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2014年《与名师对话》人教版数学(理)高考数学总复习5-3《平面向量的数量积及其应用》


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考纲要求 1.理解平面向量数量积的含义及其 物理意义. 2.了解平面向量的数量积与向量 投影的关系. 3.掌握数量积的坐标表达式,会 进行平面向量数量积的运算. 4.能运用数量积表示两个向量的 夹角,会用数量积判断两个平面向 量的垂直关系. 5.会用向量方法解决某些简单的 平面几何问题. 6.会用向量方法解决简单的力学 问题与其他一些实际问题.

考点 平面向 量的数 量积 平面向 量的 模与夹 角

高考真题例举 2012 2011 2010 天津 北京 广东 卷, 卷,13 卷,3 15 新课标 辽宁 全国 卷, 卷,13 10 浙江 卷, 16

平面向 量的应 用

福建 江西卷 卷, ,7 15

北京 卷,6

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考纲要求

考点

高考真题例举 2012 2011 2010

1.考查平面向量数量积的运算. 2.考查利用数量积求平面向量的夹角、 2014年高考预测 模. 3.考查利用数量积判断两向量的垂直关 系.

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(对应学生用书 P102)
1.两个向量的夹角 (1)定义 已知两个 非零 向量 a 和 b, → =a,→ 作OA OB =b,则∠AOB=θ 叫做向量 a 与 b 的夹角. (2)范围 向量夹角 θ 的范围是 0°≤θ≤180° , 与 b 同向时, a

夹角 θ= 0°;a 与 b 反向时,夹角 θ= 180°. .
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(3)向量垂直 如果向量 a 与 b 的夹角是 90° ,则 a 与 b 垂直,记 作 a⊥b .

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2.平面向量数量积的意义

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(1)a, 是两个非零向量, b 它们的夹角为 θ, 则数|a|· cos |b|·

|b|· θ 叫做 a 与 b 的数量积,记作 a· b,即 a· b= |a|· cos θ
规定 0· a=0. 当 a⊥b 时,θ=90° ,这时 a· b= 0 . (2)a· 的几何意义 b a· 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方向上的投影|b|cos θ的 b

.

乘积



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问题探究 1:b 在 a 上的投影是向量吗?

提示:不是,b 在 a 上的投影是一个数量|b|cos θ,它可 以为正,可以为负,也可以为 0.

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3.向量数量积的性质 (1)如果 e 是单位向量,则 a· e=e· a= |a|cos 〈a,e〉 . (2)a⊥b? a· b=0 (3)a· a= 且 a· b=0? a⊥b .

|a|2 ,|a|= a· a. a· b |b| (4)cos 〈a,b〉= |a|· .
(5)|a· ≤ |a||b|. b|

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4.数量积的运算律

a (1)交换律 a· b= b·
(2)分配律(a+b)· c=

.

a· c+b· c

. .

b (3)对 λ∈R,λ(a· (λa)· b)=

(λb) = a·

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问题探究 2:数量积的运算满足结合律吗?

提示:数量积的运算不满足结合律,即(a· b)c=a(b· c)不 成立.这是由于(a· 表示一个与 c 共线的向量,而 a(b· b)c c) 表示一个与 a 共线的向量, 因此(a· 与 a(b· b)c c)一般是不相等 的.

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5.数量积的坐标运算 设 a=(a1,a2),b=(b1,b2),则 (1)a· b= a1b1+a2b2 (2)a⊥b? (3)|a|= . .

a1b1+a2b2=0
a2+a2 1 2
.

a1b1+a2b2
2 2 a2+a2 b2+b2 (4)cos 〈a,b〉= 1 1

.

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(对应学生用书 P103)

1.数量积的运算要注意 a=0 时,a· b=0,但 a· b=0 时不 能得到 a=0 或 b=0,因为 a⊥b 时,也有 a· b=0. 2.若向量 a、b、c 满足 a· b=a· c(a≠0),则不一定有 b =c, 即等式两边不能同时约去一个向量, 但可以同时乘以一 个向量. 3.对于向量 a,b,有|a· b|≤|a||b|,当且仅当 a∥b 时等 号成立.
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b 在 a 上的投影是一个数量|b|cos θ, 它的符号可正, 可 负,可以是零,它不表示距离.

