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南通市如东县四校2012-2013学年高三(上)12月联考数学试卷(理科)


2012-2013 学年江苏省南通市如东县四校高三(上)12 月联考数学试卷(理科) 一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分,请将答案填写在答题卷相应的位 置上) 2 1. 分)设集合 A={x|y=log2(x﹣2)},B={x|x ﹣5x+4<0},则 A∪B= (1,+∞) . (5 考点: 并集及其运算;函数的定义域及其求法;一元二次不等式的解法.

专题: 不等式的解法及应用. 分析: 求出集合 A,集合 B,然后求解它们的并集即可. 解答: 解:因为集合 A={x|y=log2(x﹣2)}={x|x>2}, 集合 B={x|x ﹣5x+4<0}={x|1<x<4}, 所以 A∪B={x|x>1}. 故答案为: (1,+∞) . 点评: 本题考查集合的求法并集的基本运算,考查计算能力,常考题型. 2. 分)已知复数 z 满足 z?(1﹣i)=2,其中 i 为虚数单位,则 z= 1+i . (5 考点: 复数代数形式的乘除运算. 专题: 计算题. 分析: 复数方程两边同乘 1﹣i 的共轭复数,然后化简即可. 解答: 解:由 z?(1﹣i)=2,可得 z?(1﹣i) (1+i)=2(1+i) , 所以 2z=2(1+i) , z=1+i. 故答案为:1+i. 点评: 本题考查复数代数形式的混合运算,考查计算能力,常考题型.
2

3. 分)已知点 A(﹣1,﹣5)和向量 (5 7) . 考点: 平面向量的坐标运算. 专题: 计算题;平面向量及应用. 分析: 设 B(x,y) ,则 =(x+1,y+5) ,然后由 解答: 解:设 B(x,y) ,则 ∵ = =(6,12) =(x+1,y+5)

,若

,则点 B 的坐标为 (5,

=

=(6,12)可求 x,y,即可求解 B

∴x+1=6,y+5=12 ∴x=5,y=7 故答案为: (5,7) ; 点评: 本题主要考查了向量的坐标运算,属于基础试题 4. 分)已知函数 f(x)=ax +(b﹣3)x+3,x∈[2a﹣3,4﹣a]是偶函数,则 a+b= 2 . (5
1
2

考点: 二次函数的性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 偶函数定义域关于原点对称,且 f(﹣x)=f(x) ,由此即可求出 a,b. 解答: 解:因为偶函数的定义域关于原点对称,所以 2a﹣3+4﹣a=0,解得 a=﹣1. 由 f(x)为偶函数,得 f(﹣x)=f(x) ,即 ax ﹣(b﹣3)x+3=ax +(b﹣3)x+3,2 (b﹣3)x=0,所以 b=3. 所以 a+b=3﹣1=2. 故答案为:2. 点评: 偶函数的定义域关于原点对称,f(﹣x)=f(x)恒成立,对于函数的奇偶性问题,往 往从定义上考虑. 5. 分)已知 x∈R,那么 (5 “必要不充分”“既不充分又不必要”) 考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题: 不等式的解法及应用. 2 分析: 由题意把 x >1,解出来得 x>1 或 x<﹣1,然后根据命题 x>1 与命题 x>1 或 x<﹣ 1,是否能互推,再根据必要条件、充分条件和充要条件的定义进行判断. 2 解答: 解:∵x >1, ∴x>1 或 x<﹣1, ∴x>1?x >1,反之不能推出, ∴那么 的 必要不充分条件,
2 2 2

的 必要不充分 条件(“充要”,“充分不必要”,

故答案为:必要不充分. 点评: 此题主要考查必要条件、充分条件和充要条件的定义,是一道基础题.

