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湖北省武汉科技大学附中2014版《创新设计》高考数学一轮复习单元突破:推理与证明


武汉科技大学附中 2014 版《创新设计》高考数学一轮复习单元突破:推理与证明 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分 150 分.考试时间 120 分钟. 第Ⅰ卷(选择题 项是符合题目要求的) 1.若 P ? 共 60 分) 一、选择题 (本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一

a ? 7 ? a ? 4 , Q ? a ? 3 ? a , (a ? 0) ,则 P, Q 的大小关系是(
B. P = Q C. P < Q

)

A. P > Q 【答案】C

D.由 a 的取值确定

2. “所有 9 的倍数都是 3 的倍数, 某奇数是 9 的倍数, 故某奇数是 3 的倍数.” 上述推理是( A.正确的 【答案】A 3. (-1,1) 在 上的函数 f(x)满足: f ( x ) ? f ( y ) ? f ( B.大前提错 C.小前提错 D.结论错

)

x? y ; 1) ) 当 x ? (?,0 1 ? xy

时, 有

f ( x) ? 0 ;

若P? f? ?? f?

?1? ?5?

1 1 ?1? ? ? ? ? ? ??? f ? 2 ? ??? f ? ?, 2 ? 11 ? ? r ? r ?1? ? 2009 ? 2009 ? 1 ?
) D.不能确定

?? f (

1 1 ), Q ? f ( ), R ? f (0) ;则 P,Q,R 的大小关系为( 2009 ? 2009 ? 1 2
2

A.R>Q>P 【答案】C 4.已知 f ( x ? 1) ?

B. P>R>Q

C. R>P>Q

2 f ( x) ,猜想 f ( x) 的表达式为( ) , f (1) ? 1 (x ? N *) f ( x) ? 2 4 2 1 2 A. f ( x) ? x B. f ( x) ? C. f ( x) ? D. f ( x) ? 2 ?2 x ?1 x ?1 2x ?1
3

【答案】B 5.用反证法证明“如果 a ? b ,那么 A. C.
3

a ? 3 b ”时,反证假设的内容应是(
B.

)

a?b
a?
3

a?b
3

b或

3

a?

3

b

D.

a?

3

b且

3

a?

3

b

【答案】C 6.对于大于 1 的自然数 m 的三次幂可用奇数进行以下方式的“分裂”:

?13 ?7 ?15 ?3 3 ? 3 ? 3 3 若 “分裂数” 中有一个是 59, m 的值为( 则 2 ? ? ,3 ? ?9 ,4 ? ? , ??仿此, m 的 5 17 ? ?11 ? ? ?19 ?
A. 7 【答案】B 7.已知数列 ? an ? 中, a1 ? 1 , an ?1 ? B.8 C.9 D.10

)

2 ? an ,猜想 an 的值为(

)

A. 2 cos 【答案】B

?
3? 2
n

B. 2 cos

?
3? 2
n ?1

C. 2 cos

?
3? 2
n ?1

D.

2sin

?
3 ? 2n

8.已知整数对排列如下:(1,1),(1,2),(2,1)(1,3),(2,2),(3,1),(1,4),(2,3),(3,2), (4,1),(1,5),(2,4),?,则第 60 个整数对是( A.(5,7) 【答案】A 9.用反证法证明命题:“如果 a ? b ? 0 ,那么 a ? b ”时,假设的内容应是(
2 2

) D.(6,7)

B.(4,8)

C.(5,8)

)

A. a ? b
2

2

B. a ? b
2 2

2

C. a ? b
2

2

D. a ? b 且 a ? b
2 2

2

【答案】C 10.我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰:置积尺数,以十六乘之,九而一,所得 开立方除之,即立圆径.“开立圆术”相当于给出了已知球的体积 V ,求其直径 d 的一个近 似公式 d ?
3

16 V 。人们还用过一些类似的近似公式.根据 π =3.14159? 判断,下列近似公 9
) B. d ? 3 2V C. d ?
3

式中最精确的一个是( A. d ? 【答案】D 11.设 m ?
3

16 V 9

300 V 157

D. d ?

3

21 V 11

a ? a ? 5, n ? a ? 2 ? a ? 3 ,则有(

)

