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参数方程极坐标习题


参数方程极坐

参数方程极坐标习题
一、选择题 1.在极坐标系中,圆 ? ? 2 cos? 的垂直于极轴的两条切线方程分别为 A. ? ? 0?? ? R ? 和 ? cos? ? 2 C. ? ? B. ? ? ( )

?
2

?? ? R ? 和 ? cos? ? 2

?
2

?? ? R ? 和 ? cos? ? 1

D. ? ? 0?? ? R ? 和 ? cos? ? 1

2.在极坐标系中,圆 ? ? ?2 sin ? 的圆心的极坐标系是( A. ?1,

) D. ?1,

? ?

??
? 2?

B. ?1, ?

? ?

??
? 2?

C. ?1, 0?

??

3.以平面直角坐标系的原点为极点, x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系 . 已知直线 l 的参数方程是

? x ? t ? 1, ( t 为参数),圆 C 的极坐标方程是 ? ? 4 cos? ,则直线 l 被圆 C 截得的弦长为( ? ?y ? t ? 3
A. 14 B. 2 14 C. 2 D. 2 2



?x ? t ( t 为参数),以原点为极点, x 轴的正半轴为极轴,圆 C 的极坐标方程 ? y ? t ?1 为 ? ? ?6 cos? ,则圆心 C 到直线 l 的距离为( )
4.已知直线 l 的参数方程是 ? A. 2 B. 2 C. 2 2 D. 3 2 )

5.在极坐标系中,直线 l 的方程为 ? sin ?? ?

? ?

??

2 ? 3? ? ,则点 A ? 2, ? 到直线 l 的距离为( ?? 4 ? 4? 2 ?
2 2
D. 2 ?

A. 2

B.

2 2

C. 2 ?

2 2


6.在极坐标系中,圆 ? ? 2 sin ? 的圆心到直线 ? cos? ? 2 ? sin ? ? 1 ? 0 的距离为( A.

5 5

B.

2 5 5

C.

3 5 5

D.

4 5 5


7.在极坐标中,定点 A ?1,

?? 2 ? ? ? ,动点 B 在直线 ? sin?? ? ? ? 上运动,则 AB 的最小值是(
? 4? 2
C.

A.

1 2

B. 1

? 3

D. 2

1

参数方程极坐

8. 曲线 ?

? x ? ?1 ? cos ? ,( ? 为参数)的对称中心( ? y ? 2 ? sin ?
B.在直线 y ? ?2 x 上



A.在直线 y ? 2 x 上

C.在直线 y ? x ? 1 上

D.在直线 y ? x ? 1 上

9. 若以直角坐标系的原点为极点, x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,则线段 y ? 1 ? x ? 0 ? x ? 1? 的极坐标为( )

A. ? ?

1 ? ,0 ?? ? cos ? ? sin ? 2

B. ? ?

1 ? ,0 ?? ? cos ? ? sin ? 4
π 4

C.

? ? cos ? ? sin ? , 0 ? ? ?
二、填空题

?
2

D. ρ = cos θ + sin θ,0 ≤θ ≤

1.已知圆的极坐标方程为 ? ? 4 cos? , 圆心为 C , 点 P 的极坐标为 ? 4,

? ?

??

? , 则 CP ? 3?

.

2.在极坐标系中,点 ? 2,

? ?

??

? 到直线 ? sin ? ? 2 的距离等于 6?

.

3.在直角坐标系 xoy 中,以原点 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.若极坐标方程为 ? cos? ? 4 的直线与曲线 ?
2 ? ?x ? t ( t 为参数)相交于 A, B 两点,则 AB ? 3 ? y ? t ?

.

4.已知曲线 C 的参数方程为 ?

? ? x ? 2 cost ( t 为参数), C 在点 ?1, 1? 处的切线为 l , ? y ? 2 sin t ?

以坐标原点为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则 l 的极坐标方程 为 .

5.设曲线 C 的参数方程为 ?

