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上海市松江区2013届高三一模数学答案(理科)


松江区 2012 学年度第一学期高三期末考试 数学(理科)试卷参考答案
2013.1 1. 4 3. 1 5. 5 7. y
2

2. 2 4. 20 6.

1 2

? 4x

8. 2 10.

9. 2 3 11.③ 13. [16,36] 15.D

16. C 17.C

1 2 7 12. 25
14. ③④ 18.D ……………………… 3 分

2 19.解:由题意知 f ( x) ? a ? b ? 2 cos x ? 3 sin 2x

? ?

cos 2 x ? 1 ? 3 sin 2x 2 ? cos2x ? 3sin 2x ?1 ?? ? ………………………………… 6 分 ? 2sin ? 2x ? ? ? 1 6? ? 2? ∴最小正周期 T ? ……………………8 分 ?? 2 ? ? 当 2x ? ? ? 2k? ,即 x ? ? ? k? , ? k ? Z? 时, f ( x)max ? 2 ?1 ? 3………………10 分 6 2 6 ? 3? 当 2x ? ? ? 2k? ,即 x ? 2? ? k? , ? k ? Z? 时, f ? x ?min ? ?2 ? 1 ? ?1 …………12 分 6 2 3 ? 2?
20.解: (1)设 z ? a ? bi (a, b ? R) ,则 z ? a2 ? b2 , ( z ? z )i ? 2ai
2

…………2 分

由 a ? b ? 2ai ? 5 ? 2i
2 2

?a 2 ? b 2 ? 5 ……………………………4 分 ? 2a ? 2 ?a ?1 ? a ?1 解得 ? 或 ? ……………………………… 5 分 ?b ? 2 ?b ? ? 2 ∴ z ? 1? 2i 或 z ? 1 ? 2i ……………………………… 7 分 (2)当 z ? 1? 2i 时,
得?

w ? zi ? m ? (1 ? 2i)i ? m ? ?2 ? i ? m ? (m ? 2)2 ? 1 ? 1 …………………… 10 分
当 z ? 1 ? 2i 时,

w ? zi ? m ? (1 ? 2i)i ? m ? 2 ? i ? m ? (m ? 2)2 ? 1 ? 1 ………………………13 分

∴ w ?1 21.解: (1)由题意:当 0 ? x ? 4 时, v ? x ? ? 2 ;

……………………………14 分 …………………………2 分

当 4 ? x ? 20 时,设 v?x? ? ax ? b ,显然 v?x? ? ax ? b 在 [4, 20] 是减函数,

1 ? ?a ? ? 8 ?20a ? b ? 0 ? 由已知得 ? ,解得 ? …………………………4 分 ? 4a ? b ? 2 ?b ? 5 ? ? 2 ?2, 0 ? x ? 4, x ? N * ? 故函数 v?x ? = ? 1 …………………………6 分 5 4 ? x ? 20, x ? N * ?? x ? , 2 ? 8 ?2 x, 0 ? x ? 4, x ? N * ? (2)依题意并由(1)可得 f ?x ? ? ? 1 ………8 分 5 2 4 ? x ? 20, x ? N *. ?? x ? x, 2 ? 8 当 0 ? x ? 4 时, f ?x? 为增函数,故 f max ? x ? ? f (4) ? 4 ? 2 ? 8 ; …………10 分
1 2 5 1 2 1 100 2 当 4 ? x ? 20 时, f ? x ? ? ? x ? x ? ? ( x ? 20 x) ? ? ( x ? 10) ? , 8 2 8 8 8 f max ? x ? ? f (10) ? 12.5 . …………………………12 分
所以,当 0 ? x ? 20 时, f ?x? 的最大值为 12.5 . 当养殖密度为 10 尾/立方米时,鱼的年生长量可以达到最大,最大值约为 12.5 千克/立方 米. …………………………14 分 22.解: (1)∵ ?an ? 是递增的等差数列,设公差为 d (d ? 0) ……………………1 分
2 ? a1 、 a2 、 a4 成等比数列,∴a2 =a1 ? a4

2

……………………2 分



(1? d 2 ? ? ? d 3 及 d ? 0 得 ) 1 (1 )

d ?1

……………………………3 分 ……………………………4 分

∴ an ? n(n ? N*) (2)∵ an?1 ? n ?1 , 当 n ? 1 时,

c c1 c2 ? 2 ? ? ? n ? n ? 1 对 n ? N * 都成立 2 2 2n

c1 ……………………………5 分 ? 2 得 c1 ? 4 2 c c c c c c 当 n ? 2 时,由 1 ? 2 ? ? ? n ? n ? 1 ①,及 1 ? 2 ? ? ? n?1 ? n ② 2 n 2 2 2 2 2 2 2n?1 c n ①-②得 n ? 1 ,得 cn ? 2 …………7 分 n 2
∴ cn ? ?

