当前位置:首页 >> 数学 >>

面面垂直


平面与平面垂直的 判定

1

二面角及二面角的平面角

(1)半平面—— 平面的一条直线把平面分为两部分, 其中的每一部分都叫做一个半平面。 (2)二面角—— 从一条直线出发的两个半平面所组 成的图形叫做二面角。

α
按此继续

l

l

/>
B

∠AOB
O

二面角?-AB- ?

A C

二 面 角 的 认 识

A

二面角C-AB- D
B
D

?

B

?

A

?
l

二面角?- l- ?
? ? ?

5

l

二 面 角 的 平 面 角

以二面角的棱上任意一点为端点,在 两个面内分别作垂直于棱的两条射线,这 两条射线所成的角叫做二面角的平面角。 二面角的平面角必须满足:

注 意

1)角的顶点在棱上 2)角的两边分别在两个面内 3)角的边都要垂直于二面角的棱 ? A O ? B

? A

l
O
10

? B

二 面 角 的 平 面 角 的 作 法
12

1、定义法

?
A

根据定义作出来

l
O B

?

2、垂面法

作与棱垂直的平面与 两半平面的交线得到

?

l
O

?
B

γ
3、三垂线定理法

A
A

借助三垂线定理或 其逆定理作出来

?
O

D

l

?

寻找平面角
D1 B1 C1 A1

S

N M D C

A

A

B

B

D
中点

C

端点

寻找平面角
D1 B1 C1 A1

N M D C

E
A

G

F

B

中点

小结:求二面角大小的步骤为:

(1)找出或作出二面角的平面角;
(2)证明其符合定义垂直于棱; (3)计算.

复习回顾: 一、直线与平面垂直的定义 二、直线与平面垂直的判定定理 2.符号表示 (一)请同学们回忆“如何判定直线和平 1.图形表示 面垂直?” m ? ?,n ? ? ? a ? m?n?O ?? a ?? m

?

a ? m, a ? n ? ? 关键:线不在多,相交则行
O

n

线线垂直

?

线面垂直

一、直观感知,导入新课:
(一)、生活中面面垂直的例子无处不在, 你能举几个例子吗?请独立思考后举手发言, 其他同学可作补充。

返回

如果一个平面经过另一个平面的一 条垂线,则这两个平面互相垂直

A

B

二、深入探究,形成规律
面面垂直的判定定理 :如果一个平面经过另一个 平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直。

1.图形表示:
? ?

2.符号表示:

l

l ?α? ? ?α?β l ?β?
线面垂直 面面垂直

线线垂直

三、活学活用,提升能力 探究1:
(二)在如图正方体,请问正方体的哪些面与 面A1B垂直?
D1 C1 B1 A1

面A1B ? 面A1C1 面A1B ? 面AD1
C

D A B

面A1B ? 面BC1
面A1B ? 面AC

三、活学活用,提升能力
已知 (三) AB ? 面BCD, BC ? CD ,判断在该 几何体中哪些面互相垂直?
A

AB ? 面BCD ? 面ABC ? 面BCD AB ? 面BCD ? 面ABD ? 面BCD CD ? 面ABC ? 面ABC ? 面ACD
B
C

D

三、活学活用,提升能力
例1 如图,AB是⊙O的直径, PA垂直于⊙O所在的

平面,C是圆周上不同于A, B的任意一点。
求证:平面PAC⊥平面PBC.
P

(四)、在独立思考的基 础上,在练习本上写出 证明过程,注意符号准 确,逻辑合理。
A


B

O

三、活学活用,提升能力
证明: 设已知⊙O平面为α? PA ? 面? , BC ? 面? ? PA ? BC 又? AB为圆的直径 ? AC ? BC
PA ? BC ? AC ? BC ? PA ? AC ? A ? ? PA ? 面PAC ? AC ? 面PAC ? ? ? BC ? 面PAC BC ? 面PBC

? ? ?

? 面PAC ? 面PBC

例2:正方体ABCD-A1B1C1D1中 求证:
证明:

面AAC1C ? 面A1BD 1
A1

? AA1 ? 面ABCD
? AA1 ? BD ? BD ? AC 且AC ? AA1 ? A
? BD ? 面AA1C1C ? BD ? 面A1BD

D1 B1

C1

又? BD ? 面ABCD

D

C

A

B

?面AAC1C ? 面A1BD 1

平面与平面垂直的性质
观察右图的长方体:
β α
a

b

平面α⊥平面β,α∩β=b,a⊥b,这时,a⊥β 问:一般地,平面α⊥平面β,α∩β=MN, AB在β内,AB⊥MN于点B,这时, 直线AB和平面α垂直吗?

问:一般地,平面α⊥平面β,α∩β=MN,AB在β内, AB⊥MN于点B,这时,直线AB和平面α垂直吗?

证明: 在平面α内作BC⊥MN,则∠ABC是二面角α-MN-β 的平面角
∵平面α ⊥平面β ∴∠ABC=90° 即AB⊥BC 又 AB⊥MN ∴AB⊥ α
α
M
A N B C

β

定理6.4 (平面与平面垂直的性质定理) 如果两个平面互相垂直,那么在一个平面内 垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面
β

若α⊥β, α∩β=MN , AB ? β, AB⊥MN, 则AB ⊥β

A N C

α
M

B

垂直关系综述

?? ? a? b ? ? l ?? a?b = A
l ? a; l ? b
若a?? ,b

线线垂直
直 是

?

线面垂直

? 则a?b

角 . 面 直 二 垂 的 相 成 互 所 面 果 平 如 个 , 两 交 这 相 说 面 就 平 , 个 角 两 面 二

AB⊥α AB ? β

?? ? ?

若α⊥β, α∩β=MN , AB β, AB⊥MN, 则AB ⊥β

?

