当前位置:首页 >> 数学 >>

抽象函数习题精选精讲.doc


抽象函数有关问题

含有函数记号“ f (x)”有关问题解法
抽象函数是指没有给出函数的具体解析式,只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数。由于 抽象函数表现形式的抽象性,使得这类问题成为函数内容的难点之一。由于函数概念比较抽象,对函 数记号 f ( x ) 的更是感到困惑,针对这一问题,归纳这类知识进行分析如下: 一、定义域问题
2 例 1. 已知函数 f x 的定义域是[1,2],求 f ( x ) 的定义域。
2 2 2 解: f x 的定义域是[1,2],是指 1 ? x ? 2 ,所以 f x 中的 x 2 满足 1 ? x ? 4 ,从而函数 f ( x )

? ?

? ?

? ?

的定义域是[1,4] 评析:一般地,已知函数 f

的取值范围为 A,据此求 ? ? x ? 的值域问题。

?? ? x?? 的定义域是 A,求 f ( x) 的定义域问题,相当于已知 f ?? ? x?? 中 x
? ? ?

例 2. 已知函数 f ( x ) 的定义域是 ? ?1, 2? ,求函数 f ? log 1 ? 3 ? x ? ? 的定义域。
2

? 解: f ( x ) 的定义域是 ? ?1, 2? ,意思是凡被 f 作用的对象都在 ? ?1, 2? 中,由此可得

11 ?1? ?1? ?1 ? log 1 ? 3 ? x ? ? 2 ? ? ? ? 3 ? x ? ? ? ? 1 ? x ? 4 ?2? ? 2? 2 ? ? ? 11 ? 所以函数 f ? log 1 ? 3 ? x ? ? 的定义域是 ?1, ? ? 4? ? 2 ? 评析:这类问题的一般形式是:已知函数 f ( x ) 的定义域是 A,求函数 f ?? ? x ?? 的定义域。正确理解
函数符号及其定义域的含义是求解此类问题的关键。这类问题实质上相当于已知 ? ? x ? 的值域 B,且

2

?1

B ? A ,据此求 x 的取值范围。例 2 和例 1 形式上正相反。
二、函数值与值域问题
? 例 1. 已知定义域为 R 的函数 f ( x ) ,同时满足下列条件:① f ? 2? =1, f ? 6 ? =

f ? x ? y ? ? f ? x ? ? f ? y ? ,求 f ? 3? , f ? 9 ? 的值。
解:取 x =2, y =3 得 f ? 6? ? f ? 2? ? f ?3? 。因为 f ? 2? =1, f ? 6 ? = 又取 x ? y ? 3 ,得 f ? 9 ? ? f ? 3? ? f ? 3? ? ?

1 ;② 5

1 4 ,所以 f ? 3? ? ? 5 5

8 5
1 5

评析: 通过观察已知与未知的联系, 巧妙地赋值, 取 x =2,y =3, 这样便把已知条件 f ? 2? =1,f ? 6 ? = 与欲求的 f ? 3? 沟通了起来。赋值法是解此类问题的常用技巧。

例 2. 设函数 f ( x ) 定义于实数集上,对于任意实数 x、y, f ? x ? y ? ? f ? x ? f ? y ? 总成立,且存在

x1 ? x2 ,使得 f ? x1 ? ? f ? x2 ? ,求函数 f ( x) 的值域。
解:

x1 ? x2 时, f ? x1 ? ? f ? x2 ? ,? 函数为单调函数。 令 x ? y ? 0 ,得 f ? 0 ? ? ? ? f ? 0 ?? ? ,即有 f ? 0? ? 0 或 f ? 0? ? 1。若 f ? 0? ? 0 ,则 f ?x ? ? f ?x ? 0?? f x f ?0 ?? 0 ,? f ? x ? =0 ,? 对 ? ?
2

任意 x ? R , f ? x ? =0 均成立,这与存在实数 x1 ? x2 ,使得 f ? x1 ? ? f ? x2 ? 成立矛盾,故 f ? 0? ? 0 , 必有 f ? 0? ? 1。由于 f ? x ? y ? ? f ? x ? f ? y ? 对任意 x、y ? R 均成立,因此,对任意 x ? R ,有

第 1 页 共 13 页

抽象函数有关问题

? x x? ? x? f ? x? ? f ? ? ? ? f ? ? f ?2 2? ?2? 下面来证明,对任意 x ? R , f ( x ) ? 0

? x? ? ? ???f ? 2? ?

? x ?? ? ?? ? 0 ? 2 ??

2

设存在 x0 ? R ,使得 f ( x0 ) =0,取 x ? x0 , y ? ? x0 ,则 f (0) = f ? x ? x0 ? ? f ? x0 ? f ? ? x0 ? ? 0 这与上面已证的 f ? 0? ? 1矛盾,因此,对任意 x ? R , f ( x ) ? 0 , 所以 f ? x ? ? 0 评析:在处理抽象函数的问题时,往往需要对某些变量进行适当的赋值,这是一般向特殊转化的必要 手段。 例 3、 (递推法求函数值) 已知 f ? x ? 是定义在 R 上的函数, f ?1? =1,且对任意 x∈R 都有

f ? x ? 5? ? f ? x ? ? 5 , f ? x ? 1? ? f ? x ? ? 1。若 g ? x ? ? f ? x ? ?1 ? x ,则 g ? 2002? =_________.
解: 由 g ? x ? ? f ? x ? ? 1 ? x , 得

f ? x ? ? g ? x ? ?1 ? x ,

所以 g ? x ? 5? ? ? x ? 5? ?1 ? g ? x ? ? ? x ?1? ? 5 , g ? x ?1? ? ? x ? 1? ?1 ? g ? x ? ? ? x ?1? ? 1 即

g ? x? 5? ? g ? ?x,所以 g ? x? ? g ? x ? 5? ? g ? x ? 4? ? g ? x ? 3? ? g ? x ? 2? ? g ? x ?1?
, 又 g ?1? ? 1,

故 g ? x ? =g ? x ?1?



g ? 2 0 0 ?2?

