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高中数学必修4第一章知识点总结


高中数学必修 4 知识点总结 第一章 三角函数

?正角:按逆时针方向旋转形成的角 ? 1、任意角 ?负角:按顺时针方向旋转形成的角 ?零角:不作任何旋转形成的角 ?
2、角 ? 的顶点与原点重合,角的始边与 x 轴的非负半轴重合,终边落在第几象限,则称 ? 为第几象限角.

?? k ? 360 ? ? ? k ? 360 ? 90 , k ? ?? ?? k ? 360 ? 90 ? k ? 360 ? 180 , k ? ?? 第二象限角的集合为 ?? k ? 360 ? 180 ? ? ? k ? 360 ? 270 , k ? ?? 第三象限角的集合为 ?? k ? 360 ? 270 ? ? ? k ? 360 ? 360 , k ? ?? 第四象限角的集合为 ?? ? ? k ?180 , k ? ?? 终边在 x 轴上的角的集合为 ?? ? ? k ?180 ? 90 , k ? ?? y 终边在 轴上的角的集合为 ?? ? ? k ? 90 , k ? ?? 终边在坐标轴上的角的集合为 ?? ? ? k ? 360 ? ? , k ? ?? 3、与角 ? 终边相同的角的集合为
? ? ?

第一象限角的集合为

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

4、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度.

5、半径为 r 的圆的圆心角 ? 所对弧的长为 l ,则角 ? 的弧度数的绝对值是
?

? ?

l r.

? 180 ? ? 1? ? 1 ? ? ? 57.3 ? 180 , ? ? ? 6、弧度制与角度制的换算公式: 2? ? 360 , .

?

?

7、若扇形的圆心角为

? ??为弧度制?

,半径为 r ,弧长为 l ,周长为 C ,面积为 S ,则

1 1 S ? lr ? ? r 2 l ? r ? C ? 2r ? l 2 2 , , .
8、设 ? 是一个任意大小的角, ? 的终边上任意一点 ? 的坐标是

? x, y ? ,它与原点的距离是
y P T v O M A x

r r ? x2 ? y 2 ? 0

?

? ,则

sin ? ?

y x y cos ? ? tan ? ? ? x ? 0 ? r, r, x .

9、三角函数在各象限的符号:第一象限全为正,第二象限正弦为正,

第三象限正切为正,第四象限余弦为正. 10、三角函数线: sin ? ? ?? , cos ? ? ?? , tan ? ? ?? . 11 、 角 三 角 函 数
2











: ;

?1? sin2 ? ? cos2 ? ? 1
? 2?
sin ? ? tan ? cos ?

? sin

? ? 1 ? cos 2 ? , cos 2 ? ? 1 ? sin 2 ? ?

sin ? ? ? ? sin ? ? tan ? cos ? , cos ? ? ? tan ? ? . ?

12、函数的诱导公式:

?1? sin ? 2k? ? ? ? ? sin ? , cos ? 2k? ? ? ? ? cos? , tan ? 2k? ? ? ? ? tan ? ? k ??? . ? 2? sin ?? ? ? ? ? ? sin ? , cos ?? ? ? ? ? ? cos? , tan ?? ? ? ? ? tan ? . ?3? sin ? ?? ? ? ? sin ? , cos ? ?? ? ? cos? , tan ? ?? ? ? ? tan ? . ? 4? sin ?? ?? ? ? sin ? , cos ?? ? ? ? ? ? cos? , tan ?? ? ? ? ? ? tan ? .
口诀:函数名称不变,符号看象限.

? 5? sin ? ?

? ? ? ? ? cos ? ?2 ?

?



?? ? cos ? ? ? ? ? sin ? ?2 ?



? 6 ? sin ? ?

? ? ? ? ? cos ? ?2 ?

?



?? ? cos ? ? ? ? ? ? sin ? ?2 ? .
口诀:正弦与余弦互换,符号看象限. 13、①的图象上所有点向左(右)平移

?

个单位长度,得到函数

y ? sin ? x ? ? ?
1

的图象;

再将函数

y ? sin ? x ? ? ?

的图象上所有点的横坐标伸长(缩短)到原来的 ? 倍(纵坐标不 的图象;再将函数

变) ,得到函数

y ? sin ?? x ? ? ?

y ? sin ?? x ? ? ?

的图象上所有点的纵坐 的图象.

