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一元一次不等式与一元一次不等式组


一元一次不等式与一元一次不等式组
1、不等式:用不等号“<” ( “≤” )或“>” ( “≥” )连接的式子叫做不等式。 2、不等式的基本性质: (1)不等式两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式,不等号的方向不变。 (2)不等式两边都乘以(或除以)同一个正数,不等号的方向不变。 (3)不等式两边都乘以(或除以)同一个负数,不等号的方向改变。 3、不等式的解集: (1)对于一个含有未知数的不等式,任何一个适合这个不等式的未知数的值,都叫做这个不 等式的解。 (2)对于一个含有未知数的不等式,它的所有解的集合叫做这个不等式的解的集合,简称这 个不等式的解集。 (3)求不等式的解集的过程,叫做解不等式。 4、一元一次不等式: (1)一元一次不等式的概念:一般地,不等式中只含有一个未知数,未知数的次数是 1,且 不等式的两边都是整式,这样的不等式叫做一元一次不等式。 (2)一元一次不等式的解法步骤: ①去分母;②去括号;③移项;④合并同类项; ⑤系数化为 1(注意不等号方向是否发生变化) (3)列一元一次不等式解决实际问题的步骤: ①审:认真审题。 ②设:设出适当未知数。 ③列:根据题意列出不等式。

④解:求出其解集。 ⑤验:检验不等式解集是否正确,并且是否符合生活实际。 ⑥答:写出答案并作答。 5、一元一次不等式与一次函数: (1)一元一次不等式与一次函数的关系:

k ? 0) 由于任何一个一元一次不等式都可以转化为 kx ? b ? 0或kx ? b ? 0 ( k , b为常数,且
的形式,所以解一元一次不等式可以看作当一次函数 y ? kx ? b 的值大于 0(或小于 0) 时,求相应的自变量的取值范围。 (2)用函数图象解一元一次不等式: ①当 kx ? b ? 0 ,表示直线 y ? kx ? b 在 x 轴上方的部分。 ②当 kx ? b ? 0 ,表示直线 y ? kx ? b 在 x 轴下方的部分。 ③当 kx ? b ? 0 ,表示直线 y ? kx ? b 在 x 轴的交点。 (3)用函数图象解决方案决策型问题:(先得到两个一次函数表达式 y1,y2 ) ①当 y1 的图象在 y2 的图象的上方时, y1 ? y2 。

②当 y1 的图象与 y2 的图象相交时, y1 ? y2 。 ③当 y1 的图象在 y2 的图象的下方时, y1 ? y2 。 6、解一元一次不等式组的步骤: (1)分别求出不等式组中各个不等式的解集; (2)利用数轴求出这些解集的公共部分,即这个不等式组的解集. 7、一元一次不等式组的解集的四种情况(a、b 为实数,且 a>b): 不等式组类型 数轴表示 语言描述 大大取大 解集

?x ? a ? ?x ? b ?x ? a ? ?x ? b ?x ? a ? ?x ? b ?x ? a ? ?x ? b

x?a

b

a
小小取小

b

a

x?b

b
b

a
a

大小小大中间找

b?x?a

大大小小解不了

无解

8、列一元一次不等式组解应用题: (1)弄清题意和题目中的数量关系,用字母表示未知数; (2)找出能够表示应用题全部含义的不等关系; (3)根据不等关系写出需要的代数式,列出不等式组; (4)解不等式组。 (5)写出答案。

9、 列不等式是数学化与符号化的过程, 它与列方程类似, 列不等式注意找到问题中不等关系 的词, 如: “正数(>0)” , “负数(<0) ” , “非正数(≤0) ” , “非负数(≥0) ” , “超过(>0)” , “不足(<0) ” , “至少(≥0) ” , “至多(≤0) ” , “不大于(≤0) ” , “不小于(≥0) ” 10、不等式(组)的应用情况: (1)第一问多考二元一次方程组(或分式方程) ; (2)第二问经常考不等式(组) (3)第三问经常一次函数的最值问题。

课堂练习:
类型一:不等式性质 1 若 a ? b ,则下列各式中一定成立的是( A. a ? 1 ? b ? 1 B. ) C. ? a ? ?b D. ac ? bc

a b ? 3 3

2 如果 ab<0,那么下列判断正确的是( ). A.a<0,b<0 B. a>0,b>0 C. a≥0,b≤0 3 下列式子正确的是( A. >0 ) B. ≥0 C.a+1>1

D. a<0,b>0 或 a>0,b<0

D.a―1>1

4若 ,则 的大小关系为( ) A. B. C. D.不能确定 5 如果a<b<0,下列不等式中错误 的是( ) .. A. ab>0 B. a+b<0 C. <1 D. a-b<0

6 若 x ? y ,则下列式子错误的是( ) A. x ? 3 ? y ? 3 类型二:比较大小
2 1 若 0 ? x ? 1, 则 x, ,x 的大小关系是(

B. 3 ? x ? 3 ? y

C. x ? 3 ? y ? 2

D.

x y ? 3 3

1 x



A.

1 ? x ? x2 x

B. x ?

1 ? x2 x

2 C. x ? x ?

1 x

D.

