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2.2.3 一元二次不等式的解法(一) (二)


2.2.3 一元二次不等式的解法(一) (二) 2
1. 进一步学习一元二次不等式的解法,体会一元二次方程与一元二次不等式的关系. 2. 体会数形结合、转化、分类讨论等数学思想方法,提高运算能力,逻辑思维能力. 3. 理解一元二次不等式的概念;掌握一元二次不等式的解法,体会一元二次方程与一 元二次不等式的关系.

【教学重点】 一元二次不等式的解法.

【教学难点】 将一元二次不等式转化为同解的不等式组. 根据一元二次方程的解的情况写出相应的一元二次不等式的解集.

讲 授

a x2+b x+c>0 或 a x2+b x+c<0 (a≠0)中,当 b2-4 a c>0 时进行求解: (1) 两边同除以 a,得到二次项系数为 1 的不等式; (2) 分解因式变为(x+x1)(x+x2)>0 或(x+x1)(x+x2)<0 的形式.

解一元二次不等式的步骤.

第一课时 一、 导入

1.解一元二次方程: (1)x2-15x+50 =0; 2.解一元一次不等式组:
?x>?1 ?x<?3 ?x<1 ?x>3 (1)? (2)? (3)? (4)? ?x>7 ?x>3 ?x<2 ?x<?4

(2) x2?x?12=0.

二、

新课讲解
问题 一家旅社有客房 300 间,每间客房的日租金为 30 元,每天都客满,如果一间客房的日

租金每增加 2 元,则客房每天出租会减少 10 间.不考虑其他因素,旅社将每间客房的日租金提高 到多少元时,可以保证每天客房的总租金不少于 10 000 元. 解 设每间客房的日租金增加 x 个 2 元,即客房的日租金为(30+2 x)元,这时将有 300-2 x 房间 -20 x2+600 x-300 x+9 000≥10 000, x2-15 x+50≤0, (x-5)(x-10)≤0, 本不等式等价于不等式组:
?x-5≥0 ?x-5≤0 (Ⅰ)? 或(Ⅱ)? ?x-10≤0 ?x-10≥0

租出.(300-2 x)(30+2 x)≥10 000,

解不等式组(Ⅰ),得 5≤x≤10; 解不等式组(Ⅱ),得其解集为空集. 所以原不等式的解集为[5,10]. 即旅社将每间客房的日租金提高 40 到 50 元时,可以保证每天客房的总租金不少于 10 000 元. 1.一元二次不等式的概念. 只含有一个未知数,未知数的最高次项的次数是 2,且系数不为 0 的整式不等式叫做一元二次 不等式. 它的一般形式是 ax2+bx+c>0 或 ax2+bx+c<0(a≠0).

练习 1 判断下列不等式是否是一元二次不等式: (1) x2-3x+5≤0;(2) x2-9≥0; (3) 3x2-2 x>0; (4) x2+5<0;
1

(5) x2-2 x≤3; (6) 3 x+5>0; (7) (x-2)2≤4; (8) x2<4.

2.解一元二次不等式. 例 1 解下列不等式: (1) x2-x-12>0; (2) x2-x-12<0. 解 因为

?=(-1)2-4×1×(-12)=49>0,
方程 x2-x-12=0 的解是 x1=-3,x2=4, 则 x2-x-12=(x+3)(x-4)>0. 同解于一元一次不等式组: (Ⅰ)

x ? 3>0 x ? 4>0

或 (Ⅱ)

x ? 3<0 x ? 4<0

不等式组(Ⅰ)的解集是{x | x>4}; 不等式组(Ⅱ)的解集是{x | x<-3}. 故原不等式的解集为{ x | x<-3 或 x>4}. 练习 2 解一元二次不等式: (1) (x+1)(x-2)<0; (2) (x+2)(x-3)>0; (3) x2-2x-3>0; (4) x2-2x-3<0.

三、 课堂小结
a x2+b x+c>0 或 a x2+b x+c<0 (a≠0)中,当 b2-4 a c>0 时进行求解: (1) 两边同除以 a,得到二次项系数为 1 的不等式; (2) 分解因式变为(x+x1)(x+x2)>0 或(x+x1)(x+x2)<0 的形式.

第二课时 导入
1.(a+b)2= (a-b)2= .
2



2.把下面的二次三项式写成 a(x+m)2+n 的形式: (1) x2+2x+4; (2) x2-2x+1.

3.解下列一元二次不等式: (1) x2+8x+15>0 (2)-x2-3x+4>0 (3) 2x2-3x-2>0

一、

新课讲解

例 2 解下列不等式: (1) x2-4 x+4>0;(2) x2-4 x+4<0. 解 (1)由于 x2-4 x+4=(x-2)2≥0, 所以原不等式的解集为{ x | x≠2}; (2) 由(1)可知,没有一个实数 x 使得不等式 (x-2)2<0 成立,所以原不等式的解集为 ?. 例 3 解不等式: (1) x2-2 x+3>0;(2) x2-2 x+3<0. 解 (1) 对于任意一个实数 x,都有 x2-2 x+3=(x-1)2+2>0, 即不等式对任何实数都成立, 所以原不等式的解集为 R. (2) 对于任意一个实数 x,不等式 (x-1)2+2<0 都不成立,所以原不等式的解集为 ?. 练习 1 解下列不等式: (1) x2-2x+3≤0; (2) x2+4x+5>0; (3) x2-2x+1>0.
3

解一元二次不等式的步骤: S1 求出方程 ax2+bx+c=0 的判别式 ?=b2-4ac 的值. S2 (1)?>0,则二次方程 ax2+bx+c=0(a>0) 有两个不等的根 x1,x2(设 x1<x2) ,则 ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2) . 不等式 a(x-x1)(x-x2)>0 的解集是 (-?,x1)∪(x2,+?); 不等式 a(x-x1)(x-x2)<0 的解集是 (x1,x2) . (2)?=0,通过配方得 4ac-b b b a( x+ )2+ =a( x+ )2. 2a 4a 2a 由此可知,ax2+bx+c>0 的解集是 b b (-?,- )∪(- ,+?); 2a 2a ax2+bx+c<0 的解集是?. (3)?<0,通过配方得 4ac-b2 4ac-b2 b a(x+ )2+ ( >0) . 2a 4a 4a 由此可知,ax2+bx+c>0 的解集是 R;ax2+bx+c<0 的解集是?. 练习 2 解下列不等式: (1) 4 x2+4 x-3 <0; (2) 3 x≥5-2 x2; (3) 9 x2-5 x-4≤0; (4) x2-4 x+5>0.
2

三.课堂小结
解一元二次不等式的步骤.

4


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