? 7 ? ? ? (3n ? 2) ? . 2 (3n ? 1)n (3n ? 1)n ?当a ? 1时, S n ? S1 ? S 2 ? n ? ? ; 2 2 an ?1 (3n ? 1)n 当a ? 1时, S n ? S1 ? S 2 ? n ? . n ?1 a ?a 2

【例2】设正数数列{an}的前n项和Sn,满足 1 Sn = (an+1)2. 4 (1)求出数列{an}的通项公式;
(2)设 bn ? 求Tn. 分析 裂项求和.
1 记数列{b }的前n项和为T , , n n an an ?1

①由an=Sn-Sn-1(n≥2)可求得an;②采用



1 = [(an+1)2-(an-1+1)2] 4 整理得(an+an-1)(an-an-1-2)=0,

(1)当n≥2时,an=Sn-Sn-1

∵an+an-1≠0,
∴an-an-1=2.
1 当n=1时,a1=S1= (a1+1)2,解得a1=1. 4 ∴数列{an}是以a1=1为首项,以d=2为公差的等差

数列.

∴an=2n-1.

1 1 1 1 (2) ? bn ? ? ( ? ), (2n ? 1)(2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1 1 1 1 1 1 1 ?Tn ? [(1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? )] 2 3 3 5 2n ? 1 2n ? 1 1 1 n ? (1 ? )? . 2 2n ? 1 2n ? 1

跟踪练习2

(2009·陕西宝鸡教学质检)已知数

1 列{an}的前n项和为Sn,且a1=1,an+1= Sn 2

(n=1,2,3,?).

(1)求数列{an}的通项公式; (2)当 b ? 1 ? log3 (3a ) 时,求证:数列 n n ?1
2

1 ? ?an?1 ? 2 S n , (1)解 由已知得 ? (n ? 2), ? ?a ? 1 S ? n 2 n?1 ? 3 得到 an?1 ? an (n ? 2). ∴数列{an}是以a2为首 2 3 为公比的等比数列. 项,以
2

n ? 1 ? Tn ? . ? ?的前n项和 1? n ? bn bn ?1 ?

1 1 1 3 n?2 又a2 ? S1 ? a1 ? ,? an ? a2 ? ( ) (n ? 2). 2 2 2 2 n ? 1, ?1, ? ? an ? ? 1 3 n ? 2 n ? 2. ?2 ( 2) , ? (2)证明 b ? 1 ? log3 (3a )
n
2

n ?1

3 3 n?1 1 1 1 ? 1 ? log3 [ ? ( ) ] ? 1 ? n.?Tn ? ? ? . 2 2 2 n(1 ? n) n 1 ? n 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ??? bnbn?1 b1b2 b2b3 b3b4 bnbn?1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ( ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ??? ( ? ) 1 2 2 3 3 4 n 1? n 1 n ? 1? ? . 1? n 1? n

【例3】(12分)(2008·陕西)已知数列{an}的首
2an 2 项 a1 ? , an?1 ? , n=1,2,?. 3 an ? 1
? an ? ?n? (2)求数列 ? ? 的前n项和Sn. ? an ?

(1)证明:数列 ? 1 ?1? 是等比数列; ? ?

分析

若数列{an}为等差数列,{bn}为等比数

列,求{anbn}的前n项和可采用错位相减法,本 题可采用错位相减法求得.

解题示范
(1)证明 ? an?1 ? 2an ,? 1 ? an ? 1 ? 1 ? 1 ? 1 ,
an ? 1 an ?1 2an 2 2 an

?

1 1 1 2 1 1 ? 1 ? ( ? 1).又a1 ? ,? ? 1 ? , an ?1 2 an 3 a1 2

?1 ? 1 1 ? 数列? ? 1?是以 为首项, 为公比的等比数列 ?4分? . 2 2 ? an ?

(2)解 由(1)知 1 ? 1 ? 1 ? 1?1 ? 1n , an 2 2n 2 1 1 n n 即 ? n ? 1,? ? n ? n. an 2 an 2 1 2 3 n 设Tn ? ? 2 ? 3 ? ? ? n , ① 2 2 2 2 1 1 2 n ?1 n 则 Tn ? 2 ? 3 ? ? ? n ? n?1 , ② 2 2 2 2 2 1 1 1 1 n ① - ②得 Tn ? ? 2 ? ? ? n ? n?1 2 2 2 2 2

[6分]

1 1 (1 ? n ) 2 2 ? n ? 1? 1 ? n , ? 1 2n?1 2n 2n?1 1? 2 1 n ?Tn ? 2 ? n?1 ? n . [10分] 2 2 n(n ? 1) 又1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ? , 2 ?n? ? 数列? n ?的前n项和 ?a ? 2 ? n n(n ? 1) n 2 ? n ? 4 n ? 2 Sn ? 2 ? n ? ? ? n .[12分] 2 2 2 2

跟踪练习3
c≠0.