标伸长(缩短)到原来的 ? 倍(横坐标不变) ,得到函数

y ? ? sin ??x ? ? ?
1

②数 y ? sin x 的图象上所有点的横坐标伸长(缩短)到原来的 ? 倍(纵坐标不变) ,得到 函数

? y ? sin ? x 的图象;再将函数 y ? sin ? x 的图象上所有点向左(右)平移 ? 个单位长度,
得到函数

y ? sin ?? x ? ? ?

的图象;再将函数

y ? sin ?? x ? ? ?

的图象上所有点的纵坐标伸

长(缩短)到原来的 ? 倍(横坐标不变) ,得到函数 14、函数

y ? ? sin ??x ? ? ?

的图象.

y ? ? sin ??x ? ? ?? ? ? 0, ? ? 0?
?? 2?

的性质:

①振幅: ? ;②周期: 函数

? ;③频率:
,当

f ?

1 ? ? ? 2? ;④相位: ? x ? ? ;⑤初相: ? .

y ? ? sin ?? x ? ? ? ? ?
??

x ? x1 时,取得最小值为 ymin ;当 x ? x2 时,取得最大值

y 为 max ,则

1 1 ? ? x2 ? x1 ? x1 ? x2 ? ? ymax ? ymin ? ? ? ? ymax ? ymin ? 2 2 , ,2 .

15、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质: 性 质

y 函 sin x ? 数

y ? cos x

y ? tan x

图 象

定 义 域 值 域

R

R

? ? ? ? x x ? k? ? , k ? ? ? 2 ? ?
R
时,

??1,1?
x ? 2 k? ?


??1,1?
?
2 ? k ? ??


x ? 2k? ? k ???

最 值

时 ,

ymax ? 1 ; 当

ymax ? 1 ;当 x ? 2k? ? ?

x ? 2 k? ?

?
2

? k ? ? ? 时, ymin ? ?1.

既无最大值也无最小值

? k ? ? ? 时, ymin ? ?1.
周 期 性 奇 偶 性

2?

2?

?

奇函数

偶函数

奇函数

? ?? ? ? 2k? ? 2 , 2k? ? 2 ? ? 在?
单 调 性

? k ? ? ? 上是增函数;在
? 3? ? ? ? 2 k? ? 2 , 2 k? ? 2 ? ? ?



?2k? ? ? ,2k? ?? k ??? 上 ?2k? ,2k? ? ? ?

是增函数; 在

? ?? ? ? k? ? , k? ? ? 2 2? 在?

? k ? ? ? 上是减函数.
对 称 中 心

? k ? ? ? 上是增函数.

? k ? ? ? 上是减函数.
对称中心 对 称 性 对

? k? ,0?? k ???
称 轴









x ? k? ?

?
2

?k ? ??

? ? ? k? ? , 0 ? ? k ? ? ? 2 ? ?
对称轴

?

? k? ? , 0 ? ? k ? ?? ? ? 2 ?
无对称轴

x ? k? ? k ???

第二章 平面向量 16、向量:既有大小,又有方向的量.

数量:只有大小,没有方向的量.

有向线段的三要素:起点、方向、长度. 零向量:长度为 0 的向量. 单位向量:长度等于 1 个单位的向量. 平行向量(共线向量) :方向相同或相反的非零向量.零向量与任一向量平行. 相等向量:长度相等且方向相同的向量. 17、向量加法运算: ⑴三角形法则的特点:首尾相连. ⑵平行四边形法则的特点:共起点. ⑶三角形不等式:

? ? ? ? ? ? a ? b ? a ?b ? a ? b



? ? ? ? a ?b ? b ?a ; ⑷运算性质:①交换律:
②结合律:

?

? ? ? ? ? ? a ?b ?c ? a ? b ?c

?

?

? ? ? ? ? ? ;③ a ? 0 ? 0 ? a ? a .
,则

C


⑸坐标运算:设

? a ? ? x1 , y1 ?



? b ? ? x2 , y2 ?

? ? a ? b ? ? x1 ? x2 , y1 ? y2 ?

? a
?

18、向量减法运算: ⑴三角形法则的特点:共起点,连终点,方向指向被减向量. ⑵坐标运算:设

? b

?

? a ? ? x1 , y1 ?



? b ? ? x2 , y2 ?

,则

? ? a ? b ? ? x1 ? x2 , y1 ? y2 ? ?? ? ? ? ?? ? ? x1 x2 y1 y2 ,?
?



