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高一年级,三角函数的奇偶性,周期性,单调性(教师版)


三角函数的奇偶性、周期性、单调性

一、兴趣导入(Topic-in):
有一天我同学问我 “你知道什么动物最爱问为什么吗?” 我老早就知道了,但是我还是配合了,我说:“不知道,是什么?” 同学:“是猪啊。” 我:“哦。” ……沉默了一会后…… 同学:“你不想知道为什么吗?” 我:“不想。” 同学:“为什么?” ……自作孽不可活

二、学前测试(Testing):
1、 在下列各区间上,函数 y ? cos 2 x 单调递减的区间是( A. ?? C )

? ? ?? , ? 4 4? ?

B. ?

? ? 3? ? , ?4 4 ? ?
?
4

C. ?0,

? ?? ? 2? ?

D. ?

?? ? ,? ?2 ? ?


2、在下列各区间上,函数 y ? sin( x ?

) 的单调递增区间是( B
C. ? ?? , 0?

A.

?? ? ,? ? ?2 ? ?

B. 0,

? ?? ? ? 4? ?

D.

?? ? ? , ? ?4 2? ?
)

3、在下列函数中,同时满足①在(0, A.y=tanx 4、 y ? 3sin(2 x ? B.y=cosx

?
2

)上递增;②以 2π 为周期;③是奇函数的( C.y=tan

?
4

1 x 2


D.y=-tanx

) 的最小正周期是

单调递增区间是

、单调递减区间是



5、函数 y ? tan ? ?

?? ? 2 x ? ? 的最小正周期是 4? ? 3

; 函数 y ? sin(ax ? ? ) 的周期为

———————————————————————————————————————————————————

1

三、知识讲解(Teaching):
知识要求:1、能正确画出 y ? sin x , y ? cos x , y ? tan x 的图象及变换的图像。 1、给定条件,能够求 y ? sin x , y ? cos x , y ? tan x 及变换的函数的周期、奇偶性、定义域、值域、 单调区间、最大值和最小值;

———————————————————————————————————————————————————

2

知识点二:单调性 求 y ? A sin(? x ? ? ) 的单调区间的方法 增 区 间 求 法 : 令 t ? ?x ?? , 原 函 数 变 形 为 求 y ? A cos(? x ? ? ) 的单调区间的方法 增 区 间 求 法 : 令 t ? ?x ?? , 原 函 数 变 形 为

y ? A sin t 。当 ?
时单调递增,即 ?

?

?

2 2

? 2 k? ? t ?

?
2

? 2 k?

y ? A cos t 。当 ?? ? 2k? ? t ? 2k?
时单调递增,即 ?? ? 2k? ? ? x ? ?

? 2 k? ? ? x ? ?

?

?
2

? 2k? ,求出 x 的范围。

? 2k? ,求出 x 的范围。
减 区 间 求 法 : 令 t ? ?x ?? , 原 函 数 变 形 为

减 区 间 求 法 : 令 t ? ?x ?? , 原 函 数 变 形 为

y ? A sin t 。 当


?
2

? 2 k? ? t ?

?
2

? 2 k? ? ? x ? ? ?

3? ? 2k? ,求出 x 的范围。 2

3? ? 2k? 时单调递增, y ? A cos t 。当 2k? ? t ? ? ? 2k? 时单调递增, 2
即 2k? ? ? x ? ? ? ? ? 2k? ,求出 x 的范围。

y ? 2 sin( 3x ?
例题:求 解:(1)增区间: 由?

?

4 的单调增、调减区间。

)

y ? 2 cos( ?3 x ?
例题:求

?

) 4 的单调增区间;

? ? ? 2k? ? ?3x ? ? 2? ? 2k? , k ? Z 4 解: (1)增区间: ,

?
2

4 2 2 ? 2 ? ? k? ? x ? ? k?,k ? Z 4 3 12 3

? 2 k? ? 3 x ?

?

?

?

? 2k? ,得

?

所以原函数的增区间为

[?

?

2 ? 2 ? k?, ? k? ] k ? Z 4 3 12 3

3? 7? ? 2k? ? ?3x ? ? 2 k? , k ? Z 4 4 ? 2 7? 2 ? ? k? ? x ? ? ? k? , k ? Z 4 3 12 3 ? 2 7? 2 ? ? k? ? x ? ? ? k? , k ? Z 4 3 12 3 5? 2 9? 2 ? k? ? x ? ? k?,k ? Z 12 3 或 12 3
所 以 原 函 数 的 单 调 增 区 间 为

?
(2)减区间: 2

? 2k? ? 3x ?

?
4

?

