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2013高中数学精讲精练(新人教A版)第09章 圆锥曲线


第九章 圆锥曲线
【知识图解】 定义 椭圆 几何性质 定义 标准方程 圆锥曲线应用 几何性质 定义 抛物线 几何性质 【方法点拨】 解析几何是高中数学的重要内容之一,也是衔接初等数学和高等数学的纽带。而圆锥曲线是解析几何 的重要内容,因而成为高考考查的重点。研究圆锥曲线,无外乎抓住其方程和曲线两大特征。它的方程形 式具有代数的特性,而它的图像具有典型的几何特性,因此,它是代数与几何的完美结合。高中阶段所学 习和研究的圆锥曲线主要包括三类:椭圆、双曲线和抛物线。圆锥曲线问题的基本特点是解题思路比较简 单清晰,解题方法的规律性比较强,但是运算过程往往比较复杂,对学生运算能力,恒等变形能力,数形 结合能力及综合运用各种数学知识和方法的能力要求较高。 1. 一要重视定义,这是学好圆锥曲线最重要的思想方法,二要数形结合,既熟练掌握方程组理论,又关 注图形的几何性质. 2.着力抓好运算关,提高运算与变形的能力,解析几何问题一般涉及的变量多,计算量大,解决问题的思 路分析出来以后,往往因为运算不过关导致半途而废,因此要寻求合理的运算方案,探究简化运算的基本 途径与方法,并在克服困难的过程中,增强解决复杂问题的信心,提高运算能力. 3.突出主体内容,要紧紧围绕解析几何的两大任务来学习:一是根据已知条件求曲线方程,其中待定系数 法是重要方法,二是通过方程研究圆锥曲线的性质,往往通过数形结合来体现,应引起重视. 4.重视对数学思想如方程思想、函数思想、数形结合思想的归纳提炼,达到优化解题思维、简化解题过程 标准方程 标准方程

圆 锥 曲 线

双曲线

一.
【高考考点】

椭圆

1. 掌握椭圆的定义和几何图形,掌握椭圆的标准方程,会求椭圆的标准方程,掌握椭圆简单的几何性质; 2. 了解运用曲线方程研究曲线几何性质的思想方法;能运用椭圆的标准方程和几何性质处理一些简单的 实际问题.
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【基础练习】 1.已知△ABC 的顶点 B、C 在椭圆

x2 ? y 2 ? 1上,顶点 A 是椭圆的一个焦点,且椭圆的另外一个焦点在 3

BC 边上,则△ABC 的周长是-----------------。 2.椭圆 x 2 ? 4 y 2 ? 1的离心率为 -----------。 3.已知椭圆中心在原点,一个焦点为 F(-2 3 ,0) ,且长轴长是短轴长的 2 倍,则该椭圆的标准方程是 -------------------------。 4. 已知椭圆

1 x2 y2 ? ? 1 的离心率 e ? ,则 k 的值为 2 k ?8 9 --------------------------。 3 5 , ) ,且与椭圆 9x2 ? 4 y 2 ? 45 有共同焦点的椭圆方程。 2 2

【例题分析】 例 1.(1)求经过点 ( ?

(2)已知椭圆以坐标轴为对称轴,且长轴长是短轴长的 3 倍,点 P(3,0)在该椭圆上,求椭圆的方程。 【分析】由所给条件求椭圆的标准方程的基本步骤是:①定位,即确定椭圆的焦点在哪轴上;②定量,即根 据条件列出基本量 a、b、c 的方程组,解方程组求得 a、b 的值;③写出方程. 解:

【点拨】求椭圆标准方程通常采用待定系数法,若焦点在 x 轴上,设方程为

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? ,若 a 2 b2

焦点在 y 轴上,设方程为

y 2 x2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? ,有时为了运算方便,也可设为 Ax2 ? By 2 ? 1 ,其中 a 2 b2

A ? 0, B ? 0, A ? B .

