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第3部分 第11讲


第三部分

第十一讲

时间:40 分钟,满分:55 分

一、选择题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,请将唯一正确答案的代号填在 题后的括号中. 1 1 1.(2012· 北京卷)函数 f(x)=x -( )x 的零点个数为( 2 2 A.0 C.2 B.1 D.3 )

1 1

1 1 解析 选 B.f(x)=x -( )x 的零点,即令 f(x)=0,根据此题可得 x =( )x,在平面直角坐 2 2 2 2 1 1 标系中分别画出幂函数 x 和指数函数( )x 的图象,可得交点只有一个,所以零点只有一个. 2 2 2. 已知函数 f(x)=3x+x-9 的零点为 x0,则 x0 所在区间为( 3 1? A. ? ?-2,-2? 1 3? C. ? ?2,2? 1 1? B.? ?-2,2? 3 5? D. ? ?2,2? )

3 3 5 5 解析 选 D. 因为 f(x)为增函数,又 f( )= 27+ -9<0,f( )= 243+ -9>0,所以 x0 2 2 2 2 3 5 在[ , ]内. 2 2 3.(2012· 湖南卷)设定义在 R 上的函数 f(x)是最小正周期为 2π 的偶函数,f′(x)是 f(x) π π 的导函数,当 x∈[0,π]时,0<f(x)<1;当 x∈(0,π) 且 x≠ 时 ,(x- )f′(x)>0,则函数 2 2 y=f(x)-sinx 在[-2π,2π]上的零点个数为( A.2 C.5 ) B.4 D.8

π π π 0, ?时,f′(x)<0,f(x) 解析 选 B.当 x∈(0,π) 且 x≠ 时 ,(x- )f′(x)>0,知当 x∈? ? 2? 2 2 π ? 为减函数;当 x∈? ?2,π?时,f′(x)>0,f(x)为增函数;又 x∈[0,π]时,0<f(x)<1,在 R 上 的函数 f(x)是最小正周期为 2π 的偶函数, 在同一坐标系中作出 y=sinx 和 y=f(x)草图象如下, 由图知 y=f(x)-sinx 在[-2π,2π]上的零点个数为 4 个.

4. (2013· 湖南卷)函数 f(x)=lnx 的图象与函数 g(x)=x2-4x+4 的图象的交点个数为 ( ) A. 0 C. 2 解析 选 C. B.1 D. 3 画出 f(x)与 g(x)的图象即可.

二、填空题:本大题共 2 小题,每小题 5 分,共 10 分,请将答案填写在题中的横线上. 5.求方程 x3-2x-5=0 在区间[2,3]内的实数根,取区间的中点 x0=2.5,那么下一个 有根的区间是___________. 填[2,2.5].因为设 f(x)=x3-2x-5,f(2)=-1<0,f(3)=16>0,f(2.5)=5.625>0,所以 f(x) =0 的有解区间为[2,2.5]. 3 ? ?x,x≥3 6. 已知函数 f(x)=? ,若关于 x 的方程 f(x)=k 有两个不同的实根,则实 ?log3x,0<x<3 ? 数 k 的取值范围是________.

解析 填(0,1).f(x)的图象如图所示, 它与直线 f(x)=k 有两个交点时,k∈(0,1). 三、解答题:本大题共 2 小题,第 7、8 题分别为 12 分、13 分,共 25 分,解答应写出 文字说明和推演步骤. 7. 证明:函数 f(x)=lgx+2x-3 在区间(1,2)内有零点,且在(0,+∞)上只有一个零点. 解析 证明:因为 f(1)=lg1+2×1-3=-1<0, f(2)=lg2+2×2-3=lg2+1>0,所以 f(x)在(1,2)内有零点. 因为 lgx 和 2x-3 在(0,+∞)上均为增函数,所以 f(x)在(0,+∞)上为增函数. 又 f(x)在(0,+∞)上有零点,故 f(x)在(0,+∞)上只有一个零点. 1 8.已知函数 y=loga(x+2)+ 经过定点 A,指数函数 f(x)也经过点 A. 2 (1)试通过函数 f(x)与 g(x)=-x+2 的图象,判断方程 f(x)=g(x)的根的个数;

1 (2)若 f(x0)-g(x0)=0,试求 x0 的近似值,使得误差不超过 . 8

解析

(1)令 x+2=1,

1 得 x=1,y= , 2 1 所以 A 点坐标为 A(-1, ). 2 1 - 设 f(x)=ax,则 a 1= , 2 解得 a=2,所以 f(x)=2x. 作图如图所示. 于是 f(x)=g(x)只有 1 个根. (2)由图象可知 x0∈(0,1), 设 h(x)=f(x)-g(x)=2x+x-2, 且 h(0)=1-2<0,h(1)=2+1-2=1>0, 1 1 h( )= 2+ -2= 2-1.5= 2- 2.25<0, 2 2 1 所以 x0∈( ,1). 2 3 3 3 4 4 4 4 4 h( )=2 + -2= 8-1.5= 8- 1.54= 8- 2.252>0. 4 4 4 1 3 3 1 1 所以 x0∈( , ),而 - = . 2 4 4 2 4 1 3 + 2 4 5 1 故取 x0= = ,则误差不超过 . 2 8 8


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