?x ? t ( t 为参数),若以直角坐标系的原点为极点, ?y ? t ? a
.

x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则曲线 C 的极坐标方程为

6. 如图,以过原点的直线的倾斜角 θ 为参数,则圆 x 2 + y 2 - x = 0 的参数方程为

.

7. 在平面直角坐标系 x?y 中,以原点 ? 为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.曲线 C1 的极坐标方

2

参数方程极坐
2 ? ?x ? t 程为 ? ? cos ? ? sin ? ? ? ?2 ,曲线 C 2 的参数方程为 ? ( t 为参数) ,则 C1 与 C 2 交点的直角坐标 ? ? y ? 2 2t





81.在平面直角坐标系 xoy 中,若 l : ? 则常 a 的值为 .

?x ? t ? x ? 3 cos? ( t 为参数)过椭圆 C : ? ( ? 为参数)的右顶点, ?y ? t ? a ? y ? 2 sin ?

9. 在极坐标系中,曲线 C1 和 C2 的方程分别为 ? sin 2 ? ? cos? 和 ? sin ? ? 1 ,以极点为平面直角坐标 系的原点,极轴为 x 轴正半轴,建立平面直角坐标系,则曲线 C1 和 C2 交点的直角坐标为 .

?x ? t ? 10. 已知曲线 C1 的参数方程是 ? 3t ?t为参数?,以坐标原点为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极 ?y ? 3 ?
坐标系,曲线 C2 的极坐标方程是 ? ? 2 ,则 C1 与 C2 交点的直角坐标为 .

11. 在平面直角坐标系中,倾斜角为

? x ? 2 ? cos ? ? 的直线 l 与曲线 C: ,( ? 为参数) 交于 A 、 B ? 4 ? y ? 1 ? sin ?

两点,且 AB ? 2 ,以坐标原点 O 为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,则直线 l 的极坐标方程 是 .

12. 已知直线 l 的参数方程为 ?

?x ? 2 ? t ( t 为参数),以坐标原点为极点, x 轴的正半轴为极轴建立 y ? 3 ? t ?

极坐标系,曲线 C 的极坐标方程为 ? sin2 ? ? 4cos? ? 0 ? ? ? 0,0 ? ? ? 2? ? ,则直线 l 与曲线 C 的公共 点的极径 ? ? ________. 13. 在极坐标系中,点 (2, ) 到直线 ? sin(? ?

?

?
6

6

) ? 1 的距离是

.

14. 在 以 O 为极点的极坐标系中,圆 r = 4sin q 和直线 r sin q = a 相交于 A, B 两点.若 D AOB 是等边 三角形,则 a 的值为 . .

15. 已知曲线 C 的极坐标方程为 p(3 cos? ? 4 sin ? ) ? 1 ,则 C 与极轴的交点到极点的距离是

3

参数方程极坐
1 ? x?t? , ? ? t 16. 已知直线 l 的极坐标方程为 ? (sin ? ? 3cos ? ) ? 0 ,曲线 C 的参数方程为 ? ? y ?t ?1 ? t ?

( t 为参数) ,

l 与 C 相交于 A B 两点,则 | AB |?

.

17. 已知直线 l 的参数方程为 ?

? x ? ?1 ? t (t 为参数),以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立 ? y ? 1? t
3? 5? ?? ? ) ,则直线 l 与曲线 C 的交点的极坐 4 4

坐标系,曲线 C 的极坐标方程为 ? 2 cos 2? ? 4( ? ? 0, 标为_______.

18.已知直线 l 的极坐标方程为 2 ? sin(? ? ) ? 2 ,点 A 的极坐标为 A ? 2 2, 的距离为

π 4

? ?

7? 4

? ? ,则点 A 到直线 l ?

.

19. 在极坐标中,圆 ? ? 8sin ? 上的点到直线 ? ?

?
3

( ? ? R) 距离的最大值是

.

20.在直角坐标系 xOy 中,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.若曲线 C 的极坐标方 程为 ? ? 2 sin? ,则曲线 C 的直角坐标方程为 三、解答题 .