A. m ? n C. m ? n 【答案】C

B. m ? n D. m, n 的大小不定 )

12.用反证法证明命题:“三角形的内角中至少有一个不大于 60 度”时,假设正确的是( A.假设三内角都不大于 60 度 B.假设三内角都大于 60 度 C.假设三内角至少有一个大于 60 度 D.假设三内角至多有二个大于 60 度 【答案】B 第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分) 二、填空题 (本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分,把正确答案填在题中横线上) 13.某人按如下方法做一次旅行(都在同一个平面上):第一天向东行 1 千米,第二天向南行 2
2

2

2

千米,第三天向西行 3 千米,第四天向北行 4 千米,第五天再向东行 5 千米,第六天再向 南行 6 千米, 如此继续下去, ?, 到第四十天结束时, 他距第一天出发点的直线距离为 米.1160 【答案】1160 14.函数 y ? kx ? b, 其中k , b ( k
2

2

2



? 0 )是常数,其图象是一条直线,称这个函数为线性函数.

而对于非线性可导函数 ..... 近似代替值:

f ? x ? ,在已知点 x0 附近一点 x 的函数值 f ? x ? ,可以用如下方法求其

f ? x ? ? f ? x0 ? ? f ? ? x0 ?? x ? x0 ? .利用这一方法,对于实数 m ? 3.998 ,
m .(填“>”或“<”或“=”)

取 x0 ? 4 ,则 m 的近似代替值 【答案】>

15. 黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案: 则第 n 个图案中有白色地面 砖____________块.

【答案】4n+2 16.观察下列等式:

13 ? 23 ? (1 ? 2)2 ,13 ? 23 ? 33 ? (1 ? 2 ? 3)2 ,13 ? 23 ? 33 ? 43 ? (1 ? 2 ? 3 ? 4)2 , ?,根据以上规
律, 13 ? 23 ? 33 ? 43 ? 53 ? 63 ? 73 ? 83 ? ____________.(用具体数字写出最后结果) 【答案】1296 三、解答题 (本大题共 6 个小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.设函数 f ( x) ? ax ? bx ? c(a ? 0) 中, a, b, c 均为整数,且 f (0), f (1) 均为奇数.求证:
2

f ( x) ? 0 无整数根.
【答案】假设 f ( x) ? 0 有整数根 n ,则 an ? bn ? c ? 0, (n ? Z ) 因为 f (0), f (1) 均为奇 ;
2

数,所以 c 为奇数, a ? b 为偶数,即

a, b, c 同时为奇数 或 a, b 为偶数 c 为奇数,
(1)当 n 为奇数时, an ? bn 为偶数;
2

(2)当 n 为偶数时, an ? bn 也为偶数,
2

即 an ? bn ? c 为奇数与 an ? bn ? c ? 0 矛盾.
2 2

所以假设不成立。

? f ( x) ? 0 无整数根.

18.求证:质数序列 2,3,5,7,11,13,17,19, ??是无限的 【答案】假设质数序列是有限的,序列的最后一个也就是最大质数为 P ,全部序列 为 2,3,5,7,11,13,17,19,..., P

? 2 ? 3 ? 5 ? 7 ?11? ... ? P ? 1 , 显然 N 不能被 2 整除, N 不能被 3 整除,?? N 不能被 P 整除,
再构造一个整数 N

即 N 不能被 2,3,5,7,11,13,17,19,..., P 中的任何一个整除, 所以 N 是个质数,而且是个大于 P 的质数,与最大质数为 P 矛盾, 即质数序列 2,3,5,7,11,13,17,19, ??是无限的 19.求证:当一个圆和一个正方形的周长相等时,圆的面积比正方形的面积大.

? l ? 【答案】(分析法)设圆和正方形的周长为 l ,依题意,圆的面积为 π ? · ? , ? 2π ? ?l? 正方形的面积为 ? ? . ?4? ? l ? ?l? 因此本题只需证明 π ? ? ?? ? . ? 2π ? ? 4 ?
2 2 2

2

πl 2 l 2 ? , 4π 2 16 4 1 1 两边同乘以正数 2 ,得 ? . l π 4
要证明上式,只需证明 因此,只需证明 4 ? π .

