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函数的性质(经典难题)


1.已知 f ? x ? ? ?

? ?? 3a ? 1? x ? 4a, ( x ? 1) 是 ? ??, ??? 上的减函数,那么 a 的取值范围 ? ?log a x, ( x ? 1)

x ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ?a , ( x ? 0) 满足对任意的x1 ? x2 , 都有 2.若函数 f ( x) ?

? ? 0成 x1 ? x2 ? ?? a ? 3? x ? 4a, ( x ? 0)

立,则 a 的取值范围_________________

3.已知函数f ( x) ? ? _____________

? ? x ? sin x ? x ? 0 ? ,若 f (2 ? a2 ) ? f (a) ,则实数 a 的取值范围是 x ? ?e ? 1 ? x ? 0 ?

x x 2 4.如果函数 f ( x) ? a (a ? 3a ?1) ( a ? 0 且 a ? 1 )在区间 ?0, ?? ? 上是增函数,那么实数

a 的取值范围为 ? 2? A. ? 0, ? ? 3?

? 3 ? B. ? ,1? ? ? 3 ?

C. 0, 3 ? ?

?

?3 ? D. ? , ?? ? ?2 ?

5.已知 f

'

? x? 是函数 f ? x ? ? 3 x3 ? mx 2 ? ? m2 ? 1? x ? n 的导函数,若函数 y ?

1

' f? ? f ? x ?? ?

在区间 ?m, m ?1? 上单调递减,则实数 m 的范围是

6.已知定义在 R 上的奇函数 f ( x ) 满足 f ( x ? 2) ? ? f ( x) ,则 f (6) 的值为

7.已知函数 f ? x ? 满足: f ?1? ? 2, f ? x ? 1? ?

1? f ? x? ,则 f ? 2009? = 1? f ? x?

8. 设偶函数 f ( x ) 对任意 x ? R ,都有 f ( x ? 3) ? ?

1 ,且当 x ?? ?3, ?2? 时, f ( x)

f ( x) ? 2 x ,则 f (113.5) ?

9.设 f ? x ? ?

1? x ,又记 f1 ? x ? ? f ? x ? , fk ?1 ? x ? ? f ? f k ? x ?? , k ? 1,2, 1? x

, 则 f 2009 ? x ? ?

10.已知函数 f ? x ? 满足: f ?1? ?

1 , 4 f ? x ? f ? y ? ? f ? x ? y ? ? f ? x ? y ?? x, y ? R ? ,则 4

f ? 2010? =_____________.

11.定义域为 R 的函数 f ? x ? 对任意 x 都有 f ? x ? ? f ? 4 ? x ? ,且其导数 f

'

? x? 满足

? x ? 2? f ? x ? ? 0 ,则当 2 ? a ? 4 时,有 a a A. f ? 2 ? ? f ? 2 ? ? f ? log 2 a ? B. f ? 2 ? ? f ? 2 ? ? f ? log 2 a ? a a C. f ? 2 ? ? f ? log 2 a ? ? f ? 2 ? D. f ? log 2 a ? ? f ? 2 ? ? f ? 2 ?
'

12.若 y ? f ( x)是偶函数,且y ? f ( x ? 1)是奇函数,且对于任意 0 ? x ? 1 ,都有

f ?( x) ? 0 则a ? f (

98 101 106 ), b=f ( ), c ? f ( ) ,请比较 a,b,c 的大小__________________ 19 17 15

13.已知 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,当 x ? (??,0) 时,不等式 f ?x? ? xf ' ?x? ? 0 总成立, 若记 a ? 2
0.2

f ?0.2?, b ? ?log? 3? f ?log? 3?, c ? (?3) f ?? 3?,则 a, b, c 的大小关系为

14.若函数 f ( x), g ( x)分别是R上的奇函数 ,偶函数,且满足 f ( x) ? g ( x) ? ex ,则比较

f (2), f (3), g (0)的大小 __________________

15. 设f ( x)是连续的偶函数,且当x ? 0时f ( x)是单调函数,则满足 f ( x ) ? f ( 的所有 x 之和为__________________

x?3 ) x?4

16.已知 f ? x ? 是 R 上的奇函数, 若将 f ? x ? 的图像向右平移一个单位, 则得到一个偶函数的 图像,若 f ? ?1? ? 2 ,则 f ?1? ? f ? 2? ? f ?3? ?