1

三、求表达式:(5 种方法) 1.换元法:即用中间变量 u 表示原自变量 x 的代数式,从而求出 f ( x ) ,这也是证某些公式或等式常 用的方法。

x ) ? 2 x ? 1 ,求 f ( x) . x ?1 x u u u ?1 ? u ,则 x ? ?1 ? 解:设 ∴ f (u ) ? 2 x ?1 1? u 1? u 1? u
例 1:已知 f (

∴ f ( x) ?

x ?1 1? x

2.凑合法或称为配凑法:已知 f ( g ( x)) ? h( x) ,利用公式对代数式变形,把 h( x) 并凑成以 g (u ) 表示 的代数式,再利用代换,即可求出 f ( x ) 。 例 2:已知 f ( x ? ) ? x ?
3

1 x

1 ,求 f ( x ) x3
2

解:∵ f ( x ? ) ? ( x ? )( x ? 1 ?

1 x
2

1 x

1 1 1 ) ? ( x ? )(( x ? ) 2 ? 3) 2 x x x

又∵ | x ?

1 1 |?| x | ? ?2 x | x|

∴ f ( x) ? x( x ? 3) ? x ? 3x ,(| x |≥2)
3

注意:函数定义域的求解 3.待定系数法:先确定函数类型,设定函数关系式,再由已知条件,定出关系式中的未知系数。
2 例 3. 已知 f ( x ) 是二次实函数,且 f ( x ? 1) ? f ( x ?1) ? x +2 x +4,求 f ( x ) .

第 2 页 共 13 页

抽象函数有关问题

解:设 f ( x ) = ax ? bx ? c ? a ? 0 ? ,则
2

f ( x ? 1) ? f ( x ?1) ? a( x ? 1)2 ? b( x ? 1) ? c ? a( x ?1)2 ? b( x ?1) ? c
?2(a ? c) ? 4 1 3 ? ? a ? , b ? 1, c ? ? 2a ? 1 2 2 ?2b ? 2 ?

= 2ax ? 2bx ? 2(a ? c) ? x ? 2x ? 4 ,
2 2

比较系数得



f ( x) ?

1 2 3 x ?x? 2 2

4.利用函数性质法:主要利用函数的奇偶性,求分段函数的解析式. 例 4.已知 y = f ( x ) 为奇函数,当 x >0 时, f ( x) ? x2 ? 2x ,求 f ( x ) 解:∵ f ( x ) 为奇函数,∴ f ( x ) 的定义域关于原点对称,故先求 x <0 时的表达式。 设 x ? 0 , - x >0, ∴ f ? ?x ? ? ? f ? x ? ∴ ∴

f (? x) ? ? ? x ? ? 2 ? ? x ? ? x 2 ? 2 x ,
2



f ( x) 为奇函数,

∴当 x <0 时

f ( x) ? ? f ? x ? =-( x2 ? 2 x )= ? x 2 ? 2 x

? x 2 ? 2 x, x ? 0 ? f ( x) ? ? 2 ? ? ? x ? 2 x, x ? 0

练习:已知 y = f ( x ) 为奇函数,当 x >0 时, f ( x) ? lg( x ? 1) ,求 f ( x ) 解:∵ f ( x ) 为奇函数,∴ f ( x ) 的定义域关于原点对称,故先求 x <0 时的表达式。 ∵- x >0, ∴ f (? x) ? lg(? x ? 1) ? lg(1 ? x) ,∵ f ( x ) 为奇函数,∴ lg(1 ? x) ? f (? x) ? ? f ( x) , ∴当 x <0 时

?lg(1 ? x), x ? 0 f ( x) ? ? lg(1 ? x) , ∴ f ( x) ? ? ?? lg(1 ? x), x ? 0
例 5.已知 f ( x ) 为偶函数, g ( x) 为奇函数,且有 f ( x ) + g ( x ) ?

1 , 求 f ( x) , g ( x) . x ?1

解:∵ f ( x ) 为偶函数, g ( x) 为奇函数,∴ f (? x) ? f ( x) , g (? x) ? ? g ( x) , 不妨用- x 代换 f ( x ) + g ( x) = ∴ f (? x) ? g (? x) ?

1 x ?1

………①中的 x ,

1 1 即 f ( x) - g ( x) ? ? ……② ?x ?1 x ?1 1 x 显见①+②即可消去 g ( x) ,求出函数 f ( x) ? 2 再代入①求出 g ( x) ? 2 x ?1 x ?1
5.赋值法:给自变量取特殊值,从而发现规律,求出 f ( x ) 的表达式 例 6:设 f ( x ) 的定义域为自然数集,且满足条件 f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) ? xy ,及 f (1) =1,求 f ( x )

第 3 页 共 13 页

抽象函数有关问题

解:∵ f ( x ) 的定义域为 N,取 y =1,则有 f ( x ? 1) ? f ( x) ? x ? 1 , ∴ f (2) = f (1) +2, f (3) ? f (2) ? 3 …… f (n) ? f (n ? 1) ? n , 以上各式相加,有 f ( n) =1+2+3+……+ n =

∵ f (1) =1,

n(n ? 1) , 2

∴ f ( x) ?

