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空间几何体的表面积和体积


【目录名称】1.3 空间几何体的表面积和体积 【目录 ID】11887 【单选题】题型一 求四棱柱的表面积和体积 将一个边长为 a 的正方体,切成 27 个全等的小正方体,则表面积增加了( 【A】 6 a 2 【答案】B 【考查点】 【点拨】如何将边长为 a 的正方体切成 27 个全等的小正方体?将正方体的棱长三 等分即可。 【解析】将正方体的棱长三等分,则每个小正方体的棱长为 的表面积为 S1 ? 6a2 ,每个小正方体的表面积为 6 ? 表面积为 S2 ? 27 ? 【本题结束】
a ,边长为 a 的正方体 3



【B】 12a 2 【C】18a

【D】 24a 2

a 2 2a 2 ? ,则 27 个小正方体的 9 3

2a 2 ? 18a 2 .故表面积增加了 S2 ? S1 ? 12a2 .故选 B. 3

【单选题】题型一 求四棱柱的表面积和体积——变式训练 1 一个长方体长宽高的长为 1∶2∶3,表面积为 198,这个长方体体积为( ) 【A】162 2 【答案】B 【考查点】 【 点 拨 】 设 长 方 体 长 宽 高 的 长 分 别 为 a 、 2a 、 3a , 则 该 长 方 体 的 体 积 为
V ? a ? 2a ? 3a ? 6a3 ,

【B】162

【C】81 2

【D】81

表面积为 S ? 2(a ? 2a ? a ? 3a ? 2a ? 3a) ? 22a2 .

【解析】如图示:

,设长方体的长为 a,则宽为 2a,高为 3a,

则表面积 S ? 2[2a2 ? 3a2 ? 6a2 ] ? 22a2 ? 198 ,解得 a ? 3

V ? a ? 2a ? 3a ? 6a3 ? 6 ? (3)3 ? 162 ,故选 B.
【本题结束】

【单选题】题型二 求三棱锥、圆锥的表面积和体积 两个平行于圆锥底面的平面将圆锥的高分成相等的三段,那么圆锥被分成的三部分 的体积的比是( ) 【A】1∶2∶3 【答案】B 【考查点】 【点拨】圆锥被分割成一个圆锥和两个圆台,圆台 AB-CD 的体积=圆锥 P-CD 的体 积减去圆锥 P-AB 的体积;圆台 CD-EF 的体积等于圆锥 P-EF 的体积减去圆锥 PCD 的体积; 根据
PA AB 1 PC CD 2 1 ? ? , ? ? 和圆锥的体积计算公式 V ? S底 ? h 分别求出它 PC CD 2 PE EF 3 3

【B】1∶7∶19

【C】3∶4∶5

【D】1∶9∶27

们的体积 V1 ,V2 ,V3 .

【解析】如图示
CD // EF

:已知 PA ? AC ? CE ,过 A 作 AB // EF ,过 C 作

圆锥被分成的三部分分别是圆锥 P-AB,圆台 AB-CD,圆台 CD-EF,记它们的体积 分别为 V1 ,V2 ,V3 . ∵
PA AB 1 PC CD 2 ? ? , ? ? PC CD 2 PE EF 3

1 V1 ? ? AB 2 ? PA 3

1 1 1 7 V2 ? ? CD 2 ? PC ? V1 ? ? (2 AB) 2 ? 2 PA ? ? AB 2 ? PA ? ? AB 2 ? PA 3 3 3 3 1 1 7 1 19 V3 ? ? EF 2 ? PE ? V2 ? V1 ? ? (3 AB) 2 ? 3PA ? ? AB 2 ? PA ? ? AB 2 ? PA ? ? AB 2 ? PA 3 3 3 3 3 ∴ V1 : V2 : V3 ? 1: 7 :19 ,故选 B.

【本题结束】

【简答题】题型二 求三棱锥、圆锥的表面积和体积——变式训练 1 三棱锥的三个侧面两两垂直,且三个侧面面积分别为 S1、S2、S3 ,求它的体积.
1 1 1 【答案】 VP ? ABC ? S底 ? h ? ? AB ? AC ? AP 3 3 2

【考查点】

【点拨】如图:

可以证明:三个侧面两两垂直,则它们的交线

也两两垂直。可得交线 a,b,c 两两垂直,故三棱锥的体积
1 1 1 VP ? ABC ? S底 ? h ? ? AB ? AC ? AP . 3 3 2

【解析】下面证明:三个面两两垂直,则它们的交线也两两垂直 设 α⊥β,β⊥γ,γ⊥α, ?