? f ? 2012? ?

17.定义在 R 上的函数 f ? x ? 的图像关于点 ? ?

? 3 ? , 0 ? 成中心对称,对任意的实数 x 都有 ? 4 ?

3? ? f ? x ? ? ? f ? x ? ? ,且 f ? ?1? ? 1, f ? 0? ? ?2 , f ?1? ? f ? 2? ? f ?3? ? ? f ? 2008? = 2? ?

18.已知定义在 R 上的函数 f(x)的图像关于点 ? ? , 0 ? 成中心对称,对任意实数x都有

? 3 ? 4

? ?

f ( x) ? ?

1 3 f (x ? ) 2

,且f (?1) ? 1,f (0) ? -2,则

f (0)+f(1)+f(2)+.....+f(2010)=_______

19.定义在 R 上的函数 f ( x) 满足 f ?x ? 6? ? f ?x? ,当 ? 3 ? x ? ?1时, f ?x? ? ??x ? 2?2 ; 当 ?1 ? x ? 3 时, f ?x? ? x ,则 f ?1? ? f ? 2 ? ? f ? 3? ?

? f ? 2012 ? ?

20.已知 f ? x ? 是定义在 R 上的偶函数,定义在 R 上的奇函数 g ? x ? 过点 ? ?1,1? ,且

g ? x? ? f? ? x 1? ,则 f ? 2007? ? f ? 2008? =___________

21.已知定义在 R 上的函数 f ( x) 式奇函数且满 f ?

?3 ? ? x ? ? f ?x ?, f ?? 2? ? ?3, 数列 ?an ?满足 ?2 ?

a1 ? ?1, 且 Sn ? 2an ? n (其中 S n 为 ?an ?的前 n 项和) ,则 f ?a5 ? ? f ?a6 ? ?

22. 定义在R上的偶函数y=f(x)满足:
1 对任意的x ? R都有f ( x ? 6) ? f ( x) ? f (3)成立 ○ 2 f (-5) ? ?1 ○

3 当x , x ? ? 0,3? 且x ? x 时,都有 ○ 1 2 1 2

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ?0 x1 ? x2

则f (1) ? f (3) ? f (5) ? .... ? f (2011) ? _____

23.已知定义在 R 上的奇函数 f ( x) ,满足 f ( x ? 4) ? ? f ( x) ,且在区间[0,2]上是增函数,若方 程 f(x)=m(m>0)在区间 ?? 8,8? 上有四个不同的根 x1 , x2 , x3 , x4 ,

x1 ? x2 ? x3 ? x4 ? _________.

24.函数 y ? f ?x? 的定义域为 D,若对于任意 x1 , x2 ? D, 当 x1 ? x2 时,都有 f ?x1 ? ? f ?x2 ? , 则称函数 f ?x? 在 D 上为非减函数.设函数 f ?x? 在 ?0,1? 上为非减函数, 且满足以下三个条件:

? x? 1 ?1? (1) f ?0? ? 0; ?2? f ? ? ? f ?x ?; (3) f ?1 ? x ? ? 1 ? f ?x ? ,则 f ? ? ? ? 3? 2 ? 3?

, f? ??

?1? ?8?

?log 1 ? x ? 1? , x ? ? 0,1? ? 2 25.定义在 f ( x)是定义R上的奇函数 , x ? 0时 f ( x) ? ? ? ?1 ? x ? 3 , x ? ?1, ?? ?
则关于 x 的函数 F ( x) ? f ( x) ? a ? 0 ? a ? 1?的所有零点之和为 A. 2 ? 1
a

B.