1 x( x ? 1), x ? N 2

6、方程组法:通过变量代换,构造方程组,再通过加减消元法消去无关的部分。 例 7.已知 f ( x)+2 f ( ) ? x ? 1 ,求 f ( x ) 的表达式 解:用

1 x

1 1 1 1 代替 x 得到 f ( )+2 f ( x) ? ? 1 (1), 又 f ( x)+2 f ( ) ? x ? 1 x x x x 2 2 x 1 ? ? 2(1)-(2)得到: 3 f ( x) ? ? x ? 1 ,于是 f ( x) ? x 3x 3 3

(2)

四、利用函数性质,解 f ( x ) 的有关问题 1.判断函数的奇偶性: 例 1 已知 f ( x ? y) ? f ( x ? y) ? 2 f ( x) f ( y) ,对一切实数 x 、 y 都成立,且 f (0) ? 0 ,求证 f ( x ) 为 偶函数。 证明:令 x =0, 则已知等式变为 f ( y) ? f (? y) ? 2 f (0) f ( y) ……① 在①中令 y =0,则 2 f (0) =2 ? f (0) ? ∴ f ( y ) ? f (? y) ? 2 f ( y) 2、单调性问题
2



∵ f (0) ≠0



∴ f (0)=1

∴ f (? y ) ? f ( y )

∴ f ( x ) 为偶函数。

例 2. 设 f ? x ? 定义于实数集 R 上,当 x ? 0 时, f ? x ? ? 1 ,且对于任意实数 x 、 y ,有

f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) ,求证: f ? x ? 在 R 上为增函数。
证明:在 f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) 中取 x ? y ? 0 , 得 f (0) = ? f (0) ?
2

,则 f ? 0? ? 1或 f ? 0? ? 0 ,

若 f ? 0? ? 0 , 令 x ? 0 , y ? 0, 得 f ? x ? 0? ? f ? x ? f ? 0? ? 0 , 则 f ? x ? ? 0 , 与 x ? 0 时 f ? x? ? 1 的已知条件矛盾,所以 f ? 0 ? ? 0,即有 f (0) =1,当 x ? 0 时, f ? x ? ? 1 >0; 当 x ? 0 时, ? x ? 0 ,

f ? ? x ? ? 1 ? 0 ,而 f ? x ? ? f ? ?x ? =f ? 0? =1 , 所以 1 ? f ? x ? =

1 ? 0 ,又当 x ? 0 时, f ? ?x?

f ? 0? ? 1 ? 0 ,所以对任意 x ? R ,恒有 f ? x ? ? 0 。设 ?? ? x1 ? x2 ? ?? ,则
x2 ? x1 ? 0 , f ? x2 ? x1 ? ? 1,所以 f ? x2 ? ? f ? ? x1 ? ? x2 ? x1 ? ? ? = f ? x1 ? f ? x2 ? x1 ? ? f ? x1 ? ,所以 y ? f ? x ? 在 R 上为增函数。
,y ? 0 ,代入 f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) ,得 f ?1? 0? =f ?1? f ? 0? , 另解 f ? 0? ? 1,论证如下: x ? 1
由已知当 x ? 0 时, f ? x ? ? 1 ,则 f ? 0? ? 1 评析:一般地,抽象函数所满足的关系式,应看作给定的运算法则,则变量的赋值或变量及数值的分 解与组合都应尽量与已知式或所给关系式及所求的结果相关联。

x ? y )? fx () f ?y () 变式训练 1. 设 f ? x ? 定义于实数集 R 上, 对于任意实数 x 、y , 有 f(
时,都有 f ? x ? ? 0 ,求证: f ? x ? 在 R 上为减函数。

, 当x ? 0

第 4 页 共 13 页

抽象函数有关问题

证明:设 ?? ? x1 ? x2 ? ?? ,则 f ? x2 ? ? f ? ? x1 ? ? x2 ? x1 ? ? ? = f ? x1 ? ? f ? x2 ? x1 ? ,即

f ? x2 ? ? f ? x1 ? ? f ? x2 ? x1 ? , x2 ? x1 ? 0 ,? f ? x2 ? x1 ? ? 0 ,所以 y ? f ? x ? 在 R 上为减函数。

变式训练 2:设 f ? x ? 定义于 ? 0, ??? 上,对于任意实数 x 、 y ? ? 0, ??? ,有 f (x y ) ?f ( x) ? f (y ) , 当 x ? 1 时,都有 f ? x ? ? 0 ,求证: f ? x ? 在 ? 0, ??? 上为减函数。

? x ? ?x ? ?x ? x2 ? 1 , f ? x2 ? ? f ? x1 2 ? ? f ? x1 ? ? f ? 2 ? , f ? x2 ? ? f ? x1 ? ? f ? 2 ? , x1 ? x1 ? ? x1 ? ? x1 ? ?x ? 已知当 x ? 1 时, 都有 f ? x ? ? 0 ,f ? x2 ? ? f ? x1 ? ? f ? 2 ? ? 0 ,f ? x2 ? ? f ? x1 ? , 则 f ? x ? 在 ? 0, ??? ? x1 ?
证:设 0 ? x1 ? x2 ,? 上为减函数。 3、对称性问题 (1)设 a , b 均为常数,函数 y ? f ( x) 对一切实数 x 都满足 f (a ? x) ? f (a ? x) ? 2b ? 函数 y ? f ( x) 的图象关于点 ( a, b) 成中心对称图形。 (2) 设 a , b 均为常数, 函数 y ? f ( x) 对一切实数 x 都满足 f (a ? x) ? f (b ? x) ? 0 ? 函数 y ? f ( x)

a?b , 0) 成中心对称图形。 2 (3)设 a , b 均为常数,函数 y ? f ( x) 对一切实数 x 都满足 f (a ? x) ? f (b ? x) ? 函数 y ? f ( x) 的 a?b 图象关于轴 x ? 对称。 2 例 3. 已知函数 y ? f ? x ? 满足 f ? x ? ? f ? ? x ? =2002 ,求 f ?1 ? x ? ? f ?1 ? 2002 ? x ? 的值。
的图象关于点 ( 解: 已知式即在对称关系式 f ? a ? x ? ? f ? a ? x ? =2b 中, 取a ? 0, 2 b ? 2002 , 所以函数 y ? f ? x ? 的图象关于点(0,1001)对称。根据原函数与其反函数的关系,知函数 y ? f ?1 ? x ? 的图象关于点

