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随机事件的概率 和古典概型
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1.甲、乙两人玩一种游戏;在装有质地、大 小完全相同,编号分别为1,2,3,4,5, 6六个球的口袋中,甲先模出一个球,记下 编号,放回后乙再摸一个球,记下编号, 如果两个编号的和为偶数算甲赢,否则算 乙赢。 (1)求甲赢且编号和为8的事件发生的概率; (2)这种游戏规则公平吗?试说明理由。<

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2.袋中有大小、形状相同的红、黑球各一个, 现一次有放回地随机摸取3次,每次摸取一 个球. (1)试问:一共有多少种不同的结果?请列 出所有可能的结果; (2)若摸到红球时得2分, 摸到黑球时得1分, 求3次摸球所得总分为5的概率。

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解(1)一共有8种不同的结果,列举如下: (红、红、红、)、(红、红、黑)、(红、 黑、红)、(红、黑、黑)、(黑、红、 红)、(黑、红、黑)、(黑、黑、红)、 (黑、黑、黑) (2)记“3次摸球所得总分为5”为事件A. 事件A包含的基本事件为:(红、红、黑), (红、黑、红)、(黑、红、红)事件A包含 的基本事件数为3。 由(I)可知,基本事件总数为8,所以事件A 3 的概率为

P( A) ?

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8

3.某单位要在甲、乙、丙、丁人中安排人分别 担任周六、周日的值班任务(每人被安排是等 可能的,每天只安排一人). (1)共有多少种安排方法? (2)其中甲、乙两人都被安排的概率是多少? (3)甲,乙两人中至少有一人被安排的概率是多 少?

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4.(08海南文)为了了解《中华人民共和国道 路交通安全法》在学生中的普及情况,调查部 门对某校6名学生进行问卷调查,6人得分情况 如下:5,6,7,8,9,10.把这6名学生的 得分看成一个总体. (1)求该总体的平均数; (2)用简单随机抽样方法从这6名学生中抽取 2名,他们的得分组成一个样本.求该样本平 均数与总体平均数之差的绝对值不超过0.5的 概率.
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5.(2008深圳二模文)现有编号分别为1,2,3,4,5的 五个不同的物理题和编号分别为6,7,8,9的四个 不同的化学题.甲同学从这九个题中一次随机 抽取两道题,每题被抽到的概率是相等的,用 符号(x,y)表示事件“抽到的两题的编号分别为 x,y,且x<y”. (1)共有多少个基本事件?并列举出来; (2)求甲同学所抽取的两题的编号之和小于17 但不小于11的概率.
15 5 ? (1)共有36个等可能性的基本事件 (2) P( A) ? 36 12
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古典概型和几何概型
模拟题选

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题组训练
1.(2008广州一模)将一颗质地均匀的正方体骰 子(六个面的点数分别为1,2,3,4,5,6.先后抛掷 两次,记第一次出现的点数为x,第二次出现 的点数为y. (1)求事件“x+y≤3”的概率; (2)求事件“|x-y|=2”的概率. 2.(09深圳文)先后随机投掷2枚正方体骰子,其 中x表示第1枚骰子出现的点数,y表示第2枚骰 子出现的点数. (1)求点P(x,y)在直线y=x-1上的概率; (2)求点P(x,y)满足杭州下城补习班新王牌教育 y2<4x的概率.

1.(2008广州一模)将一颗质地均匀的正方体骰子(六 个面的点数分别为1,2,3,4,5,6.先后抛掷两次,记第一 次出现的点数为x,第二次出现的点数为y. (1)求事件“x+y≤3”的概率; 解:设(x,y)表示一个基本事件,则掷两次骰子包括 (1,1),(1,2),(1,3)……(6,5),(6,6)共36个基本事件. (1)用A表示事件“x+y≤3”,则A的结果有(1,1),(1,2), (2,1)共3个基本事件.