(2008·安徽)设数列{an}满足

a1=a,an+1=can+1-c,n∈N*,其中a、c为实数,且 (1)求数列{an}的通项公式; (2)设a= (1)解 比数列. ∴an-1=(a-1)cn-1,即an=(a-1)cn-1+1. 当a=1时,an=1仍满足上式,
1 2

,c=

1 ,bn=n(1-an),n∈N*,求数列 2

{bn}的前n项和Sn.
方法一 ∵an+1-1=c(an-1), ∴当a≠1时,{an-1}是首项为a-1,公比为c的等

∴数列{an}的通项公式为an=(a-1)cn-1+1 (n∈N*).
方法二 由题设得n≥2时,an-1=c(an-1-1) =c2(an-2-1)=?=cn-1(a1-1)=(a-1)cn-1, ∴an=(a-1)cn-1+1,n=1时,a1=a也满足上式. ∴{an}的通项公式为an=(a-1)cn-1+1 (n∈N*).

(2)解

由(1)得 bn ? n(1 ? a)c n ?1 ? n( ) n .

1 2

1 1 2 1 n S n ? b1 ? b2 ? ? ? bn ? ? 2( ) ? ? ? n( ) , 2 2 2 1 1 2 1 3 1 n 1 n ?1 S n ? ( ) ? 2( ) ? ? ? (n ? 1)( ) ? n( ) , 2 2 2 2 2

1 1 1 2 1 n 1 n ?1 ? S n ? ? ( ) ? ? ? ( ) ? n( ) 2 2 2 2 2 1 1 2 1 n ?1 1 n ? S n ? 1 ? ? ( ) ? ? ? ( ) ? n( ) 2 2 2 2 1 n 1 n ? 2[1 ? ( ) ] ? n( ) . 2 2 1 n ? S n ? 2 ? (2 ? n)( ) . 2

思想方法

感悟提高

高考动态展望
高考中以考查等差、等比数列的求和公式为主,

同时考查转化的思想,另外对非等差、等比数列
求和,主要考查学生的观察能力,分析问题与解

决问题的能力及计算能力.

方法规律总结
1.数列求和,如果是等差、等比数列的求和,可 直接用求和公式求解,公式要做到灵活运用. 2.非等差、等比数列的一般数列求和,主要有两 种思路:

(1)转化的思想,即将一般数列设法转化为等差
或等比数列,这一思想方法往往通过通项公式 或错位相消来完成; (2)不能转化为等差或等比数列的特殊数列,往 往通过裂项相消法、错位相减法,倒序相加法 等来求和,要将例题中的几类一般数列的求和 方法记牢.

3.数列求和的方法技能 (1)倒序相加:用于等差数列及其相关联的数列

求和.
(2)错位相减:用于等差数列与等比数列的积数 列的求和.

(3)分组求和:用于若干个等差数列或等比数列
的和数列的求和. (4)拆项相消:常用的拆项公式有 1 1 1 1 1 ? ? ; ? ( a ? b ). n(n ? 1) n n ? 1 a ? b a ? b

定时检测
一、填空题
1.(2009·广东汕头一模)数列9,99,999,? 10 n (10 ? 1) ? n 的前n项和为 9 . 解析 ∵数列通项an=10n-1,
10(1 ? 10n ) 10 n ∴分组求和得 S n ? ? n ? (10 ? 1) ? n. 1 ? 10 9

2.(2009·深圳调研)设函数f(x)=xm+ax的导数
? 1 ? 为f′(x)=2x+1,则数列 ? ? (n∈N*)的 ? f ( n) ? n

前n项和是 n ? 1 .
解析 ∵f(x)=xm+ax的导数为f′(x)=2x+1,

∴m=2,a=1,∴f(x)=x2+x,
即f(n)=n2+n=n(n+1), ? 1 ? ?(n∈N*)的前n项和为 ∴数列 ? ? f ( n) ? 1 1 1 1 Sn ? ? ? ??? 1? 2 2 ? 3 3 ? 4 n(n ? 1)

1 1 1 1 1 1 n ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? ) ? 1? ? . 2 2 3 n n ?1 n ?1 n ?1