? x ?1001? ? f ?1 ?1001? x? =0 ?1 ?1 将上式中的 x 用 x ? 1001 代换,得 f ? x ? ? f ? 2002 ? x ? ? 0
(1001,0)对称。 所以 f
?1

评析:这是同一个函数图象关于点成中心对称问题,在解题中使用了下述命题:设 a、b 均为常数, b)成中心对称图形。下对该性质进行证明:任取 x ? R ,令 x1 ? a ? x, x2 ? a ? x ,则 x1 ? x2 ? a ? a , 若 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 2b ,而点 ( x1 , f ( x1 )) 与点 ( x2 , f ( x2 )) 的中点为(

函数 y ? f ? x ? 对一切实数 x 都满足 f ? a ? x ? ? f ? a ? x ? =2b ,则函数 y ? f ? x ? 的图象关于点(a,

( a, b) 。由 x 的任意性,知函数 y ? f ( x) 的图象关于点 ( a, b) 对称.

x1 ? x2 f ? x1 ? ? f ? x2 ? , ) ,即 2 2

另证明:设 P( x0 , y0 )为 y ? f ? x ? 图上任一点,则 P 关于 ( a, b) 对称点是( 2a - x0 , 2b - y0 ) ,则

f ( 2a - x0) = f (a + ( a - x0 ) ) = 2b - f 轾 a+ ( a - x0 ) = 2b - f (x0) = 2b - y0 ,所以点 臌 ( 2a - x0 , 2b - y0 )也在函数 y ? f ( x) 的图象上,所以函数 y ? f ( x) 的图象关于点 ( a, b) 对称。
4.确定参数的取值范围
2 例 4: 奇函数 f ( x ) 在定义域(-1,1) 内递减, 求满足 f (1 ? m) ? f (1 ? m ) ? 0 的实数 m 的取值范围。

解:由 f (1 ? m) ? f (1 ? m ) ? 0 得 f (1 ? m) ? ? f (1 ? m ) ,
2 2

∵ f ( x ) 为奇函数,

第 5 页 共 13 页

抽象函数有关问题



f (1 ? m) ? f (m2 ?1) , 又∵ f ( x) 在(-1,1)内递减,

??1 ? 1 ? m ? 1 ? 2 ∴ ??1 ? m ? 1 ? 1 ? 0 ? m ? 1 ?1 ? m ? m 2 ? 1 ?

5、解不定式的有关题目 例 5:若二次函数 f ( x ) = ax ? bx ? c 开口向上,对任意的 t 有 f (2 ? t ) ? f ? 2 ? t ? ,比较
2

f (1)、f (2)、f (4) 的大小
解:对任意 t 有 f (2 ? t ) ? f ? 2 ? t ? 又∵其开口向上 ∴ f (3)< f (4), ∴ x =2 为抛物线 y = ax ? bx ? c 的对称轴
2

∴ f (2)最小, f (1)= f (3) ∴ f (2)< f (1)< f (4)

∵在[2,+∞)上, f ( x ) 为增函数

(x) 说明:函数 y = f 对任意一个 x 都满足 f ( a + x)= f ( a - x),则函数图像关于 x =
证:设 P( x0 , y0 )为图像上一点,则 P 关于 x =

a+ b 对称。 2

a+ b 的对称点是( a + b - x0 , y0 ),所以 2

f( a + b - x0 )= f 轾 a+ ( b - x0 ) = f 轾 b- ( b - x0 ) = f (x0 )= y0 ,则点( a + b - x0 , y0 )也在图像 臌 臌
上,所以函数图像关于 x =

a+ b 对称。 2

五 、周期问题 命题 1:若 a 是非零常数,对于函数 y=f(x)定义域的一切 x,满足下列条件之一,则函数 y=f(x)是周 期函数: 条件 1:函数 y=f(x)满足 f(x+a)=-f(x),则 f(x)是周期函数,且 2a 是它的一个周期. 条件 2:函数 y=f(x)满足 f (x + a )=

1 ,则 f(x)是周期函数,且 2a 是它的一个周期. f (x)

条件 3:函数 y=f(x)满足 f ( x + a) + f( x)= 1 ,则 f(x)是周期函数,且 2a 是它的一个周期. 命题 2:若 a、b( a ? b )是非零常数,对于函数 y=f(x)定义域的一切 x,满足下列条件之一,则函数 y=f(x)是周期函数: 条件 1:函数 y=f(x)满足 f ( x + a)= f ( x + b),则 f(x)是周期函数,且|a-b|是它的一个周期. 条件 2:函数图象关于两条直线 x=a,x=b 对称,则函数 y=f(x)是周期函数,且 2|a-b|是它的一个周 期. 条件 3:函数图象关于点 M(a,0)和点 N(b,0)对称,则函数 y=f(x)是周期函数,且 2|a-b|是它的一个 周期. 条件 4:函数图象关于直线 x=a,及点 M(b,0)对称,则函数 y=f(x)是周期函数,且 4|a-b|是它的一 个周期. 命题 3:若 a 是非零常数,对于函数 y=f(x)定义域的一切 x,满足下列条件之一,则函数 y=f(x)是周 期函数:

第 6 页 共 13 页

抽象函数有关问题

条件 1:若 f(x)是定义在 R 上的偶函数,其图象关于直线 x=a 对称,则 f(x)是周期函数,且 2a 是 它的一个周期. 条件 2:若 f(x)是定义在 R 上的奇函数,其图象关于直线 x=a 对称,则 f(x)是周期函数,且 4a 是 它的一个周期. 我们也可以把命题 3 看成命题 2 的特例,命题 3 中函数奇偶性、对称性与周期性中已知其中的任 两个条件可推出剩余一个.下面证明命题 3(1),其他命题的证明基本类似. 设条件 A: 定义在 R 上的函数 f(x)是一个偶函数. 条件 B: f(x)关于 x=a 对称 条件 C: f(x)是周期函数,且 2a 是其一个周期. 结论: 已知其中的任两个条件可推出剩余一个. 证明: ①已知 A、 B→ C (2001 年全国高考第 22 题第二问) , ∵f(x)是 R 上的偶函数, ∴f(-x)=f(x) , 又∵f(x)关于 x=a 对称,∴f(-x)=f(x+2a) ,∴f(x)=f(x+2a),∴f(x)是周期函数,且 2a 是它的一个 周期 ②已知 A、C→B ,∵定义在 R 上的函数 f(x)是一个偶函数,∴f(-x)=f(x) ,又∵2a 是 f(x)一个周 期,∴f(x)=f(x+2a) ,∴f(-x)=f(x+2a), ∴ f(x)关于 x=a 对称 ③已知 C、 B→A,∵f(x)关于 x=a 对称, ∴f(-x)=f(x+2a) , 又∵2a 是 f(x)一个周期, ∴f(x)=f(x+2a) , ∴f(-x)=f(x), ∴f(x)是 R 上的偶函数 。

÷ 由命题 3(2),我们还可以得到结论:f(x)是周期为 T 的奇函数,则 f ? =0 ÷ ? ? 桫 2÷
基于上述命题阐述,可以发现,抽象函数具有某些关系.根据上述命题,我们易得函数周期,从 而解决问题,以下探究上述命题在解决抽象函数问题中的运用. 1.求函数值 例 1:f(x) 是 R 上的奇函数 f(x)=- f(x+4) ,x∈[0,2]时 f(x)=x,求 f(2007) 的值 解:方法一 ,∵f(x)=-f(x+4) ,∴f(x+8)=-f(x+4)=f(x) ,∴8 是 f(x)的一个周期 ∴f(2007)= f(251×8-1)=f(-1)=-f(1)=-1 方法二 ∵f(x)=-f(x+4),f(x)是奇函数 ,∴f(-x)=f(x+4) ,∴f(x)关于 x=2 对称 ,又∵f(x) 是奇函数 ,∴8 是 f(x)的一个周期,以下与方法一相同. 例 2:已知 f(x)是定义在 R 上的函数,且满足 f(x+2)[1-f(x)]=1+f(x),f(1)=2,求 f(2009) 的值 解:由条件知 f(x) ? 1,故 f (x + 2)=

骣 T

1+ f (x) 1- f (x)

,? f ( x ? 4) ?

1 ? f ( x ? 2) 1 ?? 1 ? f ( x ? 2) f ( x)

类比命题 1 可知,函数 f(x)的周期为 8,故 f(2009)= f(251×8+1)=f(1)=2 2. 求函数解析式 例 3: 已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数, f(x)= f(4-x), 且当 x ?? ?2,0? 时, f(x)=-2x+1, 则当 x ? ? 4,6? 时,求 f(x)的解析式 解:当 x ? ?0, 2? 时,? x ?[?2,0] ,∴f(-x)=2x+1,∵f(x)是偶函数,∴f(-x)=f(x) ,∴f(x)=2x+1

4 + x) = 2(- 4 + x) + 1 = 2 x- 7 ,又函数 f(x)是定义在 R 当 x ? ? 4,6? 时, ?4 ? x ? [0, 2] , \ f (-
上的偶函数,f(x)= f(4-x),类比命题 3(1)知函数 f(x)的周期为 4,故 f ( - 4 + x)= f ( x) ∴当 x ? ? 4,6? 时,得 f(x)=2x-7

第 7 页 共 13 页

抽象函数有关问题

3.判断函数的奇偶性 例 4:已知 f(x)是定义在 R 上的函数,且满足 f (x + 999)= 试判断函数 f(x)的奇偶性. 解:由 f (x + 999)= -

1 ,f( 999 + x)= f (999-x) , f (x)

1 ,类比命题 1 可知,函数 f(x)的周期为 1998,即 f(x+1998)=f(x);由 f (x)

f( 999 + x )= f (999 - x ) ,知 f(x)关于 x=999 对称,即 f(-x)=f(1998+x),故 f(x)=f(-x)
?f(x)是偶函数
4.判断函数的单调性 例 5:已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数,f(x)= f(4-x),且当 x ?? ?2,0? 时,f(x)是减函数,求证: 当 x ? ? 4,6? 时,f(x)为增函数 解:设 4 ? x1 ? x2 ? 6 ,则 ?2 ? ? x2 ? 4 ? ? x1 ? 4 ? 0 , ∵ f(x)在[-2,0]上是减函数

∴ f (? x2 ? 4) ? f (? x1 ? 4) ,又函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,f(x)= f(4-x),类比命题 3(1) 知函数 f(x)的周期为 4,故 f ( x + 4)= f (x), ∴ f (? x2 ) ? f (? x1 ) , Q f ( - x)= f (x) ∴ f ( x2 ) ? f ( x1 ) ,故当 x ? ? 4,6? 时, f (x)为增函数。 六、五类抽象函数解法 1、线性函数型抽象函数: 线性函数型抽象函数,是由线性函数抽象而得的函数。

f x) 例 1、已知函数 ( 对任意实数 x,y,均有 f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) ,且当 x>0 时, f ? x ? >0,
( f -1 )=-2 ,求 ( f x) 在区间[-2,1]上的值域。
分析:由题设可知,函数 f ? x ? 是 y ? kx, ? k ? 0? 的抽象函数,因此求函数 f(x)的值域,关键在 于研究它的单调性。 解:设 x1 ? x2 ,则 x2 ? x1 ? 0 ,

f x) ? 0, ∵当 x ? 0 时, (

∴f( x2 - x1 )> 0 ,

∵ f (x2 )= f 轾 - f (x1 )= f ( x2 - x1 )> 0 , (x2 - x1 )+ x1 = f (x2 - x1 )+ f (x1 ), ∴ f (x2 ) 臌 即f( (x) 为增函数。 x2 )> f ( x1 ), ∴f 在条件中, 令 y=-x , 则f( 0)= f (x) + f( - x),

