3.1.1《不等关系与不等式》
教学目标
? 1.使学生感受到在现实世界和日常生活中存在着 大量的不等关系,在学生了解了一些不等式(组 )产生的实际背景的前提下,能列出不等式与不 等式组. ? 2. 学习如何利用不等式表示不等关系,利用不等 式的有关基本性质研究不等关系; ? 3.通过学生在学习过程中的感受、体验、认识状 况及理解程度,注重问题情境、实际背景的设置 ,通过学生对问题的探究思考,广泛参与,改变 学生的学习方式,提高学习质量。
? 二、教学重、难点 ? 重点:用不等式(组)表示实际问题中的不等关 系,并用不等式(组)研究含有不等关系的问题 ,理解不等式(组)对于刻画不等关系的意义和 价值。 ? 难点:正确理解现实生活中存在的不等关系. 用不 等式(组)正确表示出不等关系。
在考察事物之间的数量关系时,经常
要对数量的大小进行比较,我们来看下
面的例子。 国际上常用恩格尔系数(记为n)来衡 量一个国家和地区人民的生活水平的高低。 它的计算公式是
n ? 食品消费额 消费支出总额 ? 100%
。
有关机构还制定了各种类型的家庭应达 到的恩格尔系数的取值范围:
家庭 类型 n
贫穷 n>60%
温饱
小康
富裕
最富裕 n≤30%
50%<n≤6 40%<n≤5 30%<n≤4 0% 0% 0%
例.根据某乡镇家庭抽样调查的统计,2003年 每户家庭年平均消费支出总额为1万元,其中食 品消费额为0.6万元。预测2003年后,每户家庭 年平均消费支出总额每年增加3000元,如果 2005年该乡镇居民生活状况能达到小康水平 (即恩格尔系数n满足条件40%<n≤50%),试 问这个乡镇每户食品消费额平均每年的增长率 至多是多少?(精确到0.1)
现实世界和日常生活中,既有相等 关系,又存在着大量的不等关系,如: 1、今天的天气预报说:明天早晨最低温 度为7℃,明天白天的最高温度为13℃; 7℃≤t≤13℃ 2、三角形ABC的两边之和大于第三边; AB+AC>BC或…… 3、a是一个非负实数。 a≥0
4、右图是限速40km/h的路标,指 示司机在前方路段行驶时,应使汽 车的速度v不超过40km/h ,写成不 等式是:_________ v≤40
40
5、某品牌酸奶的质量检查规定,酸奶中脂肪的 含量f应不少于2.5%,蛋白质的含量p应不少于 2.3%,用不等式可以表示为:( )
A. f ≥ 2.5%或p ≥ 2.3%
B. f ≥ 2.5%且p ≥ 2.3% C.
? f ≥ 2.5% ? ? p ≥ 2.3%
某人为自己制定的月支出计划中,规定
手机费不超过150元,他所选用的中国电
信卡的收费标准为:
月租费 中国电信卡 30元 每分钟通话费 0.40元
求这个人月通话时间的取值范围。 即:30+0.4x≤150. 解得x≤300.
我们用数学符号“≠”,“>”,“<”, “≥”,“≤”连接两个数或代数式,以表 示它们之间的不等关系。含有这些不等号 的式子叫做不等式。 数轴上的任意两点中,右边点对应的 实数比左边点对应的实数大。
x A O B
练习1:若需在长为4000mm圆钢上,截出长 为698mm和518mm的两种毛坯,问怎样写出 满足上述所有不等关系的不等式组?
分析:
设698mm与 518mm分别x 与y个
?698 x ? 518 y ? 4000 ? ?x ? 0 ? y?0 ? ? x, y ? N ?
练习2 、一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料, 生产1车皮甲种肥料需要的主要原料是磷酸盐 4吨、硝酸盐18吨;生产1车皮乙种肥料需要 的主要原料是磷酸盐1吨、硝酸盐15吨。现有 库存磷酸盐10吨、硝酸盐66吨,在此基础上 进行生产。请用不等式组把此实例中的不等 关系表示出来。 ?4 x ? y ? 10 ? ?1 8 x ? 1 5 y ? 6 6 分析:设分别生产 ? x?0 甲.乙两种肥料为 ? x吨,y吨 ?y ? 0 ?