3.(2010·广东十校联考)等差数列{an}的通项 an=2n+1,则由bn ?

a1 ? a2 ? ? ? an 所确定的 1 n
n(n ? 5)

数列{bn}的前n项之和是 2

. n(3 ? 2n ? 1) 解析 由题意a1+a2+a3+?+an= 2 n(n ? 2) =n(n+2),∴bn= ? n ? 2,
于是数列{bn}的前n项和

n

n(3 ? n ? 2) 1 Sn ? ? n(n ? 5). 2 2

4.(2010·苏州模拟)若数列{an}是正项数列,且 a a a1 ? a2 ? ? ? an ? n 2 ? 3n(n ? N? ),则 1 ? 2 2 3 an ??? ? 2n2+6n . n ?1
解析 令n=1得 a1 =4,即a1=16,

当n≥2时, an =(n2+3n)-[(n-1)2+3(n-1)]
=2n+2, 所以an=4(n+1)2,当n=1时,也适合, 所以an=4(n+1)2(n∈N*). an 于是 ? 4(n ? 1), n ?1 an a1 a2 故 ? ??? ? 2n 2 ? 6n. 2 3 n ?1

5.(2010·湖北沙市模拟)等差数列{an}的公差

不为零,a4=7,a1,a2,a5成等比数列,数列{Tn}满
足条件Tn=a2+a4+a8+?+ a2n ,则Tn= 2n+2-n-4 . 解析 设{an}的公差为d≠0,由a1,a2,a5成等比
2

数列,得 a2

? a1a5 ,

即(7-2d)2=(7-3d)(7+d)

∴d=2或d=0(舍去).
∴an=7+(n-4)×2=2n-1. 又 a2n =2·2n-1=2n+1-1,

∴Tn=(22-1)+(23-1)+(24-1)+?+(2n+1-1)
=(22+23+?+2n+1)-n=2n+2-n-4.

6.(2009·江苏南通期末)对正整数n,设曲线 y=x n (1-x)在x=2处的切线与y轴交点的纵坐标

为an,则数列 ?
解析

∵y=xn(1-x),

? an ? ? 的前n项和的公式是 ? n ?1?

.

∴y′=(xn)′(1-x)+(1-x)′·xn =n·xn-1(1-x)+(-xn). f′(2)=-n·2n-1-2n=(-n-2)·2n-1.

在点x=2处点的纵坐标为y=-2n.
∴切线方程为y+2n=(-n-2)·2n-1(x-2),与y 轴交点纵坐标为y=(n+1)·2n=an.

an (n ? 1)2 n ∴ ? ? 2 n 成等比数列. n ?1 n ?1 首项为2,公比为2.
2(1 ? 2 n ) ∴前n项和为 ? (2 n ? 1) ? 2 ? 2 n ?1 ? 2. 1? 2

答案

2n+1-2

7.(2010·南通模拟)若数列{an}满足
a 1 +3a 2 +3 2 a 3 +?+3 n - 1 a n = n ? 1 (n∈N * ),则a n =
?2 ?3 , ? ? ?1 , ? 3n ? n ?1 n?2

3

.
① ②

2 ; 3 n ?1 2a +?+3n-1a = 当n≥2时,a1+3a2+3 3 , n 3 n a1+3a2+?+3n-2an-1= . 3 1 ,a = 1 . ①-②,得3n-1an= n 3 3n

解析

当n=1时,a1=

?2 ?3 , ? ? an ? ? ?1 , ? 3n ?

n ? 1,

n ? 2.

8.(2010·山东临沂月考)设f(x)是定义在R上恒
不为0的函数,对任意x,y∈R,都有
1 f(x)·f(y)=f(x+y),若a1= ,an=f(n)(n为常 2

数),则数列{an}的前n项和Sn的取值范围是
?1 ? ? 2 ,1? ? ?

.

解析

f(2)=f 2(1),f(3)=f(1)f(2)=f 3(1),

f(4)=f(1)f(3)=f 4(1), 1 1 (1 ? n ) 1 n 2 2 ? 1 ? 1 ? ? 1 ,1?. ? f ( n) ? ( ) , S n ? n ?2 ? 1 2 2 ? ? 1? 2

9. (2009·广东)已知等比数列{an}满足

an>0,n=1,2,?,且a5·a2n-5=22n (n≥3),则当
n≥1时,log2a1+log2a3+?+log2a2n-1= n2 .

