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上海市松江区2013届高三一模数学试题(理科)


松江区 2012 学年度第一学期高三期末考试 数学(理科)试卷
(满分 150 分,完卷时间 120 分钟)
2013.1

一、填空题 (本大题满分 56 分)本大题共有 14 题,考生必须在答题纸相应编号的空格内直接 填写结果,每个空格填对得 4 分,否则一律得零分.
2 1.已知集合 A ? ?0, a? , B ? 1, a ,若 A ? B ? ?0,1,4,16? ,则 a ?

?

?





2.若行列式

2 x?1 1

4 2

? 0 ,则 x ?



. ▲ .

3.若函数 f ( x) ? 2x ? 3 的图像与 g ( x) 的图像关于直线 y ? x 对称,则 g (5) = 方法抽取一个容量为 150 的样本,则样本中松树苗的数量为 5.已知数列 {an } 的前 n 项和 Sn ? 2 ? n ,则 a3 ?
n

4.某林场有树苗 30000 棵,其中松树苗 4000 棵.为调查树苗的生长情况,采用分层抽样的 ▲ . ▲ . . ▲ . ▲

? ? 6.己知 a ? (1,2sin ?) , b ? cos ?, 1 ,且 a ? b ,则 tan ? ? ( ?)
7. 抛物线的焦点为椭圆

x2 y2 ? ? 1 的右焦点, 顶点在椭圆的中心, 则抛物线方程为 5 4 2 5 8.已知 lg x ? lg y ? 1 ,则 ? 的最小值为 ▲ . x y
9.在△ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别是 a, b, c ,若 b ? c ? a ? bc ,且 bc ? 8 ,
2 2 2

则△ABC 的面积等于
7




2 4 2n n ??

5 10.若二项式 ( x ? a) 展开式中 x 项的系数是 7,则 lim(a ? a ? ? ? a

)=





1 x ?x 3 ,② g ( x) ? 3 ? 3 ,③ u( x) ? x ,④ v( x) ? sin x , x 其中满足条件:对任意实数 x 及任意正数 m ,都有 f (? x) ? f ( x) ? 0 及 f ( x ? m) ? f ( x) 的
11.给出四个函数:① f ( x) ? x ? 函数为 ▲ . (写出所有满足条件的函数的序号) 12.甲、乙两人玩猜数字游戏,先由甲心中想一个数字,记为 a ,再由乙猜想甲刚才想的数 字,把乙猜的数字记为 b ,且 a, b ? ?0,1,2,3,?9?,若 a ? b ? 1 ,则称甲乙“心有灵犀” .现 找两个人玩这个游戏,得出他们“心有灵犀”的概率为 ▲ . 13.已知 y ? f (x) 是定义在 R 上的增函数,且 y ? f ( x) 的图像关于点 (6, 0) 对称.若实数

x, y 满足不等式 f ( x2 ? 6x) ? f ( y 2 ? 8 y ? 36) ? 0 ,则 x 2 ? y 2 的取值范围是
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14.定义变换 T 将平面内的点 P( x, y)( x ? 0, y ? 0) 变换到平面内的点 Q( x , y ) . 若曲线 C0 :

x y ? ? 1( x ? 0, y ? 0) 经变换 T 后得到曲线 C1 ,曲线 C1 经变换 T 后得到曲线 4 2

C2 ? ,依次类推,曲线 Cn?1 经变换 T 后得到曲线 Cn ,当 n ? N * 时,记曲线 Cn 与 x 、 y 轴
正半轴的交点为 An (an ,0) 和 Bn (0, bn ) .某同学研究后认为曲线 Cn 具有如下性质: ①对任意的 n ? N ,曲线 Cn 都关于原点对称;
*
* *

②对任意的 n ? N ,曲线 Cn 恒过点 (0, 2) ; ③对任意的 n ? N ,曲线 Cn 均在矩形 OAn Dn Bn (含边界)的内部,其中 Dn 的坐标为

Dn (an , bn ) ;
④记矩形 OAn Dn Bn 的面积为 Sn ,则 lim S n ? 1
n ??