? ? a,? ? ? b,? ? ? c

在 a 上取一点 P 作 m⊥γ,则 m 在 α 内也在 β 内,所以 m 和 a 重合,所以 a⊥γ。 即 a ? b;a ? c同理b ? c . 已知三个侧面的面积分别为 S1、S2、S3 ,不妨设 S?ABC ? S1、S?ABP ? S2、S?APC ? S3
1 1 1 即 S1 ? bc、S 2 ? ac、S3 ? ab ,∴ abc ? 8S1S2 S3 2 2 2

2S1S2 S3 1 1 1 1 ∴ VP? ABC ? S底 ? h ? ? AB ? AC ? AP ? abc ? . 3 3 2 6 3

【本题结束】

【简答题】题型二 求三棱锥、圆锥的表面积和体积——变式训练 2 在△ABC 中∠C=90°,AC=8,BC=6,以这个直角三角形的一条边所在的直线 为轴旋转一周,求所得到的几何体的表面积. 【答案】(1)96π ;(2)144π ;(3) 【考查点】 【点拨】分别以 AC、BC、AB 为旋转轴,以两条直角边 AC、BC 为旋转轴得到的 是几何体是一个圆锥,以斜边 AB 为旋转轴,得到的是两个圆锥的组合体。 【解析】分三种情况:分别以 AC,BC,AB 为旋转轴,如下图示:
336 ? 5

( 1 )当以 AC 边所在的直线为轴旋转一周时,得到的几何体是一个圆锥(如图 (1),它的母线长为 AB,底面圆半径为 BC=6.由勾股定理,得

AB ? AC2 ? BC2 ? 82 ? 62 ? 10 .
∴这时圆锥的表面积= ? ? 6 ?10+? ? 62 =60?+36? = 96? . ( 2 )当以 BC 边所在直线为轴旋转一周时,得到的几何体也是一个圆锥(如图 (2)),它的母线长为 AB=10,底面圆半径为 AC=8. ∴圆锥表面积= ? ? 8 ?10+? ? 82 =80?+64? ? 144? . (3)当以 AB 边所在直线为轴旋转一周时,得到的几何体是底面是同圆,母线长 分别是 AC 和 BC 的两个圆锥(如图(3)). 作 CD⊥AB 于 D. ∵∠ACB=90°,∴△ACD∽△ABC.



AC ? BC 8 ? 6 CD AC ? ? 4.8 . .∴ CD ? ? AB 10 BC AB 192 ?. 5

∵以 AC 为母线的圆锥的表面积= ? ? 4.8 ? 8= 以 BC 为母线的圆锥的侧面积= ? ? 4.8 ? 6= ∴所求几何体的表面积= 【本题结束】

144 ?, 5

192 144 336 ?? ?? ?. 5 5 5

【简答题】题型二 求三棱锥、圆锥的表面积和体积——变式训练 3 已知矩形 ABCD, AD ? 2 , CD ? 4 ,求矩形绕其一边旋转一周得到的几何体的表 面积和体积。 【答案】 【考查点】 【点拨】分两种情况:分别为矩形的长为旋转轴、以矩形的宽为旋转轴。得到的几 何体都是圆柱。 【解析】分别以 CD、AD 为旋转轴旋转一周,得到的图形如下图所示:

① 以 CD 为 旋转轴, 则圆柱的母 线长 l ? h ? 4 cm , 圆柱的上下 底面的 半 径为
r ? 2 cm.

根据圆柱的表面积公式 S ? 2? r (r ? l ) ? 2? ? 2(2+4)=24? (cm2 ) . 根据圆柱的体积公式 V ? S ? h ? 24? ? 4 ? 96? (cm3 ) . ②以 AD 为旋转轴,则圆柱的母线长为 l ? h ? 2 cm, 圆柱的上下底面的半径为
r ? 4 cm.

