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上海市青浦区2013届高三一模数学试题


青浦区 2012 学年第一学期高三年级期终学习质量调研测试

数学试题
(满分 150 分,答题时间 120 分钟)

Q.2013.01.18

学生注意: 1. 本试卷包括试题纸和答题纸两部分. 2. 在试题纸上答题无效,必须在答题纸上的规定位置按照要求答题. 3. 可使用符合规定的计算器答题. 一.填空题(本大题满分 56 分)本大题共有 14 题,考生应在答题纸相应编号的空格内直接填 写结果,每个空格填对得 4 分,否则一律得零分. 1. 已知集合 A ? ?x x ? 2 ?, B ? ?x x ? a ? , A ? B ? R , 且 则实数 a 的取值范围是____________. 2.函数 f ( x ) ? 1 ? log
2

2

x ( x ? 2 ) 的反函数 f

?1

( x ) ? ________________.

3.抛物线 y ? 2 x 的焦点坐标是_______________.
1 3 b2 4 5 c 2 ? a 2 A 2 ? b 2 B 2 ? c 2 C 2 ,则 C 2 化简后的最后结果等于____ 6

4.若 a 2
2

_______.

5.已知正三棱柱的底面正三角形边长为 2,侧棱长为 3,则它的体积 V ? 6.若圆柱的侧面展开图是一个正方形,则它的母线长和底面半径的 比值是 . 7.在 ? ABC 中, AB ? 3 , AC ? 2 , BC ?
AB ? AC ? 10 ,则





8.若三个互不相等的实数成等差数列,适当交换这三个数的位置后 变成一个等比数列,则此等比数列的公比为 一个即可) . 9.如果执行右面的框图,输入 N ? 4 ,则输出的数 S 等 于 . 10. 甲、 乙等五名社区志愿者被随机分配到 A 、 B 、 C 、 D 四个不同 岗位服务,每个岗位至少有一名志愿者,则甲、乙两人同时参加岗 位 A 服务的概率是 . (写出

11. 已知 a sin ? ? a cos ? ? 1 ? 0 与 b 2 sin ? ? b cos ? ? 1 ? 0 ( a ? b ). 直线 MN 过点 M ( a , a 2 ) 与
2

点 N ( b , b 2 ) ,则坐标原点到直线 MN 的距离是 12.已知 f ( x ) ? ?
?(2 ? a ) x ? 1 , x ? 1 ?a
x


f ( x1 ) ? f ( x 2 ) x1 ? x 2

, x ?1

满足对任意 x 1 ? x 2 都有

? 0 成立,则 a 的

取值范围是___

____.

13. 正六边形 A1 B 1 C 1 D 1 E 1 F1 的边长为 1, 它的 6 条对角线又围成了 一个正六边形 A 2 B 2 C 2 D 2 E 2 F 2 , 如此继续下去, 则所有这些六边形 的面积和是 .

1 ? 5 ( x ? 4 ) ? 2013 ( x ? 4 ) 3 ? ? 4 ? 14.设 x , y ? R ,且满足 ? ,则 1 ? 5 3 ? ( y ? 1 ) ? 2013 ( y ? 1 ) ? 4

x? y ?



二.选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题有且只有一个正确答案.考生应在答题 纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得 5 分,否则一律得零分. 15.设双曲线
x a
2 2

?

y b

2 2

? 1 ( a ? 0 , b ? 0 ) 的虚轴长为 2,焦距为 2 3 ,则双曲线的渐近线方程

为?????????????????????????????????(
A . y ? ?2 x
B.

) .

y ? ?

2x

C .

y ? ?

1 2

x

D . y ? ?

2 2

x

16.对于原命题“周期函数不是单调函数” ,下列陈述正确的是?????????(
A .逆命题为“单调函数不是周期函数”
B . 否命题为“周期函数是单调函数”

) .

