数学：3.1.1《不等关系与不等式》课件(新人教A版必修5)

3.1.1《不等关系与不等式》

教学目标
? 1．使学生感受到在现实世界和日常生活中存在着 大量的不等关系，在学生了解了一些不等式（组 ）产生的实际背景的前提下，能列出不等式与不 等式组. ? 2. 学习如何利用不等式表示不等关系，利用不等 式的有关基本性质研究不等关系； ? 3．通过学生在学习过程中的感受、体验、认识状 况及理解程度，注重问题情境、实际背景的设置 ，通过学生对问题的探究思考，广泛参与，改变 学生的学习方式，提高学习质量。

? 二、教学重、难点 ? 重点：用不等式（组）表示实际问题中的不等关 系，并用不等式（组）研究含有不等关系的问题 ，理解不等式（组）对于刻画不等关系的意义和 价值。 ? 难点：正确理解现实生活中存在的不等关系. 用不 等式（组）正确表示出不等关系。

在考察事物之间的数量关系时，经常

要对数量的大小进行比较，我们来看下
面的例子。 国际上常用恩格尔系数（记为n）来衡 量一个国家和地区人民的生活水平的高低。 它的计算公式是
n ? 食品消费额 消费支出总额 ? 100%

。

有关机构还制定了各种类型的家庭应达 到的恩格尔系数的取值范围：

家庭 类型 n

贫穷 n>60%

温饱

小康

富裕

最富裕 n≤30%

50%<n≤6 40%<n≤5 30%<n≤4 0% 0% 0%

例．根据某乡镇家庭抽样调查的统计，2003年 每户家庭年平均消费支出总额为1万元，其中食 品消费额为0.6万元。预测2003年后，每户家庭 年平均消费支出总额每年增加3000元，如果 2005年该乡镇居民生活状况能达到小康水平 （即恩格尔系数n满足条件40%<n≤50%），试 问这个乡镇每户食品消费额平均每年的增长率 至多是多少？（精确到0.1）

现实世界和日常生活中，既有相等 关系，又存在着大量的不等关系，如： 1、今天的天气预报说：明天早晨最低温 度为7℃，明天白天的最高温度为13℃； 7℃≤t≤13℃ 2、三角形ABC的两边之和大于第三边； AB+AC>BC或…… 3、a是一个非负实数。 a≥0

4、右图是限速40km/h的路标，指 示司机在前方路段行驶时，应使汽 车的速度v不超过40km/h ，写成不 等式是：_________ v≤40

40

5、某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的 含量f应不少于2.5%，蛋白质的含量p应不少于 2.3%，用不等式可以表示为：( )

A. f ≥ 2.5%或p ≥ 2.3%
B. f ≥ 2.5%且p ≥ 2.3% C.

? f ≥ 2.5% ? ? p ≥ 2.3%

某人为自己制定的月支出计划中，规定

手机费不超过150元，他所选用的中国电
信卡的收费标准为：
月租费 中国电信卡 30元 每分钟通话费 0.40元

求这个人月通话时间的取值范围。 即：30+0.4x≤150. 解得x≤300.

我们用数学符号“≠”，“>”，“<”， “≥”，“≤”连接两个数或代数式，以表 示它们之间的不等关系。含有这些不等号 的式子叫做不等式。 数轴上的任意两点中，右边点对应的 实数比左边点对应的实数大。
x A O B

练习1：若需在长为4000mm圆钢上，截出长 为698mm和518mm的两种毛坯，问怎样写出 满足上述所有不等关系的不等式组？

分析:
设698mm与 518mm分别x 与y个

?698 x ? 518 y ? 4000 ? ?x ? 0 ? y?0 ? ? x, y ? N ?

练习2 、一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料， 生产1车皮甲种肥料需要的主要原料是磷酸盐 4吨、硝酸盐18吨；生产1车皮乙种肥料需要 的主要原料是磷酸盐1吨、硝酸盐15吨。现有 库存磷酸盐10吨、硝酸盐66吨，在此基础上 进行生产。请用不等式组把此实例中的不等 关系表示出来。 ?4 x ? y ? 10 ? ?1 8 x ? 1 5 y ? 6 6 分析:设分别生产 ? x?0 甲．乙两种肥料为 ? x吨,y吨 ?y ? 0 ?