根据圆柱的表面积公式 S ? 2? r (r ? l ) ? 2? ? 4(4+2)=48? (cm2 ) . 根据圆柱的体积公式 V ? S ? h ? 48? ? 2 ? 96? (cm3 ) . 【本题结束】

【单选题】题型三 求棱柱、圆柱的表面积和体积 有一种圆柱体形状的笔筒,底面半径为 4 cm ,高为 12 cm .现要为 100 个这种相同规 格的笔筒涂色(笔筒内外均要涂色,笔筒厚度忽略不计) . 如果每 0.5 kg 涂料可以 涂 1 m 2 ,那么为这批笔筒涂色约需涂料( 【A】 1.23 kg 【答案】D 【考查点】 【点拨】利用公式计算出 100 个笔筒的表面积,笔筒的表面积由两个圆形笔筒底 面、两个圆柱侧面组成,根据每 0.5 kg 涂料可以涂 1 m 2 ,从而可以求出需要多少涂 料。 【解析】 S侧面 =2? r ? h ? 2 ? 0.04 ? 0.12? ? 0.0096? 【B】 1.76 kg ) 【D】 3.52 kg

【C】 2.46 kg

S底面 =? r 2 ? (0.04)2 ? ? 0.0016?
∴每一个笔筒的表面积有: S ? 2(S侧面 ? S底面 ) ? 2(0.0096? ? 0.0016? ) ? 0.0224? . 故 100 个笔筒的表面积为 S总 ? 100S ? 2.24? ? 7.8776m2 又∵每 0.5 kg 涂料可以涂 1 m 2 ,故总共需要涂料约 7.8776 ? 0.5 ? 3.52kg .故选 D. 【本题结束】

【简答题】题型三 求棱柱、圆柱的表面积和体积——变式训练 1 六 角 螺帽(正六棱柱挖去一个 圆柱)毛坯的底面六边形边长是 12mm ,高是 10mm,内孔直径是 10mm(如下图),求此螺帽的表面积.

【答案】 【考查点】 【点拨】螺帽由正六棱柱挖去一个圆柱组成,此螺帽的表面积包括六棱柱的 6 个侧 面面积、两个正六边形面积减去圆柱的两个底面面积、一个圆柱侧面面积。 【解析】设螺帽的表面积为 S,则 S ? S棱柱侧 ? 2S棱柱底 ? S圆柱侧 ? 2S圆柱底

1 3 而 S棱柱侧 ? c ? h ? 12 ? 6 ?10 ? 720(mm2 ) , S棱柱底 ? 6 ? ?122 ? ? 216 3(mm2 ) . 2 2

S圆柱侧 ? 2? rh ? 2? ? 5?10 ? 100? (mm2 ) , S圆柱底 ? ? r 2 ? ? ? 52 ? 25? (mm2 ) .
∴ S ? 720 ? 2 ? 216 3 ? 100? ? 2 ? 25? ? 720 ? 432 3 ? 50? ? mm 2 ? . 答:螺帽的表面积为 (720 ? 432 3 ? 50? )mm2 . 【本题结束】

【简答题】题型三 求棱柱、圆柱的表面积和体积——变式训练 2

如图 求 VP?BB?C?C :VABC? A?B?C? . 【答案】 【考查点】

B C ? A B C 中 , P 为 A A ,三棱柱 A 上一点, ? ? ? ?

【点拨】方法一利用将三棱柱补成平行六面体的思想;方法二利用棱柱体积的分割

思想。
1 【解析】方法一:设 S 的距离为 h . , 则 V ?S h ? S , A AB 到 平 面 B C C ? ? ? P ? B B C C B B C C ? ? ? ? 3

把三棱柱 A 为相邻侧面的平行六面体,此 B C ? A B C 接 补 成 以 D D C C 和 B B C C ? ? ? ? ? ? ? 平行六面体体积为原三棱柱体积的两倍.
1 S h V 1 P ? B BC 3 ?2 ? C ? ? V ? S h ? ? A B CA ?? B C ? ? 1 2 V 3 A B C ?ABC ? ? ? S h 2

方法二: V ?? V V ? V P ? B B C C A B C ? A B C P ? A B C P ? A B C ? ? ? ? ? ? ? ? 设 S? ABC ? m ,棱柱的高为 h,则三棱柱的体积 VABC ? A?B?C? ? m ? h
1 1 1 1 VP ? ABC ? VP ? A?B?C ? ? mh1 ? mh2 ? m ? h1 ? h2 ? ? mh ,其中 h1 是点 P 到底面 ABC 的距 3 3 3 3

离, h2 是点 P 到上底面 A?B?C ? 的距离,且 h1 ? h2 ? h . ∴ VP ? BB?C ?C ? VABC ? A?B?C ? ? VP ? ABC ? VP ? A?B?C ? ? mh ? 1 m ? h ? 2 mh .
3 3

?VP ? AB?C ?C : VABC ? A?B?C ? ?