6. 分) (5 为了得到函数 移 个单位长度

的图象, 可以将函数 y=cos2x 的图象向 右 平

考点: 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 专题: 阅读型. 分析: 根据函数的平移左加右减的原则,把 y=cos2x 的向右平移 的图象. 解答: 解: 将函数函数 y=cos2x 的图象向右平移 象, 故答案为右, 个单位得到函数

个单位得到函数

的图

2

点评: 本题主要考查了三角函数图象的变换.属基础题. 7. 分)若存在实数 x∈[1,2]满足 2x ﹣ax+2>0,则实数 a 的取值范围是 (﹣∞,5) . (5 考点: 特称命题. 专题: 不等式的解法及应用. 2 2 分析: 构造函数 f(x)=2x ﹣ax+2,若存在实数 x∈[1,2]满足 2x ﹣ax+2>0,则 f(1)>0, 或 f(2)>0,进而可得实数 a 的取值范围 2 解答: 解:令 f(x)=2x ﹣ax+2 2 若存在实数 x∈[1,2]满足 2x ﹣ax+2>0, 则 f(1)>0,或 f(2)>0 即 4﹣a>0,或 10﹣2a>0, 即 a<4,或 a<5 故 a<5 即实数 a 的取值范围是(﹣∞,5) 故答案为: (﹣∞,5) 点评: 本题考查的知识点是特称命题,其中构造函数,将存在性问题(特称命题) ,转化为 不等式问题是解答的关键. 8. 分) (5 (2012?上海)若一个圆锥的侧面展开图是面积为 2π 的半圆面,则该圆锥的体积 为 .
2

考点: 旋转体(圆柱、圆锥、圆台) . 专题: 计算题. 分析: 通过侧面展开图的面积.求出圆锥的母线,底面的半径,求出圆锥的体积即可. 解答: 解:由题意一个圆锥的侧面展开图是面积为 2π 的半圆面,可知,圆锥的母线为:l; 2 因为 4π=πl ,所以 l=2, 半圆的弧长为 2π, 圆锥的底面半径为 2πr=2π,r=1, 所以圆柱的体积为: 故答案为: . = .

点评: 本题考查旋转体的条件的求法,侧面展开图的应用,考查空间想象能力,计算能力. 9. 分) (5 (2010?如皋市模拟)已知 = .

考点: 两角和与差的正弦函数. 分析: 观察题中角之间的关系,x+



是互补的关系,x+



是互余关系,

这是解题的突破口,用诱导公式求出结论中要用的结果,题目得解.
3

解答: 解:∵ ∴ ∴ = = = , ,



故答案为: 点评: 在三角函数中除了诱导公式和作八个基本恒等式之外,还有两角和与差公式、倍角公 式、半角公式、积化和差公式、和差化化积,此外,还有万能公式,在一般的求值或 证明三角函数的题中,只要熟练的掌握以上公式,用一般常用的方法都能解决我们的 问题. 10. 分)定义 min{a,b,c}为 a,b,c 中的最小值,设 f(x)=min{2x+4,x +1,5﹣3x}, (5 则 f(x)的最大值是 2 . 考点: 函数的值域. 专题: 新定义. 分析: 根据 min{a,b,c}的意义,画出函数图象,观察最大值的位置,通过求函数值,可得 答案. 2 解答: 解:解:画出 y=2x+4,y=x +1,y=5﹣3x 的图象,
2

观察图象可知,当 x≤﹣1 时,f(x)=2x+4, 2 当﹣1≤x≤1 时,f(x)=x +1, 当 x>1 时,f(x)=5﹣3x, f(x)的最大值在 x=±1 时取得为 2, 故答案为:2 点评: 本题考查函数的图象函数的图象、函数最值问题,利用数形结合可以很容易的得到最
4

大值.

11. 分)在直角三角形 ABC 中,AB⊥AC,AB=AC=1, (5 .

,则

的值等于

考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 计算题;平面向量及应用. 分析: 先建立直角坐标系,由

可求 D 的坐标,代入可求



,然后代入向量的

数量积的坐标表示即可求解 解答: 解:建立如图所示的直角坐标系则 A(0,0) ,B(0,1) ,C(1,0) , 设 D(x,y) ∴ ∵ ∴x= ∴x= ,y= 则 =( )?( , )= = ,y﹣1= =(x,y﹣1) , =(1﹣x,﹣y)

故答案为:

点评: 本题主要考查了向量的数量积的坐标表示,解题的关键是合理的建立直角坐标系.

