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9.10初高中数学衔接知识4(二次函数)


2013年8月31日星期六

【例 1】画出二次函数 y=-3x -6x+1 的图象.

2

2013年8月31日星期六

二、二次函数的三种表示方式
1.一般式: y ? ax 2 ? bx ? c (a ? 0) ;

2.顶点式: y ? a( x ? h) 2 ? k (a ? 0) ,其中顶点坐标是 ( h, k ) .

3.交点式: y ? a( x ? x1 )( x ? x2 )( a ? 0) ,其中 x1 , x 2 是二次 函数图象与 x 轴交点的横坐标.

2013年8月31日星期六

【例 2】 已知某二次函数的最大值为 2,图像的顶点在直线 y=x +1 上,并且图象经过点(3,-1),求二次函数的解析式.

解:∵二次函数的最大值为 2,而最大值一定是其顶点的纵坐标, ∴顶点的纵坐标为 2. 又顶点在直线 y=x+1 上,所以,2=x+1,∴x=1.∴顶点坐 标是(1,2). 设该二次函数的解析式为 y ? a( x ? 2) 2 ? 1(a ? 0) , ∵二次函数的图像经过点(3,-1),∴ ?1 ? a(3 ? 2) 2 ? 1 ,解得

a=-2.
∴二次函数的解析式为 y ? ?2( x ? 2) 2 ? 1 ,即 y=-2x2 +8x-7.

2013年8月31日星期六

【例 3】已知二次函数的图象过点(-3,0),(1,0),且顶点到

x 轴的距离等于 2,求此二次函数的表达式.

解法一:∵二次函数的图象过点(-3,0),(1,0), ∴可设二次函数为 y=a(x+3) (x-1) (a≠0),展开,得

y=ax2 +2ax-3a,

?12a 2 ? 4a 2 顶点的纵坐标为 ? ?4a , 4a
1 . 2 1 2 3 1 2 3 所以,二次函数的表达式为 y= x ? x ? ,或 y=- x ? x ? . 2 2 2 2
由于二次函数图象的顶点到 x 轴的距离 2,∴|-4a|=2,即 a= ?

2013年8月31日星期六

解法二:∵二次函数的图象过点(-3,0),(1,0),∴对称轴为直线 x =-1. 又顶点到 x 轴的距离为 2,∴顶点的纵坐标为 2,或-2. 于是可设二次函数为 y=a(x+1)2 +2,或 y=a(x+1)2 -2, 由于函数图象过点(1,0),∴0=a(1+1) +2,或 0=a(1+1) -2. ∴a=-
2 2

1 1 ,或 a= . 2 2

2013年8月31日星期六

【例 4】已知二次函数的图象过点(-1,-22), (0,-8),(2,8),求此二次函数的表达式.

解:设该二次函数为 y=ax +bx+c(a≠0). 由函数图象过点(-1,-22),(0,-8),(2,8),可得

2

??22 ? a ? b ? c, ? ??8 ? c, ?8 ? 4a ? 2b ? c, ?
解得 a=-2,b=12,c=-8. 所以,所求的二次函数为 y=-2x +12x-8.
2

2013年8月31日星期六

三、二次函数的最值问题
【例 5】 ?2 ? x ? 2 时, 当 求函数 y ? x 2 ? 2 x ? 3 的最大值和最小值.

解:作出函数的图象. 从 图 像 中 可 以看 出 , 当 x ?1 时 ,

ymin ? ?4 ,当 x ? ?2 时, ymax ? 5 .

2013年8月31日星期六


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