2 . 3

【本题结束】

【简答题】题型四 球的截面问题 球的半径为 8,经过球面上一点作一个平面,使它与经过这点的半径成 45°角,则 这个平面截球的截面面积为 32? . 【答案】 【考查点】 【点拨】球的任何截面都是圆。

【解析】

如图示: ,O 点为球心,点 M 为截面的圆心,则 AN 为圆 M 的直径,
OA ? ON ,? OM ? NA , ?OAN ? 45? 且 OA ? 8 , AM ? OAcos 45? ? 8 ?

2 ?4 2, 2

∴ S ? ? AM 2 ? 32? . 【本题结束】

【简答题】题型四 球的截面问题——变式训练 1 在 半 径为 5cm 的球面 上 有 A 、 B 、 C 三点 , 已知 AB ? 6.4cm , BC ? 4.8cm ,
CA ? 8cm ,那么过这三点的平面和球心距离为 3cm___.

【答案】 【考查点】 【点拨】要求点到平面的距离,关键是找出或作出该点在平面内的射影,点 A、 B、C 三点都在球上,则球心 O 到三点的距离相等,即 OA ? OB ? OC ,则球心 O 在底面 ABC 的射影为△ABC 的外心,可以判断△ABC 为直角三角形,CA 为斜边, 那么球心在底面的射影为斜边 AC 的中点,从而利用勾股定理进行求解

【解析】 如图示:,根据分析可知,OD⊥面 ABC,且点 O 为 CA 中点 显然 AB2 ? BC 2 ? AC 2 ,∴△ABC 为直角三角形, BD ?
1 AC ? 4 2

在 Rt ?ODB 中, ?ODB ? 90 ,根据勾股定理有 OD ? OB2 ? BD2 ? 3cm . 故球心 O 到平面的距离为 3cm. 【本题结束】

【简答题】题型四 球的截面问题——变式训练 2 已知过球面上 A、B、C 三点的截面和球心 O 的距离等于球半径的一半,且 AB=

BC=CA=2,则 VO? ABC 【答案】 【考查点】

64? ? 9

___.

【点拨】点 A、B、C 三点在球面上,故 OA ? OB ? OC ,∴点 O 在平面 ABC 内的 射影为

△ ABC 的 外 心 , 又 因 为 AB ? BC ? CA ? 2 , 故 点 D 为 △ ABC 的 中 心 , 已 知
OD? 1 OA ,利用勾股定理可求出球心到平面 ABC 的距离 OD,再利用三棱锥的体 2

1 积公式 VO ? ABC ? S底 ? h 即可进行求解. 3

【解析】 如图示: ∵ AB ? BC ? CA ? 2 ,故△ABC 为等边三角形,
1 ∴ S ?ABC ? ? 22 ? sin 60 ? 3 2

点 D 为点 O 在平面 ABC 内的射影,∵ OA ? OB ? OC ,∴点 D 为△ABC 的外心, 又△ABC 为正三角形,故点 D 为△ABC 的中心 ∴ BD ? AD ? CD ?
2 3 , 3

1 R 4 2 又∵ OD ? OA ? ,根据勾股定理 OB2 =OD2 ? BD2 ,解得 R ? ,∴ BD ? 3 3 2 2

1 1 2 2 3 VO ? ABC ? S底 ? OD= ? 3 ? = . 3 3 3 9

【本题结束】

【单选题】题型五 根据三视图的平面图求图形的面积与体积 如图,一个空间多面体的正视图、侧视图、俯视图为全等的等腰直角三角形,如果 直角三角形的直角边长为 1,那么这个几何体的体积为( ).