? l ? ?l? ∵ 上式是成立的,所以 π ? ? ? ? ? . ? 2π ? ? 4 ?
这就证明了如果一个圆和一个正方形的周长相等,那么圆的面积比正方形的面积最大. 20.求证:16< 1 k 4 1 <17. Σ i=1 k 2 k+ k < 2 =2( k- k-1), k-1+ k

2

2

【答案】 同时 1

=

2 > =2( k+1- k). k k+1+ k 80 ( k+1- k)< 80 1 80 <1+2 ( k- k-1) Σ Σ k=1 k k=1

于是得 2

Σ k=1

即 16<

80 1 <1+2( 80-1)<1+2(9-1)=17. Σ k=1 k
2 2 2

21.是否存在 a、b、c 使得等式 1·2 +2·3 +?+n(n+1) = 【答案】假设存在 a、b、c 使题设的等式成立,

n ( n ? 1) 2 (an +bn+c)。 12

1 ? ?4 ? 6 ( a ? b ? c ) ?a ? 3 ? 1 ? ? 这时令 n=1,2,3,有 ?22 ? (4a ? 2b ? c) ? ?b ? 11 2 ? ?c ? 10 ? ?70 ? 9a ? 3b ? c ? ?
于是,对 n=1,2,3 下面等式成立 1·2 +2·3 +?+n(n+1) =
2 2 2 2 2

n(n ? 1) (3n 2 ? 11n ? 10) 12
2

记 Sn=1·2 +2·3 +?+n(n+1) 设 n=k 时上式成立,即 Sk=

k (k ? 1) 2 (3k +11k+10) 12 k (k ? 1) 2 2 那么 Sk+1=Sk+(k+1) (k+2) = (k+2) (3k+5)+(k+1) (k+2) 2 (k ? 1)(k ? 2) 2 = (3k +5k+12k+24) 12 (k ? 1)(k ? 2) 2 = [3(k+1) +11(k+1)+10] 12
也就是说,等式对 n=k+1 也成立。 综上所述,当 a=3,b=11,c=10 时,题设对一切自然数 n 均成立 22. 我们已经学习过如下知识: 平面内到两个定点 F、F2 的距离和等于常数 2a 1

(2a ? F1 F2 ) 的

点的轨迹叫做椭圆;平面内到两个定点 F、F2 的距离之差的绝对值等于常数 1

2a (2a ? F1 F2 ) 的点的轨迹叫做双曲线.
(1)试求平面内到两个定点 F、F2 的距离之商为定值 a (a ? 0且a ? 1) 的点的轨迹; 1 提示:取线段 F1 F2 所在直线为 x 轴,线段 F1 F2 的垂直平分线为 y 轴,建立直角坐标系, 设 F、F2 的坐标分别为 (?c,0), (c,0) 其中 1 (2)若 ?ABC 中,满足 AB ? 4, AC ?

F1 F2 ? 2c

2 BC ,求三角形 ABC 的面积的最大值.

【答案】 (1)取线段 F1 F2 所在直线为 x 轴,线段 F1 F2 的垂直平分线为 y 轴,建立直角坐标系, 设 F、F2 的坐标分别为 (?c,0), (c,0) 1

F1 F2 ? 2c . 设动点坐标 M ( x, y)

根据题意可得

MF1 MF2

? a (a ? 0且a ? 1)

? MF1 ? ( x ? c) 2 ? y 2 , MF2 ? ( x ? c) 2 ? y 2
即 ( x ? c) ? y ? a ( x ? c) ? y
2 2 2 2

?

2

?

整理得 ( x ?

c(a 2 ? 1) 2 2ac ) ? y 2 ? ( 2 )2 2 a ?1 a ?1

所以平面内到两个定点 F、F2 的距离之商为定值 a (a ? 0且a ? 1) 的点的轨迹是圆. 1

c(a 2 ? 1) 2 2ac ? a (a ? 0且a ? 1) ,最后整理得 ( x ? 2 (用 ) ? y 2 ? ( 2 )2 MF1 a ?1 a ?1

MF2

(2)取线段 AB 所在直线为 x 轴,线段 AB 的垂直平分线为 y 轴,建立直角坐标系,设

A、B 的坐标分别为 (?2,0), (2,0) .
设顶点 C ( x, y) , y ? 0 ,根据题意可得

AC BC

? 2

? AC ? ( x ? 2) 2 ? y 2 , BC ? ( x ? 2) 2 ? y 2
即 ( x ? 2) ? y ? 2 ( x ? 2) ? y
2 2 2 2

?

2

?整理得 ( x ? 6)
2

2

? y 2 ? 32 ( y ? 0)

即点 C 落在除去两点的圆 ( x ? 6) ? y ? 32 上. 又 S ?ABC ?

1 AB ? yC ? 2 yC ,? 0 ? y C ? 4 2 2

? ( S ?ABC ) max ? 8 2


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