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【步步高】2015届高三数学北师大版(通用,理)总复习学案:学案1 集合的概念与运算


第一章 学案 1

集合与常用逻辑用语 集合的概念与运算

导学目标: 1.能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题. 2.理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集. 3.理解两个集合的并集与交集的含义,会求两个简单集合的并集与交集.4.理解在给定集 合中一个子集的补集的含义,会求给定子集的补集.5.能使用韦恩(Venn)图表达集合的关系及 运算.

自主梳理 1.集合元素的三个特征:确定性、互异性、无序性. 2.元素与集合的关系是属于或不属于关系,用符号∈或 ? 表示. 3.集合的表示法:列举法、描述法、图示法、区间法. 4.集合间的基本关系 对任意的 x∈A,都有 x∈B,则 A?B(或 B?A). 若 A?B,且在 B 中至少有一个元素 x∈B,但 x ? A,则 A B(或 B A). 若 A?B 且 B?A,则 A=B. 5.集合的运算及性质 设集合 A,B,则 A∩B={x|x∈A 且 x∈B},A∪B={x|x∈A 或 x∈B}. 设全集为 U,则?UA={x|x∈U 且 x ? A}. A∩?=?,A∩B?A,A∩B?B, A∩B=A?A?B. A∪?=A,A∪B?A,A∪B?B, A∪B=B?A?B. A∩?UA=?;A∪?UA=U. 自我检测 1.(2011· 长沙模拟)下列集合表示同一集合的是( ) A.M={(3,2)},N={(2,3)} B.M={(x,y)|x+y=1},N={y|x+y=1} C.M={4,5},N={5,4} D.M={1,2},N={(1,2)} 答案 C 2.(2009· 辽宁)已知集合 M={x|-3<x≤5},N={x|-5<x<5},则 M∩N 等于( ) A.{x|-5<x<5} B.{x|-3<x<5} C.{x|-5<x≤5} D.{x|-3<x≤5} 答案 B 解析 画数轴,找出两个区间的公共部分即得 M∩N={x|-3<x<5}. x2 y2 3.(2010· 湖北)设集合 A={(x,y)| + =1},B={(x,y)|y=3x},则 A∩B 的子集的个 4 16 数是( ) A.4 B.3 C.2 D.1 答案 A x2 y2 解析 易知椭圆 + =1 与函数 y=3x 的图象有两个交点,所以 A∩B 包含两个元素, 4 16

故 A∩B 的子集个数是 4 个. 4.(2010· 潍坊五校联考)集合 M={y|y=x2-1,x∈R},集合 N={x|y= 9-x2,x∈R}, 则 M∩N 等于( ) A.{t|0≤t≤3} B.{t|-1≤t≤3} C.{(- 2,1),( 2,1)} D.? 答案 B 解析 ∵y=x2-1≥-1,∴M=[-1,+∞). 又∵y= 9-x2,∴9-x2≥0. ∴N=[-3,3].∴M∩N=[-1,3]. 5. (2011· 福州模拟)已知集合 A={1,3, a}, B={1, a2-a+1}, 且 B?A, 则 a=________. 答案 -1 或 2 解析 由 a2-a+1=3,∴a=-1 或 a=2,经检验符合. 由 a2-a+1=a,得 a=1,但集合中有相同元素,舍去,故 a=-1 或 2.

探究点一
例1

集合的基本概念

b (2011· 沈阳模拟)若 a,b∈R,集合{1,a+b,a}={0, ,b},求 b-a 的值. a 解题导引 解决该类问题的基本方法为:利用集合中元素的特点,列出方程组求解,但 解出后应注意检验,看所得结果是否符合元素的互异性. b 解 由{1,a+b,a}={0, ,b}可知 a≠0,则只能 a+b=0,则有以下对应关系: a a+b=0, ? ?b ?a=a, ? ?b=1 a+b=0, ? ?b=a, 或? b ? ?a=1.





? ?a=-1, 由①得? 符合题意;②无解. ?b=1, ? ∴b-a=2. 变式迁移 1 设集合 A={1,a,b},B={a,a2,ab},且 A=B,求实数 a,b. 解 由元素的互异性知, a≠1,b≠1,a≠0,又由 A=B, ?a2=1, ?a2=b, ? ? 得? 或? 解得 a=-1,b=0. ?ab=b, ?ab=1, ? ?

探究点二

集合间的关系

例 2 设集合 M={x|x=5-4a+a2,a∈R},N={y|y=4b2+4b+2,b∈R},则下列关 系中正确的是( ) A.M=N B.M N C.M N D.M∈N 解题导引 一般地,对于较为复杂的两个或两个以上的集合,要判断它们之间的关系, 应先确定集合中元素的形式是数还是点或其他,属性如何.然后将所给集合化简整理,弄清 每个集合中的元素个数或范围,再判断它们之间的关系. 答案 A 解析 集合 M={x|x=5-4a+a2,a∈R}={x|x=(a-2)2+1,a∈R}={x|x≥1}, N={y|y=4b2+4b+2,b∈R}={y|y=(2b+1)2+1,b∈R}={y|y≥1}.∴M=N. 变式迁移 2 设集合 P={m|-1<m<0},Q={m|mx2+4mx-4<0 对任意实数 x 恒成立, 且 m∈R},则下列关系中成立的是( ) A.P Q B.Q P C.P=Q D.P∩Q=? 答案 A 解析 P={m|-1<m<0}, ? ?m<0, Q:? 或 m=0. 2 ?Δ=16m +16m<0, ? ∴-1<m≤0. ∴Q={m|-1<m≤0}. ∴P Q.