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(2012 年江苏)如图, 在矩形 ABCD 中, AB= 2, BC=2, → → 点 E 为 BC 的中点, F 在边 CD 上, → · = 2, → · 点 若AB AF 则AE BF 的值是________.

【思路启迪】 把向量问题转化为坐标运算加以解决.
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【解析】 如图,以 A 为坐标原点, 以 AB 为 x 轴, 为 y 轴建立直角坐标 AD 系,则 A(0,0),B( 2,0),E( 2,1).设 → AB → F(m,2),由AF· =(m,2)· 2,0)= 2m ( → BF → = 2,得 m=1,则 F(1,2),所以AE· =( 2,1)· (1- 2, 2)= 2.
【答案】 2

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建立坐标系,将平面向量的线性运算转化为坐标运算, 便于理解和计算.

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2π (1)(2011 年江苏)已知 e1,2 是夹角为 的两个单位向量, e 3 a=e1-2e2,b=ke1+e2,若 a· b=0,则 k 的值为________. (2)(2011 年湖南)在边长为 1 的正三角形 ABC 中, → = 设BC → → → → BE → 2BD,CA=3CE,则AD· =________.

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解析: (1)a· b=(e1-2e2)· 1+e2)=ke2+(1-2k)e1·2-2e2 (ke e 1 2
? 1? 5 =k+(1-2k)?- ?-2=2k- =0, 2 ? 2?

5 ∴k=4.

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→ → (2)∵BC=2BD,∴D 为 BC 中点. → → ∵CA=3CE,∴E 为 AC 边上距 C 近的一个三等分点. → =1(AB+AC),BE=AE-AB=2AC-AB. → → → → → ∴AD 2 → → 3 → → → → 又|AB|=|AC|=1,AB与AC夹角为 60° , → · =1(AB+AC)· AC-AB? → → → ?2 → → ? ? ∴AD BE 2 ?3 ? 1?2 → 2 → 2 1 → → ? = ? AC -AB - AB· ? AC 2?3 3 ?
? 1?2 1?2 1 1? 1 ? -1- ×1×1×cos 60°= ? -1- ?=- . ? =2 3 3 6? 4 ? ? 2?3

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5 1 答案:(1)4 (2)-4

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1.求向量的长度(模)时通常遵循以下规则: “要求向量的 长度,先求向量长度的平方”,其依据是 a· a=|a|2,这样就 把向量长度的平方转化为向量的平方,进而转化为已知向量 的数量积问题. a· b 2.一般由公式 cos θ= 求向量的夹角.若给出向量 |a||b| x1x2+y1y2 的坐标形式,则可根据公式 cos θ= 2 2 2 2求两个向 x1+y1 x2+y2 量的夹角.
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在利用两向量的夹角公式判断夹角的取值范围时,要注 意两向量是否共线.

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(1)(2012 年新课标全国)已知向量 a,b 夹角为 45° ,且|a| =1,|2a-b|= 10,则|b|=________. (2)(2011 年浙江)若平面向量 α,β 满足|α|=1,|β|≤1, 且 1 以向量 α,β 为邻边的平行四边形的面积为 ,则 α 与 β 的夹 2 角 θ 的取值范围是________.
【思路启迪】 (1)应用平面向量模的运算性质求解;(2) 应用三角形的面积公式求解.
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【解析】 (1)∵a,b 的夹角为 45° ,|a|=1, 2 ∴a· b=|a|×|b|cos 45° 2 |b|, = 2 |2a-b| =4-4× |b|+|b|2=10,∴|b|=3 2. 2
2

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(2)以 α,β 为邻边的平行四边形的面积为: 1 S=|α||β|sin θ=|β|sin θ= , 2 1 所以 sin θ= ,又因为|β|≤1, 2|β|
?π 5π? 1 1 1 所以 ≥2, sin θ≥ 2且 θ∈[0, 所以 θ∈?6, 6 ?. 即 π], 2|β| ? ?