【A】

1 6

【B】

1 3

【C】

1 【D】1 2

【答案】A 【考查点】

【点拨】如图示:选取正方体

的一角

,三棱锥

P ? ABD 的三视图是全等的等腰直角三角形, 且 AB ? AD ? AP ? 1 ,根据三棱锥的

1 体积公式 V ? S底 ? h 进行求解. 3
1 1 1 1 【解析】 V ? S底 ? h ? ? AB ? AC ? AP ? ,故选 A. 3 3 2 6

【本题结束】

【单选题】题型五 根据三视图的平面图求图形的面积与体积——变式训练 1 有一个几何体的三视图及其尺寸如下(单位 cm ),则该几何体的表面积及体积为 ( )

5

6

【A】 24? cm2 , 12? cm2 【C】 24? cm2 , 36? cm2 【答案】A 【考查点】

【B】 15? cm2 , 12? cm2 【D】以上都不正确

【点拨】根据三视图可以判断出该几何体为圆锥,且母线长为 5,底面直径为 6,
1 根据圆锥的体积公式 V ? S底 ? h 和表面积公式 S ? ? r (r ? l ) 进行计算. 3

【解析】根据三视图可知, r ? 3 , l ? 5
1 1 根据公式有 V ? S底 ? h ? ? r 2 ? l 2 ? r 2 ? 12? cm3 3 3

S ? ? r (r ? l ) ? ? ? 3(3 ? 5) ? 24? ,故选 A.

【本题结束】

【单选题】题型六 球的半径、表面积、体积之间的比例运算 球的体积与其表面积的数值相等,则球的半径等于( ) 【A】
1 2

【B】1

【C】2

【D】3

【答案】D 【考查点】
4 【点拨】根据公式有 ? R 3 ? 4? R 2 ,∴ R ? 3 .故选 D. 3

【解析】选 D. 【本题结束】

【简答题】题型六 球的半径、表面积、体积之间的比例运算——变式训练 1

球的表面积扩大为原来的 4 倍,则它的体积扩大为原来的____倍 【答案】8 【考查点】 【点拨】表面积扩大为原来的 4 倍,即半径扩大为原来的 2 倍,根据球的体积公式
4 V ? ? R 3 ,可知体积扩大为原来的 8 倍. 3

【解析】根据 S ? 4? R2 知,表面积扩大为原来的 4 倍,即半径扩大为原来的 2 倍,
4 根据球的体积公式 V ? ? R 3 ,可知体积扩大为原来的 8 倍. 3

【本题结束】

【单选题】题型六 球的半径、表面积、体积之间的比例运算——变式训练 2 木星的体积约是地球体积的 240 30 倍,则它的表面积约是地球表面积的( 【A】60 倍 【答案】C 【考查点】 【点拨】木星的体积是地球体积的 240 30 ,也就是
2 R木 2 R地 3 R木 3 R地



【B】60 30 倍

【C】120 倍

【D】120 30 倍

=240 30 ,对式子进行化

简,从而得到

=120 ,即木星的表面积是地球的表面积的 120 倍.

4 4 3 3 =240 30 ? R地 【解析】依题意得 V木 =240 30V地 ,即 ? R木 3 3



3 R木

R

3 地

=240 30 ,故
2 R木 2 R地

2 R木

R

2 地

=(

3 R木

R

3 地

) ? [240 30] ? 3 2402 ? 30 ? 120 .

2 3

2 3

S木 S地

=

? 120 ,故选 C.

【本题结束】

【单选题】题型六 球的半径、表面积、体积之间的比例运算——变式训练 3

已知体积相等的正方体、等边圆柱(底面直径和高相等的圆柱)、球的表面积分别 为 S1、S2、S3 ,则它们之间的关系为( ) 【A】 S1>S2>S3 【B】 S1<S3<S2 【答案】A 【考查点】 【点拨】不妨设正方体的棱长为 a,球的半径为 R,等边圆柱的底面半径为 r,根据 体积相等得:
4 V ? ? R 3 ? a 3 ? 2? r 3 ,从而表示出 S1、S2、S3 进行比较大小。 3

【C】 S2<S3<S1

【D】 S2<S1<S3

【解析】设球的半径为 R、正方体的棱长为 a , 等边圆柱的底面半径为 r, 且它们的 体积都为 V,
4 3V V 则: V ? ? R 3 ? a 3 ? 2? r 3 , ? R ? 3 ,a ? 3V ,r ? 3 . 3 4? 2?