2? a ? 1

C.

1 ? 2? a

D. 1 ? 2

a

26.已知 y ? f ( x )为偶函数,当x ? 0时,f ( x ) ? ? ? x ? 1? ? 1, 那么满足条件
2

1 f ( f (a)) ? 的实数a的个数 为 2
A2 . B. 4 C.6 D8

27.定义在 R 上的奇函数 的实根个数是

x 当 x ? 0 时,f ?x? ? 2012 则方程 f ?x ? ? 0 f ?x? 满足: ? log2012 x ,

28.已知函数 f(x)满足
1 定义域为R ○ 2 ?x ? R, 有f ( x ? 2) ? 2 f ( x) ○ 3 ○

当x ? ? ?1,1?时,f ( x) ? cos

?
2

x, 则方程f ( x) ? log 4 x 在区间

??10,10?内的解的个数为 ____________________

29.定义在 R 上的函数 f ?x? 既是奇函数,又是周期函数,T 是它的一个正周期,若将方程

f ?x? ? 0 在闭区间 ?? T , T ? 上的根的个数记为 n ,则 n 可能为

3 2 30.若函数 f ?x ? ? x ? a x ? 1 , a ? R ,则对于不同的实数 a ,则函数 f ?x? 的单调区间个数不

可能的是 A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.5 个

31.函数 f ( x) 的定义域为 R,若 f ( x ? 1) 与 f ( x ? 1) 都是奇函数,则 A. f ( x) 是偶函数 C. f ( x) ? f ( x ? 2) B. f ( x) 是奇函数 D. f ( x ? 3) 是奇函数

32.已知 f ( x) 不是常数函数,对于 x ? R ,有 f (8 ? x) ? f (8 ? x) ,且 f (4 ? x) ? f (4 ? x) , 则 f ( x) A、是奇函数不是偶函数 C、是偶函数不是奇函数 B、是奇函数也是偶函数 D、既不是奇函数也不是偶函数

33.函数 f ( x) 在定义域 R 上不是常数函数,且 f ( x) 满足条件:对任意 x ? R ,都有

f ?2 ? x? ? f ?2 ? x?, f ?1? x? ? ? f ?x? ,则 f ?x?
A.是奇函数但非偶函数 C.既是奇函数又是偶函数 B.是偶函数但非奇函数 D.是非奇非偶函数

34.定义在 R 上的函数 f ? x ? 满足 f ? ? x ? ? ? f ? x ? 4? ,当 x ? 2 时, f ? x ? 单调递增,如果

x1 ? x2 ? 4 ,且 ? x1 ? 2? ? x2 ? 2? ? 0 ,则 f ? x1 ? ? f ? x2 ? 的值为
A.恒小于 0 B.恒大于 0 C.可能为 0 D.可正可负

35.若定义在 R 上的函数 f ? x ? 满足:对任意 x1 , x2 ? R 都 f ? x1 ? x2 ? ? f ? x1 ? ? f ? x2 ? ?1 , 则下列说法一定正确的是 A. f ? x ? 为奇函数 B. f ? x ? 为偶函数 C. f ? x ? ? 1为奇函数 D. f ? x ? ? 1为偶函数

36.已知定义域是全体实数的函数 y ? f ?x? 满足 f ?x ? 2? ? ? f ?x? ,且函数

g ?x ? ?

f ?x ? ? f ?? x ? f ?x ? ? f ?? x ? ,函数 h? x ? ? ,现定义函数 p( x), q( x) 为: 2 2

? k? ? g ( x) ? g ( x ? ? ) ? h ? x ? ? h? x ? ? ? , ( x ? k? ? ) (x ? ) ? ? ? ? 2 sin 2 x 2 cos x 2 2 p( x) ? ? , q?x ? ? ? ,其中 k ? Z ? k ? ?0, ( x ? k? ? ) ?0( x ? ) ? ? 2 2 ? ?
那么下列关于 p?x?, q?x? 叙述正确的是 A.都是奇函数且周期为 ? C.均无奇偶性但有周期性 B.都是偶函数且周期 ? D.均无周期性但都有奇偶性