1. 在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的参数方程为 ? 点满足 OP = 2OM ,P 点的轨迹为曲线 C2 (Ⅰ)求 C2 的方程

? x ? 2cos ? ( ? 为参数),M 是 C1 上的动点,P ? y ? 2 ? 2sin ?

(Ⅱ)在以 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线 ? ? A,与 C2 的异于极点的交点为 B,求 AB .

?
3

与 C1 的异于极点的交点为

4

参数方程极坐

2. 已知曲线 C1 的参数方程是 ?

?x ? 2cos? (?为参数) ,以坐标原点为极点, x 轴的正半轴为极轴 y ? 3sin ? ?

建立坐标系,曲线 C 2 的坐标系方程是 ? ? 2 ,正方形 ABCD 的顶点都在 C 2 上,且 A, B, C , D 依逆时 针次序排列,点 A 的极坐标为 (2, )

?

3

(1)求点 A, B, C , D 的直角坐标; (2)设 P 为 C1 上任意一点,求 PA ? PB ? PC ? PD 的取值范围。
2 2 2 2

3.已知曲线 C :

?x ? 2 ? t x2 y 2 ? ? 1 ,直线 l : ? ( t 为 参数). 4 9 ? y ? 2 ? 2t

(Ⅰ)写出曲线 C 的参数方程,直线 l 的普通方程; (Ⅱ)过曲线 C 上任一点 P 作与 l 夹角为 30 o 的直线,交 l 于点 A ,求 | PA | 的最大值与最小值.

4. 已知曲线 C1 的参数方程为 ?

? x ? 4 ? 5cos t , ( t 为参数),以坐标原点为极点, x 轴的正半轴为极轴 ? y ? 5 ? 5sin t

建立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程为 ? ? 2sin ? 。 (Ⅰ)把 C1 的参数方程化为极坐标方程; (Ⅱ)求 C1 与 C2 交点的极坐标( ? ? 0, 0 ? ? ? 2? ). 5. 已知动点 都在曲线 , (Ⅰ)求 (Ⅱ)将 为 的中点. 为参数 上,对应参数分别为 与

的轨迹的参数方程; 到坐标原点的距离 表示为 的函数,并判断 的轨迹是否过坐标原点.

5

参数方程极坐

6. 已知曲线 C :

?x ? 2 ? t x2 y 2 ? ? 1 ,直线 l : ? ( t 为 参数). 4 9 ? y ? 2 ? 2t

(Ⅰ)写出曲线 C 的参数方程,直线 l 的普通方程; (Ⅱ)过曲线 C 上任一点 P 作与 l 夹角为 30 o 的直线,交 l 于点 A ,求 | PA | 的最大值与最小值. 7. 在直角坐标系 xOy 中,以坐标原点为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,半圆 C 的极坐标方程 为 ? ? 2 cos ? , ? ? [0,

?
2

].

(1)求 C 得参数方程; (2)设点 D 在 C 上, C 在 D 处的切线与直线 l : y ? 3x ? 2 垂直,根据(1)中你得到的参数方程, 确定 D 的坐标.
8. 在直角坐标系 xOy 中,直线 C1 : 正半轴为极轴建立极坐标系. (I)求 C1 , C2 的极坐标方程.

x = ? 2,圆 C2 : ? x ? 1? ? ? y ? 2 ? ? 1 ,以坐标原点为极点, x 轴的
2 2

(II)若直线 C3 的极坐标方程为 ? ?

π ? ? ? R ? ,设 C2 , C3 的交点为 M , N ,求 ?C2 MN 的面积. 4

1 x = 3+ t 2 ( t 为参数),以原点为极点, x 轴的正半轴为极 9. 在直角坐标 xOy 中,直线 l 的参数方程为 { 3 y= t 2
轴建立极坐标系, ? C 的极坐标方程为 ? ? 2 3 sin ? . (I)写出 ? C 的直角坐标方程; (II) P 为直线 l 上一动点,当 P 到圆心 C 的距离最小时,求点 P 的坐标.

10. 在直角坐标系 xoy 中,曲线 C1 : ?