【答案】 (1)3 2

?π 5 ? (2)?6,6π? ? ?

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在数量积的基本运算中,经常用到数量积的定义、模、 夹角等公式,尤其对|a|= a· a要引起足够重视,是求距离常 用的公式.

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(1)若 a, c 均为单位向量, a· b, 且 b=0, (a-c)· (b-c)≤0, 则|a+b-c|的最大值为 A. 2-1 C. 2 B.1 D.2 ( )

(2)已知|a|=|b|=2,(a+2b)(a-b)=-2,则 a 与 b 的夹 角为________.

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解析:(1)∵a· b=0,(a-c)· (b-c)≤0, 即 a· b-(a· c+b· c)+c2≤0, ∴a· c+b· c≥1. ∴|a+b-c|= ?a+b-c?2 = a2+b2+c2+2a· b-2a· c-2b· c = 3-2?a· c+b· c?≤1.

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(2)∵(a+2b)· (a-b)=-2, ∴a2+a· b-2b2=-2. 又|a|=2,|b|=2, ∴4+a· b-8=-2,∴a· b=2. a· 2 1 b ∴cos θ= = = ,∵0≤θ≤π, |a||b| 4 2 π ∴θ= . 3

π 答案:(1)B (2)3
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1.平面向量的垂直与平行的应用 (1)向量平行(共线)的充要条件: a∥b?a=λb?x1y2-x2y1=0(b≠0). (2)向量垂直的充要条件: a⊥b?a· b=0?x1x2+y1y2=0.

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2.向量在平面几何中的应用 用向量法解决平面几何问题,先用向量表示相应的线 段、夹角等几何元素(或者建立平面直角坐标系),然后通过 向量的运算获得向量之间的关系,最后把运算结果“翻译” 成几何关系,从而得到几何问题的结论.

与解三角形有关的平面向量问题,应注意向量的夹角与 三角形的内角间的联系与区别.

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已知 A(3,0),B(0,3),C(cos α,sin α),O 为原点. → → (1)若OC∥AB,求 tanα 的值; → → (2)若AC⊥BC,求 sin 2α 的值; → → → → (3)若|OA+OC|= 13且 α∈(0,π),求OB与OC的夹角.
【思路启迪】 应用向量平行与垂直的重要条件求解.

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→ → 【解】 (1)OC=(cos α,sin α),AB=(0,3)-(3,0)=(- 3,3). → → ∵OC∥AB,∴3cos α+3sin α=0, 即 sin α+cos α=0,∴tanα=-1.

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→ → (2)AC=(cos α-3,sin α),BC=(cos α,sin α-3), → → → BC → ∵AC⊥BC,∴AC· =0, 即(cos α-3)cos α+sin α(sin α-3)=0, 1 ∴1-3(cos α+sin α)=0,∴sin α+cos α= 3, 1 8 两边平方得 1+sin 2α=9,∴sin 2α=- 9.

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→ → (3)∵OA+OC=(3+cos α,sin α), 1 ∴(3+cos α) +sin α=13,∴cos α=2,
2 2

?1 π 3 3? ? 又 α∈(0,π),∴α= ,sin α= ,∴C? , ?, 3 2 2? ?2 ? ?1 ? ? → · =(0,3)· , 3 ?=3 3, → OB OC ?2 2 2? ? ?

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→ → 设OB与OC的夹角为 θ,则 3 3 → OC → OB· 2 3 cos θ= → = 3 =2, → |OB||OC| π 又 θ∈[0,π],∴θ=6.

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与三角函数相结合考查向量的数量积的坐标运算及其 应用是高考热点题型.解答此类问题,除了要熟练掌握向量 数量积的坐标运算公式、向量模、夹角的坐标运算公式外, 还应掌握三角恒等变换的相关知识.