12. 分)若 a= (5

,b=

,c=

,则 a,b,c 将用”<”连接得 c<a<b .

考点: 利用导数研究函数的单调性.
5

专题: 计算题. 分析: 因为 = 然后再比较 解答: 解:∵ ∵ =

, , , , ,

=ln , =ln



=

,所以先比较





的大小,

的大小关系. , = , , ,





考察对数函数 y=lnx,它在(0,+∞)是增函数, ∴ ∴ .

故答案为:c<a<b. 点评: 本题考查对数值的大小比较,解题时要注意对数单调性的合理运用.

13. 分) (5 (2012?四川)椭圆

的左焦点为 F,直线 x=m 与椭圆相交于点 A、B,

当△ FAB 的周长最大时,△ FAB 的面积是 3 . 考点: 椭圆的简单性质. 专题: 计算题;压轴题. 分析: 先画出图象, 结合图象得到△ FAB 的周长最大时对应的直线所在位置. 即可求出结论. 解答: 解:设椭圆的右焦点为 E.如图: 由椭圆的定义得:△ FAB 的周长:AB+AF+BF=AB+(2a﹣AE)+(2a﹣BE)=4a+AB ﹣AE﹣BE; ∵AE+BE≥AB; ∴AB﹣AE﹣BE≤0,当 AB 过点 E 时取等号; ∴AB+AF+BF=4a+AB﹣AE﹣BE≤4a; 即直线 x=m 过椭圆的右焦点 E 时△ FAB 的周长最大; 此时△ FAB 的高为:EF=2. 此时直线 x=m=c=1; 把 x=1 代入椭圆 ∴AB=3. 所以:△ FAB 的面积等于:S△ FAB= ×3×EF= ×3×2=3. 的方程得:y=± .

6

故答案为:3.

点评: 本题主要考察椭圆的简单性质. 在解决涉及到圆锥曲线上的点与焦点之间的关系的问 题中,圆锥曲线的定义往往是解题的突破口.解决本题的关键在于利用定义求出周长 的表达式.

14. 分)已知函数 (5

,函数



2a+2(a>0) ,若存在 x1、x2∈[0,1],使得 f(x1)=g(x2)成立,则实数 a 的取值范围是 .

考点: 分段函数的解析式求法及其图象的作法. 专题: 计算题. 分析: 根据 x 的范围确定函数 f(x)的值域和 g(x)的值域,进而根据 f(x1)=g(x2)成 立,推断出 ,先看当二者的交集为空集时刻求得 a

的范围,进而可求得当集合的交集非空时 a 的范围. 解答: 解:当 x∈( ,1]时, 是增函数,y∈( ,1], 当 x∈[0, ]时,f(x)=﹣ x+ 是减函数, ∴y∈[0, ],如图.

∴函数

的值域为[0,1].

值域是 ∵存在 x1、x2∈[0,1]使得 f(x1)=g(x2)成立,



7

∴ 若 ∴a 的取值范围是 故答案为: . .

, ,则 2﹣2a>1 或 2﹣ <0,即 ,

点评: 本题主要考查了三角函数的最值,分段函数的值域问题,不等式的应用.解题的关键 是通过看两函数值域之间的关系来确定 a 的范围. 二.解答题: (本大题共 6 个小题,共 90 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 15. (14 分)已知 A∪B=R, (1)求 A; (2)实数 a+b 的值. 考点: 子集与交集、并集运算的转换. 专题: 计算题. 分析: (1)由分式不等式的解法,解 ,且 ,

>0 可得其解集,即可得集合 A;
2

(2)根据题意,由(1)的结论,分析可得集合 B,进而可得方程 x +ax+b=0 的解, 又由方程的根与系数的关系,可得 a、b 的值,将其相加即可得答案. 解答: 解: (1)根据题意, >0?(2x﹣1) (x+2)>0, 解可得 x<﹣2 或 x> , 则 A=(﹣∞,﹣2)∪( ,+∞) ; (2)由(1)可得 又由 ,A∪B=R,

8

必有 B={x|﹣2≤x≤3}, 即方程 x +ax+b=0 的解是 x1=﹣2,x2=3 于是 a=﹣(x1+x2)=﹣1,b=x1x2=﹣6, ∴a+b=﹣7. 点评: 本题考查集合的交集、并集的应用, (2)的关键是根据 A、B 的交集与并集,求出集 合 B. 16. (14 分)如图,斜三棱柱 A1B1C1﹣ABC 中,侧面 AA1C1C⊥底面 ABC,侧面 AA1C1C 是菱形, ,E、F 分别是 A1C1、AB 的中点.求证: (1)EF∥平面 BB1C1C;
2

(2)平面 CEF⊥平面 ABC.

