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2014届高考(浙江)数学(理)二轮专题训练:第1部分 专题五 第2讲 圆锥曲线的定义、方程与性质


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一、选择题 x2 y2 1.(2013· 北京高考)若双曲线 2- 2=1 的离心率为 3,则其渐近线方程为( a b A. y=± 2x 1 C. y=± x 2 B.y=± 2x 2 D. y=± x 2 b?2 b 1+? ?a? = 3,可得a= 2,故 所求的双曲 )

c

解析:选 B 在双曲线中离心率 e= = a 线的渐近线方程是 y=± 2x.

2.(2013· 江西高考)已知点 A(2,0),抛物线 C:x2=4y 的焦点为 F,射线 FA 与抛物线 C 相交于点 M,与其准线相交于点 N,则|FM|∶|MN|=( A.2∶ 5 B.1∶2 C.1∶ 5 ) D.1∶3

解析:选 C 过点 M 作 MM′垂直于抛物线 C 的准线 y=-1 于点 M′,则由抛物线的 |FM| |MM′| 定义知|MM′|=|FM|,所以 = =sin ∠MNM′,而∠MNM′为直线 FA 的倾斜角 |MN| |MN| α 的补角. 1 1 因为直线 FA 过点 A(2,0),F(0,1),所以 kFA=- =tan α,所以 sin α= ,所以 sin ∠ 2 5 MNM′= 1 .故|FM|∶|MN|=1∶ 5. 5 )

x2 3.(2013· 福建高考)双曲线 -y2=1 的顶点到其渐近线的距离等于( 4 2 A. 5 2 5 C. 5 4 B. 5 4 5 D. 5

x2 x 解析:选 C 双曲线 -y2=1 的渐近线方程为 y=± ,即 x± 2y=0,所以双曲线的顶点 4 2 (± 2,0)到其渐近线距离为 2 2 5 = . 5 5

x2 y2 4.(2013· 四川高考)从椭圆 2+ 2=1(a>b>0)上一点 P 向 x 轴作垂线,垂足恰为左焦点 a b F1,A 是椭圆与 x 轴正半轴的交点,B 是椭圆与 y 轴正半轴的交点,且 AB∥OP(O 是坐标原 点),则该椭圆的离心率是( A. 2 4 1 B. 2 ) C. 2 2 D. 3 2

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京翰高考补习——专业对高中学生开设高三数学辅导补习班 b2 -c, ?.∵AB∥OP, 解析: 选 C 由已知, 点 P(-c, y)在椭圆上, 代入椭圆方程, 得 P? a? ? b b2 c 2 2 ∴kAB=kOP,即- =- ,则 b=c,∴a2=b2+c2=2c2,则 = ,即该椭圆的离心率是 . a ac a 2 2 y2 x2 5.已知双曲线 - =1 的两个焦点分别为 F1,F2,则满足△PF1F2 的周长为 6+2 5的 2 3 动点 P 的轨迹方程为( x y A. + =1 4 9 x2 y2 C. + =1(x≠0) 4 9
2 2

) x2 y2 B. + =1 9 4 x2 y2 D. + =1(x≠0) 9 4

解析: 选 C 依题意得, |F1F2|=2 2+3=2 5, |PF1|+|PF2|=6>|F1F2|, 因此满足△PF1F2 的周长为 6+2 5的动点 P 的轨迹是以点 F1,F2 为焦点,长轴长是 6 的椭圆(除去长轴的端 x2 y2 点),即动点 P 的轨迹方程是 + =1(x≠0). 4 9 x2 y2 6.已知椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的两顶点为 A(a,0),B(0,b),且左焦点为 F,△FAB 是以 a b 角 B 为直角的直角三角形,则椭圆的离心 率 e 为 ( A. 3-1 2 B. D. 5-1 2 3+1 4 )
[来源:Zxxk.Com]