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→ → 已知向量AB=(3,1),AC=(-1,a),a∈R.若△ABC 为 直角三角形,求 a 的值.
解:∵△ABC 是直角三角形, ∴A=90° B=90° C=90° 或 或 . → → 当 A=90° 时,由AB⊥AC,得 3×(-1)+1· a=0, ∴a=3;

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→ → → 当 B=90° 时,BC=AC-AB=(-4,a-1), → → 由AB⊥BC,得 3×(-4)+1· (a-1)=0, ∴a=13; → → 当 C=90° 时,由BC⊥AC,得 -1×(-4)+a· (a-1)=0,即 a2-a+4=0, ∵a∈R,∴方程 a2-a+4=0 无解. 综上所述,a=3 或 13.

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(2011 年天津)已知直角梯形 ABCD 中, AD∥BC, ∠ADC → → =90° ,AD=2,BC=1,P 是腰 DC 上的动点,则|PA+3PB| 的最小值为________.
【思路启迪】 建立适当的平面直角坐标系,把向量问

题转化为坐标问题求解.

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【解析】如图,分别以直线 DA,DC 为 x, y 轴,D 为坐标原点建立平面直角坐标系,设 CD=a, A(2,0), 则 B(1, C(0, D(0,0). a), a), 设 → → → P(0,b)(0≤b≤a),则PA=(2,-b),PB=(1,a-b),∴PA+ → → → 3PB=(5,3a-4b),∴|PA+3PB|= 25+?3a-4b?2≥5.当且仅 3 当 b=4a 时取得最小值.
【答案】 5

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通过向量坐标表示的运算,在解决平行、垂直、角和距 离等问题时为我们提供了一种重要手段,体现了向量的工具 作用,简捷有效.

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在直角△ABC 中,CD 是斜边 AB 上的高,则下列等式 不成立的是 → → AB → A.|AC|2=AC· → → BC → B.|BC|2=BA· → → CD → C.|AB|2=AC· → D.|CD|2= → AB → → BC → ?AC· ?×?BA· ? |AB|2


(

)

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解析:对选项 C,如图所示,

→ CD → |CD → AC· =|AC|·→ |·cos (π-∠ACD) → |CD =-|AC|·→ |cos ∠ACD → → =-|CD|2≠|AB|2.故选 C.
答案:C

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(对应学生用书 P104)
易错点 向量夹角范围不清致误

若两向量 e1、e2 满足|e1 |=2,|e2 |=1,e1、e2 所成的角为 60° ,若向量 2te1+7e2 与向量 e1+te2 所成的角为钝角,求实 数 t 的取值范围.

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【错解】

由向量 2te1+7e2 与 e1+te2 的夹角为钝角得:

?2te1+7e2?· 1+te2? ?e <0, |2te1+7e2||e1+te2 | 即(2te1+7e2)· 1+te2)<0, (e 化简得 2t2+15t+7<0, 1 解得-7<t<- . 2

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【错因分析】

当(2te1+7e2)· 1+te2)<0 时,不只包含 (e

向量 2te1+7e2 与 e1+te2 夹角为钝角, 还包含夹角为 π 即方向 相反的情况,此处犯了将必要条件当充要条件使用的逻辑性 错误,应把夹角为 π 对应的 t 值去掉.

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【正确解答】 设向量 2te1+7e2 与向量 e1+te2 的夹角为 θ,由 θ 为钝角,知 cos θ<0,故 (2te1+7e2)· 1+te2)=2te2+(2t2+7)e1·2+7te2=2t2+15t (e e 1 2 1 +7<0,解得-7<t<-2. 再设向量 2te1+7e2 与向量 e1+te2 反向,则 2te1+7e2= k(e1+te2)(k<0),

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?2t=k, ? 从而? ?7=tk, ?

? 14 ?t=- , 2 解得? ?k=- 14, ?

14 即当 t=- 时,两 2

向量所成的角为 π. ∴t
? 的取值范围是?-7,- ? ?

14? ? 14 1? ? ? ? ∪?- ,- ?. 2 ? ? 2 2? ?

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(1)两向量夹角的范围为[0,π],特别当两向量共线且同 向时,其夹角为 0,共线且反向时,其夹角为 π. (2)在利用向量的数量积求两向量的夹角时,一定要注意 两向量夹角的范围.