37..对于正实数 ? , 记 M ? 为满足下述条件的函数 f ( x) 构成的集合: ?x1, x2 ? R 且 x2 ? x1 , 有

?? ( x2 ? x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? ? ( x2 ? x1 ) .下列结论中正确的是
A.若 f ( x) ? M?1 , g ( x) ? M? 2 ,则 f ( x) ? g ( x) ? M? 1?? 2 B.若 f ( x) ? M?1 , g ( x) ? M? 2 ,且 g ( x) ? 0 ,则

f ( x) ? M ?1 g ( x) ?2

C.若 f ( x) ? M?1 , g ( x) ? M? 2 ,则 f ( x) ? g ( x) ? M?1?? 2 D.若 f ( x) ? M?1 , g ( x) ? M? 2 ,且 ?1 ? ? 2 ,则 f ( x) ? g ( x) ? M? 1?? 2

38.定义:在平面上,纵横坐标均为整数的点叫做格点.已知二次函数

1? ? ,且函数 y ? f ? x ? ? 是偶函数,则在该二 f ?x? ? x 2 ? ax ? b(a, b ? R) 的图像过(1,13) 2? ?
次函数图象上,纵坐标是一个完全平方数的格点有

39.对于函数 f ?x? ,若存在 x0 ? R ,使 f ?x0 ? ? x0 成立,则称点 ?x0 , x0 ?为函数 f ?x? 的不动 点,对于任意实数 b ,函数 f ?x? ? ax2 ? bx ? b 总有相异不动点,则实数 a 的取值范围是

40.已知函数 f ?x ? ? 的取值范围为

1 3 x ? x 2 ? ?2a ? 1?x ? a 2 ? a ? 1 , 若 f ' ?x? ? 0 在 ?1,3? 上有解, 则实数 a 3

41.已知函数 y ? log2 ?

? 4x ?1 ? ? 的图象关于点 A 对称,则点 A 的坐标为 ? x ?

42.函数 y ? f ?x? 式定义在 R 上的增函数,函数 y ? f ?x ?1? 的图象关于点(1,0)对称.若对 任意的 x, y ? R ,不等式 f x2 ? 6x ? 21 ? f y 2 ? 8 y ? 0 恒成立,则当 x ? 3 时, x2 ? y 2 的 取值范围是

?

? ?

?

?2 x , x ? 0 ? 若函数f ( x) ? ? ? x , 则函数y ? f ( f ( x)) 的值域为_____________ 43. ? ??2 , x ? 0

?1? 44.已知f ( x) ? x ,g(x)? ? ? ? m, 若对于任意的x1 ? ?-1,3?,总有 ?2?
2

x

x2 ??0,2?, 使得f ( x1 ) ? g( x2 )成立,则实数m的取值范围________________________
?? 1 ? x ? 2 ? ? , x ? ?1 f ( x) ? ?? 45. f ( x)是定义R上的偶函数,且x ? 0时, .若 ?e? ? f ( x ? 1), ?1 ? x ? 0 ?
求常数 a 的取值范围_______________ f ( x) ? x ? a对于x ? R恒成立,

3 46.设偶函数 f ( x) ? x ? 8 ? x ? 0? ,则 x f ( x ? 2) ? 0 ? ______

?

?