? x ? t cos ? , ( t 为参数, t ? 0 ),其中 0 ? ? ? ? ,在以 O 为极点, ? y ? t sin ? ,

x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线 C2 : ? ? 2sin ? ,曲线 C3 : ? ? 2 3 cos ? .

6

参数方程极坐 (Ⅰ).求 C2 与 C1 交点的直角坐标; (Ⅱ).若 C2 与 C1 相交于点 A , C3 与 C1 相交于点 B ,求 AB 的最大值.

11. 在平面直角坐标系 xoy 中,圆 C 的参数方程为 {

x = 1+ 3 cost y = -2+ 3 sin t

( t 为参数). 在极坐标系中,直线 l 的

方程为 2ρ sin( θ -

π ) = m ( m ∈ R) . 4

(Ⅰ)求圆 C 的普通方程及直线 l 的直角坐标方程; (Ⅱ)设圆心 C 到直线 l 的距离等于 2,求 m 的值.

? 3 x ? 5? t ? ? 2 12. 已知直线 l : ? ( t 为参数),以坐标原点为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲 ?y ? 3 ? 1 t ? ? 2
线 C 的极坐标方程为 ? ? 2 cos ? .

(1) 将曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程; (2) 设点 M 的直角坐标为 (5, 3) ,直线 l 与曲线 C 的交点为 A , B ,求 | MA | ? | MB | 的值. 的两个实数根分别为 t1 , t 2 ,则由参数 t 的几何意义即知, |MA| ?|MB| ? |t1t 2| ? 18 .

13. 已知直线 l 的参数方程为 ? 数).

? x ? a ? 2t ? x ? 4 cos? ,( t 为参数),圆 C 的参数方程为 ? ,( ? 为常 ? y ? ?4t ? y ? 4 sin ?

(I)求直线 l 和圆 C 的普通方程; (II)若直线 l 与圆 C 有公共点,求实数 a 的取值范围.

7

参数方程极坐

? ?x ? 1? ? 14. 在平面直角坐标系 xoy 中,已知直线 l 的参数方程 ? ?y ? 2 ? ? ?

2 t 2 ( 为参数),直线 与抛物线 t l 2 t 2

y 2 ? 4x 相交于 AB 两点,求线段 AB 的长.
15. 将圆 x 2 ? y 2 ? 1上每一点的横坐标保持不变,纵坐标变为原来的 2 倍,得曲线 C.[ (Ⅰ)写出 C 的参数方程; (Ⅱ)设直线 l : 2 x ? y ? 2 ? 0 与 C 的交点为 P 1, P 2 ,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极坐标建立极坐标系, 求过线段 P 1P 2 的中点且与 l 垂直的直线的极坐标方程. 16. 在直角坐标系 xoy 中,以坐标原点为极点,x 轴为极轴建立极坐标系,半圆 C 的极坐标方程为

? ? 2 cos ? , ? ? ? 0, ? ? . ? ? 2? ?
(Ⅰ)求 C 的参数方程; (Ⅱ)设点 D 在 C 上,C 在 D 处的切线与直线 l : y ? 3x ? 2 垂直,根据(Ⅰ)中你得到的参数方程,确 定 D 的坐标. 17. 在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,已知点 A 的极坐标为

π π ( 2 , ) ,直线 l 的极坐标方程为 ρ cos( θ - ) = a ,且点 A 在直线 l 上. 4 4
(1)求 a 的值及直线 l 的直角坐标方程;
? ?x=1+cos α, (2)圆 C 的参数方程为? (α 为参数),试判断直线 l 与圆 C 的位置关系. ?y=sin α ?

18.在直角坐标系 xOy 中,以 O 为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.圆 C1,直线 C2 的极坐标方程 分别为 ρ = 4 sin θ , ρ cos( θ - ) = 2 2 . (1)求 C1 与 C2 交点的极坐标;

π 4

8

参数方程极坐 x=t +a, ? ? (2)设 P 为 C1 的圆心,Q 为 C1 与 C2 交点连线的中点.已知直线 PQ 的参数方程为? b 3 (t∈R 为参数), y= t +1 ? ? 2 求 a , b 的值.
3

9


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