1+ 5 C. 4

解析:选 B 由题意得 a2+b2+a2=(a+c)2,即 c2+ac-a2=0,即 e2+e-1=0,解得 -1± 5 5-1 e= ,又因为 e>0,故所求的椭圆的离心率为 . 2 2 7.已知倾斜角为 60° 的直线 l 通过抛物线 x2=4y 的焦点 F,且与抛物线相交于 A,B 两 点,则弦 AB 的长为( A.4 B.6 ) C.10 D.16

解析:选 D 设点 A(x1,y1),B(x2,y2),依题意得焦点 F(0,1),准线方程是 y=-1,直

?y= 3x+1, 线 l: y= 3x+1.由? 2 得 y2-14y+1=0, 所以 y1+y2=14, 所以|AB|=|AF|+|BF| x = 4 y ?
=(y1+1)+(y2+1)=(y1+y2)+2=16.
2 2
[来源:Z&xx&k.Com]

x y 8.已知双曲线 2- 2=1(a>0,b>0 )的一条渐近线方程是 y= 3x,它的一个焦点在抛物 a b 线 C:y2=24x 的准线上,则双曲线的方程为( x2 y2 A. - =1 36 108 x2 y2 C. - =1 108 36 )

x2 y2 B. - =1 9 27 x2 y2 D. - =1 27 9 京翰教育北京家教辅导——全国中小学一对一课外辅导班

京翰高考补习——专业对高中学生开设高三数学辅导补习班 解析:选 B 抛物线 y2=24x 的准线方程为 x=-6,所以双曲线的焦距 2c=12.根据双 曲线的渐近线方程得 b= 3a,代入 c2=a2+b2,解得 a2=9,所以 b2=27,所以所求双曲线 x2 y2 方程为 - =1. 9 27 9.(2013· 郑州模拟)已知抛物线 x2=4y 上有一条长为 6 的动弦 AB,则 AB 的中点到 x 轴 的最短距离为( 3 A. 4 ) 3 B. 2 C.1 D.2

解析:选 D 由题意知,抛物线的准线 l:y=-1,过点 A 作 AA1⊥l 交 l 于点 A1,过点 B 作 BB1⊥l 交 l 于点 B1,设弦 AB 的中点为 M,过点 M 作 MM1⊥l 交 l 于点 M1,则|MM1| = |AA1|+|BB1| . 因为 |AB|≤|AF| + |BF|(F 为抛物线的焦点 ) ,即 |AF| + |BF|≥6 ,所以 |AA1| + 2

|BB1|≥6,2|MM1|≥6,|MM1|≥3,故点 M 到 x 轴的距离 d≥2. y2 10.(2013· 辽宁五校联考)设 F1,F2 是双曲线 x2- =1 的两个焦点,P 是双曲线上的一 24 点,且 3|PF1|=4|PF2|,则△PF1F2 的面积等于( A.4 2 B.8 3 ) D.48

C.24

4 解析:选 C 由已知|PF1|= |PF2|,代入到|PF1|-|PF2|=2 中得|PF2|=6,故|PF1|=8.又 3 1 双曲线的焦距|F1F2|=10,所以△PF1F2 为直角三角形,所求的面积为 ×8×6=24. 2 二、填空题 x2 y2 x2 y2 11.已知双曲线 C1: 2- 2=1(a>0,b>0)与双曲线 C2: - =1 有相同的渐近线,且 a b 4 16 C1 的右焦点为 F( 5,0),则 a=________,b=________.

x2 y2 b 解析:双曲线 - =1 的渐近线为 y=± 2x,则 =2,即 b=2a,又因为 c= 5,a2+ 4 16 a b2=c2,所以 a=1,b=2. 答案:1 2

