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数学必修二第三章直线与方程知识点总结及测试题


第三章:直线与方程的知识点及测试题
一、倾斜角与斜率 1. 当直线 l 与 x 轴相交时, 我们把 x 轴正方向与直线 l 向上方向之间所成的角叫做直线 l 的 . 当直 线 l 与 x 轴平行或重合时 , 我们规定它的倾斜角为 . 则直线 l 的倾斜角 ? 的 范 围 是 . 2. 倾斜角不是 90°的直线的斜率,等于直线的倾斜角的正切值,即 . 如果知道直线上两 点P . 特别地是,当 x1 ? x2 , y1 ? y2 时,直线与 x 轴垂直, 1 ( x1 , y1 ), P 2 ( x2 , y2 ) ,则有斜率公式 斜率 k ;当 x1 ? x2 , y1 ? y2 时,直线与 y 轴垂直,斜率 k . ★二、两条直线平行与垂直的判定 1.斜截式下: 已知直线 l1 : y ? k1x ? b1 、直线 l2 : y ? k2 x ? b2 ,有: (1) l1 // l2 ? ; (2) l1 ? l2 ?

.

(注意:斜率不存在时单独讨论) A x? 2.一般式下:已知直线 l1 : A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 ( A1 , B1 不同时为 0) , l2 : 2 , 2 B y2? C ? 0 ( A2 , B2 不同时为 0)

则有: (1) l1 ? l2 ? ; ; (2) l1 / /l2 ? (3) l1 与 l2 重合 ? A1B2 ? A2 B1 ? 0, AC 1 2 ? A2C1 ? 0 ; (4) l1 与 l2 相交 ? A1B2 ? A2 B1 ? 0 . 3.三点共线的判断:A,B,C 三点共线 ? k AB ? kBC (或) 三、直线的点斜式方程 1. 点斜式:直线 l 过点 P0 ( x0 , y0 ) ,且斜率为 k,其方程为 2. 斜截式:直线 l 的斜率为 k,在 y 轴上截距为 b,其方程为



;. ;.

3. 点斜式和斜截式不能表示垂直 x 轴直线. 若直线 l 过点 P0 ( x0 , y0 ) 且与 x 轴垂直,此时它的倾斜角为 90°, 斜率不 存在,它的方程不能用点斜式表示,这时的直线方程为 x ? x0 ? 0 ,或 x ? x0 . y ? y0 ? k 与 y ? y0 ? k ( x ? x0 ) 是不同的方程,前者表示的直线上缺少一点 P0 ( x0 , y0 ) ,后者才是整条直线. 4. x ? x0

四、直线的两点式方程 1. 两点式:直线 l 经过两点 P ; , 1 ( x1 , y1 ), P 2 ( x2 , y2 ) ,其方程为 2. 截距式:直线 l 在 x、y 轴上的截距分别为 a、b,其方程为 ;. 3. 两点式不能表示垂直 x、y 轴直线;截距式不能表示垂直 x、y 轴及过原点的直线. 4.中点坐标公式:已知两点 P . 1P 2 中点坐标为 1 ( x1 , y1 ), P 2 ( x2 , y2 ) 线段 P 五、直线的一般式方程 1. 一般式: Ax ? By ? C ? 0 ,注意 A、B 不同时为 0. 直线一般式方程 Ax ? By ? C ? 0 ( B ? 0) 化为斜截式 方程 ,表示斜率为 ,纵截距为 , A ? 0 时横截距为 . ★2. 与直线 l : Ax ? By ? C ? 0 平行的直线方程可设为 ; 与直线 l : Ax ? By ? C ? 0 垂直的直线方程可设为 . 六、两条直线的交点坐标 ? C ) ?( A x 2 B? y ) 0 直线系,所有的直线恒过一个定点,其定点就是 1. 方 程 ? ( A1 x? B 1 y 1 2 ? 2C ?为 A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 与 A2 x ? B2 y ? C2 ? 0 的交点. 2.过直线 l1 : A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 与直线 l2 : A2 x ? B2 y ? C2 ? 0 交点的直线方程为 ( A1x ? B1 y ? C1 ) ? ? ( A2 x ? B2 y ? C2 ) ? 0 七、两点间的距离 1. 平面内两点 P 1 ( x1 , y1 ) , P 2 ( x2 , y2 ) ,则两点间的距离为: 特别地,当 P 1, P 2 所在直线与 x 轴平行时, 时, ;
1

. ;当 P 1, P 2 所在直线与 y 轴平行

八、点到直线的距离及两平行线距离 ★1. 点 P( x0 , y0 ) 到直线 l : Ax ? By ? C ? 0 的距离公式为

.

2. 利用点到直线的距离公式,可以推导出两条平行直线 l1 : Ax ? By ? C1 ? 0 , l2 : Ax ? By ? C2 ? 0 之间的 距离公式 ,推导过程为:在直线 l2 上任取一点 P( x0 , y0 ) ,则 Ax0 ? By0 ? C2 ? 0 ,即
| Ax0 ? By0 ? C1 | A ?B
2 2

Ax0 ? By0 ? ? C2 . 这时点 P( x0 , y0 ) 到直线 l1 : Ax ? By ? C1 ? 0 的距离为 d ?

?

| C1 ? C2 | A2 ? B 2

一、选择题 1.设直线 ax ? by ? c ? 0 的倾斜角为 ? ,且 sin ? ? cos ? ? 0 ,则 a , b 满足( A. a ? b ? 1 B. a ? b ? 1 C. a ? b ? 0 )
4? ?2 D. ? , - ? 5 5 ? ?