在数轴上,如果表示实数a和b的两个点分别 为A和B,则点A和点B在数轴上的位置关系有 以下三种: (1)点A和点B重合;
(2)点A在点B的右侧; (3)点A在点B的左侧。 在这三种位置关系中,有且仅有一种成立,由 此可得到结论: 对于任意两个实数a和b,在a=b,a>b,a<b 三种关系中有且仅有一种关系成立。
如果a-b是正数,则a>b;如果a>b, 则a-b为正数; 如果a-b是负数,则a<b;如果a<b, 则a-b为负数; 如果a-b等于零,则a=b;如果a=b, 则a-b等于零。 通常,“如果p,则q”为正确命题,则 简记为 ? p
q
,读作“p推出q”.
如果
p ? q且 q ? p
都是正确的命题,记为
p ? q 读作“p等价于q或q等价于p”。
上述结论可以写成:
a?b ? 0? a ?b
a?b ? 0 ? a ?b
a?b ? 0? a ?b
判断两个实数大小的依据是:
a ? b ? a?b ? 0 a ? b ? a?b ? 0 a ? b ? a?b ? 0
作差比较法
这既是比较大小(或证明大小)的基本方 法,又是推导不等式的性质的基础.
作差比较法其一般步骤是: 作差→变形→判断符号→确定大小.
例1.比较x2-x与x-2的大小。 解:(x2-x)-(x-2)=x2-2x+2
=(x-1)2+1,
因为(x-1)2≥0, 所以(x2-x)-(x-2)>0, 因此x2-x>x-2.
例2.当p,q都是正数且p+q=1时,试比 较代数式(px+qy)2与px2+qy2的大小。 解:(px+qy)2-(px2+qy2)
=p(p-1)x2+q(q-1)y2+2pqxy. 因为p+q=1,所以p-1=-q,q-1=-p, 因此(px+qy)2-(px2+qy2) =-pq(x2+y2-2xy)=-pq(x-y)2,
因为p,q为正数,因此(px+qy)2<px2+qy2. 当且仅当x=y时,不等式中等号成立。
例 3 比较(a+3)(a-5)与(a+2)(a-4)的大小.
解: ∵ ( a ? 3)( a ? 5) ? ( a ? 2 )( a ? 4 )
? (a ? 2 a ? 15) ? (a ? 2 a ? 8)
2 2
? ?7
∴ ( a ? 3)( a ? 5) ? ( a ? 2 )( a ? 4 ) <0
∴ ( a ? 3)( a ? 5) ?
( a ? 2 )( a ? 4 )
例 4 已知 a 、 、 m 都是正数,且 a b
b?m a?m b a ?
? b
,求证:
b?m a?m
?
b a
证明: ∵
?
?
(b ? m ) a ? ( a ? m )b (a ? m )a
ab ? m a ? ab ? bm (a ? m )a m (a ? b) (a ? m )a
?
∵ a 、 、 m 都是正数,且 a ? b b ∴ m ? 0, m ? a ? 0, a ? 0, a ? b ? 0
∴
b?m a?m
?
b a
? 0∴
b?m a?m
?
b a
课堂练习: 在下列各题的横线中填入适当的不等号.
⑴ ( 3? 2 ) _____ 6 ? 2 6 ;
2
<
⑵ ( 3?
2 ) _ _ _ _ ( 6 ? 1) ;
2 2
<
⑶
1 5 ?2
______
<
1 6 ? 5
;
⑷若0 ? a ? b,
l o g 1 a _ _ _ _ lo g 1 b .
2 2
>
2. 比较
3 x 与 x 2 ? x ? 1 的大小.
解:x3-(x2-x+1)=x3-x2+x-1 =x2(x-1)+(x-1) =(x-1)(x2+1), ∵ x2+1>0, ∴ 当x>1时,x3>x2-x+1; 当x=1时,x3=x2-x+1,
当x<1时,x3<x2-x+1.