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例 2.点 A、B 分别是椭圆 轴上方, PA ? PF 。 (1)求点 P 的坐标;

x2 y2 ? ? 1 长轴的左、右端点,点 F 是椭圆的右焦点,点 P 在椭圆上,且位于 x 36 20

(2)设 M 是椭圆长轴 AB 上的一点,M 到直线 AP 的距离等于 | MB | ,求椭圆上的点到点 M 的距离 d 的 最小值。 【分析】①列方程组求得 P 坐标;②解几中的最值问题通常可转化为函数的最值来求解,要注意椭圆上点 坐标的范围. 解:

点拨:本题考查了二次曲线上的动点与定点的距离范围问题,通常转化为二次函数值域问题.

x2 y2 例 3.椭圆 2 ? 2 ? 1 (a>b>0)的二个焦点 F1(-c,0),F2(c,0),M 是椭圆上一点,且 F1 M ? F2 M ? 0 。 a b
求离心率 e 的取值范围. 分析:离心率与椭圆的基本量 a、b、c 有关,所以本题可以用基本量表示椭圆上点的坐标,再借助椭圆椭 圆上点坐标的范围建立关于基本量的不等式,从而确定离心率的范围. 解:

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【反馈练习】 1.如果 x 2 ? ky 2 ? 2 表示焦点在 y 轴上的椭圆,那么实数 k 的取值范围是----------------------。 2.设椭圆的两个焦点分别为 F1、 、F2,过 F2 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点 P,若△F1PF2 为等腰直角三角形, 则椭圆的离心率是--------------------------。

3.椭圆 倍。

x2 y2 =1 的焦点为 F1 和 F2, 点 P 在椭圆上.如果线段 PF1 的中点在 y 轴上, 那么|PF1|是|PF2|的-------? 12 3
x2 y 2 10 ? ? 1 的离心率 e ? ,则 m 的值为 5 m 5 ------------。

4.若椭圆

x2 y2 ? ? 1 的右焦点到直线 y ? 3x 的距离为 5..椭圆 4 3 -----------------。
x2 y2 ? ? 1 具有相同的离心率且过点(2,- 3 )的椭圆的标准方程是 6.与椭圆 4 3 ---------------。

x2 y2 ? ? 1 上的点到直线 x ? 2 y ? 2 ? 0 的最大距离是--------------。 7.椭圆 16 4
8. 已知 P 点在以坐标轴为对称轴的椭圆上,点 P 到两焦点的距离分别为 在轴的垂线,它恰好过椭圆的一个焦点,求椭圆方程. 分析:讨论椭圆方程的类型,根据题设求出 a 和 b (或 a 和 b )的值.从而求得椭圆方程. 解:
2 2

4 5 2 5 和 ,过 P 点作焦点所 3 3

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二.双曲线
【高考考点】 1. 了解双曲线的定义、几何图形和标准方程,了解其几何性质 2. 能用双曲线的标准方程和几何性质解决一些简单的实际问题. 【基础练习】 1.双曲线 mx 2 ? y 2 ? 1 的虚轴长是实轴长的 2 倍,则 -------------------------。 2. 方程

y2 x2 ? ? 1 表示双曲线,则 k 的范围是----------------------------。 k ?3 k ?3

3.已知中心在原点,焦点在 y 轴的双曲线的渐近线方程为 y ? ? 【例题分析】

1 x ,则此双曲线的离心率为---------。 2

例 1. (1) 已知双曲线的焦点在 y 轴上,并且双曲线上两点 P 1, P 2 坐标分别为 (3, ?4 2), ( ,5) ,求双曲线 的标准方程;

9 4

x2 y2 ? ? 1 共渐近线且过 A 2 3, (2)求与双曲线 ? 3 点的双曲线方程及离心率. 16 9
分析:由所给条件求双曲线的标准方程的基本步骤是:①定位,即确定双曲线的焦点在哪轴上;②定量,即 根据条件列出基本量 a、b、c 的方程组,解方程组求得 a、b 的值;③写出方程. 解:

?

?