D. a ? b ? 0

2.原点关于 x - 2y + 1 = 0 的对称点的坐标为(
2? ?4 A. ? , - ? 5 5 ? ? ? 2 4? B. ? - , ? ? 5 5?

?4 2? C. ? , ? ?5 5?

3.已知过点 A(?2, m) 和 B(m, 4) 的直线与直线 2 x ? y ? 1 ? 0 平行,则 m 的值为( A. 0 B. ? 8 C. 2 D. 10 4.已知 ab ? 0, bc ? 0 ,则直线 ax ? by ? c 通过( A.第一、二、三象限 B.第一、二、四象限 ) C.第一、三、四象限 ) D. x ? 2 y ? 5



D.第二、三、四象限

5.已知点 A(1, 2), B(3,1) ,则线段 AB 的垂直平分线的方程是( A. 4 x ? 2 y ? 5 B. 4 x ? 2 y ? 5 C. x ? 2 y ? 5 )

6.若 A(?2,3), B (3, ?2), C ( , m) 三点共线 则 m 的值为(

1 2

1 1 B. ? C. ?2 D. 2 2 2 7.直线 kx ? y ? 1 ? 3k ,当 k 变动时,所有直线都通过定点(
A. A. (0, 0) B. (0,1) C. (3,1)

) D. (2,1) )

8.直线 x cos ? ? y sin ? ? a ? 0 与 x sin ? ? y cos ? ? b ? 0 的位置关系是( A.平行 B.垂直 C.斜交 D.与 a, b,? 的值有关

9.两直线 3x ? y ? 3 ? 0 与 6 x ? my ? 1 ? 0 平行,则它们之间的距离为(



A. 4

B.

2 13 13

C.

5 13 26

D.

7 10 20


10.已知点 A(2,3), B(?3, ?2) ,若直线 l 过点 P(1,1) 与线段 AB 相交,则直线 l 的斜率 k 的取值范围是(

2

A. k ?

3 4

B.

3 ?k?2 4


C. k ? 2或k ?

3 4

D. k ? 2

11.下列说法的正确的是 ( A.经过定点

的直线都可以用方程 表示 表示

表示

B.经过定点 A?0,b? 的直线都可以用方程 C.不经过原点的直线都可以用方程

D.经过任意两个不同的点 P 、P2 ?x2,y2 ? 的直线都可以用方程 1 ?x1,y1 ? 12. 直线 l 与两直线 y ? 1 和 x ? y ? 7 ? 0 分别交于 A, B 两点, 若线段 AB 的中点为 M (1, ?1) , 则直线 l 的斜率为 ( A. )

3 2

B.

2 3

C. ?

3 2

D. ?

2 3
.

二、填空题 1.经过两直线 11x+3y-7=0 和 12x+y-19=0 的交点,且与 A(3,-2) ,B(-1,6)等距离的直线的方程是 2.已知直线 l1 : y ? 2 x ? 3, 若 l 2 与 l1 关于 y 轴对称,则 l 2 的方程为 则 l 3 的方程为 ;若 l 4 与 l1 关于 y ? x 对称,则 l 4 的方程为

;若 l 3 与 l1 关于 x 轴对称, .

2 2 3.点 P ( x, y ) 在直线 x ? y ? 4 ? 0 上,则 x ? y 的最小值是________________.

4.直线 l 过原点且平分 ? ABCD 的面积,若平行四边形的两个顶点为 B(1, 4), D(5, 0) ,则直线 l 的方程为___________. 5.方程 x ? y ? 1 所表示的图形的面积为_________. 6.将一张坐标纸折叠一次,使点 (0, 2) 与点 (4, 0) 重合,且点 (7, 3) 与点 (m, n) 重合,则 m ? n 的值是_______。 7.已知直线 l1 : y ? 2 x ? 3, l 2 与 l1 关于直线 y ? ? x 对称,直线 l 3 ⊥ l 2 ,则 l 3 的斜率是______. 8.一直线过点 M (?3, 4) ,并且横截距是纵截距的三倍,这条直线方程是 9.已知点 A(1,1) , B (2, 2) ,点 P 在直线 y ? .

1 2 2 x 上,求 PA ? PB 取得最小值时 P 点的坐标为___________. 2

10.(全国Ⅰ文 16)若直线 m 被两平行线 l1 : x ? y ? 1 ? 0与l2 : x ? y ? 3 ? 0 所截得的线段的长为 2 2 ,则 m 的倾斜角 可以是 ① 15
?

② 30

?

③ 45

?

④ 60

?

⑤ 75

?

其中正确答案的序号是 三、解答题

.(写出所有正确答案的序号)

1.求经过点 A(?2, 2) 并且和两个坐标轴围成的三角形的面积是 1 的直线方程。

3

2.求经过点 A(1, 2) 并且在两个坐标轴上的截距的绝对值相等的直线方程。

3.已知两条直线 l1 : x ? 1 ? m? y ? 2 ? m, l2 : 2mx ? 4 y ? ?16 . (1)相交 (2)平行 (3)垂直

?

m 为何值时, l1与l2 :

4. 求经过直线 l1 : 2 x ? 3 y ? 5 ? 0, l 2 : 3x ? 2 y ? 3 ? 0 的交点且平行于直线 2 x ? y ? 3 ? 0 的直线方程.

5.已知直线 2(m ? 1) x ? (m ? 1) y ? 3m ? 7 ? 0 ( m ? R ) (1)求证:直线过定点; (2)当直线与两坐标围成三角形面积最小时,求三角形面积的最小值并求此时直线方程.

4


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