? 3V ? 3 3 2 2 3 2 ∴ S3 ? 4? ? ? ? 36? V , S1 ? 6 V ? 36 ? 6V , 4 ? ? ?
3

2

?V ? ?V ? 3 2 S2 ? 2? ? ? ? 2? ? 2 ? 3 ? ? ? 54? V , 2 ? 2 ? ? ? ? ?
3

2

2

? S3 ? S2 ? S1 .故选 A.

【本题结束】

【简答题】题型七 正四面体的外接球、内切球 一个棱长都为 a 的正四面体的四个顶点全部在同一个球面上 , 则此球的表面积为 __________. 【答案】 【考查点】 【点拨】如下图示,A、B、C、D 四点共球面,则 OA ? OB ? OC ? OD ? R , R 为球 的半径, 且 AB ? AC ? AD ? a ,∴点 A、O 在底面 BCD 的射影 E 为 ?BCD 的外心,又∵

?BCD 为正三角形,∴点 E 为 ?BCD 的中心, BE ?

3 6a ,在 Rt ?ABE a , AE ? 3 3

和 Rt ?OBE 中利用勾股定理有: OB 2 ? OE 2 ? BE 2 , AB2 ? BE 2 ? (AO ? OE )2 , 从而求 出球的半径 R, 根据公式 S ? 4? R2 求解。

【 解 析 】 如 图 : 体, AB ? AC ? AD ? a ,

, 四 面 体

A-BCD 为 正 四 面

∴点 A 在底面 BCD 上的射影为正三角形 BCD 的中心, 又∵点 A、B、C、D 四点在同一球面上,故 OA ? OB ? OC ? OD ? R ∴球心 O 在底面 BCD 上的射影为正三角形 BCD 的中心, ∴点 A、点 O 在底面 BCD 的射影共点,且为 ?BCD 的中心 已知正四面体的棱长为 a,取 CD 中点 F,连接 BF、AF,设 OE ? b ∴ BE ?
2 3 3 6a BF ? a , AE ? AB2 ? BE 2 ? a2 ? ( a)2 ? 3 3 3 3

又∵ AE ? AO ? OE ?

6a 3
3 2 a) . 3

在 Rt ?OBE 中,根据勾股定理有 OB 2 ? OE 2 ? BE 2 ,即 R 2 ? b 2 ? (

? ?R ? ? 解得 ? ?b ? ? ?

6a 2 2 4 ,根据球的表面积公式 S ? 4? R 2 ? 4? ? 6a ? 3? a . 16 2 6a 3

【本题结束】

【简答题】题型七 正四面体的外接球、内切球——变式训练 1 正四面体的棱长为 a,在正四面体内作一个球与正四面体的四个面相切,则球的体 积为___. 【答案】 【考查点】 【点拨】求球的体积,关键是求出球的半径或直径,利用棱锥的等体积公式
4 VA?BCD ? VO?BCD ? VO?BCA ? VO?BAD ? VO? ACD 求出内切球的半径,根据公式 V ? ? r 3 求得 3

球的体积.

【解析】如图示:
1 3 2 ∵四面体为正四面体,∴四面体 A-BCD 各个面的面积为 S ? a 2 sin 60 ? a 2 4
BE ? 3 6 a , AE ? a, 3 3

根据 VA?BCD ? VO?BCD ? VO?BCA ? VO?BAD ? VO? ACD ,且 SBCD ? S ABC ? S ABD ? S ACD
1 1 1 1 1 ∴ S?BCD ? AE ? S ABC ? r ? S ABD ? r ? S AcD ? r ? S ?BCD ? r 3 3 3 3 3
4 3 3 6 6 即 AE ? r ,∴ r ? AE ? ? a? a 3 4 4 3 4

4 4 6 3 6 V ? ? r3 ? ? ( a) ? a. 3 3 4 8

【本题结束】

【单选题】题型八 正方体的外接球、内切球、内部膨胀球的表面积与体积

已知正方体外接球的体积是 【A】 2 2 【答案】D 【考查点】 【B】
2 3 3

32 ? ,那么正方体的棱长等于( ) 3

【C】

4 2 3

【D】

4 3 3

【点拨】正方体外接球,故球的直径等于正方体的对角线长,若正方体的棱长为 a,球的半径为 R,则有 AD ? 2R ? a2 ? a2 ? a2 ? 3a .