?解析

由题意知an=2n, log2a2n-1=2n-1,?

?log2a1+log2a3+?+log2a2n-1=1+3+?+(2n-1)=n2.

二、解答题
10.(2010·江苏常熟模拟)将数列{an}中的所有 项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数 表: a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10 ???????????? 记表中的第一列数a1,a2,a4,a7,?构成的数列为 {bn},b1=a1=1.Sn为数列{bn}的前n项和,且满足
2bn ? 1(n ? 2). 2 bn S n ? S n

?1 ? (1)证明:数列 ? ? 成等差数列,并求数列{bn}的 ? Sn ?

通项公式;

(2)上表中,若从第三行起,每一行中的数按从左到 右的顺序均构成等比数列,且公比为同一个正数. 4 当a81=时,求上表中第k (k≥3)行所有项的和. 91 2bn ? 1, (1)证明 由已知,当n≥2时, 2 bn S n ? S n 又Sn=b1+b2+?+bn,

2( S n ? S n ?1 ) 2( S n ? S n ?1 ) 所以 ? 1,即 ? 1, 2 ( S n ? S n ?1 ) S n ? S n ? S n ?1S n 所以 1 1 1 ? ? , S n S n ?1 2

又S1=b1=a1=1.

? 1 ? 是首项为1,公差为 1 的等差数列. 所以数列 ? ? 2 ? Sn ? 1 1 n ?1 2 则 ? 1 ? ( n ? 1) ? , 即S n ? . Sn 2 2 n ?1

2 2 2 所以, 当n ? 2时, bn ? S n ? S n ?1 ? ? ?? . n ?1 n n(n ? 1) n ? 1, ?1, ? 因此, bn ? ? 2 ? ? n( n ? 1) , n ? 2. ?

(2)解

设上表中从第3行起,每行的公比都为q,且

12 ? 13 q>0. 因为1+2+?+12= =78, 2

所以表中第1行至第12行共含有数列{an}的前78项,

故a81在表中第13行第3列,因此a81=b13 又b13=2 ,所以q=2. 13 ? 14

·q2=-

4 . 91

记表中第k (k≥3)行所有项的和为S,

bk (1 ? q k ) 2 (1 ? 2k ) 则S ? ?? ? 1? q k (k ? 1) 1 ? 2 2 ? (1 ? 2k )(k ? 3). k (k ? 1)

11. (2010·南通模拟)在数列{an}中,a1=1, an+1=2an+2n. an (1)设 bn= n-1,证明:数列{bn}是等差数列; 2 (2)求数列{an}的前 n 项和 Sn.

(1)证明

an+1 an ∵an+1=2an+2 ,∴ n = n-1+1, 2 2
n

an ∵bn= n-1,∴bn+1=bn+1, 2 即 bn+1-bn=1,b1=1, 故数列{bn}是首项为 1,公差为 1 的等差数列.

(2)解 由(1)知,bn=n,an=n2n 1, 则 Sn=1·0+2·1+?+(n-1)·n-2+n·n-1 2 2 2 2 2Sn=1·1+2·2+?+(n-1)·n 1+n·n 2 2 2 2 两式相减,得 Sn=n·n-1·0-21-?-2n 1=n·n-2n+1. 2 2 2
- -



12. (2010·广东湛江月考)已知数列{an}的前 n 项和 Sn=an2+bn+c (n∈N*),且 S1=3,S2=7, S3=13, (1)求数列{an}的通项公式; ? 1 ? ? ? ? (2)求数列 a a ?的前 n 项和 Tn. ? n n+1? ? ?

?a+b+c=3, ? 解 (1)由已知有?4a+2b+c=7, ?9a+3b+c=13, ? 所以 Sn=n2+n+1.

?a=1, ? 解得?b=1, ?c=1, ?

当 n≥2 时, an=Sn-Sn-1=n2+n+1-[(n-1)2+(n-1)+1]=2n, ?3, n=1, ? 所以 an=? ?2n, n≥2. ? 1 1 1 (2)令 bn= ,则 b1= = . a1a2 12 anan+1 1 ? 1 1 ?1 ? ? 当 n≥2 时,bn= = · -n+1?. 2n· 2(n+1) 4 ?n ? ? 所以 Tn′=b2+?+bn 1 1 ? n-1 1 ?1 1 1 1 ? ? = ×?2-3+3-4+?+n-n+1?= . 4 ? 8(n+1) ? n-1 5n-1 1 所以 Tn= + = (n∈N*). 12 8(n+1) 24(n+1)
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