0 ,则 f ( 0) = 2f ( 0) 再令 x=y= ,∴ f(0)=0,
数,∴ f(1)=-f(-1)=2, ∴ f(x)的值域为[-4,2]。

故 f(-x)=-f(x),

f(x)为奇函

又 f ? ?2? ? f ? ?1? ? f ? ?1? ? 2 f ? ?1? ? ?4

第 8 页 共 13 页

抽象函数有关问题

例 2、已知函数 ( 对任意 x, y ? R ,满足条件 ( ,且当 x>0 时, f x) f x)+ ( f y)= 2 ? ( f x ? y)

f (x)> 2 ,f(3)=5,求不等式 f ? a 2 ? 2a ? 2 ? ? 3 的解。
分析:由题设条件可猜测: ( 是 y=x+2 的抽象函数,借助函数模型进行解决问题,且 ( 为 f x) f x) 单调增函数,如果这一猜想正确,也就可以脱去不等式中的函数符号,从而可求得不等式的解。 解:设 x1 ? x2 ,则 x2 ? x1 ? 0 ,∵当 x ? 0 ,时 ( f x) ? 2 ,∴ ( f x2 ? x1)> 2 ,则 , ( f x2) ? f( ? x1 ? ? ( f x2 ? x1) ?( f x1) -2 ? 2? ( f x1) -2 ? ( f x1) ? x2 ? x1) 即( ,∴f(x)为单调增函数。 f x2)>( f x1) ∵ f ? 3? ? f ? 2 ? 1? ? f ? 2 ? ? f ?1? ? 2 ? ? ? f ?1? ? f ?1? ? 2 ? ? ? f ?1? ? 2 ? 3 f ?1? ? 4 , 又∵f(3)=5, ∴f(1)=3。 即 a ? 2a ? 3 ? 0 ,
2
2 f 1 ,∴ a 2 ? 2a ? 2 ? 1, ∴ f a ? 2a ? 2 ? ()

?

?

解得不等式的解为 ?1 ? a ? 3 。

2、指数函数型抽象函数

f x) 例 3、设函数 ( 的定义域是(-∞,+∞),满足条件:存在 x1 ? x2 ,使得 ( ,对 f x1) ?( f x2)
f x ? y)=( f x)( f y) 任何 x 和 y, ( 成立。 求:(1)
(2)对任意值 x,判断 f(x)值的正负。

f(0);

f x) 分析:由题设可猜测 ( 是指数函数 y ? a x 的抽象函数,从而猜想 f(0)=1 且 f(x)>0。 f x ? y)=( f x)( f y) f x ? 0)=( f x)( f 0) 解:(1)令 y=0 代入 ( ,则 ( ,
f x) ? ∴( f x1)=( f x2)=0 ,这与题设矛盾, ?1 ? f ? 0 ? ? ? ? 0 。若 f(x)=0,则对任意 x1 ? x2 ,使得 (
∴f(x)≠0,∴f(0)=1。

f 2x)=( f x)( f x)= ? ( f x) (2)令 y=x≠0,则 ( ? ? 0 , 又由(1)知 f(x)≠0,
2

∴f(2x)>0, 因为 x 的任意性,所以 f(x)>0, 故对任意 x,f(x)>0 恒成立。 例 4、是否存在函数 f(x),使下列三个条件:①f(x)>0,x ∈N;

f a ? b) ?( f a)( f b) , a, b ? N ;③f(2)=4。同时成立?若存在,求出 f(x)的解析式,如 ②(
不存在,说明理由。 分析:由题设可猜想存在 ( f x) ? a ,又由 f(2)=4 可得 a=2.故猜测存在函数 ( f x) ? 2 ,用数
x x

学归纳法证明如下:

f 2) ?( f 1?1 ) ? ()() f 1 f 1 ? ? () f 1 ? ? 4 ,又∵x ∈N 时,f(x)>0, (1)x=1 时,∵ (
2

第 9 页 共 13 页

抽象函数有关问题

∴ f ?1? ? 2 ? 21 ,结论正确。 (2)假设 x ? k , ? k ? 1且k ? N ? 时,有 ( f k) ? 2k ,则 x=k+1 时,

( f k ?1 ) ?( f k)() f 1 ? 2k 2 ? 2k ?1 ,∴x=k+1 时,结论正确。
综上所述,x 为一切自然数时 ( f x) ? 2x 。 3、对数函数型抽象函数 对数函数型抽象函数,即由对数函数抽象而得到的函数。 例 5、设 f(x)是定义在(0,+∞)上的单调增函数,满足 f ? xy ? ? f ? x ? ? f ? y ? , f ? 3? ? 1 , 求:(1)f(1); (2)若 f(x)+f(x-8)≤2,求 x 的取值范围。

分析:由题设可猜测 f(x)是对数函数 y ? log3 x 的抽象函数,f(1)=0,f(9)=2。 解:(1)∵ f ? 3? ? f ?1? 3? ? f ?1? ? f ?3? , 或令 x = y = 1 ,则 f ?1? ? f ?1? ? f ?1? , (2) f ?9? ? f ?3? 3? ? f ?3? ? f ?3? ? 2 , 即f ? ? x ? x ? 8?? ? ? f ?9? ,