【解析】如图: ∵正方体外接球,故有 2R ? 3a 又∵正方体的外接球的体积为 ∴a ?

设正方体 AD 的棱长为 a,球的半径为 R,

32 4 ? ,根据球的体积公式 V ? ? R 3 得 R ? 2 3 3

2R 4 3 ,故选 D. ? 3 3

【本题结束】

【简答题】题型八 正方体的外接球、内切球、内部膨胀球的表面积与体积——变 式训练 1 表面积为 324π 的球,其内接正四棱柱的高是 14,求这个正四棱柱的表面积. 【答案】 【考查点】 【点拨】球内接正四棱柱,即正四棱柱外接球,此时球的直径等于正四棱柱的对角 线的长

【解析】如图: ∵ 4? R2=324? ,∴ R=9 , ∴ 142 ?

设球的半径为 R,正四棱柱底面边长为 a,

?

2a = 182 ,∴ a 2=64 ,∴a=8.

?

2

∴ S四棱柱 ? 2a2+4a ?14=64 ? 2 ? 32 ?14 ? 576 . 【本题结束】

【单选题】题型八 正方体的外接球、内切球、内部膨胀球的表面积与体积——变 式训练 2 与正方体各面都相切的球,它的表面积与正方体的表面积之比为( 【A】 )

? 2

【B】

? 6

【C】

? 4

【D】

? 3

【答案】B 【考查点】 【点拨】根据球的表面积公式 S ? 4? R2 知,关键是求出球的直径或半径;已知球 与正方体的各个面都相切,故球的直径等于正方体的棱长。

解:如图示:

设正方体 AC1 的棱长为 a,正方体的有六个面,且

每个面都是正方形,所以正方体的表面积为 S1 ? 6a2 ; ∵球与正方体的各个面都相切,∴球的直径等于正方体的棱长,即 2 R ? a , R ?
a 2

a 根据球的表面积公式 S 2 ? 4? R 2 ? 4? ( ) 2 ? ? a 2 . 2



S2 ? a 2 ? ? ? .故选 B. S1 6a 2 6

【本题结束】

【单选题】题型八 正方体的外接球、内切球、内部膨胀球的表面积与体积——变 式训练 3 棱长为 1 的正方体内有一个球与正方体的 12 条棱都相切,则球的体积为( )

【A】4π 【答案】C 【考查点】

? 【B】 4

2 ? 【C】 3

【D】

2 ? 4

4 【点拨】根据球的体积公式 V ? ? R 3 知,关键是求出球的半径或者直径;已知球 3

与正方体的 12 条棱都相切,则球的半径就是正方体面对角线的一半。 【解析】∵球与正方体的 12 条棱都相切,∴球的半径就是正方体面对角线的一半 即R?
2 4 4 2 2 ,根据球的体积公式 V ? ? R3 ? ? ( )3 ? ? ,故选 C. 2 3 3 2 3

【本题结束】

【单选题】题型八 正方体的外接球、内切球、内部膨胀球的表面积与体积——变 式训练 4 有一棱长为 a 的正方体框架,其内放置一气球,是其充气且尽可能地膨胀(仍保持 为球的形状),则气球表面积的最大值为( 【A】 ? a 2 【B】 2? a 2 【答案】B 【考查点】 【 C】 3? a 2 )

【D】 4? a 2

【点拨】要求球的表面积,关键是求出球的半径或者直径;由题意气球充气且尽可 能地膨胀(仍保持为球的形状),与棱长为 a 的正方体框架相切,球的半径就是正 方体面对角线的一半.求出半径,即可求出球的表面积. 【解析】气球充气且尽可能地膨胀(仍保持为球的形状),与棱长为 a 的正方体框 架相切,球的直径就是正方体面对角线的一半.所以球的直径为:

2R ? 2a ,半径为: R ?
S ? 4? R 2 ? 2? a 2 故选 B.

2a 气球表面积的最大值: 2

【本题结束】


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