3 1 ? P ? A? ? ? 36 12
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1.(2008广州一模)将一颗质地均匀的正方体骰 子(六个面的点数分别为1,2,3,4,5,6.先后抛掷 两次,记第一次出现的点数为x,第二次出现 的点数为y. (2)求事件“|x-y|=2”的概率.
(2)用B表示事件“|x-y|=2”, 则B的结果有 (1,3),(2,4),(3,5),(4,6),(6,4),(5,3),(4,2),(3,1)共8个基 本事件.
8 2 ? P ? B? ? ? 36 9
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2.(09深圳文)先后随机投掷2枚正方体骰子,其 中x表示第1枚骰子出现的点数,y表示第2枚骰 子出现的点数. (1)求点P(x,y)在直线y=x-1上的概率;

解:(1)每颗骰子出现的点数都有6种情况,所 以基本事件总数为6×6=36个.
记“点P(x,y)在直线y=x-1上”为事件A, A有5 个基本事件:A={(2,1),(3,2),(4,3),(5,4),(6,5)}.

5 ? P (A)= 36
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2.(09深圳文)先后随机投掷2枚正方体骰子,其 中x表示第1枚骰子出现的点数,y表示第2枚骰 子出现的点数. (2)求点P(x,y)满足y2<4x的概率.
(2)记“点P(x,y)满足y2<4x”为事件B,则事件B有17个 基本事件: 当x=1时, y=1; 当x=3时, y=1,2,3; 当x=5时, y=1,2,3,4; 当x=2时,y=1,2; 当x=4时,y=1,2,3;

当x=6时, y=1,2,3,4.

17 ? P (B)= 36

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3.已知集合 ( x, y ) x ? ?0, 2? , y ? ? ?1,1? (1)若x, y ? Z , 求x ? y ? 0的概率; (2)若x, y ? R, 求x ? y ? 0的概率。

?

?

4.已知关于x的一元二次方程x2-2(a-2)x-b2+16=0. (1)若a,b是一枚骰子掷两次所得到的点数,求方程 有两正根的概率; (2)若a∈[2,6], b∈[0,4]求方程没有实根的概率.

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4.已知关于x的一元二次方程x2-2(a-2)x-b2+16=0. (1)若a,b是一枚骰子掷两次所得到的点数,求方程有两正根的概率

(2)由题意知方程有两正根的条件是: 2(a-2)>0 ——(1)

6-b2>0

——(2)

[2(a-2)]2-4(16-b2)>0 ——(3)

由(1),(2)知a=3,4,5,6; b=1,2,3;
将其代入(3)中满足题意的有: a=6时,b=1,2,3;a=5时,b=3; 其余均不满足;即满足题意的a,b值只有4组,故 所求概率为. 4 ? 1 36 9 杭州下城补习班新王牌教育

4.已知关于x的一元二次方程x2-2(a-2)x-b2+16=0. (2)若a∈[2,6], b∈[0,4]求方程没有实根的概率.

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变式练习
1.设有关x的一元二次方程x2+2ax+b2=0. (1)若a是从0,1,2,3四个数中任取的一个数,b是从0,1,2 三个数中任取的一个数,求上述方程有实根的概率; (2)若a是从区间[0,3]任取的一个数,b是从区间[0,2] 任取的一个数,求上述方程有实根的概率. 2.已知集合A={-4,-2,0,1,3,5},在平面直角坐标系中 点M(x,y)的坐标满足x∈A,y∈A.计算: (1)点M恰在第二象限的概率; (2)点M不在x轴上的概率; ?x ? y ? 8 ? 0 (3)点M恰好落在区域 ? 上的概率. ?x ? 0 ?y ? 0 ? 杭州下城补习班新王牌教育

经典例题
例题1.设b和c分别是先后抛掷一枚骰 子得到的点数, 求方程x2+bx+c=0有 实根的概率.

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变式练习
1.(2007山东)设方程x2+bx+c=0的系数b和 c分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数. (Ⅰ)求方程有两个不等实根的概率; (Ⅱ)求方程没有实根的概率.
2. ( 2005年广东)先后抛掷两枚均匀的正方体骰 子,它们的六个面分别标有1,2,3,4,5,6. 骰子朝上的面的点数分别为x,y,则使log2xy=1 的概率为 _______.
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3. 设集合P={b,1},Q={c,1,2}, P ? Q , 若b,c∈ {2,3,4,5,6,7,8,9}. (1) 求b = c的概率; 2 (2)求方程x +bx+c=0有实根的概率.