设 ? 、? 两点的坐标分别为 19、向量数乘运算:

? x1 , y1 ? ,? x2 , y2 ? ,则

?.

? ? ? ? ???? ??? ??? a ? b ? ?C ? ?? ? ?C

⑴实数 ? 与向量 a 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘,记作 ? a . ①

?

?a ? ? a

?

?


②当 ? ? 0 时, ? a 的方向与 a 的方向相同;当 ? ? 0 时, ? a 的方向与 a 的方向相反;当

?

?

?

?

? ? ? ? 0 时, ? a ? 0 .
⑵运算律:①

? ? ?a ? ? ? ?? ? a
? a ? ? x, y ?

?

?

?? ? ? ? a ? ?a ? ?a ;③ ? ? a ? b ? ? ? a ? ?b . ;②
? ? ?
? ?

?

?

⑶坐标运算:设

,则

?a ? ? ? x, y ? ? ? ? x, ? y ?

?



20、向量共线定理:向量 设 ,

? ? ? a a?0

?

? ? ? 与 b? 共线,当且仅当有唯一一个实数 ? ,使 b ? ?a .

? ? a ? ? x1 , y1 ? b ? ? x2 , y2 ?

? ? ? ? ? ? b b ?0 x1 y2 ? x2 y1 ? 0 时, , 其中 b ? 0 , 则当且仅当 向量 a 、

?

?

共线.

?? ?? ? e1 、 e2 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面 21、平面向量基本定理:如果

? ? ? ? e e a ? ?1e1 ? ? e2 . 2 内的任意向量 a ,有且只有一对实数 1 、 2 ,使 (不共线的向量 1 、 2 作
为这一平面内所有向量的一组基底) 22、 分点坐标公式: 设点 ? 是线段

? ?

?? ?

??

?? ?

?1?2 上的一点,?1 、?2 的坐标分别是 ? x1 , y1 ? ,? x2 , y2 ? ,

? x1 ? ? x2 y1 ? ? y2 ? ??? ? ???? , ? ? ? ? ???2 时,点 ? 的坐标是 ? 1 ? ? 1 ? ? ? . ? ? 1时,就为中点公式。) ? 当 1 (当
23、平面向量的数量积: ⑴

? ? ? ? ? ? ? ? a ? b ? a b cos ? a ? 0, b ? 0, 0? ? ? ? 180?

?

? .零向量与任一向量的数量积为 0 .

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? a ?b ? a b ⑵性质: a 和 b 都是非零向量, 设 则① a ? b ? a ? b ? 0 . ②当 a 与 b 同向时, ; ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? a ?b ? ? a b a ? a ? a2 ? a 2 a ? a ? a a ?b ? a b 当 a 与 b 反向时, ; 或 .③ . ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? a ? b ? ? a ? b ? a ? ?b a ? b ?c ? a ?c ? b ?c a ? b ? b ? a ;② ? ? ⑶运算律:① ;③ .

?

?

? ?

?

?

⑷坐标运算:设两个非零向量 若

? a ? ? x1 , y1 ?
,或



? b ? ? x2 , y2 ?

? ? a ? b ? x1x2 ? y1 y2 . ,则 ? a ? ? x1 , y1 ?


? a ? ? x, y ?

,则

?2 a ? x2 ? y 2

? a ? x2 ? y 2

. 设

? b ? ? x2 , y2 ?

,则

? ? a ? b ? x x2 ? y y2 ?0 . 1 1

? ? ? ? ? ? a 、 b 都 是 非 零 向 量 , a ? ? x1 , y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? , ? 是 a 与 b 的 夹 角 , 则 设
? ? x1 x2 ? y1 y2 a ?b cos ? ? ? ? ? 2 a b x12 ? y 12 x 2? y
2 2



第三章 三角恒等变换 24、两角和与差的正弦、余弦和正切公式: ⑴ ⑶

cos ?? ? ? ? ? cos? cos ? ? sin ? sin ? sin ?? ? ? ? ? sin ? cos ? ? cos ? sin ?
tan ?? ? ? ? ? tan ? ? tan ? 1 ? tan ? tan ? ? tan ? ? tan ? 1 ? tan ? tan ? ?

;⑵ ;⑷

cos ?? ? ? ? ? cos? cos ? ? sin ? sin ? sin ?? ? ? ? ? sin ? cos ? ? cos ? sin ?

; ;





tan ? ? tan ? ? tan ?? ? ? ??1 ? tan ? tan ? ? tan ? ? tan ? ? tan ?? ? ? ??1? tan ? tan ? ?

