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立体几何和三视图


立体几何和三视图 一、知识点回顾
1、空间几何体的三视图 定义三视图:正视图(光线从几何体的前面向后面正投影) ;侧视图(从左向右) 、 俯视图(从上向下) 注:正视图反映了物体上下、左右的位置关系,即反映了物体的高度和长度; 俯视图反映了物体左右、前后的位置关系,即反映了物体的长度和宽度; 侧视图反映了物体上下、前后的位置关系,即反映了物体的高度和宽度。 ▲长对正,高

平齐 ,宽相等 2、柱体、锥体、台体的表面积与体积 (1)几何体的表面积为几何体各个面的面积的和。 (2)特殊几何体表面积公式(c 为底面周长,h 为高, h 为斜高,l 为母线)
'

S直棱柱侧面积 ? ch
S正棱台侧面积 ?

S圆柱侧 ? 2?rh S正棱锥侧面积 ? ch '
S圆台侧面积 ? (r ? R)?l

1 2

S圆锥侧面积 ? ?rl

S圆柱表 ? 2?r ?r ? l ?
V柱 ? Sh

1 (c1 ? c2 )h' 2

S圆 锥 表? ?r?r ? l ?

S圆台表 ? ? r 2 ? rl ? Rl ? R2
1 V圆锥 ? ?r 2 h 3

?

?

(3)柱体、锥体、台体的体积公式

V圆柱 ? S h ? 2r h V锥 ? 1 S h ?
3

1 V台 ? (S ' ? S ' S ? S )h 3
二、专题讲解

1 1 ' V圆台 ? (S ' ? S S ? S )h ? ? (r 2? rR ? R )2 h 3 3

1、空间角问题 (1)直线与直线所成的角 ①两平行直线所成的角:规定为 0 ? 。 ②两条相交直线所成的角:两条直线相交其中不大于直角的角,叫这两条直线所成的角。 ③两条异面直线所成的角:过空间任意一点 O,分别作与两条异面直线 a,b 平行的直线 a ?, b ? ,形成两条 相交直线,这两条相交直线所成的不大于直角的角叫做两条异面直线所成的角。 (2)直线和平面所成的角 ? ? ①平面的平行线与平面所成的角:规定为 0 。 ②平面的垂线与平面所成的角:规定为 90 。 ③平面的斜线与平面所成的角:平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角,叫做这条直线和这个平面 所成的角。 求斜线与平面所成角的思路类似于求异面直线所成角: “一作,二证,三计算” 。 在“作角”时依定义关键作射影,由射影定义知关键在于斜线上一点到面的垂线, 在解题时,注意挖掘题设中两个主要信息: (1)斜线上一点到面的垂线; (2)过斜线上的一点或过斜线的平 面与已知面垂直,由面面垂直性质易得垂线。 (3)二面角和二面角的平面角 ①二面角的定义:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角,这条直线叫做二面角的棱,这两 个半平面叫做二面角的面。 ②二面角的平面角:以二面角的棱上任意一点为顶点,在两个面内分别作垂直于棱的两条射线,这两条射线 .. ... 所成的角叫二面角的平面角。 ③直二面角:平面角是直角的二面角叫直二面角。 两相交平面如果所组成的二面角是直二面角,那么这两个平面垂直;反过来,如果两个平面垂直,那么所成 的二面角为直二面角 ④求二面角的方法 定义法:在棱上选择有关点,过这个点分别在两个面内作垂直于棱的射线得到平面角 垂面法:已知二面角内一点到两个面的垂线时,过两垂线作平面与两个面的交线所成的角为二面角的平面角
1

一、选择题
1.一个与球心距离为 1 的平面截球体所得的圆面面积为 π,则球的体 积为( ) A.8 2 ? 4 2π 解析:由题意,球的半径为 R==,故其体积 V=3π()3= 3 ,选 A.

3 B.8?/3 C.32?/3

D.8π

2.下图是一个多面体的三视图,则其全面积为( ) A.