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经典例题
例题2. (2008宁夏文)设有关于x的一元二次方 程x2+2ax+b2=0. (Ⅰ)若a是从四个数0,1,2,3中任取的一个数, b是从三个数0,1,2中任取的一个数,求上述方 程有实根的概率. (Ⅱ)若a是从区间 [0,3] 任取的一个数,b是 从区间[0,2]任取的一个数,求上述方程有实根 的概率.
构成事件A的区域长度(面积或体积) P( A) ? 实验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积)
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变式练习
1.(2008广州一模)在区间[0,1]上任取两个数a,b, 则方程x2+ax+b2=0的两根均为实数的概率为___; 2.(2009广州一模)在区间[0,1]上任意取两个实数

1 3 a,b,则函数 f ? x ? ? x ? ax ? b 在区间[-1,1]上 2
有且仅有一个零点的概率为_____.
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3. (2008惠州二)方程 x ? x ? n ? 0(n ? (0,1)) 有实根的概率为 _______.
2

4.若点(p,q),在 p ? 3, q ? 3 中按均匀分布 出现. (1)点M(x,y)横、纵坐标分别由掷骰子确 定,第一次确定横坐标,第二次确定纵坐标, 则点M(x,y)落在上述区域的概率? (2)试求方程x2+2px-q2+1=0有两个实数 根的概率.
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设O为坐标原点,点P的坐标(x-2,x-y). (I)在一个盒子中,放有标号为1,2,3 的三张卡片,现从此盒中有放回地先后抽 到两张卡片的标号分别记为x,y,求|OP|的 最大值,并求事件“|OP|取到最大值”的 概率; (II)若利用计算机随机在[0,3]上先后取 两个数分别记为x,y,求P点在第一象限的 概率.
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2011届高考数学第一轮复习

<概率和统计>2008-10高考题
广东文科

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1. (2007·广东文8)在一个袋子中装有分别标注数字1,2,3,4,5 的五个小球,这些小球除标注的数字外完全相同.现从中随机 取出2个小球,则取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是 _______; 3

10
2. (2008· 广东理)某校共有学生2000名,各年级男、女生人 数如下表.已知在全校 学生中随机抽取1名,抽到二年级女生 的概率是0.19.现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生, 则应在三年级抽取的学生人数为( ) A.24 B.18 C.16 D.12
一年级 女生 男生 373 377 二年级 X 370 三年级 Y
z

C

Z

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3.( 2008· 广东文)为了调查某厂工人生产某种产品的能 力,随机抽查了20位工人某天生产该产品的数量.产 品数量的分组区间为,,由此得到频率分布直方图如 图3,则这20名工人中一天生产该产品数量在的人数 是 .

13

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4.( 2009·广东文)某单位200名职工的年龄分布情况 如图2,现要从中抽取40名职工作样本,用系统抽样法, 将全体职工随机按1-200编号,并按编号顺序平均分 为40组(1-5号,6-10号…,196-200号). 若第5组抽出的号码为22,则第8组抽出的号码应是___; 若用分层抽样方法,则40岁以下年龄段应抽取___人。

37, 20
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5.(2008· 广东文)某初级中学共有学生2000名,各年级 男、女生人数如下表:已知在全校学生中随机抽取 1名,抽到初二年级女生的概率是0.19. (1)求x的值; (2)现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生,问应 在初三年级抽取多少名? (3)已知y≥245,z≥ 245,求初三年级中女生比男生多的概 率. 女生 男生
初一年级 373 377 初二年级 x 370 初三年级 y z

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变式训练
为预防病毒H1N1暴发,某生物技术公司研制出一种 新流感疫苗, 为测试该疫苗的有效性(若疫苗有效的概 率小于90%,则认为测试没有通过), 公司选定2000个 流感样本分成三组,测试结果如下表:已知在全体样 y z x 本中随机抽取1个,抽到 B组疫苗有效的概率是0.33. (1)求x的值; (2)现用分层抽样的方法在全体样本中抽取360个测 试结果,问应在C组抽取多少个? (3)已知y≥465,z≥25,求不能通过测试的概率.
A组 疫苗有效 疫苗无效 B组 C组