探究点三

集合的运算

例 3 设全集是实数集 R,A={x|2x2-7x+3≤0},B={x|x2+a<0}. (1)当 a=-4 时,求 A∩B 和 A∪B; (2)若(?RA)∩B=B,求实数 a 的取值范围.
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解题导引 解决含参数问题的集合运算, 首先要理清题目要求, 看清集合间存在的相互 关系,注意分类讨论、数形结合思想的应用以及空集的特殊性. 1 解 (1)A={x| ≤x≤3}. 2 当 a=-4 时,B={x|-2<x<2}, 1 ∴A∩B={x| ≤x<2}, 2 A∪B={x|-2<x≤3}. 1 (2)?RA={x|x< 或 x>3}. 2 当(?RA)∩B=B 时,B??RA, 即 A∩B=?. ①当 B=?,即 a≥0 时,满足 B??RA; ②当 B≠?,即 a<0 时,B={x|- -a<x< -a}, 1 要使 B??RA,需 -a≤ , 2 1 解得- ≤a<0. 4 1 综上可得,a 的取值范围为 a≥- . 4 变式迁移 3 (2011· 阜阳模拟)已知 A={x||x-a|<4},B={x||x-2|>3}. (1)若 a=1,求 A∩B; (2)若 A∪B=R,求实数 a 的取值范围. 解 (1)当 a=1 时, A={x|-3<x<5}, B={x|x<-1 或 x>5}. ∴A∩B={x|-3<x<-1}. (2)∵A={x|a-4<x<a+4}, B={x|x<-1 或 x>5},且 A∪B=R, ? ?a-4<-1 ∴? ?1<a<3. ?a+4>5 ? ∴实数 a 的取值范围是(1,3).

分类讨论思想在集合中的应用
例 (12 分)(1)若集合 P={x|x2+x-6=0},S={x|ax+1=0},且 S?P,求由 a 的可取 值组成的集合; (2)若集合 A={x|-2≤x≤5},B={x|m+1≤x≤2m-1},且 B?A,求由 m 的可取值组 成的集合. 【答题模板】 解 (1)P={-3,2}.当 a=0 时,S=?,满足 S?P; [2 分] 1 当 a≠0 时,方程 ax+1=0 的解为 x=- , a 1 1 为满足 S?P 可使- =-3 或- =2, a a 1 1 即 a= 或 a=- . [4 3 2 分] 1 1 故所求集合为{0, ,- }. [6 分] 3 2 (2)当 m+1>2m-1,即 m<2 时,B=?,满足 B?A; [8 分]
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若 B≠?,且满足 B?A,如图所示, m+1≤2m-1, ? ? 则 ?m+1≥-2, ? ?2m-1≤5, 分] 故 m<2 或 2≤m≤3,即所求集合为{m|m≤3}. 分] 【突破思维障碍】 在解决两个数集关系问题时, 避免出错的一个有效手段即是合理运用数轴帮助分析与求 解,另外,在解含有参数的不等式(或方程)时,要对参数进行讨论,分类时要遵循“不重不 漏”的分类原则,然后对于每一类情况都要给出问题的解答. 【易错点剖析】 (1)容易忽略 a=0 时,S=?这种情况. (2)想当然认为 m+1<2m-1 忽略“>”或“=”两种情况. [12 m≥2, ? ? 即?m≥-3, ? ?m≤3, ∴ 2≤m≤3. [10

解答集合问题时应注意五点: 1.注意集合中元素的性质——互异性的应用,解答时注意检验. 2.注意描述法给出的集合的元素.如{y|y=2x},{x|y=2x},{(x,y)|y=2x}表示不同的 集合. 3.注意?的特殊性.在利用 A?B 解题时,应对 A 是否为?进行讨论. 4.注意数形结合思想的应用.在进行集合运算时要尽可能借助 Venn 图和数轴使抽象 问题直观化,一般地,集合元素离散时用 Venn 图表示,元素连续时用数轴表示,同时注意 端点的取舍. 5.注意补集思想的应用.在解决 A∩B≠?时,可以利用补集思想,先研究 A∩B=?的 情况,然后取补集.