考点: 平面与平面垂直的判定;直线与平面平行的判定. 专题: 证明题. 分析: (1)取 BC 中点 M,连接 FM,C1M,证明 FM 四边形,然后证明 EF∥平面 BB1C1C;

,推出四边形 EFMC1 为平行

(2)在平面 AA1C1C 内,作 A1O⊥AC,O 为垂足,证明 OC 证明 A1O⊥底面 ABC.得到平面 CEF⊥平面 ABC. 解答: 证明: (1)取 BC 中点 M,连接 FM,C1M, 在△ ABC 中,因为 F,M 分别为 BA、BC 的中点, 所以 FM , ,

A1E,得到 EC

A1O1,

因为 E 为 A1C1 的中点,AC

所以 EF∥EC1,又 FM∥A1C1 从而四边形 EFMC1 为平行四边形, 所以 EF∥C1M,又因为 C1M?平面 BB1C1C,EF?平面 BB1C1C, EF∥平面 BB1C1C; (2)在平面 AA1C1C 内,作 A1O⊥AC,O 为垂足, 因为∠A1AC=60°,所以 AO= AA1= AC, 从而 O 为 AC 的中点. 所以 OC A1E,因而 EC A1O1,

9

因为侧面 AA1C1C⊥底面 ABC,交线为 AC, A1O⊥AC,所以 A1O⊥底面 ABC. 所以 EC⊥底面 ABC, 又因为 EC?平面 EFC, 所以平面 CEF⊥平面 ABC.

点评: 本小题主要考查空间线面关系,考查直线与平面平行,平面与平面垂直的证明,考查 空间想像能力和推理论证能力. 17. (14 分)若 a、b、c 是△ ABC 三个内角 A、B、C 所对边,且 asinAsinB+bcos A= (1)求 ; (2)当 cosC= 时,求 cos(B﹣A)的值.
2

a

考点: 余弦定理;正弦定理. 专题: 计算题;解三角形. 分析: (1)利用正弦定理即可求得 ; (2)利用余弦定理可求得 c= a,从而可判断三角形△ ABC 为直角三角形,利用两 角差的余弦即可求得答案. 解答: (1)由正弦定理得 sin2AsinB+sinBcos2A= sinA(2 分) 解: 即 sinB= sinA, ∴ = (2)∵ = ∴b= a, =
2 2 2

(6 分) ,

∴由余弦定理
2 2 2

得 c=

a(8 分)

∴b =3a =a +2a =a +c , ∴B=90°(10 分) ∴cos(B﹣A)=sinA=cosC= . (12 分)

点评: 本题考查正弦定理与余弦定理的应用,考查两角和与差的余弦与诱导公式的应用,属 于中档题.
10

18. (16 分)如图,开发商欲对边长为 1km 的正方形 ABCD 地段进行市场开发,拟在该地 段的一角建设一个景观,需要建一条道路 EF(点 E、F 分别在 BC、CD 上) ,根据规划要求 △ ECF 的周长为 2km. (1)设∠BAE=α,∠DAF=β,试求 α+β 的大小; (2)欲使△ EAF 的面积最小,试确定点 E、F 的位置.