3 B.

3 /2 +6 C 3 .+6

D 3 .+4 1

解析: 由几何体的三视图可得, 此几何体是正三棱柱, 其全面积为 S=3× 2 2+2×2× 2 2×sin60° =6+ 3 .故选 C. 2题 3题 4题

3.如图是一个几何体的三视图,根据图中数据,可得该几何体的 表面积是( )A22π B.12πC.4π+24 D4π+32 解析: 由几何体的三视图可得, 此几何体是上面一个球、 下面一个长方体组成的几何体, 此几何体的表面积 S=4π 2 ×1 +2×2×2+8×3=4π+32.故选 D. 4.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积与体积分别为( ) 3 A.7+ 2 ,3 B.8+ 2 ,3 C.7+ 2 ,2 3 D.8+ 2 , 2

1 解析:由几何体的三视图可得,此几何体是四棱柱,底面是梯形,其全面积为 S=2×2×(1+2)×1+12+12+1× 1 3 2+ 2 ×1=7+ 2 ,体积为 V=2×(1+2)×1×1=2. 5,已知正四棱锥 S ? ABCD 中, SA ? 2 3 ,那么当该棱锥的体积最大时,它的高为(A)1 2 (D)3【答案】C (B) 3 (C)

【解析】设底面边长为 a,则高

所以体积





,则

,当 y 取最值时,

,解得 a=0 或 a=4 时,体积最大,此时
2

,故选 C. 6, 8.若某空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是( )[B](A)2 (B)1 (C) 解析:本题考查立体图形三视图及体积公式如图,该立体图形为直三棱柱 所以其体积为 7,一个几何体的三视图如图,该几何体的表面积是( (A)372 (B)360 (C)292 (D)280【答案】B 【解析】 该几何体由两个长方体组合而成, 其表面积等于下面长方体的全面积加上面长方 体的 4 个侧面积之和。 S ? 2(10 ? 8 ? 10 ? 2 ? 8 ? 2) ? 2(6 ? 8 ? 8 ? 2) ? 360 . )

2 1 (D) 3 3

1 ? 1? 2 ? 2 ? 1 2

8.若某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则此几何体的体积是( )

9 题图

160 3 cm 【答案】B 3 11 9,若一个几何体的三视图如图所示,则此几何体的体积为 A. B.5 C.4 2
(A) (B) (D)

352 3 cm 3

320 3 224 3 cm (C) cm 3 3

D.

9 【答案】D 2

解,通过观察几何体的三视图可知,该几何体是一个底面为六边形(2 条对边长为 1,其余 4 条边长为 2 ) ,高 为 1 的直棱柱.所以该几何体的体积为 V = sh = ?1? 2 ? 2 ? ? 2 ? 2 ? ?1 ? 4 故选 D. 10,.某几何体的三视图如图 1 所示,它的体积为( )A. 72? B. 48? C. 30? 【解析】几何体是半球与圆锥叠加而成 它的体积为 V ? D. 24? 【答案】C

? ?

1 2

? ?

3 2 1 4 1 ? ? ? 3 ? ? ? ? 3 ? 52 ? 32 ? 30? 2 3 3

11.【2012 高考浙江文 3 题】已知某三棱锥的三视图(单位:cm)如图所示,则该三棱锥的体积是 A.1cm3 B.2cm3 C.3cm3 D.6cm3【答案】A 【解析】由题意判断出,底面是一个直角三角形,两个直角边分别为 1 和 2,整个棱锥的高由侧视图可得为 3,所 以三棱锥的体积为 ?

1 1 ? 1? 2 ? 3 ? 1 . 3 2
3

6 3 5 5 5

6 3 5

正视图

侧视图

2
俯视图 10 题 图 11 题 12 题图

2
1

12,若某空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是( ) (A)2 (B)1 (C)

2 1 (D) 【答案】 B 3 3

13、下图是一个 几何体的三视图,其中正视图是边长为 2 的等边三角形,侧视图是直角边长分别为 1 与 3 的直角 三角形,俯视图是半径为 1的半圆,则该几何体的体积等于

3 ? (A) 6

3 ? (B) 3

4 3 ? (C) 3

1 ? (D) 2 答案:A

14 一个四棱锥的三视图如图所示其左视图是等边三角形该四棱锥的体积等于( D. 6 3

)A 3

B. 2 3 C. 3 3

4

答案:A 解析:由题意得,根据三视图的规则得,棱锥以俯视图为底面,以侧视图的高为高, 由于侧视图是以 2 为边长的等边三角形,所以 h ? 3 , 结合三视图中的数据,底面积为 S ? 所以几何体的体积为 V ?

1 ? (1 ? 2) ? 2 ? 3 , 2

1 1 Sh ? ? 3 ? 3 ? 3 ,故选 A。 3 3
9 2 9 2

15,设图1是某几何体的三视图,则该几何体的体积为 A.9? ? 42 B.36? ? 18 C. ? ? 12 D. ? ? 18

解析:有三视图可知该几何体是一个长方体和球构成的组合体, 其体积 V ?

4 3 3 9 ? )+3 ? 3 ? 2= ? ? 18 。答案:D ( 3 2 2

16、一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积等于(B)

特点:四棱锥 17,如图是一个几何体的三视图,其中正视图是腰长为 2 的等腰三角形,俯视图是半径为 1 的半圆,则该几何体 的体积是( B )

4 3

A. 3

?

6 3

B. 6

?

1

C. 2

?

3

D. 3

?

5

18,已知在半径为 2 的球面上有 A、B、C、D 四点,若 AB=CD=2,则四面体 ABCD 的体积的最大值为 (A)

2 3 3

(B)

4 3 3

(C) 2 3

(D)

8 3 【答案】B 3

【 解 析 】 过 CD 作 平 面 PCD , 使 AB ⊥ 平 面 PCD, 交 AB 与 P, 设 点 P 到 CD 的 距 离 为 h , 则 有

1 1 2 4 3 V四面体A B C D ? 2 ? ? 2 ? h ? h ,当直径通过 AB 与 CD 的中点时, hmax ? 2 22 ? 12 ? 2 3 ,故 Vmax ? ? 3 2 3 3
19、如图,一个空间几何体的主视图、左视图都是边长为 1 且一个内角为 60°的菱形,俯视图是圆,那么这个几 何体的表面积为( A )A. ? B. 2? C. 3? D. 4? 答案:A

20、一个空间几何体得三视图如图所示,则该几何体的表面积为( C ) (B)32+8 ?? (C) 48+8 ??

(A) 48

(D) 80

【解析】由三视图可知几何体是底面是等腰梯形的直棱柱.底面等腰梯形的上底为 2, 下底为 4,高为 4,两底面积和为 2 ?

4 4 ? 2 ? 2 17 ? 24 ? 8 17 ,所以几何体的表面积为 48 ? 8 17 .故选 C.
二、填空题 1..已知四棱椎 P ? ABCD 的底面是边长为 6 的正方形,侧棱 PA ? 底面 ABCD ,且 PA ? 8 ,则该四棱椎的体积 是 。 【答案】96 【解析】考查棱锥体积公式 V ?
2

?

?

1 ? 2 ? 4 ? ? 4 ? 24 ,四个侧面的面积为 2

1 ? 36 ? 8 ? 96 3
cm【答案】4

2.图 2 中的三个直角三角形是一个体积为 20cm 的几何体的三视图,则 h=

3 题图 3,一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积为 。 【答案】3

4 题图

【解析】本题主要考查三视图的基础知识,和主题体积的计算,属于容易题。 由俯视图可知该几何体的底面为直角梯形,则正视图和俯视图可知该几何体的高为 1,结合三个试图可知该几何

6

? 体是底面为直角梯形的直四棱柱,所以该几何题的体积为 (1+2) 2 ? 1=3
【温馨提示】正视图和侧视图的高是几何体的高,由俯视图可以确定几何体底面的形状,本题也可以将几何体看 作是底面是长为 3,宽为 2,高为 1 的长方体的一半。 4,一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积为 【答案】

1 2

10 3

【解析】由三视图可知,该几何体为一个底面边长为 1,高为 2 的正四棱柱与一个底面边长为 2,高为 1 的正四棱 锥组成的组合体, 因为正巳灵珠的体积为 2, 正四棱锥的体积为 ? 4 ? 1 ? 5.一个几何体的三视图 如图所示,则这个几何体的体积等于------

1 3

4 4 10 , 所以该几何体的体积 V=2+ = 3 3 3

解析:由几何体的三视图可知,此几何体是正方体去掉一个角,如图,此几何体的体 积 V=a3-3×2×a2×a=6a3. 5 题图
1 1 5

6、如图所示,甲、乙、丙是三个立方体图形的三视图,甲、乙、丙对应的标号正确的是-----------

①长方体 ②圆锥 ③三棱锥 ④圆柱 A.④③② B. ②①③ C. ①②③ D. ③②④ 7,右图是一个几何体的三视图,根据图中数据, 可得该几何体的表面积是( )答案 12π 8、如图为一个几何体的三视图,尺寸如图所示,则该几何体的表面积为 -----

2 3 2 2 俯视图 正(主)视图 侧(左)视图

2 1

3

2 2

答案 18+2 3 + ?

C
1

3

2

2

7

正视图

侧视图

俯视图


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