( 1)= 0。 ∴f

( 1)= 0。 ∴f
从而有 f(x)+f(x-8)≤f(9),

∵f(x)是(0,+∞)上的增函数,

x ? x ? 8? ? 9


x?0 x ?8 ? 0

解之得:8<x≤9。

例 6、

g x) (ab)=( f a)+( f b) f x) 设函数 y=( 的反函数是 y=( 。如果 f ,那么 g(a+b)=

g(a)·g(b)是否正确,试说明理由。 分析: 由题设条件可猜测 y=f(x)是对数函数的抽象函数,又∵y=f(x)的反函数是 y=g(x), ∴y=g(x)必为指数函数的抽象函数,于是猜想 g(a+b)=g(a)·g(b)正确。 解:设 f(a)=m,f(b)=n,由于 g(x)是 f(x)的反函数,∴g(m)=a,g(n)=b,从而

m ? n ? f ? a ? ? f ? b ? ? f ? ab ? ? f ? ? g ? m ? ? g ? n ?? ? ,∴g(m)·g(n)=g(m+n),以 a、b 分别
代替上式中的 m、n 即得 g(a+b)=g(a)·g(b)。 4、三角函数型抽象函数 三角函数型抽象函数即由三角函数抽象而得到的函数。 例 7、己知函数 f ? x ? 的定义域关于原点对称,且满足以下三条件: ①当 x1,x2 是定义域中的数时,有 f ? x1 ? x2 ? ?

f ? x2 ? ? f ? x1 ? ? 1 f ? x2 ? ? f ? x1 ?

②f(a)=-1(a>0,a 是定义域中的一个数); ③当 0<x<2a 时,f(x)<0。
第 10 页 共 13 页

抽象函数有关问题

试问:(1) f ? x ? 的奇偶性如何?说明理由。 (2)在(0,4a)上, f ? x ? 的单调性如何?说明理由。 分析: 由题设知 f ? x ? 是 y ? ?

1 1 的抽象函数,从而由 y ? ? 及题设条件猜想: f ? x ? 是奇 tan x tan x

函数且在(0,4a)上是增函数(这里把 a 看成

? 进行猜想)。 4

解: (1) ∵f (x) 的定义域关于原点对称, 且 x1,x2 是定义域中的数时有 f ? x2 ? x1 ? ? ∴ x1 ? x2 ? ? x1 ? x2 ? 在定义域中。

f ? x2 ? ? f ? x1 ? ? 1 , f ? x1 ? ? f ? x2 ?

f ? x2 ? ? f ? x1 ? ? 1 f ? x2 ? ? f ? x1 ? ? 1 ∵ f ?? ? x1 ? x2 ?? =f ? x2 ? x1 ? ? =- f ? x2 ? x1 ? , =? ? ? f ? x1 ? ? f ? x2 ? f ? x2 ? ? f ? x1 ?
∴f(x)是奇函数。 (2)设 0<x1<x2<2a,则 0<x2-x1<2a,∵在(0,2a)上 f(x)<0, ∴f(x1),f(x2),f(x2-x1)均小于零,进而知

f ? x2 ? ? f ? x1 ? ? 1 中的 f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? 0 ,于 f ? x1 ? ? f ? x2 ?

是 f ? x1 ? ? f ? x2 ? ,∴在(0,2a)上 f ? x ? 是增函数。 又 f ? a ? ? f ? 2a ? a ? ?

f ? 2a ? ? f ? a ? ? 1 , ∵f(a)=-1, f ? a ? ? f ? 2a ?

∴ ?1 ?

f ? 2a ? ? f ? a ? ? 1 , f ? a ? ? f ? 2a ?

∴f(2a)=0,设 2a<x<4a,则 0<x-2a<2a,

f ? x ? 2a ? ?

f ? x ? ? f ? 2a ? ? 1 1 ? ? 0 ,于是 f(x)>0,即在(2a,4a)上 f(x)>0。设 f ? 2a ? ? f ? x ? ? f ? x? f ? x2 ? ? f ? x1 ? ? 1 , f ? x1 ? ? f ? x2 ?

2a<x1<x2<4a,则 0<x2-x1<2a,从而知 f(x1),f(x2)均大于零。f(x2-x1)<0, ∵ f ? x2 ? x1 ? ? ∴ f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? 0 ,即

,即 f(x)在(2a,4a)上也是增函数。综上所述,f(x)在(0,4a)上是增函 f (x1)<( f x2) 数。 5、幂函数型抽象函数 幂函数型抽象函数,即由幂函数抽象而得到的函数。 例 8、已知函数 f(x)对任意实数 x、y 都有 f(xy)=f(x)·f(y),且 f(-1)=1,f(27) =9,当 0 ? x ? 1 时, f ? x ? ??0,1? 。 (1)判断 f(x)的奇偶性; (2)判断 f(x)在[0,+∞)上的单调性,并给出证明;

第 11 页 共 13 页

抽象函数有关问题

(3)若 a ? 0 ,且 f ? a ? 1? ? 3 9 ,求 a 的取值范围。 分析:由题设可知 f(x)是幂函数 y ? x 3 的抽象函数,从而可猜想 f(x)是偶函数,且在[0,+ ∞)上是增函数。 解:(1)令 y=-1,则 f(-x)=f(x)·f(-1),∵f(-1)=1,∴ f ? ?x ? ? f ? x ? ,
2

f ? x ? 为偶函数。
(2)设 0 ? x1 ? x2 ,∴ 0 ?