考 已知三角函数模型的应用问题. 点: 专 综合题. 题: 分 (1)根据规划要求△ ECF 的周长为 2km,建立等式,再利用和角的正切公式,即可求 析:得 α+β 的大小; (2) 先表示三角形的面积, 再利用三角函数求面积的最值, 从而可确定点 E、 的位置. F 解 解: (1)设 CE=x,CF=y(0<x≤1,0<y≤1) ,则 tanα=1﹣x,tanβ=1﹣y, 答: 由已知得:x+y+ ,即 2(x+y)﹣xy=2…(4 分)

∴tan(α+β)=

=

=1

∵0<α+β

,∴α+β=

;…(8 分)

(2)由(1)知, S△ EAF= = AE×AF= =

=

=

…(12 分)



,∴2α

=

,即 α=

时,△ EAF 的面积最小,最小面积为

﹣1.

11

∵tan

=

,∴tan

=

﹣1,故此时 BE=DF=

﹣1.

所以,当 BE=DF= ﹣1 时,△ EAF 的面积最小.…(15 分) 点 本题考查三角函数知识的运用,考查和角公式的运用,考查面积的最值,考查学生分析 评:解决问题的能力,属于中档题.

19. (16 分)已知椭圆 C:

+

=1(a>b>0)的离心率为

,一条准线 l:x=2.

(1)求椭圆 C 的方程; (2)设 O 为坐标原点,M 是 l 上的点,F 为椭圆 C 的右焦点,过点 F 作 OM 的垂线与以 OM 为直径的圆 D 交于 P,Q 两点. ①若 PQ= ,求圆 D 的方程; ②若 M 是 l 上的动点,求证:点 P 在定圆上,并求该定圆的方程.

考点: 直线与圆锥曲线的关系;圆的标准方程;椭圆的标准方程. 专题: 综合题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (1)由题意可知: ,解方程可求 a,c 利用 b =a ﹣c ,可求 b,即可求解椭
2 2 2

圆 C 的方程 (2)①先设 M(2,t) ,然后求出圆 D 的方程及直线 PQ 的方程,联立直线与圆的方 程,结合方程的根与系数关系及弦长公式及已知 ,可求 t,进而可求 ②设出 P,由①知 P 满足圆 D 及直线 PQ 的方程,代入后消去参数 t 即可判断 解答: 解: (1)由题意可知: ,

∴a=

,c=1,b =a ﹣c =1,

2

2

2

∴椭圆 C 的方程为: (2)①由(1)知:F(1,0) ,设 M(2,t) ,
12

则圆 D 的方程: 直线 PQ 的方程:2x+ty﹣2=0, ∴ ,



∴ ∴t =4,t=±2 2 2 2 2 ∴圆 D 的方程: (x﹣1) +(y﹣1) =2 或(x﹣1) +(y+1) =2 ②证明:设 P(x1,y1) ,
2

由①知:



即:

消去 t 得:
2 2

=2

∴点 P 在定圆 x +y =2 上. 点评: 本题综合考查了利用椭圆的性质求解椭圆方程,直线与圆,与椭圆位置关系的应用, 还考查了运算的能力 20. (16 分)已知函数 f(x)=﹣x +x +b,g(x)=alnx. (1)若 f(x)在 上的最大值为 ,求实数 b 的值;
2 3 2

(2)若对任意 x∈[1,e],都有 g(x)≥﹣x +(a+2)x 恒成立,求实数 a 的取值范围; (3)在(1)的条件下,设 ,对任意给定的正实数 a,曲线 y=F

(x)上是否存在两点 P、Q,使得△ POQ 是以 O(O 为坐标原点)为直角顶点的直角三角 形,且此三角形斜边中点在 y 轴上?请说明理由. 考点: 导数在最大值、最小值问题中的应用;利用导数研究函数的单调性. 专题: 综合题;压轴题. 分析: (1)求导函数,令 f′(x)=0,确定函数的单调性与极值,从而可得函数的最大值, 由此可求 b 的值; (2)由 g(x)≥﹣x +(a+2)x,得 求出最小值,即可求得 a 的取值范围;
2

恒成立,即



13

(3)由条件,

,假设曲线 y=F(x)上存在两点 P,Q
3 2

满足题意,则 P,Q 只能在 y 轴两侧,不妨设 P(t,F(t)(t>0) ) ,则 Q(﹣t,t +t ) , 2 3 2 且 t≠1,则是否存在 P,Q 等价于方程﹣t +F(t) +t )=0 在 t>0 且 t≠1 时是否有解. (t 3 2 解答: (1)由 f(x)=﹣x +x +b,得 f′(x)=﹣3x2+2x=﹣x(3x﹣2) 解: , 令 f′(x)=0,得 x=0 或 . 列表如下: x f′(x) f(x) ∵ ∴ 即最大值为
2