12.(2013· 哈尔滨四校统考)已知抛物线方程为 y2=4x,直线 l 的方程为 x-y+5=0.在 抛物线 上有一动点 P 到 y 轴的距离 为 d1,到直线 l 的距离为 d2,则 d1+d2 的最小值为 ________. 解析:由题意知,抛物线的焦点为 F(1,0).点 P 到 y 轴的距离 d1=|PF|-1,所以 d1+ d2=d2+|PF|-1.易知 d2+|PF|的 最 小值为点 F 到直线 l 的距离,故 d2+|PF|的最小值为 =3 2,所以 d1+d2 的最小值为 3 2-1. 1 +?-1?2
2

|1+5|

答案:3 2-1

[来源:Z.xx.k.Com]

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京翰高考补习——专业对高中学生开设高三数学辅导补习班 x2 y2 13.(2013· 辽宁高考)已知 F 为双曲线 C: - =1 的左焦点,P,Q 为 C 上的点.若 9 16 PQ 的长等于虚轴长的 2 倍,点 A(5,0)在线段 P Q 上,则△PQF 的周长为________. 解析:由题意得,|F P|-|PA|=6,|FQ|-|QA|=6,两式相加,利用双曲线的定义得|FP| +|FQ|=28,所以△PQF 的周长为|FP|+|FQ|+|PQ|=44. 答案:44
[来源:学科网 ZXXK]

x2 y2 14.(2013· 辽宁五校联考)设点 A1,A2 分别为椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的左、右顶点,若 a b 在椭圆上存在异于点 A1,A2 的点 P,使得 PO⊥PA2,其中 O 为坐标原点,则椭圆的离心率 e 的取值范围是________. a x- ?2 解析:由题设知∠OPA2=90° ,设 P(x,y)(x>0),以 OA2 为直径的圆的方程为? ? 2? b2 2 a2 2 1- 2?· +y2= ,与椭圆方程联立,得? ? a ? x -ax+b =0.易知,此方程有一实根 a,且由题设 4 a2-c2 知,此方程在区间(0,a)上还有一实根,由此得 0< <a,化简得 0< 2 <1,即 b2 c 1- 2? a? ? a? b2 1-e2 1 2 0< 2 <1,得 <e2<1,所以 e 的取值范围为? ,1?. e 2 ?2 ? 答案:? 2 ? ? 2 ,1?

x2 y2 15.已知 P 是双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)上的点,F1,F2 是其焦点,双曲线的离心率 是 a b 5 ,且 PF1 · PF2 =0,若△PF1F2 的面积为 9,则 a+b 的值为________. 4 解析:由 PF1 · PF2 =0 得 PF1 ⊥ PF2 ,设| PF1 |=m,| PF2 |=n,不妨设 m>n,则
?a=4, ? 1 c 5 m2+n2=4c2,m-n=2a, mn=9,又 = ,解得? ∴b=3,a+b=7. 2 a 4 ?c=5, ?

答案:7 x2 y2 16.(2013· 湖北八校联考)已知点 A,D 分别是椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的左顶点和上顶 a b 点,点 P 是线段 AD 上的任意一点,点 F1,F2 分别是椭圆的左,右焦点,且 PF1 · PF2 的最 11 大值是 1,最小值是- ,则椭圆的标准方程为________. 5 解析:设点 P(x,y),F1(-c,0),F2(c,0),则 PF1 =(-c-x,-y), PF2 =(c-x,-y), 所以 PF1 · PF2 =x2+y2-c2. 因为点 P 在线段 AD 上, 所以 x2+y2 可以看作原点 O 到点 P 的距离的平方, 易知当点 P

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京翰高考补习——专业对高中学生开设高三数学辅导补习班 a2b2 与点 A 重合时,x2+y2 取最大值 a2,当 OP⊥AD 时,x2+y2 取最小值 2 2.由题 a +b
2 2

[来源:学科网 ]

a -c =1, ? ? 2 2 x2 2 2 2 意,得? a b 解得 a = 4 , b = 1. 即椭圆的标准方程为 +y =1. 11 2 4 2 2-c =- , ? 5 ? a +b x2 答案: +y2=1 4

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