面面垂直

例3、 如图,长方体ABCD-A1B1C1D1中,MN在平面BCC1B1内,且 MN⊥BC于点M。判断MN与AB的位置关系,并说明理由。
解:显然,平面BCC1B1⊥平面ABCD,交线为BC,
? MN ? 平面BCC 1B1 且MN ? BC

∴MN⊥平面ABCD
又AB ? 平面ABCD
D1 C1

∴MN⊥AB
A1 D

B1

N C

M A B

证明面面垂直

找线面垂直,用判定定理 计算二面角为90? ,用定义

1.如图,AB是圆O的直径,PA垂直圆O所在 的平面,C是圆周上不同于A, B的任意一点, 求证:平面PAC ? 平面PBC . 2.如图,已知边长为a的正三角形ABC的中线 AF与中位线DE相交于点G,将此三角形沿 DE折成二面角A? ? DE ? B . 求证:平面A?FG ? 平面BCED.

证明面面垂直

找线面垂直,用判定定理 计算二面角为90? ,用定义

3.如图,在空间四边形 ABDC中,AB ? BC , CD ? DA,E , F , G分别是DC , DA, AC的中点, 求证:平面 BEF ? 平面BGD. 4.如图,在四面体 ABCD中,BD ? 2a , AB ? AD ? CB ? CD ? AC ? a , 求证:平面 ABD ? 平面BCD.

综合证明问题
3.如图, PA ? 矩形 ABCD所在平面, M , N分 别是 AB, PC中点. (1)求证: MN ? CD; ( 2)若?PDA ? 45 ?, 求证: MN ? 面PCD. 4.如图,已知直四棱柱 ABCD ? A1 B1C1 D1的底 面是菱形,且 ?DAB ? 60 ?, AD ? AA1 , F为棱 BB1的中点, M为线段 AC1的中点. (1)求证: MF // 平面 ABCD; ( 2)求证:平面 AFC1 ? 平面 ACC1 A1 .

综合证明问题
5.正方体ABCD ? A1 B1C1 D1中,EF与异面直线 AC , A1 D都垂直相交,求证: EF // BD1 . 6.如图,平面? ? 平面? ,在?与? 的交线 l上取线段AB ? 4cm, AC , BD分别在平面? 和平面? 内,AC ? l , BD ? l , AC ? 3cm, BD ? 12 cm, 求线段CD的长 .

面面垂直判定定理证明过程
已知:直线AB?平面?,直线AB?平面?。 求证:平面? ?平面?。

在平面β 内过B点作BE⊥CD。 证明:设? ? β =CD,则AB ? β =B ,

AB ?β ? ? ? AB ? CD ? ? ?ABE是二面角α? CD ?β CD ?β ? ? BE ? CD? 的平面角

α A
D

AB ?β ?
β
E

? ? AB ? BE BE ?β ?

? ? ? ?ABE ? 90? ?

? 二面角α ? CD ?β 为直二面角 。

B C

? 平面α ? 平面β 。


相关文章:
面面垂直测试题
面面垂直测试题_数学_高中教育_教育专区。面面垂直测试题 1.如图,ABCD 是正方形,O 是正方形的中心,PO ? 底面 ABCD,E 是 PC 的中点。 求证: (1)PA∥平...
线面垂直与面面垂直垂直练习题
线面垂直与面面垂直垂直练习题_高二数学_数学_高中教育_教育专区。2012 级综合和高中练习题 2.3 线面垂直和面面垂直 线面垂直专题练习 一、定理填空: 1.直线...
面面垂直证明例题
面面垂直证明例题_调查/报告_表格/模板_实用文档。数学面面垂直例题 例 4 答案: 例 8 答案:取 AC 的中点为 O,连接 OP、OB。 AO=OC,PA=PC,故 PO 垂直...
立体几何第六讲面面垂直练习题(含答案)
立体几何第六讲面面垂直练习题(含答案)_数学_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档 立体几何第六讲面面垂直练习题(含答案)_数学_高中教育_...
线面垂直、面面垂直知识点总结、经典例题及解析、高考题练习及答案
线面垂直、面面垂直知识点总结、经典例题及解析、高考题练习及答案_理化生_高中教育_教育专区。中国教育培训领军品牌 直线、平面垂直的判定与性质【考纲说明】 1、...
面面垂直教学设计
面面垂直判定定理 感知在相邻的两个互 温故知新 设计意图 师生活动 引导学生通过 相垂直的平面内,有那些 (2)黑板所在平面与地面所在 模型观察,讨论在两 特殊的...
线面垂直与面面垂直典型例题
线面垂直与面面垂直典型例题_从业资格考试_资格考试/认证_教育专区。线面垂直与面面垂直基础要点 线面垂直 线线垂直 面面垂直 1、若直线 a 与平面 ? , ? ...
面面垂直性质定理及习题
面面垂直性质定理及习题_数学_高中教育_教育专区。自编练习 面面垂直性质定理及习题一、 学习目标 撰稿:第四组 审稿:高二数学组 《必修 2》1.2.4 时间:2009-...
面面垂直
面面垂直_数学_高中教育_教育专区。有关面面垂直的报告 组长:王敬薇 组员:徐心彤 牛秋博 何俊 周品铎 张成 白健伯 立体几何面面垂直研究 定义:两个相交成直...
面面垂直教案
面面垂直教案_数学_高中教育_教育专区。平面与平面垂直的判定教学目标: 1.理解和掌握面面垂直的判定定理; 2.面面垂直的判定定理的应用。 教学重点:面面垂直的...
更多相关标签:
面面垂直的判定定理 | 面面垂直的性质定理 | 线面垂直 | 无限猴子定理 | 面面平行 | 恐怖谷理论 | 面面垂直到线面垂直 | 如何证明面面垂直 |