0 ﹣ ↘ , , ,∴b=0.…(4 分)
2

0

+ 极小值 ↗ ,

﹣ 极大值 ↘ 0

(2)由 g(x)≥﹣x +(a+2)x,得(x﹣lnx)a≤x ﹣2x. ∵x∈[1,e],∴lnx≤1≤x,且等号不能同时取, ∴lnx<x,即 x﹣lnx>0, ∴ 恒成立,即 .



,求导得,

, 当 x∈[1,e]时,x﹣1≥0,lnx≤1,x+1﹣2lnx>0,从而 t′(x)≥0, ∴t(x)在[1,e]上为增函数,∴tmin(x)=t(1)=﹣1,∴a≤﹣1.…(8 分) (3)由条件, ,

假设曲线 y=F(x)上存在两点 P,Q 满足题意,则 P,Q 只能在 y 轴两侧, 3 2 不妨设 P(t,F(t)(t>0) ) ,则 Q(﹣t,t +t ) ,且 t≠1. ∵△POQ 是以 O(O 为坐标原点)为直角顶点的直角三角形,∴
2 3 2



∴﹣t +F(t) +t )=0…(*) (t ,…(10 分) 是否存在 P,Q 等价于方程(*)在 t>0 且 t≠1 时是否有解. 2 3 2 3 2 4 2 ①若 0<t<1 时,方程(*)为﹣t +(﹣t +t ) +t )=0,化简得 t ﹣t +1=0,此方 (t
14

程无解; …(11 分) ②若 t>1 时, (*)方程为﹣t +alnt?(t +t )=0,即 设 h(t)=(t+1)lnt(t>1) ,则 ,
2 3 2



显然,当 t>1 时,h′(t)>0,即 h(t)在(1,+∞)上为增函数,∴h(t)的值域 为(h(1) ,+∞) ,即(0,+∞) ,∴当 a>0 时,方程(*)总有解. ∴对任意给定的正实数 a,曲线 y=F(x)上总存在两点 P,Q,使得△ POQ 是以 O(O 为坐标原点)为直角顶点的直角三角形,且此三角形斜边中点在 y 轴上.…(14 分) 点评: 本题考查导数知识的运用,考查函数的最值,考查恒成立问题,考查是否存在问题的 探究,综合性强. 三、附加题 21. (10 分)设函数 f(x)=xlnx+(1﹣x)ln(1﹣x) (0<x<1) ,求 f(x)的最小值. 考点: 利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的单调性. 专题: 导数的综合应用. ′ 分析: 利用导数的运算法则即可得到 f (x) ,再利用导数与函数单调性、极值与最值的关 系即可得到 f(x)的最小值. 解答: 解:对函数 f(x)求导数:f'(x)=(xlnx)'+[(1﹣x)ln(1﹣x)]'=lnx﹣ln(1﹣x) =


. ,解得 . 在区间 是减

令 f (x)=0,则 当 0< 函数, 当 1> 函数. 所以

在区间

是增

时取得最小值,



点评: 熟练掌握利用导数研究函数的单调性、极值、最值是解题的关键. 22. (10 分)已知空间三点 A(0,2,3) ,B(﹣2,1,6) ,C(1,﹣1,5) 求: (1)求以向量 (2)若向量 a 分别与向量 为一组邻边的平行四边形的面积 S; 垂直,且|a|= ,求向量 a 的坐标.