3? ? 2k? , k ? Z 2 ,

2 5? 2 ? k? ? x ? ? k?,k ? Z 12 3 得 12 3
所以原函数的减区间为

?

[

5? 2 9? 2 ? k? , ? k? ] k ? Z 12 3 12 3

? 2 5? 2 [ ? k?, ? k? ] k ? Z 12 3 12 3

———————————————————————————————————————————————————

3

四、强化练习(Training)
知识点一:周期性 例题分析 例 1.函数 y ? A sin(? x ? ?) ,它的最小正周期 T = 例 2.函数 y ? A cos(? x ? ?) ,它的最小正周期 T = 例 3.函数 y ? A tan(? x ? ?) ,它的最小正周期 T = 针对练习 1、 ; ; ;

y ? 2 sin

1 x 2 的最小正周期为____________;

π? ? 2、f(x)=cos?2x+ ?的最小正周期为________. 6? ?

3、 y ? 2 cos( ?

?
2

x) ? 3 的最小正周期为____________;

4、 y ? tan(

?

x ? ) 的最小正周期为___________; 2 3

?

知识点二:单调性 1、函数 y ? sin( x ?

?
2

)( x ? R) 在 (



A

? ? ?? ? , 上是增函数 ? ? 2 2? ?

B

?0, ? ?上是减函数

C

?? ? ,0? 上是减函数

D ?? ? , ? ?上是减函数

2、函数 y ? 2 sin 2 x 的单调递增区间为_____________________;

3、函数 y=sin(

?
3

? 2 x )的单调增区间为_______________________;

———————————————————————————————————————————————————

4

4、函数 y ? 2 cos(

x ? ? ) 的单调增区间是________________________; 2 3 x ? ? ) 的单调减区间是________________________; 3 3

5、函数 y ? 2 tan(

6、求函数 y ? log1 cos( ?
2

x ? ) 的单调递增区间 3 4

知识点三:奇偶性 1、判断函数的奇偶性。(1) f ( x) ?

5 2 sin( 2 x ? ? ) 2

(2) f ( x) ? lg(sin x ? 1 ? sin 2 x )

2、判断下列函数的奇偶性 (1) f ( x) ? sin 2 x ? tan x ; (3 ) (2 ) f ( x) ?

1 ? sin x ? cos x ; 1 ? sin x ? cos x

f ( x) ? cos(sin x) ;

(4 ) f ( x) ? lgcos x .

解: (1)? f ( x) 的定义域为 x ? k? ?

?
2

(k ? Z ) ,故其定义域关于原点对称,

又 f (? x) ? sin(?2 x) ? tan(? x) ? ? sin 2 x ? tan x ? ? f ( x)

? f ( x) 为奇函数

———————————————————————————————————————————————————

5

(2)? x ?

?
2

时, 1 ? sin x ? cos x ? 2 ,而 x ? ?

?
2

时, 1 ? sin x ? cos x ? 0 ,

? f ( x) 的定义域不关于原点对称,? f ( x) 为非奇非偶函数。
(3)? f ( x) 的定义域为 R,又 f (? x) ? cos(sin(? x)) ? cos(sin x) ? f ( x)

? f ( x) 为偶函数。
(4) 由 lg cos x ? 0 得 cos x ? 1 ,又 cos x ? 1 ? cos x ? 1 ,故此函数的定义域为 ,关于原点对称,此时 f ( x) ? 0 x?2k ? (k ? Z)

知识点四:定义域 例 1、求函数的定义域(1) y ?

sin x ?

3 ? sin x 2

(2) y ? lg(sin x ? ) ? cos x ?

1 2

1 2

(3)求函数 f ( x) ? lg sin x ? 16 ? x 2 的定义域。

针对练习 1、函数 y ?

1 cos x ? 1 2

的定义域是



———————————————————————————————————————————————————

6

2、函数 y ? 1 ? tan x 的定义域是



3、求函数 f ( x) ? ln(tanx) 的定义域

4、函数 y ?

1 cos x

? 25 ? x 2 的定义域为

5、函数 y ? 25 ? x2 ? lgsin x 的定义域是

五、训练辅导(Tutor):
? π? 1.(人教 A 版教材习题改编)函数 y=cos?x+3?,x∈R( ). ? ? A.是奇函数 B.是偶函数 C.既不是奇函数也不是偶函数 D.既是奇函数又是偶函数 答案 C ?π ? 2.函数 y=tan?4-x?的定义域为( ). ? ?
? ? ? ? ? π A.?x?x≠kπ-4 ,k∈Z? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? π C.?x?x≠kπ+4 ,k∈Z? ? ? ? ? ? ? ? ? π B.?x?x≠2kπ-4,k∈Z ? ? ? ? ? ? ? ?

