2.2.3 一元二次不等式的解法(一) (二)

2.2.3 一元二次不等式的解法(一) (二) 2
1. 进一步学习一元二次不等式的解法，体会一元二次方程与一元二次不等式的关系． 2. 体会数形结合、转化、分类讨论等数学思想方法，提高运算能力，逻辑思维能力． 3. 理解一元二次不等式的概念；掌握一元二次不等式的解法，体会一元二次方程与一 元二次不等式的关系．

【教学重点】 一元二次不等式的解法．

【教学难点】 将一元二次不等式转化为同解的不等式组． 根据一元二次方程的解的情况写出相应的一元二次不等式的解集．

讲 授

a x2＋b x＋c＞0 或 a x2＋b x＋c＜0 (a≠0)中，当 b2－4 a c＞0 时进行求解： (1) 两边同除以 a，得到二次项系数为 1 的不等式； (2) 分解因式变为(x＋x1)(x＋x2)＞0 或(x＋x1)(x＋x2)＜0 的形式．

解一元二次不等式的步骤．

第一课时 一、 导入

1．解一元二次方程： （1）x2－15x+50 =0； 2．解一元一次不等式组：
?x>?1 ?x<?3 ?x<1 ?x>3 （1）? （2）? （3）? （4）? ?x>7 ?x>3 ?x<2 ?x<?4

（2） x2?x?12=0．

二、

新课讲解
问题 一家旅社有客房 300 间，每间客房的日租金为 30 元，每天都客满，如果一间客房的日

租金每增加 2 元，则客房每天出租会减少 10 间．不考虑其他因素，旅社将每间客房的日租金提高 到多少元时，可以保证每天客房的总租金不少于 10 000 元． 解 设每间客房的日租金增加 x 个 2 元，即客房的日租金为(30＋2 x)元，这时将有 300－2 x 房间 －20 x2＋600 x－300 x＋9 000≥10 000， x2－15 x＋50≤0， (x－5)(x－10)≤0， 本不等式等价于不等式组：
?x－5≥0 ?x－5≤0 (Ⅰ)? 或(Ⅱ)? ?x－10≤0 ?x－10≥0

租出．(300－2 x)(30＋2 x)≥10 000，

解不等式组(Ⅰ)，得 5≤x≤10； 解不等式组(Ⅱ)，得其解集为空集． 所以原不等式的解集为[5，10]． 即旅社将每间客房的日租金提高 40 到 50 元时，可以保证每天客房的总租金不少于 10 000 元． 1．一元二次不等式的概念． 只含有一个未知数，未知数的最高次项的次数是 2，且系数不为 0 的整式不等式叫做一元二次 不等式． 它的一般形式是 ax2＋bx＋c＞0 或 ax2＋bx＋c＜0(a≠0)．

练习 1 判断下列不等式是否是一元二次不等式： (1) x2－3x＋5≤0；(2) x2－9≥0； (3) 3x2－2 x＞0； (4) x2＋5＜0；
1

(5) x2－2 x≤3； (6) 3 x＋5＞0； (7) (x－2)2≤4； (8) x2＜4．

2．解一元二次不等式． 例 1 解下列不等式： (1) x2－x－12＞0； (2) x2－x－12＜0． 解 因为

?＝(－1)2－4×1×(－12)＝49＞0，
方程 x2－x－12＝0 的解是 x1＝－3，x2＝4， 则 x2－x－12＝(x＋3)(x－4)＞0． 同解于一元一次不等式组： (Ⅰ)

x ? 3＞0 x ? 4＞0

或 (Ⅱ)

x ? 3＜0 x ? 4＜0

不等式组(Ⅰ)的解集是{x | x＞4}； 不等式组(Ⅱ)的解集是{x | x＜－3}． 故原不等式的解集为{ x | x＜－3 或 x＞4}． 练习 2 解一元二次不等式： （1） (x＋1)(x－2)＜0； （2） (x＋2)(x－3)＞0； （3） x2－2x－3＞0； （4） x2－2x－3＜0．

三、 课堂小结
a x2＋b x＋c＞0 或 a x2＋b x＋c＜0 (a≠0)中，当 b2－4 a c＞0 时进行求解： (1) 两边同除以 a，得到二次项系数为 1 的不等式； (2) 分解因式变为(x＋x1)(x＋x2)＞0 或(x＋x1)(x＋x2)＜0 的形式．

第二课时 导入
1．(a＋b)2＝ (a－b)2＝ ．
2

；

2．把下面的二次三项式写成 a(x＋m)2＋n 的形式： (1) x2＋2x＋4； (2) x2－2x＋1．

3．解下列一元二次不等式： (1) x2＋8x＋15＞0 (2)－x2－3x＋4＞0 (3) 2x2－3x－2＞0

一、

新课讲解

例 2 解下列不等式： (1) x2－4 x＋4＞0；(2) x2－4 x＋4＜0． 解 (1)由于 x2－4 x＋4＝(x－2)2≥0， 所以原不等式的解集为{ x | x≠2}； (2) 由（1）可知，没有一个实数 x 使得不等式 (x－2)2＜0 成立，所以原不等式的解集为 ?． 例 3 解不等式： (1) x2－2 x＋3＞0；(2) x2－2 x＋3＜0． 解 (1) 对于任意一个实数 x，都有 x2－2 x＋3＝(x－1)2＋2＞0， 即不等式对任何实数都成立， 所以原不等式的解集为 R． (2) 对于任意一个实数 x，不等式 (x－1)2＋2＜0 都不成立，所以原不等式的解集为 ?． 练习 1 解下列不等式： (1) x2－2x＋3≤0； (2) x2＋4x＋5＞0； (3) x2－2x＋1＞0．
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解一元二次不等式的步骤： S1 求出方程 ax2+bx+c＝0 的判别式 ?＝b2－4ac 的值． S2 （1）?＞0，则二次方程 ax2+bx+c＝0（a＞0） 有两个不等的根 x1，x2（设 x1＜x2） ，则 ax2+bx+c＝a(x－x1)(x－x2) ． 不等式 a(x－x1)(x－x2)＞0 的解集是 (－?，x1)∪(x2，＋?)； 不等式 a(x－x1)(x－x2)＜0 的解集是 (x1，x2) ． （2）?＝0，通过配方得 4ac－b b b a( x＋ )2＋ ＝a( x＋ )2． 2a 4a 2a 由此可知，ax2+bx+c＞0 的解集是 b b (－?，－ )∪(－ ，＋?)； 2a 2a ax2+bx+c＜0 的解集是?． （3）?＜0，通过配方得 4ac－b2 4ac－b2 b a(x＋ )2＋ （ ＞0） ． 2a 4a 4a 由此可知，ax2+bx+c＞0 的解集是 R；ax2+bx+c＜0 的解集是?． 练习 2 解下列不等式： （1） 4 x2＋4 x－3 ＜0； （2） 3 x≥5－2 x2； （3） 9 x2－5 x－4≤0； （4） x2－4 x＋5＞0．
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三．课堂小结
解一元二次不等式的步骤．

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