(满分:75 分) 一、选择题(每小题 5 分,共 25 分) 1.满足{1} A?{1,2,3}的集合 A 的个数是( ) A.2 B.3 C.4 D.8 答案 B 解析 A={1}∪B,其中 B 为{2,3}的子集,且 B 非空,显然这样的集合 A 有 3 个, 即 A={1,2}或{1,3}或{1,2,3}. 2.(2011· 杭州模拟)设 P、Q 为两个非空集合,定义集合 P+Q={a+b|a∈P,b∈Q}.若 P={0,2,5},Q={1,2,6},则 P+Q 中元素的个数是( ) A.9 B.8 C.7 D.6 答案 B 解析 P+Q={1,2,3,4,6,7,8,11},故 P+Q 中元素的个数是 8. 3.(2010· 北京)集合 P={x∈Z|0≤x<3},M={x∈Z|x2≤9},则 P∩M 等于( ) A.{1,2} B.{0,1,2} C.{1,2,3} D.{0,1,2,3} 答案 B 解析 由题意知:P={0,1,2}, M={-3,-2,-1,0,1,2,3},∴P∩M={0,1,2}. 4.(2010· 天津)设集合 A={x||x-a|<1,x∈R},B={x|1<x<5,x∈R}.若 A∩B=?,则
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实数 a 的取值范围是( ) A.{a|0≤a≤6} B.{a|a≤2 或 a≥4} C.{a|a≤0 或 a≥6} D.{a|2≤a≤4} 答案 C 解析 由|x-a|<1 得-1<x-a<1, 即 a-1<x<a+1. 由图可知 a+1≤1 或 a-1≥5,所以 a≤0 或 a≥6. 2 5.设全集 U 是实数集 R,M={x|x2>4},N={x| ≥1},则右图中阴影部分所表示的 x-1 集合是( )

A.{x|-2≤x<1} B.{x|-2≤x≤2} C.{x|1<x≤2} D.{x|x<2} 答案 C 解析 题图中阴影部分可表示为(?UM)∩N,集合 M 为{x|x>2 或 x<-2},集合 N 为 {x|1<x≤3},由集合的运算,知(?UM)∩N={x|1<x≤2}. 二、填空题(每小题 4 分,共 12 分) 6. (2011· 绍兴模拟)设集合 A={1,2}, 则满足 A∪B={1,2,3}的集合 B 的个数是________. 答案 4 解析 由题意知 B 的元素至少含有 3,因此集合 B 可能为{3}、{1,3}、{2,3}、{1,2,3}. 7.(2009· 天津)设全集 U=A∪B={x∈N*|lg x<1},若 A∩(?UB)={m|m=2n+1, n=0,1,2,3,4},则集合 B=________. 答案 {2,4,6,8} 解析 A∪B={x∈N*|lg x<1}={1,2,3,4,5,6,7,8,9},A∩(?UB)={1,3,5,7,9}, ∴B={2,4,6,8}. 8.(2010· 江苏)设集合 A={-1,1,3},B={a+2,a2+4},A∩B={3},则实数 a=____. 答案 1 解析 ∵3∈B,由于 a2+4≥4,∴a+2=3,即 a=1. 三、解答题(共 38 分) 9. (12 分)(2011· 烟台模拟)集合 A={x|x2+5x-6≤0}, B={x|x2+3x>0}, 求 A∪B 和 A∩B. 解 ∵A={x|x2+5x-6≤0} ={x|-6≤x≤1}.(3 分) B={x|x2+3x>0}={x|x<-3 或 x>0}.(6 分) 如图所示,

∴A∪B={x|-6≤x≤1}∪{x|x<-3 或 x>0}=R.(9 分) A∩B={x|-6≤x≤1}∩{x|x<-3 或 x>0} ={x|-6≤x<-3,或 0<x≤1}.(12 分) 1 10.(12 分)已知集合 A={x|0<ax+1≤5},集合 B={x|- <x≤2}.若 B?A,求实数 a 2 的取值范围. 解 当 a=0 时,显然 B?A;(2 分)

当 a<0 时,
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若 B?A,如图, 4 1 ≤- , a 2 则 (5 分) 1 - >2, a

? ? ?

a≥-8, ? ? 1 ∴? ∴- <a<0;(7 分) 1 2 ? ?a>-2. 当 a>0 时,如图,若 B?A, 1 1 - ≤- , a 2 则 (9 分) 4 ≥2, a

? ? ?

? ?a≤2, ∴? ∴0<a≤2.(11 分) ?a≤2. ? 1 综上知,当 B?A 时,- <a≤2.(12 分) 2

x-5 11.(14 分)(2011· 岳阳模拟)已知集合 A={x| ≤0},B={x|x2-2x-m<0}, x+1 (1)当 m=3 时,求 A∩(?RB); (2)若 A∩B={x|-1<x<4},求实数 m 的值. x-5 解 由 ≤0, x+1 所以-1<x≤5,所以 A={x|-1<x≤5}.(3 分) (1)当 m=3 时,B={x|-1<x<3}, 则?RB={x|x≤-1 或 x≥3},(6 分) 所以 A∩(?RB)={x|3≤x≤5}.(10 分) (2)因为 A={x|-1<x≤5}, A∩B={x|-1<x<4},(12 分) 所以有 42-2×4-m=0,解得 m=8. 此时 B={x|-2<x<4},符合题意, 故实数 m 的值为 8.(14 分)

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