C .逆否命题为“单调函数是周期函数”

D . 以上三者都不对

17.已知复数 z 0 ? 1 ? 2 i 在复平面上对应点为 P0 ,则 P0 关于直线 l : z ? 2 ? 2 i ? z 的对称点的 复数表示是?????????????????????????????? (
A .? i
B. i C .1 ? i

) .

D .1 ? i

18.已知函数 f ( x ) 是定义在 R 上的单调增函数且为奇函数,数列 ?a n ? 是等差数列, a 1007 ? 0 , 则 f ( a 1 ) ? f ( a 2 ) ? f ( a 3 ) ? ? ? f ( a 2012 ) ? f ( a 2013 ) 的值????????????(
A .恒为正数
B . 恒为负数 C .恒为 0

) .

D .可正可负

三.解答题(本大题满分 74 分)本大题共有 5 题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定 区域内写出必要的步骤. 19.(本题满分 12 分) 本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分, 第 2 小题满分 6 分. 如图已知四棱锥 P ? ABCD 的底面是边长为 6 的正方形,侧 棱 PA 的长为 8, 且垂直于底面, M 、 N 分别是 DC 、 AB 的 点 中点.求 (1)异面直线 PM 与 CN 所成角的大小(结果用反三角函数值 表示) ; (2)四棱锥 P ? ABCD 的表面积.

20.(本题满分 14 分) 本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分. 已知数列 ?a n ? 满足 a 1 ? 2 , a n ? 1 ? 3 a n ? 3 (1)设 b n ?
an ? 2 3
n n
n ?1

?2

n

(n ? N ) .
*

,证明:数列 ?b n ? 为等差数列,并求数列 ?a n ? 的通项公式;

(2)求数列 ?a n ? 的前 n 项和 S n .

21.(本题满分 14 分) 本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分. 已知 m ? ( 2 cos x ? 2 3 sin x , 1) , n ? (cos x , ? y ) ,满足 m ? n ? 0 . (1)将 y 表示为 x 的函数 f ( x ) ,并求 f ( x ) 的最小正周期; (2) 已知 a , b , c 分别为 ? ABC 的三个内角 A , B , C 对应的边长, f ( x ) ? f ( 若
A 2 ) 对所有 x ? R

恒成立,且 a ? 2 ,求 b ? c 的取值范围.

22.(本题满分 16 分) 本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 7 分,第 2 小题满分 7 分,第 3 小题满 分 2 分.
x y 设直线 L 1: y ? k 1 x ? p , p ? 0 交椭圆 ? : 2 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0 ) 于 C 、 D 两点,交直线 a b
2 2

L 2 : y ? k 2 x 于点 E .
b a
2 2

(1)若 E 为 CD 的中点,求证: k 1 ? k 2 ? ?



(2)写出上述命题的逆命题并证明此逆命题为真; (3)请你类比椭圆中(1)(2)的结论,写出双曲线中类似性质的结论(不必证明) 、 .

23.(本题满分 18 分) 本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题 满分 8 分. 我们把定义在 R 上,且满足 f ( x ? T ) ? af ( x ) (其中常数 a , T 满足 a ? 1 , a ? 0 , T ? 0 )的函数 叫做似周期函数. (1)若某个似周期函数 y ? f ( x ) 满足 T ? 1 且图像关于直线 x ? 1 对称.求证:函数 f ( x ) 是偶 函数; (2)当 T ? 1, a ? 2 时,某个似周期函数在 0 ? x ? 1 时的解析式为 f ( x ) ? x (1 ? x ) ,求函数
y ? f ( x ) , x ? ?n , n ? 1 ?, n ? Z 的解析式;

(3)对于确定的 T ? 0且 0 ? x ? T 时, f ( x ) ? 3 ,试研究似周期函数函数 y ? f ( x ) 在区间
x

( 0 , ?? ) 上是否可能是单调函数?若可能,求出 a 的取值范围;若不可能,请说明理由.


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