点评:本题只要解得 a , b 即可得到双曲线的方程,没有必要求出 a , b 的值;在求解的过程中也可以 用换元思想,可能会看的更清楚。 (2)

2

2

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点评:一般地,在已知渐近线方程或与已知双曲线有相同渐近线的条件下,利用双曲线系方程

x2 y2 ? ? ? ?? ? 0? 求双曲线方程较为方便.通常是根据题设中的另一条件确定参数 ? . a2 b2
例 2.双曲线

x2 y2 ? ? 1(a ? 1, b ? 0) 的焦距为 2c,直线 l 过点(a,0)和(0,b) ,且点(1,0)到直线 a2 b2
4 c. 求双曲线的离心率 e 的取值范围. 5

l 的距离与点(-1,0)到直线 l 的距离之和 s ?
解:

点拨:本小题主要考查点到直线距离公式,双曲线的基本性质以及综合运算能力. 【反馈练习】 1.双曲线

x2 y2 ? ? ?1 的渐近线方程为-----------------2 4

2.已知双曲线的离心率为 2 ,焦点是 (?4, 0) , (4, 0) ,则双曲线方程为-----------------。 3. 已 知 双 曲 线 的 两 个 焦 点 为 F1 (? 5,0) , F2 ( 5,0) , P 是 此 双 曲 线 上 的 一 点 , 且 PF 1 ? PF 2 ,

| PF1 | ? | PF2 |? 2 ,则该双曲线的方程是

-----------------------------。

4. 设 P 是双曲线

x 2 y2 - =1 上一点,双曲线的一条渐近线方程为 3x ? 2 y ? 0 , F1 、 F2 分别是双曲线左 a2 9

右焦点,若 PF1 =3,则 PF2 =---------------------。 5.与椭圆

x2 y 2 ? ? 1 共焦点且过点 (3 2, 2) 的双曲线的方程 25 5 ------------------------------

6. (1)求中心在原点,对称轴为坐标轴经过点 P?1 , ? 3? 且离心率为 2 的双曲线标准方程.
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(2)求以曲线 2x 2 ? y 2 ? 4x ?10 ? 0 和 y 2 ? 2x ? 2 的交点与原点的连线为渐近线,且实轴长为 12 的双 曲线的标准方程. 解:

x2 y2 7.设双曲线 2 ? 2 ? 1 (0 ? a ? b) 的半焦距为 c ,直线 l 过 (a , 0) 、 (0 , b) 两点,且原点到直线 l 的距离 a b


3 c ,求双曲线的离心率. 4
c 的值. a

分析:由两点式得直线 l 的方程,再由双曲线中 a 、 b 、 c 的关系及原点到直线 l 的距离建立等式,从而解 出

解:

说明:此题易得出错误答案: e ? 2 或 e ?

2 3 .其原因是未注意到题设条件 (0 ? a ? b) ,从而离心率 3

e ? 2 .而

2 3 ? 2 ,故应舍去. 3

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8.已知双曲线的中心在原点,焦点 F1 , F2 在坐标轴上,离心率为 2 ,且过点 4, ? 10 . (1)求双曲线方程; (2)若点 M ? 3, m? 在双曲线上,求证: MF 1 ? MF 2 ? 0; (3)对于(2)中的点 M ,求 ?F1MF2 的面积.

?

?

三.
【高考考点】

抛物线

1.了解抛物线的定义,掌握抛物线标准方程的四种形式和抛物线的简单几何性质. 2.会用抛物线的标准方程和几何性质解决简单的实际问题. 【基础练习】 1.焦点在直线 x-2y-4=0 上的抛物线的标准方程是---------------------------------。 2.若抛物线 y 2 ? 2 px 的焦点与椭圆
2

x2 y 2 ? ? 1 的右焦点重合,则 p 的值为-----------。 6 2

3.抛物线 y ? 4ax(a ? 0) 的焦点坐标是----------------------------。 4.抛物线 y ? 12 x 上与焦点的距离等于 9 的点的坐标是
2

-------------------------------。

5.点 P 是抛物线 y ? 4 x 上一动点,则点 P 到点 A(0, ? 1) 的距离与 P 到直线 x ? ?1 的距离和的最小值
2

--------------------------------------。 【例题分析】 例 1. 给定抛物线 y2=2x,设 A(a,0) ,a>0,P 是抛物线上的一点,且|PA|=d,试求 d 的最小值. 解:

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例 2 如图,设抛物线方程为 x2=2py(p>0),M 为 直线 y=-2p 上任意一点,过 M 引抛物线的切线,切点分别 为 A,B. (Ⅰ)求证:A,M,B 三点的横坐标成等差数列; (Ⅱ)已知当 M 点的坐标为(2,-2p)时, AB ? 4 10 ,求此时 方程; (Ⅲ)是否存在点 M,使得点 C 关于直线 AB 的对称点 D 在抛物线 抛物线的

x2 ? 2 py( p>0) 上,其中,点 C 满足 OC ? OA ? OB (O 为坐标原
在,求出所有适合题意的点 M 的坐标;若不存在,请说明理由. (Ⅰ)证明:

点).若存

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【反馈练习】 1.抛物线 x ?

y2 的准线方程是------------------------------------。 8
------------------------------------。

2.抛物线 y 2 ? ax(a ? 0) 的焦点到其准线的距离是 3.设 O 为坐标原点,F 为抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点,A 为抛物线上的一点,若 OA ? AF ? ?4 ,则点 A 的坐标 为 -----------------------------------。

4.抛物线 y ? ? x2 上的点到直线 4 x ? 3 y ? 8 ? 0 距离的最小值是 --------------------------------。 5.若直线 l 过抛物线 y ? ax 2 (a>0)的焦点, 并且与 y 轴垂直, 若 l 被抛物线截得的线段长为 4, 则-------------。 6..已知抛物线的顶点在原点,焦点 F 在 x 轴的正半轴,且过点 P(2,2) ,过 F 的直线交抛物线于 A,B 两 点.(1)求抛物线的方程; (2)设直线 l 是抛物线的准线,求证:以 AB 为直径的圆与直线 l 相切. 分析:可设抛物线方程为 y 2 ? 2 px( p ? 0) .用待定系数法求得方程,对于第二问的证明只须证明

AB 2
解:

? MM1 ,则以 AB 为直径的圆,必与抛物线准线相切.

点拨:类似有:以椭圆焦点弦为直径的圆与相对应的准线相离,以双曲线焦点弦为直径的圆与相应的准线 相交.
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四.
【考试要求】

圆锥曲线综合

1. 在理解和掌握圆锥曲线的定义和简单几何性质的基础上,把握有关圆锥曲线的知识内在联系,灵活地运 用解析几何的常用方法解决问题. 2. 通过问题的解决,理解函数与方程、等价转化、数形结合、分类讨论等数学思想. 3. 能够抓住实际问题的本质建立圆锥曲线的数学模型,实现实际问题向数学问题的转化,并运用圆锥曲线 知识解决实际问题. 【基础练习】 1. 给出下列四个结论: ①当 a 为任意实数时,直线 (a ? 1) x ? y ? 2a ? 1 ? 0 恒过定点 P,则过点 P 且焦点在 y 轴上的抛物线的标 准方程是 x ?
2

4 y; 3

②已知双曲线的右焦点为(5,0) ,一条渐近线方程为 2 x ? y ? 0 ,则双曲线的标准方程是 ③抛物线 y ? ax (a ? 0)的准线方程为 y ? ?
2

x2 y2 ? ? 1; 5 20

1 ; 4a

④已知双曲线

x2 y2 ? ? 1 ,其离心率 e ? (1,2) ,则 m 的取值范围是(-12,0) 。 4 m

其中所有正确结论的个数是-----------。 2.设双曲线以椭圆 为 --------------------。

x2 y2 ? ? 1 长轴的两个端点为焦点,其准线过椭圆的焦点,则双曲线的渐近线的斜率 25 9

x2 y2 ? ? 1 的弦被点(4,2)平分,则这条弦所在的直线方程是-----------------------。 3.如果椭圆 36 9
【例题分析】 例 1. 已知抛物线 x2 ? 4 y 的焦点为 F,A、B 是热线上的两动点,且 AF ? ? FB(? ? 0). 过 A、B 两点分别 作抛物线的切线,设其交点为 M。 (I)证明 FM . AB 为定值; (II)设 ?ABM 的面积为 S,写出 S ? f (? ) 的表达式,并求 S 的最小值。 解:

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点拨:本题主要考察共线向量的关系,曲线的切线方程,直线的交点以及向量的数量积等知识点 涉及均值不等式,计算较复杂.难度很大 例 2.已知动直线 l 与椭圆 C: 其中 O 为坐标原点. (Ⅰ )证明 x12 ? x22 和 y12 ? y22 均为定值; (Ⅱ )设线段 PQ 的中点为 M,求 | OM | ? | PQ | 的最大值;

x2 y 2 6 ? ? 1 交于 P ? x1 , y1 ? 、 Q ? x2 , y2 ? 两不同点, 且△ OPQ 的面积 S?OPQ = , 3 2 2

(Ⅲ )椭圆 C 上是否存在点 D,E,G,使得 S?ODE ? S?ODG ? S?OEG ? 在,请说明理由.

6 ?若存在,判断△ DEG 的形状;若不存 2

【反馈练习】
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1.已知双曲线的中心在原点,离心率为 3 .若它的一条准线与抛物线 y 2 ? 4 x 的准线重合,则该双曲线与 抛物线 y 2 ? 4 x 的交点到原点的距离是-------------------。 2. 设 F1,F2 分 别 是 双 曲 线 x ?
2

y2 ? 1 的 左 、 右 焦 点 . 若 点 P 在 双 曲 线 上 , 且 PF1 PF2 ? 0 , 则 9

PF1 ? PF2 ? -------------------------。
3.设 P 是椭圆

x2 y 2 ? ? 1 上一点, F1 、 F2 是椭圆的两个焦点,则 cos ?F1 PF2 的最小值是 9 4 --------------。

4.已知以 F1(2,0) ,F2(2,0)为焦点的椭圆与直线 x ? 3 y ? 4 ? 0 有且仅有一个交点,则椭圆的长轴长为 ------------------------。 5. 双曲线 C 与椭圆

x2 y 2 ? ? 1 的焦点相同, 离心率互为倒数, 则双曲线 C 的渐近线的方程是 49 24 -----------。 x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的短轴位于 x 轴下方的端点,过 A 作斜率为 1 的直线交 a2 b2

6. .如图,点 A 是椭圆 C:

椭圆于 B 点,点 P 在 y 轴上,且 BP∥x 轴, AB ? AP =9,若点 P 的坐标为(0,1),求椭圆 C 的方程.
y

P O A

B x

7. 在平面直角坐标系 xoy 中,已知圆心在第二象限、半径为 2 2 的圆 C 与直线 y ? x 相切于坐标原点
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O .椭圆

x2 y 2 ? ? 1 与圆 C 的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10 .求圆 C 的方程. a2 9

p ?p ? 8.已知动圆过定点 ? ,0 ? ,且与直线 x ? ? 相切,其中 p ? 0 ,求动圆圆心 C 的轨迹的方程. 2 ?2 ?

9.如图, 椭圆 M :

3 x2 y 2 , 直线 x ? ?a 和 y ? ?b 所 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 2 2 a b

围成的矩形 ABCD 的面积为 8.(Ⅰ)求椭圆 M 的标准方程; (Ⅱ) 设直线 l : y ? x ? m(m ? R) 与椭圆 M 有两个不同的交点 P , Q , l 与矩形 ABCD 有两个不同的交点 S , T .求
| PQ | 的最大值及取得最大值时 m 的值. | ST |

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