) ;

tan ?? ? ? ? ?




) .

25、二倍角的正弦、余弦和正切公式: ⑴
2 2 2 sin 2? ? 2sin ? cos ? .? 1 ? sin 2? ? sin ? ? cos ? ? 2 sin ? cos? ? (sin? ? cos? )

⑵ cos 2? ? cos

2

? ? sin 2 ? ? 2cos2 ? ?1 ? 1 ? 2sin 2 ?
?
2 ,1 ? cos ? ? 2 sin 2

?升幂公式 ?降幂公式
tan 2? ?


1 ? cos ? ? 2 cos 2

?
2

cos 2 ? ?

cos 2? ? 1 1 ? cos 2? sin 2 ? ? 2 2 , .

2 tan ? 1 ? tan 2 ? .

万能公式: α α 2 t an 1 ? t an2 2 ; cosα ? 2 sinα ? α α 1 ? t an2 1 ? t an2 2 2
?(后两个不用判断符号,更加好

26、半角公式 :
α 1 ? cos α α 1 ? cos α cos ? ? ; sin ? ? 2 2 2 2 α 1 ? cos α sinα 1 ? cos α t an ? ? ? ? 2 1 ? cos α 1 ? cos α sinα

用)

27、合一变形 ? 把两个三角函数的和或差化为“一个三角函数,一个角,一次方”的

? 2 2 tan ? ? y ? A sin(?x ? ? ) ? B 形式。? sin ? ? ? cos ? ? ? ? ? sin ?? ? ? ? , ?. 其中
28、三角变换是运算化简的过程中运用较多的变换,提高三角变换能力,要学会创设条件, 灵活运用三角公式,掌握运算,化简的方法和技能.常用的数学思想方法技巧如下: (1)角的变换:在三角化简,求值,证明中,表达式中往往出现较多的相异角,可根据角 与角之间的和差,倍半,互补,互余的关系,运用角的变换,沟通条件与结论中角的差异, 使问题获解,对角的变形如:

? ? ? ① 2? 是 ? 的二倍; 4? 是 2? 的二倍; ? 是 2 的二倍; 2 是 4 的二倍;

15o ? 45o ? 30o ? 60o ? 45o ?


? 30o sin ? 2 ;问: 12

cos


?
12

?


? ? ? ?? ? ? ( ??) ? ? (? ? ? ) ? ? ;④ 4 2 4 ③ ;
2? ? (? ? ? ) ? (? ? ? ) ? (


?
4

??) ? (

?
4

??)
;等等

(2)函数名称变换:三角变形中,常常需要变函数名称为同名函数。如在三角函数中正余 弦是基础,通常化切为弦,变异名为同名。 (3)常数代换:在三角函数运算,求值,证明中,有时需要将常数转化为三角函数值,例 如常数“1”的代换变形有:

1 ? sin 2 ? ? cos2 ? ? tan? cot? ? sin 90o ? tan45o
(4)幂的变换:降幂是三角变换时常用方法,对次数较高的三角函数式,一般采用降幂处 理的方法。常用降幂公式有: ; 。降幂并非绝对,有时 需要升幂,如对无理式

1? cos? 常 用 升 幂 化 为 有 理 式 , 常 用 升 幂 公 式

有: ; ; (5)公式变形:三角公式是变换的依据,应熟练掌握三角公式的顺用,逆用及变形应用。

1 ? tan ? 1 ? tan ? ? __________ _____ ? __________ ____ 如: 1 ? tan ? ; 1 ? tan ? ;

tan? ? tan ? ? __________ ; 1 ? tan? tan? ? __________ ; __ _ tan? ? tan ? ? __________ ; 1 ? tan? tan ? ? __________ ; __ _
2 tan ? ?
; 1 ? tan ? ?
2

; ; ; = ; (其中

tan20o ? tan40o ? 3 tan20o tan40o ?
sin ? ? cos ? ? a sin ? ? b cos ? ?
=

tan ? ?
1 ? cos ? ?

; ) ; 1 ? cos ? ? ;

(6)三角函数式的化简运算通常从: “角、名、形、幂”四方面入手; 基本规则是:见切化弦,异角化同角,复角化单角,异名化同名,高次化低次,无理化有理, 特殊值与特殊角的三角函数互化。 如: sin 50 (1 ? 3 tan10 ) ?
o o



tan ? ? cot ? ?




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