673 x 杭州下城补习班新王牌教育 77 90

y z

解:(1)在全体样本中随机抽取1个,抽到B组疫苗 有效的概率约为其频率 ……. (1分)

x ? 0.33 600 即________________, ∴ x=____ 2000

……(4分)

(2)C组样本个数为y+z=2000-(673+77+660+ 90)=500……………(5分) 现用分层抽样的方法在全体样本中抽取360个测试结 果,则

360 ? 500 ? 90 应在C组抽取个数为_______________ 个 ……(8分) 2000
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(3)设测试不能通过事件为A,C组疫苗有效与无效的 可能的情况记为(y,z)…(9分) 由(2)知y+z=500 ,且y,z∈N,基本事件空间包含 的基本事件有: (465, 35), (466, 34), (467,33)……(475,25)共11个 …… (10分) 若测试不能通过,则77+90+z>200,即z>33 事件A包含的基本事件有:(465,35),(466,34)共2个


2 故不能通过测试的概率为 11 杭州下城补习班新王牌教育

2 P ( A) ? 11

…………………(11分)
…(12分)

6.随机抽取某中学甲、乙两班各10名同学,测量他们 的身高(单位:cm),获得身高数据的茎叶图如图。 (1)根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高; (2)计算甲班的样本方差; (3)现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于 173cm的同学,求 乙班 甲班 身高为176cm的同 2 18 1 学被抽中的概率。
9 8 9 8 1 3 0 2 8 17 16 15 0 2 9 3 5 6 8 8 9

资料P
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解:(1)由茎叶图可知:甲班身高集中于160--179 之间,而乙班身高集中于170--180之间。因此乙班平 均身高高于甲班;

(2) x甲 ?
2 S甲 ?

158 ? 162 ? 163 ? 168 ? 168 ? 170 ? 171 ? 179 ? 179 ? 182 ? 170 10

1 2 2 2 2 [(158 ? 170)2 ? ?162 ? 170 ? ? ?163 ? 170 ? ? ?168 ? 170 ? ? ?168 ? 170 ? 10
2 2 2 2 2

? ?170 ? 170 ? ? ?171 ? 170 ? ? ?179 ? 170 ? ? ?179 ? 170 ? ? ?182 ? 170? ] ? 57.

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(3)设身高为176cm的同学被抽中的事件为A. 从乙班10名同学中抽中两名身高不低于173cm 的同学有: (181,173),(181,176),(181,178),(181,179) (179,173), (179,176), (179,178), (178,173), (178, 176), (176,173)共10个基本事件. 而事件A含有4个基本事件: (181,176), (179,176), (178, 176), (176,173) ;

4 2 ? P ? A? ? ? 10 5
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2009广东文科

7.(2010广东文)某市居民2005~2009年家庭年平均收入 x(单位:万元)与年平均支出Y(单位:万元)的统 计资料如下表所示:根据统计资料,居民家庭年平均 收入的中位数是 13 ,家庭年平均收入与年平均支出 有正线性相关关系.
年份 收入x 支出Y 2005 11.5 6.8 2006 12.1 8.8 2007 13 9.8 2008 13.3 10 2009 15 12

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已知集合A ? ??4, ?2, 0,1,3,5?,在平面直角坐标系中, 点M ( x, y )的坐标x ? A, y ? A (1)求点M 正好在第二象限的概率; ?x ? y ? 8 ? 0 ? (2)求点M ( x, y )正好落在区域 ? x ? 0 上的概率。 ?y ? 0 ?

1 6

1 6

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三角和概率

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为了让学生更多的了解“数学史”知识,某中 学高二年级举办了一次“追寻先哲的足迹,倾 听数学的声音”的数学史知识竞赛活动,共有 名学生参加了这次竞赛.为了解本次竞赛的成 绩情况,从中抽取了部分学生的成绩(得分均 为整数,满分为分)进行统计.请你根据频率 分布表,解答下列问题:

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