其中所有正确结论的序号是





二、选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题有且只有一个正确答案,考生必须在答 题纸相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得 5 分,否则一律得零分. 15.过点 (1,0) 且与直线 x ? 2 y ? 2 ? 0 平行的直线方程是 A. x ? 2 y ? 1 ? 0 C. 2 x ? y ? 2 ? 0 B. x ? 2 y ? 1 ? 0 D. x ? 2 y ? 1 ? 0

16.对于原命题: “已知 a、b、c ? R ,若 a ? b ,则

ac2 ? bc 2 ” ,以及它的逆命题、否命题、逆否命题,
在这 4 个命题中,真命题的个数为 A.0 个 C.2 个 B.1 个 D.4 个

17.右图给出了一个程序框图,其作用是输入 x 的值, 输出相应的 y 值.若要使输入的 x 值与输出的 y 值相 等,则这样的 x 值有 A.1 个 C.3 个 B.2 个 D.4 个

18.设 f ( x ) 是定义在 R 上的偶函数,对任意 x ? R ,都有 f ( x ? 2) ? f ( x ? 2), 且当

1 x ? [?2, 0] 时, f ( x) ? ( ) x ? 1 .若在区间 (?2, 6] 内关于 x 的方程 2

f ( x) ? loga ( x ? 2) ? 0(a ? 1) 恰有 3 个不同的实数根,则实数 a 的取值范围是
A. (1, 2) B. (2, ??) C. (1, 3 4) D. ( 3 4, 2)

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三.解答题(本大题满分 74 分)本大题共有 5 题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定 区域内写出必要的步骤. 19. (本题满分 12 分) 已知 a ? (2cos x,1) ,b ? (cos x, 3sin 2x) ,其中 x ? R .设函数 f ( x) ? a ? b ,求 f ( x ) 的 最小正周期、最大值和最小值.

?

?

? ?

20. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 7 分,第 2 小题满分 7 分 已知 z ? C ,且满足 z ? ( z ? z )i ? 5 ? 2i .
2

(1)求 z ; (2)若 m ? R , w ? zi ? m ,求证: w ? 1 .

21. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分 “活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点.研究表明:“活水围网” 养鱼时,某种鱼在一定的条件下,每尾鱼的平均生长速度 v (单位:千克/年)是养殖密度 x (单位: 尾/立方米) 的函数. x 不超过 4 尾/立方米) v 的值为 2 当 ( 时, (千克/年)当 4 ? x ? 20 ; 时, v 是 x 的一次函数;当 x 达到 20 (尾/立方米)时,因缺氧等原因, v 的值为 0 (千克/ 年) 。 (1)当 0 ? x ? 20 时,求函数 v( x) 的表达式; (2)当养殖密度 x 为多大时,鱼的年生长量(单位:千克/立方米) f ( x) ? x ? v( x) 可以达 到最大,并求出最大值.

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22. (本题满分 16 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小 题满分 6 分 已知递增的等差数列 {an } 的首项 a1 ? 1 ,且 a1 、 a2 、 a4 成等比数列. (1)求数列 {an } 的通项公式 an ; (2)设数列 {cn } 对任意 n ? N ,都有
*

c c1 c2 ? 2 ? ? ? n ? an ?1 成立,求 c1 ? c2 ? ? ? c2012 的 2 2 2n

值. (3)若 bn ?

an ?1 (n ? N * ) ,求证:数列 {bn } 中的任意一项总可以表示成其他两项之积. an

23. (本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小 题满分 8 分

x2 y 2 x2 y 2 对于双曲线 C : 2 ? 2 ? 1 (a ? 0, b ? 0) , 定义 C1 : 2 ? 2 ? 1 为其伴随曲线, 记双 a b a b 曲线 C 的左、右顶点为 A 、 B .
(1)当 a ? b 时,记双曲线 C 的半焦距为 c ,其伴随椭圆 C1 的半焦距为 c1 ,若 c ? 2c1 ,求 双曲线 C 的渐近线方程; (2) 若双曲线 C 的方程为 求动点 M 的轨迹方程; (3)过双曲线 C : x ? y ? 1 的左焦点 F ,且斜率为 k 的直线 l 与双曲线 C 交于 N1 、 N 2 两
2 2

x2 y 2 ? ? 1 , PQ ? x 轴, 弦 记直线 PA 与直线 QB 的交点为 M , 4 2

点,求证:对任意的 k ? [?2 4 , 2 4 ] ,在伴随曲线 C1 上总存在点 S ,使得 FN1 ? FN 2 ? FS .

?

1

?

1

???? ???? ? ?

??? 2 ?

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