?x ? ?x ? x1 ? 1 , f ? x1 ? ? f ? 1 ? x2 ? ? f ? 1 ? ? f ? x2 ? , x2 ? x2 ? ? x2 ?
? x1 ? ? ? 1 ,∴ f ? x1 ? ? f ? x2 ? ,故 f ? x ? 在[0,+∞)上是增 ? x2 ?
3

∵ 0 ? x ? 1 时, f ? x ? ??0,1? ,∴ f ? 函数。

(3)∵ f ? 27 ? =9,又 f ? 3 ? 9 ? ? f ? 3? ? f ? 9 ? ? f ? 3? ? f ? 3? ? f ? 3? ? ? ? f ? 3? ? ? ,
3 3 ∴ 9= ? ? f ? 3? ? ? , ∴ f ? 3? = 9 , ∵ f ? a ? 1? = 9 ,∴ f ? a ? 1? ? f ?3? ,
3

∵ a ? 0 a ? 1,3 ??0, ??? , ∴ a ? 1 ? 3 ,即 a ? 2 ,又 a ? 0 ,故 0 ? a ? 2 。 六、综合问题 例 1. 定义在 R 上的函数 f ? x ? 满足: 对任意实数 m, n , 总有 f ? m ? n ? ? f ? m? ? f ? n ? , 且当 x ? 0

时, 0 ? f ? x ? ? 1。 (2)设 A=

?? x, y ? | f ? x ? ? f ? y ? ? f ?1?? , B ? ?? x, y ? | f ? ax ? y ? 2 ? ? 1, a ? R? ,
2 2

(1)判断 f ? x ? 的单调性;

解:(1)在 f ? m ? n ? ? f ?m ?? f ?n ? 中,令 m ? 1, n ? 0 ,得 f ?1? ? f ?1? ? f ?0 ? ,因为 f ?1? ? 0 , 所以 f ? 0? ? 1。在 f ? m ? n ? ? f ? m? ? f ? n ? 中,令 m ? x, n ? ? x ,因为当 x ? 0 时,0< f ? x ? <1, 所以当 x ? 0 时 ? x ? 0 , f ? ? x ? ? 1 ? 0 ,而 f ? x ? ? f ? ? x ? =f ? 0? =1 , 所以 f ? x ? = 又当 x ? 0 时, f ? 0? ? 1 ? 0

若 A ? B ? ? ,试确定 a 的取值范围。

1 ?0 f ??x?

,所以对任意 x ? R ,恒有 f ? x ? ? 0 ,设 ?? ? x1 ? x2 ? ?? ,则

x2 ? x1 ? 0 , 0 ? f ? x2 ? x1 ? ? 1,所以 f ? x2 ? ? f ? ? x1 ? ? x2 ? x1 ? ? ? ? f ? x1 ? ? f ? x 2 ? x1 ? ? f ?x1 ? 所以 y ? f ? x ? 在 R 上为减函数。
2 2 2 2 (2) 由于函数 y ? f ? x ? 在 R 上为减函数,所以 f x ? f y ? f x ? y ? f ?1?

即有 x ? y ? 1
2 2

又 f ax ? y ? 2 ? 1 ? f ? 0 ? , 根据函数的单调性,有 ax ? y ? 2 ? 0
2 2

?

?

? ? ? ?

?

?

由 A ? B ? ? ,所以直线 ax ? y ? 2 ? 0 与圆面 x ? y ? 1无公共点。 因此有

2 a ?1
2

?1,

解得 ?1 ? a ? 1 。

第 12 页 共 13 页

抽象函数有关问题

评析: (1)要讨论函数的单调性必然涉及到两个问题:一是 f(0)的取值问题,二是 f ? x ? >0 的结论。 这是解题的关键性步骤,完成这些要在抽象函数式中进行。由特殊到一般的解题思想,联想类比思维 都有助于问题的思考和解决。

第 13 页 共 13 页


赞助商链接
相关文章:
抽象函数习题精选精讲
搜 试试 7 帮助 全部 DOC PPT TXT PDF XLS 百度文库 教育专区 高中教育 数学 高一数学抽象函数习题精选精讲_高一数学_数学_高中教育_教育专区...
抽象函数习题精选精讲
搜 试试 7 帮助 全部 DOC PPT TXT PDF XLS 百度文库 教育专区 高中教育 数学 高一数学抽象函数习题精选精讲_高一数学_数学_高中教育_教育专区...
抽象函数习题精选精讲
抽象函数习题精选精讲_数学_高中教育_教育专区。抽象函数习题 含有函数记号“ 由于函数概念比较抽象,学生对解有关函数记号 f ( x) ”有关问题解法 f ( x) 的...
抽象函数习题精选精讲 verygood print
习题精选精讲 含有函数记号“ 由于函数概念比较抽象,学生对解有关函数记号 f ( x) ”有关问题解法 f ( x) 的问题感到困难,学好这部分知识,能加深学生对函数...
抽象函数习题精选精讲2
习题精选精讲 含有函数记号“ 含有函数记号“ f ( x) ”有关问题解法由于函数概念比较抽象,学生对解有关函数记号 f ( x) 的问题感到困难,学好这部分知识,能...
抽象函数习题精选精讲
抽象函数习题精选精讲 - 含有函数记号“ f ( x ) ”有关问题解法 一、求表达式: 1.换元法:即用中间变量 例 1:已知 f ( 表示原自变量 x 的代数式,从而...
抽象函数习题精选精讲
习题精选精讲 含有函数记号“ f ( x) ”有关问题解法闫辉 新泰一中 由于函数概念比较抽象,学生对解有关函数记号 f ( x) 的问题感到困难,学好这部分知识,能...
抽象函数习题精选精讲
抽象函数习题精选精讲 - 习题精选精讲 含有函数记号“ 由于函数概念比较抽象,学生对解有关函数记号 f ( x) ”有关问题解法 f ( x) 的问题感到困难,学好这...
抽象函数习题精选精讲
习题精选精讲 含有函数记号“ 含有函数记号“ f ( x) ”有关问题解法 由于函数概念比较抽象,学生对解有关函数记号 f ( x) 的问题感到困难,学好这部分知识,...
抽象函数习题精选精讲
搜试试 7 帮助 全部 DOC PPT TXT PDF XLS 百度文库 教育专区 高中教育 数学...抽象函数习题精选精讲_高一数学_数学_高中教育_教育专区。含有函数记号“ f ( ...
更多相关标签: