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高2013级高三数学周考(3)


邻水县丰禾中学高 2013 级高三数学周考 (3)
一,选 择题(每题只有一个正确答案,每题 5 分,共 60 分)



1、集合 A、 P=Q B.P Q

,集合 Q = C. D.

,则 P 与 Q 的关系是( )

2、若 A. (0,1) B. (0,1



在区间[1,2]上都是减函数,则 的取值范围是 C. (-1,0)∪(0,1) D. (-1,0) ∪(0,1

3、已知函数

,则

(

)

A、32

B、16

C、

D、

4、设 x, y ? R, 则“ x ? 2 且 y ? 2 ”是“ x2 ? y 2 ? 4 ”的 A. 充分而不必要条件 C.充分必要条件 B.必要而不充分条件 D.即不充分也不必要条件

5、如果

对任意实数 t 都有 f (3+ t) = f (3-t),那么( B.f (1) < f (3) < f (6) D.f (6) < f (3) < f (1)



A.f (3) < f (1) < f (6) C.f (3) < f (6) < f (1)

6、 若函数 是定义在 取值范围是( )

上的偶函数,在

上是增函数,则使得



A.

B.

C.

D.

7、下列区间中,函数 f ( x) ? lg(2 ? x) ,在其上为增函数的是 (A) (??,1] (B) ? ?1, ? 3

? ?

4? ?

(C)

3 [0, ) 2

(D) [1, 2)

1

8、设函数 f(x)= ? (A)[-1,2]

?21-x ,x ? 1, 则满足 f(x)≤2 的 x 的取值范围是( ) ?1 - log2 x,x>1,

(B)[0,2] (C)[1,+ ? ) (D)[0,+ ? )

9、已知 A. 10、若 f ( x) ? B.

,则 C.





的大小关系是( D.



? ,则 f ( x ) 的定义域为 log ? (? x ??)
?

A. ( ?

? , ?) ?

B. (? , ?]

? ?

C. (?

? , ??) ?

D. (?, ??)

x ?x 11、 已知定义在 R 上的奇函数 f ( x ) 和偶函数 g ( x ) 满足 f ( x) ? g( x) ? a ? a ? 2(a ? 0, 且 a ? 1) ,

若 g (2) ? a ,则 f (2) ?
15 B. 4 17 C. 4

A.2

D. a

2

12、已知 f ( x ) 是 R 上最小正周期为 2 的周期函数,且当 0 ? x ? 2 时, f ( x) ? x ? x ,则函数
3

y ? f ( x) 的图象在区间[0,6]上与 x 轴的交点的个数为
(A)6 (B)7 (C)8 二 填空题(每题 5 分,共 25 分) 13、 下列命题: ①偶函数的图像一定与 ; ③ ,则 函数其中真命题的序号是 为 . (D)9

[来源:学,科,网 Z,X,X,K]

轴相交;

②定义在

上的奇函数

必满 足

既 不 是 奇 函 数 又 不 是 偶 函 数 ; ④ 的映射;⑤ 在 上是减

14、函数

的值域为



[来源:学科网]

15 、 已 知 定 义 在 R 上 的 函 数 = .



16、函数 f(x) 的定义域为 A,若 x1,x 2 ?A 且 时总有 x1 =x 2,则称f(x) f( x 1) =f ( x 2) 为单函数.例如,函数 f(x) =2x+1( x ? R )是单函数.下列命题:函数 f(x) = x (x ? R)
2

2

是单函数;若 f(x) 为单函数, x1,x 2 ? A且x1 ? x 2,则f(x1) 若 f :A ? B ? f(x 2); 为单函数,则对于任意 b ? B,它至多有一个原象;函数 f(x)在某区间上具有单调性,则 f (x)一定是单函数.其中的真命题是 .(写出所有真命题的编号) 三 解答题(写出必要的解题步骤)

17.已知全集 (1)若 (2)若 ,求



.

,求实数 的取值范围

x x x 18.已知函数 f ( x) ? 2 sin cos ? 2 sin 2 . 2 2 2 (Ⅰ) 求 f ( x) 的最小正周期; (Ⅱ) 求 f ( x) 在区间 [? π ,0] 上的最小值.

3

19. A , B 两组各有 7 位病人,他们服用某种药物后的康复时间(单位:天)记录如下: A 组:10,11,12,13,14,15,16 B 组:12,13,15,16,17,14, a 假设所有病人的康复时间互相独立,从 A , B 两组随机各选 1 人, A 组选出的人记为 甲, B 组选出的人记为乙. (Ⅰ) 求甲的康复时间不少于 14 天的概率; (Ⅱ) 如果 a ? 25 ,求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率; (Ⅲ) 当 a 为何值时, A , B 两组病人康复时间的方差相等?(结论不要求证明)

EF ∥ BC , 20. 如图, 在四棱锥 A ? EFCB 中, 平面 AEF ? 平面 EFCB , △AEF 为等边三角形, BC ? 4 , EF ? 2a , ?EBC ? ?FCB ? 60? , O 为 EF 的中点. (Ⅰ) 求证: AO ? BE ;

(Ⅱ) 求二面角 F ? AE ? B 的余弦值; (Ⅲ) 若 BE ? 平面 AOC ,求 a 的值.
A

F

C

O E B

4

数学答案及评分标准
一,选择题,每题 5 分 1、 C 2、B 3、C 4 、A 5、A 6、C 7、D 8、D 9、B 10、A 11、B 12、B 【解析】 因为当 0 ? x ? 2 时, f ( x) ? x3 ? x ,又因为 f ( x ) 是 R 上最小正周期为 2 的周期函 数,且 f (0) ? 0 ,所以 f (6) ? f (4) ? f (2) ? f (0) ? 0 ,又因为 f (1) ? 0 ,所以

f (3) ? 0 , f (5) ? 0 ,故函数 y ? f ( x) 的图象在区间[0,6]上与 x 轴的交点的个数为 7 个,选
B. 二,填空题,每题 4 分

13、 ②14、 三,解答题。 17、解: (Ⅰ)当 时,

15、 、 16、②③

??????????????2 分 , ??????????????4 分 ??6 分

(Ⅱ)当

时,即

,得

,此时有

;???7 分

当 解得

时,由

得:

??????????10 分

综上有实数 的取值范围是

???????????12 分

18. 解析

(1) f ? x ? ?

x x 1 ? cos x 2 2 2 2 sin cos ? 2 ? ? sin x ? cos x ? ? 2 2 2 2 2 2
5

π? 2 ? ,函数 f ? x ? 的最小正周期 T ? 2 π . sin ? x ? ? ? 4? 2 ?
( 2 )当 ? π 剎x ? 0 时, ?

3π π 剟x ? 4 4

π π? ? , ?1 剟sin ? x ? ? 4 4? ?

2 ,函数 f ? x ? 在区间 2

??π,0? 的最小值为 ?1 ?
19. 解析 概率为

2 . 2
3 ,即甲的康复时间不少于 14 天的 7

(1)设甲的康复事件为 ? ,则 P ? ? …14 ? ?

3 . 7

(2)设乙的康复事件为? ,集合 A ? ?10,11,12,13,14,15,16? ,

B ? ?12,13,14,15,16,17,25? ,则选取病人的基本事件空间为 ??? ,? ? ? ? A,? ? B? ,共 49
个基本事件, 其中符合题意的基本事件为: ?13,12? ,?14,12? ,?14,13? ,?15,12? ,?15,13? ,

?15,14? , ?16,12? , ?16,13? , ?16,14? , ?16,15? ,共10 个,从而 P ?? ? ? ? ? 49 .
(3 )可以看出 A 组 7 个连续的正整数, B 组为 12 至 17 共 6 个连续的正整数和 a ,从而 a ? 11 或 18 时,两组离散程度相同,即方差相等. 20.. 解析 (1)因为 △ AEF 为等边三角形, O 为 EF 的中点,所以 AO ? EF ,又因为平 面 AEF ? 平面 EFCB , 平面 AEF ? 平面 EFCB = EF , AO ? 平面 AEF , 所以 AO ? 平 面 EFCB ,所以 AO ? BE . (2)取 BC 的中点为 D ,连接 OD ,因为四边形 EBCF 是等腰梯形,所以 OD ? EF . 以 O 为原点 OE , OD , OA ,为 x , y , z 轴建立直角坐标系,如图所示,
z A

10

F

C

O

y

E x B

则 A 0,0, 3a

? ? , E ? a,0,0? , B ? 2, 3 ? 2 ? a ? ,0? , 所 以 A E? ? , a0?, ?3a, ??? ? BE ? ? a ? 2, 3 ? a ? 2 ? ,0 ? ,设平面 AEF 的法向量为 m ,显然 m ? ? 0,1,0? ,

??? ?

6

??? ? ? ? ? AE ? n ? 0 ?ax ? 3az ? 0 设平面 ABE 的法向量为 n ? ? x, y, z ? ,则有 ? ??? ,即 ? , ? a ? 2 x ? 3 a ? 2 y ? 0 BE ? n ? 0 ? ? ? ? ? ? ? ?
所以 n ?

?

3, ?1,1 .

?

所以二面角 F ? AE ? B 的余弦值的绝对值为 cos m, n ?

m?n 5 ,又因为二面角 ? m n 5
5 . 5

F ? AE ? B 为钝二面角,则二面角 F ? AE ? B 的余弦值为 ?

( 3 ) 由 ( 1 ) 知 AO ? BE , 若 BE ? 平 面 A O C , 只 需 BE ? OC 即 可 , 由 ( 2 ) 知

??? ? ??? ? ??? ? ???? BE ? a ? 2, 3? a ? 2 ? , 0, OC ? ?2, 3 ? a ? 2 ? ,0 , BE ? OC ? 0 ,

?

?

?

?

得 ?2 ? a ? 2 ? ? 3 ? a ? 2 ? ? 0 ,解得 a ? 2 (舍)或 a ?
2

4 . 3

7

(2)若

时,函数

的最小值为

,求 的值和函数

的最大值。

21、(本小题满分 12 分)已知 为 (I) 求 (II) 判断 , 最小值为 , 令

, 若 .

在区间

上的最大值

的函数表达式; 的单调性, 并求出 的最小值.

22、(本小题满分 14 分)为了迎接世博会,某旅游区提倡低碳生活,在景区提供自行车出租。 该景区有 50 辆自行车供游客租赁使用,管理这些自行车的费用是每日 115 元。根据经验, 若每辆自行车的日租金不超过 6 元,则自行车可以全部租出;若超出 6 元,则每超过 1 元, 租不出的自行车 就增加 3 辆。为了便于结 算,每辆自行车的日租金 x(元)只取整数,并且 要求出租自行车一日的总收入必须高于这一日的管理费用,用 y(元)表示出租自行车的日 净收入(即一日中出租自行车的总收入减去管理费用后的所得)。
[来源:Z_xx_k.Com]

(1)求函数

的解析式及其定义域;

(2)试问当每辆自行车的日租金定为多少元时,才能使一日的净收入最多?

[来源:学科网 ZXXK]

19、解:(1)由题,函数的定义域为 R. ∵ =∴ =,即 =0.

???2 分

∴ a=1

。解得, ???6 分
8

(2) 任取

???7 分

则 ∴ ∴ 即 在定义域 R 上为增函数。

,???10 分

???12 分

20、解:设 (1) 所以值域为 ?? 6 分 在 上是减函数

(2)



所以

在 或

上是减函数 (不合题意舍去)?? 10 分





有最大值,



?? 12 分

21、解:(1) 函数

的对称轴为直线

, 而







??2 分

①当

时,即

时,

???4 分

②当 2

时,即

时,
9

???6 分

??8 分

(2)

.

??12 分

22、解:(1)当 ??????2 分

,... ................................... ........5 分


源:Z#xx#k.Com]

................7 分

[来

定义域为 (2)对于 显然当 (元),

.................................8 分 , .................... ......10 分

∴当每辆自行车的日租金定在 11 元时,才能使一日的净收入最多。..........14 分

10

11


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