在数轴上，如果表示实数a和b的两个点分别 为A和B，则点A和点B在数轴上的位置关系有 以下三种： （1）点A和点B重合；
（2）点A在点B的右侧； （3）点A在点B的左侧。 在这三种位置关系中，有且仅有一种成立，由 此可得到结论： 对于任意两个实数a和b，在a=b，a>b，a<b 三种关系中有且仅有一种关系成立。

如果a－b是正数，则a>b；如果a>b， 则a－b为正数； 如果a－b是负数，则a<b；如果a<b， 则a－b为负数； 如果a－b等于零，则a=b；如果a=b， 则a－b等于零。 通常，“如果p，则q”为正确命题，则 简记为 ? p
q

，读作“p推出q”.

如果

p ? q且 q ? p

都是正确的命题，记为

p ? q 读作“p等价于q或q等价于p”。

上述结论可以写成：
a?b ? 0? a ?b
a?b ? 0 ? a ?b

a?b ? 0? a ?b

判断两个实数大小的依据是：
a ? b ? a?b ? 0 a ? b ? a?b ? 0 a ? b ? a?b ? 0

作差比较法

这既是比较大小(或证明大小)的基本方 法,又是推导不等式的性质的基础.
作差比较法其一般步骤是: 作差→变形→判断符号→确定大小.

例1．比较x2－x与x－2的大小。 解：(x2－x)－(x－2)=x2－2x+2

=(x－1)2+1，
因为(x－1)2≥0， 所以(x2－x)－(x－2)>0， 因此x2－x>x－2.

例2．当p，q都是正数且p+q=1时，试比 较代数式(px+qy)2与px2+qy2的大小。 解：(px+qy)2－(px2+qy2)
=p(p－1)x2+q(q－1)y2+2pqxy. 因为p+q=1，所以p－1=－q，q－1=－p， 因此(px+qy)2－(px2+qy2) =－pq(x2+y2－2xy)=－pq(x－y)2，

因为p，q为正数，因此(px+qy)2<px2+qy2. 当且仅当x=y时，不等式中等号成立。

例 3 比较(a＋3)(a－5)与(a＋2)(a－4)的大小．

解: ∵ ( a ? 3)( a ? 5) ? ( a ? 2 )( a ? 4 )
? (a ? 2 a ? 15) ? (a ? 2 a ? 8)
2 2

? ?7

∴ ( a ? 3)( a ? 5) ? ( a ? 2 )( a ? 4 ) <0
∴ ( a ? 3)( a ? 5) ?
( a ? 2 )( a ? 4 )

例 4 已知 a 、 、 m 都是正数,且 a b
b?m a?m b a ?

? b

,求证:

b?m a?m

?

b a

证明: ∵

?

?

(b ? m ) a ? ( a ? m )b (a ? m )a

ab ? m a ? ab ? bm (a ? m )a m (a ? b) (a ? m )a

?

∵ a 、 、 m 都是正数,且 a ? b b ∴ m ? 0, m ? a ? 0, a ? 0, a ? b ? 0

∴

b?m a?m

?

b a

? 0∴

b?m a?m

?

b a

课堂练习: 在下列各题的横线中填入适当的不等号.
⑴ ( 3? 2 ) _____ 6 ? 2 6 ;
2

<

⑵ ( 3?

2 ) _ _ _ _ ( 6 ? 1) ;
2 2

<

⑶

1 5 ?2

______

<

1 6 ? 5

;

⑷若0 ? a ? b，

l o g 1 a _ _ _ _ lo g 1 b .
2 2

>

2. 比较

3 x 与 x 2 ? x ? 1 的大小.

解：x3－(x2－x+1)=x3－x2+x－1 =x2(x－1)+(x－1) =(x－1)(x2+1), ∵ x2+1>0， ∴ 当x>1时，x3>x2－x+1； 当x=1时，x3=x2－x+1，

当x<1时，x3<x2－x+1.