? ? ? ? ? π D.?x?x≠2kπ+4 ,k∈Z? ? ? ? ? ?

答案 A 3、 已知 a ? R ,函数 f ( x) ? sin x? | a |, x ? R 为奇函数,则 a= (
(A)0 (B)1 (C)-1 (D)± 1 )

(1)A 提示:由题意可知, f (? x) ? ? f ( x)可得f (0) ? 0 得 a=0

π? ? 4、函数 f(x)=sin?-2x+3?的单调减区间为______. ? ?
——————————————————————————————————————————————————— 7

π? π? π? ? ? ? 解析 f(x)=sin?-2x+3?=-sin?2x-3?,它的减区间是 y=sin?2x-3?的增区间. ? ? ? ? ? ? π π π π 5π 由 2kπ-2≤2x-3≤2kπ+2 ,k∈Z,得:kπ-12≤x≤kπ+12,k∈Z.故所求函数的减区间为 π 5π? ? ?kπ-12,kπ+12?(k∈Z). ? ? π 5π? ? 答案 ?kπ-12,kπ+12?(k∈Z) ? ?
5、如果 f ( x) ? sin( x ? ?) ? 2cos( x ? ?) 是奇函数,则 tan ? ? (4)-2 由 f (? x) ? ? f ( x)可得f (0) ? 0 .

6、已知函数 y ? f ( x) 满足以下三个条件: ① 在 [0,

? ] 上是增函数 ②以 ? 为最小正周期 ③是偶函数 2


试写出一满足以上性质的一个函数解析式

7、求函数 y ? 2 sin ? 2 x ?

? ?

??

? ? 1的单调递减区间. 4?
? 3? ? 5? ? 2k? , k ? Z 解得 ? k? ? x ? ? k? , k ? Z ; 2 8 8

解、由

?
2

? 2k? ? 2 x ?

?
4

函数的递减区间为 ?

5? ?? ? ? k? , ? k? ?, k ? Z ; 8 ?8 ?

8、已知函数 f ( x ) ? 2 cos(

?

x ? ) 3 2

(1)求 f (x)的单调递增区间(2)若 x ? ? ?? , ? ? ,求 f (x)的最大值和最小值.

———————————————————————————————————————————————————

8

解、(1)递增区间为 ?? ? 4k? , ? 4k? ?, k ? Z ; 3 ? 3 ? (2)当 x ?

? 4?

2?

?

2? 3

时,f (x)有最大值 2;当 x ? ?? 时,f (x)有最小值 ? 3

9、求下列函数的定义域: (1) y ? lg?cos x? , 解(1)由 cos x ? 0 可得 x ? ? ? (2) y ? sin x ? 25 ? x 2 ;

? ? ? ? ? 2k? , ? 2k? ?, ?k ? Z ? . 2 ? 2 ?

(2)由 ?

?sin x ? 0 ?25 ? x ? 0
2

可得 ?

?2k? ? x ? 2k? ? ? , ?? 5 ? x ? 5

于是 x ? ?? 5,?? ? ? ?0, ? ? .

六、反思总结(Thinking):

堂堂清落地训练 (5-10 分钟的测试卷,坚持堂堂清,学习很爽心)
1、函数 y ? 2 cos(

x ? ? ) 的单调增区间是________________________; 2 3
9

———————————————————————————————————————————————————

2、函数 y ? sin(

?
4

? 2 x) 的单调增区间是________________________.

π? ? 3、(2011· 合肥三模)函数 f(x)=cos?2x+6?的最小正周期为________. ? ? 2π 解析 T= 2 =π. 答案 π
4、判断函数 f ( x) ? ?2 cos( 3 x ?

5 ? ) 的奇偶性______________ 2

5、函数 f ( x) ? 1 ? 2 cos x 的定义域是_______________

6、函数 y ? 3 tan?

? ? x ? 的最小正周期为 _________ ? ? ? 6 4?

?? 7、函数 y ? 3 sin ? ? 3x ? ? 的单调递减区间是 _________ 4? ?
8、判断函数 f ( x) ?

3 2 sin( 2 x ? ? ) 的奇偶性______________ 2

9、函数 y ? 2 sin(2 x ? A. 4?

?

6

) 的最小正周期是(
C. ?

) D.

B. 2?

? 2


10、函数 y ? sin(x ? ? )(0 ? ? ? ? ) 是 R 上的偶函数,则 ? ? ( A 0 B

? 4

C

?
2

D

?

———————————————————————————————————————————————————

10


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