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→ BC → 在三角形 ABC 中,C=90° ,AB=5,AC=4,则AB· = ________.
解析:在△ABC 中,C=90° ,AB=5,AC=4,故 BC= 3 → → 3,且 cos ∠ABC= ,所以AB与BC的夹角 θ=π-∠ABC, 5 → · =-|AB|·→ |· ∠ABC=-5×3×3=-9. → → |BC cos 故AB BC 5 答案:-9

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1.两个向量的数量积其结果变成了一个实数,发生了 质的变化,这是它与两个向量的加法、减法、数乘运算最本 质的区别,因此,许多运算如约分、结合律在数量积运算中 均不能进行. 2. 利用数量积及坐标运算法则, 可以使有关几何问题(如 长度、夹角、垂直等)转化为代数问题(如函数问题、方程问 题、不等式问题等),使问题简化,降低了思维难度.
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(对应学生用书 P104)
→ → 1.在 Rt△ABC 中,∠C=90° ,AC=4,则AB·AC等于 ( A.-16 B.-8 C.8 )

D.16

→ |AC| → 2 → → → |AC 解析: · =|AB|·→ |· A=|AB|·→ |· → =|AC| =16. AB AC → |AC cos |AB| 答案:D

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2.已知|a|=6,|b|=3,a· b=-12,则向量 a 在向量 b 方向上的投影是 A.-4 C.-2 B.4 D.2 ( )

解析:根据数量积的定义,向量 a 在向量 b 方向上的投 a· b 影等于 =-4. |b|
答案:A

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3. 已知向量 a, 是非零向量, b 且满足 a· b=-|b|, 则“|a| =1”是“向量 a 与 b 反向”的 A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 ( )

D.既不充分也不必要条件 1 a· b 解析:∵a· b=-|b|,∴cos 〈a,b〉= =- .当|a| |a||b| |a|
=1 时,cos 〈a,b〉=-1,此时向量 a 与 b 反向;反之, 当向量 a 与 b 反向时,cos 〈a,b〉=-1,由此得|a|=1.故 选 C.
答案:C
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4.已知 a=(-3,2),b=(-1,0),向量 λa+b 与 a-2b 垂直,则实数 λ 的值为 1 A.-7 1 B. 7 1 C.-6 ( 1 D.6 )

解析:∵λa+b=λ(-3,2)+(-1,0)=(-3λ-1,2λ), a-2b=(-3,2)-2(-1,0)=(-1,2), 又 λa+b 与 a-2b 垂直,∴(λa+b)· (a-2b)=0, 即-1×(-3λ-1)+2×2λ=0, 1 解得 λ=-7,故选 A. 答案:A
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→ → 5.(2013 年冀州中学期中)已知向量OA =(4,6),OB = → → → → → (3,5),且OC⊥OA,AC∥OB,向量OC=
? 3 2? A. ?- , ? ? 7 7? ?3 2? C.? ,- ? 7? ?7 ?2 4? B.? ,- ? 21? ?7 ? 2 4? D.?- , ? ? 7 21?

(

)

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→ → → 解析:OA=(4,6),OB=(3,5),设OC=(x,y), → → ∵OC⊥OA,∴4x+6y=0,即 2x+3y=0. → → ∵AC∥OB,(x-4,y-6)∥(3,5),∴5(x-4)=3(y-6), 2 4 即 5x-3y-2=0,解得 x= ,y=- , 7 21 → =?2,- 4 ?,选 B. ? ∴向量OC ?7 21
? ?

答案:B

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15 → =a,CA=b,a· → 6.△ABC 中,CB b<0,S△ABC= 4 ,|a| =3,|b|=5,则 a 与 b 的夹角为 A.30° C.150° B.-150° D.30° 150° 或 ( )

1 15 解析:S△ABC= |a||b|sin C= ,|a|=3,|b|=5,∴sin C 2 4 1 = ,a· b=|a||b|cos C<0,C 为钝角,所以 C=150° 与 b 的 ,a 2 夹角为 150° ,故应选 C.
答案:C
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