考点: 平面向量的综合题. 专题: 计算题. 分析: (1)由已知中空间三点 A(0,2,3) ,B(﹣2,1,6) ,C(1,﹣1,5) ,我们分别

15

求出向量





的坐标,进而根据它们三个的模相等,判断出三角形 ABC 为 为一组邻边的平行四边形的面积 S; 垂直,且| |= ,设出向量 的

等边三角形,进而得到以向量

(2)根据(1)中结论,易向量 分别与向量

坐标,进而构造方程组,解方程组即可求出向量 的坐标. 解答: (1)∵空间三点 A(0,2,3) 解: ,B(﹣2,1,6) ,C(1,﹣1,5) ∴ ∵| =(﹣2,﹣1,3) , |=| |=| |= 为一组邻边的平行四边形的面积 =(1,﹣3,2) , =(3,﹣2,﹣1)

∴△ABC 为等边三角形,故以向量 S= =7

(2)设 =(x,y,z) ,由已知中向量 分别与向量

垂直,且| |=





解得 x=y=z=±1 =(1,1,1)或 =(﹣1,﹣1,﹣1) 点评: 本题考查的知识点是向量模的运算及向量垂直的坐标表示,是平面向量的综合题,熟 练掌握平面向量模的计算公式,及向量平行和垂直的坐标运算公式是解答本题的关 键. 23. (10 分) (2011?日照模拟)设命题 p:实数 x 满足 x ﹣4ax+3a <0,其中 a>0,命题 q: 实数 x 满足 .
2 2

(Ⅰ)若 a=1,且 p∧q 为真,求实数 x 的取值范围; (Ⅱ)若¬p 是¬q 的充分不必要条件,求实数 a 的取值范围. 考点: 充分条件;命题的真假判断与应用. 分析: (1)p∧q 为真,即 p 和 q 均为真,分别解出 p 和 q 中的不等式,求交集即可; (2) ﹁p 是﹁q 的充分不必要条件?q 是 p 的充分不必要条件, q?p, 即 反之不成立. 即 q 中的不等式的解集是 p 中的不等式解集的子集. 解答: (1)a=1 时,命题 p:x2﹣4x+3<0?1<x<3 解:

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命题 q:

?

?2<x≤3,

p∧q 为真,即 p 和 q 均为真,故实数 x 的取值范围是 2<x<3 (2) ﹁p 是﹁q 的充分不必要条件?q 是 p 的充分不必要条件, q?p, 即 反之不成立. 即 q 中的不等式的解集是 p 中的不等式解集的子集. 由(1)知命题 q:2<x≤3, 2 2 命题 p:实数 x 满足 x ﹣4ax+3a <0?(x﹣a) (x﹣3a)<0 由题意 a>0,所以命题 p:a<x<3a, 所以 ,所以 1<a≤2

点评: 本题考查复合命题的真假、 充要条件的判断、 解二次不等式等知识, 考查知识点较多, 但难度不大. 24. (10 分) (2012?江苏二模)在棱长为 2 的正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,E 为棱 AB 的中 点,点 P 在平面 A1B1C1D1,D1P⊥平面 PCE. 试求: (1)线段 D1P 的长; (2)直线 DE 与平面 PCE 所成角的正弦值.

考点: 用空间向量求直线与平面的夹角;直线与平面所成的角;点、线、面间的距离计算. 专题: 计算题;空间角. 分析: (1)建立空间直角坐标系,利用 D1P⊥平面 PCE,确定 P 的坐标,从而可求线段 D1P 的长; (2) (1) 由 知, 利用向量的夹角公式可求直线 DE 与平面 PEC 所成角的正弦值为 . 解答: (1)建立如图所示的空间直角坐标系,则 D1(0,0,2) 解: ,E(2,1,0) ,C(0, 2,0) . 平面平面 PCE,

17

设 P(x,y,2) ,则





因为 D1P⊥平面 PCE,所以 D1P⊥EP,D1P⊥EC,

所以

,解得

(舍去)或

…(4 分)

即 P( 分) (2) (1) 由 知,

) ,所以

,所以

.…(6

平面平面 PCE, 与 所成角为 α,则

设 DE 与平面 PEC 所成角为 θ,

所以直线 DE 与平面 PEC 所成角的正弦值为 . …(10 分) 点评: 本题考查的知识点是用空间向量表示直线与平面所成角,建立适当的空间直角坐标 系,将空间点,线,面之间的关系问题转化为向量问题是解答此类问题的关键.

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