? 4 (n ? 1) n ?2 ( n ? 2)

……………8 分

∴ c1 ? c2 ? ? ? c2012 ? 4 ? 2 ? 2 ? ? ? 2
2 3
*

2012

22 (1 ? 22011 ) ? 4? ? 22013 …………10 分 1? 2
………11 分

(3)对于给定的 n ? N ,若存在 k, t ? n, k, t ? N* ,使得 bn ? bk ? bt ∵ bn ?

n ?1 n ?1 k ?1 t ?1 ,只需 , …………………12 分 ? ? n n k t 1 1 1 1 1 1 1 即 1 ? ? (1 ? ) ? (1 ? ) ,即 ? ? ? n k t n k t kt n(k ? 1) n 即 kt ? nt ? nk ? n ,t ? 取 k ? n ?1 ,则 t ? n ( ? 2) …………………14 分 k ?n n 2 ? 2n ? 1 n ?1 n?2 ∴对数列 {bn }中的任意一项 bn ? ,都存在 bn?1 ? 和 bn2 ? 2 n ? n 2 ? 2n n n ?1 使得 bn ? bn ?1 ? bn2 ? 2 n ………………………16 分
23.解: (1)∵ c ? a ? b , c1 ? a2 ? b2
2 2 2 2 2 2

………………………1 分

由 c ? 2c1 ,得 a ? b ? 2 a ? b ,即 a2 ? b2 ? 4(a2 ? b2 ) 可得

b2 3 ? a2 5

………………………3 分

15 ………………………4 分 x 5 (2)设 P( x0 , y0 ) , Q( x0 , ? y0 ) ,又 A(?2, 0) 、 B(2, 0) , y0 ∴直线 PA 的方程为 y ? ( x ? 2) …………① x0 ? 2 ? y0 直线 QB 的方程为 y ? ……………………6 分 ( x ? 2) …………② x0 ? 2
∴ C 的渐近线方程为 y ? ?

4 ? ? x0 ? x ? 由①②得 ? ?y ? 2y ? 0 x ?
∵ P( x0 , y0 ) 在双曲线

………………………………8 分

x2 y 2 ? ?1上 4 2 x2 y 2 ? ?1 4 2
………………………………10 分

42 4 y 2 2 2 ∴ x ? x ?1 4 2



(3)证明:点 F 的坐标为 F (? 2, 0) ,直线 l 的方程为 y ? k ( x ?

2) ,

设 N1 、 N2 的坐标分别为 N1 ( x1 , y1 ) 、 N2 ( x2 , y2 ) ……………………………11 分 则由 ?

? y ? k ( x ? 2) ? 2 2 ? x ? y ?1 ?

2 2 2 得 x ? k ( x ? 2) ? 1 ,

2 2 2 2 即 (1 ? k ) x ? 2 2k x ? (2k ? 1) ? 0 ,

当 k ? ?1 时, ∵ ? ? 8k 4 ? 4(1? k 2 )(2k 2 ?1) ? 8k 4 ? 8k 4 ? 4k 2 ? 4 ? 4k 2 ? 4 ? 0 ∴ x1 ? x2 ?

2k 2 ? 1 2 2k 2 , x1 ? x2 ? ? ………………………13 分 1? k 2 1? k 2 ???? ???? ? ? FN1 ? FN2 ? ( x1 ? 2, y1 ) ? ( x2 ? 2, y2 ) ? ( x1 ? 2)( x2 ? 2) ? y1 y2

? ( x1 ? 2)( x2 ? 2) ? k ( x1 ? 2)k ( x2 ? 2) ? (1 ? k 2 )[ x1 x2 ? 2( x1 ? x2 ) ? 2]

2k 2 ? 1 2 2k 2 1? k 2 ? 2? ? 2) ? 1? k 2 1? k 2 1? k 2 1 1 ? ? 2 2 由 k ? [ ?2 4 , 2 4 ] 知 k ? [0, ], 2 1? k 2 ? [1,3 ? 2 2] …………………………………16 分 ∴ 1? k 2 2 2 ∵双曲线 C : x2 ? y2 ? 1的伴随曲线是圆 C1 : x ? y ? 1 , C1 上任意一点 S 到 F 的距离 圆 ? (1 ? k 2 )(?

SF ?[ 2 ?1,1 ? 2] , ??? 2 ? ∴ SF ?[3 ? 2 2,3 ? 2 2]


…………………………………17 分

[1, ? 3

2 2] ?
1 ? 4

?3 [
1 ? 4

2 ?, 3 2

2 2]

∴对任意的 k ? [ ?2 , 2 ] ,在伴随曲线 C1 上总存在点 S , 使得 FN1 ? FN2 ? FS ………………………………18 分

???? ???? ??? 2 ? ? ?


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