47.已知 f ( x)是定义R上的奇函数 ,当 x ? 0时,f ( x) ? x ? 2x, 若f(2-a )? f (a) ,则
2 2

实数 a 的取之范围是_____________

48.定义在 ? 0, ? ?? 上的函数满足f ( x) ? f ( y) ? f ( xy), 且x ? 1时f ( x) ? 0 ,若不等式

f ( x 2 ? y 2 ) ? f ( xy ) ? f (a ) 对任意 x, y ? ? 0, ??? 恒成立,则实数a的取值范围是
_________________

49.已知函数 f ( x) ? x x ? a , 若对任意的 x1 , x2 ??2, ??? , x1 ? x2 。

? x1 ? x2 ?? f (x1) ? f (x2 )? ? 0 恒成立,则实数 a 的取值范围是_____________

50.已知函数 f ( x) ? x2 ? 2ax ? 5, 若f ( x)在区间? ??, 2?上是减函数,且对任意的

x1, x2 ??1 ,a ?1?, 总有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 4 ,则实数 a 的取值范围是 ___________

51.定义域为 ? 0, ? ??的函数f ( x)满足:(1)对任意的x ?? 0, ? ?? , 恒有f (2x)=2 f ( x)

(2)当x ? ?1,2?时,f ( x) ? 2 ? x 。给出如下结论;
m 1 对任意的 m ? Z , 有f (2 ) ? 0 ○
2 函数f ( x)的值域为?0 ○ , ? ??

n 3 存在n ? Z,使得f (2 ? 1) ? 9 ○
4 "函数f ( x)在区间? a, b ? 上单调递减"的充要条件是 “存在 k ? Z ,使得 ○

。正确结论的序号是______________? a, b ? ? ? 2k , 2k ?1 ? ”

52.对于定于在 R 上的函数 y ? f ?x? ,有下述命题: (1)若函数 f ?x? 是奇函数,则 f ?x ?1? 的图象关于点 A(1,0)对称 (2)若函数 f ?x ?1? 的图象关于直线 x ? 1 对称,则 f ?x? 是偶函数 (3)若对 x ? R ,有 f ?x ?1? ? ? f ?x? ,则 f ?x? 的周期为 2 (4)函数 f ?x ?1? 与 f ?1 ? x? 的图象关于直线 x ? 1 对称 其中正确的命题是

?e ? x ? 2 ? x ? 0 ? ? 53.已知函数 f ( x) ? ? (a 是正数) 。对于下列命题: 2 ax ? 1 x ? 0 ? ? ? ?
1 函数f ( x)的最小值是-1 ○

2 函数f ( x)在R上是单调函数 ○

3 若f ( x) ? 0在 ○ ? ? ? 上恒成立,则a的取值范围是a ? 1 ? ,

?1 ?2

? ?

4 对任意的x ? 0, x ? 0且x ? x , 恒有f ( ○ 1 2 1 2

x1 ? x2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) )? 2 2

则下列命题正确的是________________

54.已知函数 y ? f ( x)是R上的偶函数,对于x ? R都有f ( x ? 6) ? f ( x) ? f (3) 成立,当

x1 , x2 ? ?0,3? 且x1 ? x2时,都有
1 f(3)=0 ○

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,给出下列命题: x1 ? x2

2 直线 x=-6 是函数 y ? f ( x)的图像的一条对称轴 ○ 3 函数y ? f ( x)在? ?9 ○ , -6?上为增函数 4 函数y ? f ( x)在? ?9 ○ ,9?上有四个零点

其中正确命题的序号为_____________________

55.函数 f x2∈[a,b], (x) 在[a,b]上有定义, 若对任意 x1, 有 则称 f(x)在[a,b]上具有性质 P.设 f(x)在[1,3]上具有性质 P,现给出如下命题: ①f(x)在[1,3]上的图像时连续不断的; ②f( x 2 )在[1, 3 ]上具有性质 P; ③若 f(x)在 x=2 处取得最大值 1,则 f(x)=1,x∈[1,3]; ④对任意 x1,x2,x3,x4∈[1,3],有 其中真命题的序号是 A.①②

B.①③

C.②④

D.③④


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