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2013广州高三数学一模#13


2013.3.18 广州高三数学一模#13
【#13】 已知经过同一点的 n(n∈N*,n≥3)个平面, 任意三个平面不经过同一直线。 若这 n 个平面将空间分成 f(n)个部分, 则 f(3)=_____,f(n)=______。 【解】参照 x-y-z 坐标,易得 f(3)=8。 ∵两平面如果有一个公共点就有一条交线,即 n 个平面就有(n-1)条交线。 每条交线都将原来平面一分为二(且每个面都有上下 2 面) ∴每增加 1 个平面,新增的空间数=2(n-1) ∴f(n+1)=f(n)+2(n-1),即:当 n≥3 时 本题难 f(3)=8 点在此 f(4)-f(3)=2(4-1)=2×3 f(5)-f(4)=2(5-1) =2×4 f(6)-f(5)=2(6-1) =2×5 注意:共 n-3 项, …… 首项=3, 末项=n-1 f(n-1)-f(n-2)=2[(n-1)-1]=2×(n-2) f(n)-f(n-1)=2×(n-1) 把上述各式相加,得: f(n)=8+2×[3+4+5+…+(n-1)]=8+2×

(n ? 3)( 3 ? n ? 1) ? 8 ? (n ? 3)( n ? 2) =8+[n2-3n+2n-6]=n2-n+2 2

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