1 ? x2 ? x x


2 实数

在数轴上对应的点如图所示,则



, 的大小关系正确的是(

A. B. C. D. 3 如图,a、b、c 分别表示苹果、梨、桃子的质量.同类水果质量相等,则下列关系正确的是(



A.a>c>b

B.b>a>c

C.a>b>c

D.c>a>b )

4 四个小朋友玩跷跷板,他们的体重分别为 P、Q、R、S,如图 3 所示,则他们的体重大小关系是(

图3

A

B

C

D

类型四:解一元一次不等式 1 不等式 2 解不等式:2(x+ 的解集为 )-1≤-x+9 .

类型:不等式中字母的取值范围 1 关于 x 的方程 kx ? 1 ? 2 x 的解为正实数,则 k 的取值范围是 2 已知 ab ? 2 . (1)若 ?3 ≤ b ≤ ?1 ,则 a 的取值范围是____________. (2)若 b ? 0 ,且 a 2 ? b 2 ? 5 ,则 a ? b ? ____________. 3 关于不等式 的解集如图所示, 的值是( )

A、0 B、2 C、-2 D、-4 4 关于 x 的不等式 2x-a≤-1 的解集如图 2 所示,则 a 的取值是( A、0 B、-3 C、-2 D、-1 类型:利用不等式的解求最值 已知 3x+4≤6+2(x-2),则 类型五:解一元一次不等式组 的最小值等于________.

) 。
-2 -1
(图 学 2) 0 1

子 教 育
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? x ? 3( x ? 2) ≥ 4, ? 不等式组 ?1 ? 2 x 的解集是 ? x ? 1. ? ? 3



类型:解一元一次不等式组及解集在数轴上的表示

ca oy un

?x ? 8 ? 4x ?1 ? 将不等式 ? 1 3 的解集在数轴上表示出来,正确的是( x ? 8? x ? ?2 2



2 不等式组 ?

?2 x ? 2 ? 0 的解集在数轴上表示为( ?? x ≥ ?1



-2 -1 0 1 2

3

-2 -1 0 1 2

3

-2 -1 0 1 2

3

-2 -1 0 1 2

3

A.

B.

C.

D.

类型:不等式组的整数解

?2 x ? 7 ? 5 ? 2 x ? 1 不等式组 ? 3 ? x 的整数解是 x ?1 ? ? ? 2



?2 x ? 6 ? 6 ? 2 x ? 2 不等式组 ? 3 ? x 的整数解是( 2x ?1 ? ? ? 2
A.1,2 B.1,2,3



C. ? x ? 3

1 3

D.0,1,2

类型:已知不等式组的整数解,求字母的取值范围 1 已知关于 x 的不等式组 ?

? x ? a ≥ 0, 只有四个整数解,则实数 a 的取值范围是 ?5 ? 2 x ? 1
的整数解共有 3 个,则 的取值范围是



2 已知关于

的不等式组

. 。

3 已知关于 x 的不等式组 ? x ? a>0 的整数解共有 6 个,则 a 的取值范围是
? ?3 ? 2 x>0

4 若不等式组

有实数解,则实数

的取值范围是(



A.

B.

C.

D.

5 若不等式组 A.

的解集为 B.

,则 a 的取值范围为( D. a=4



a>0

a=0

C.

a>4

6 如果一元一次不等式组 ? A. a ? 3

?x ? 3 的解集为 x ? 3 .则 a 的取值范围是( ?x ? a
C. a ≤ 3 D. a ? 3 )

)

B. a ≥ 3

? x ? a≥0, 7 若不等式组 ? 有解,则 a 的取值范围是( ?1 ? 2 x ? x ? 2
A. a ? ?1 B. a ≥ ?1 C. a ≤ 1 D. a ? 1

类型:利用不等式组的解集求值 1 关于 x 的不等式组 ?

?x ? m ?1 ?x ? m ? 2

的解集是 x ? ?1 ,则 m =





?x ? ? a≥2 2 如果不等式组 ? 2 的解集是 0 ≤ x ? 1 ,那么 a ? b 的值为 ? ?2 x ? b ? 3
3 若不等式组 ?



?x ? a ? 2 的解集是 ?1 ? x ? 1 ,则 (a ? b)2009 ? ?b ? 2 x ? 0
的解集为-1<x<2,则(m+n)
2008



4 已知不等式组

=_______________.

类型:解不等式组

1 解不等式组

类型:求不等式组的整数解 1 解不等式组 ?

?x ? 2 ? 0 ;并写出它的整数解。 ? x ? 5 ? 3x ? 7

2 解不等式组

并写出该不等式组的最大整数解.

3 解不等式组

并求出所有整数解的和.

类型:解不等式组的解及解集在数轴上表示 1 解下列不等式组,并把解集在数轴上表示出来.

? x ? 2 ? 0       (1)   ? ?2( x ? 1) ? 3 ? 3x    (2)

2 解不等式组 ?

?3 ? (2 x ? 1) ≥ ?2 ,并把解集在数轴上表示出来. ??10 ? 2(1 ? x) ? 3( x ? 1)

类型:利用不等式组的解求值 1 若不等式组 , 的整数解是关于 x 的方程 的根,求 a 的值

类型:利用不等式组的解判断 2 解不等式组 : 并判断 是否满足该不等式组.

不等式应用题 1:一般不等式应用题 1 初中毕业了,孔明同学准备利用暑假卖报纸赚取 140~200 元钱,买一份礼物送给父母.已知:在暑假期间,如果 卖出的报纸不超过 1000 份, 则每卖出一份报纸可得 0.1 元; 如果卖出的报纸超过 1000 份, 则超过部分 每份可得 0.2 .... 元. (1)请说明:孔明同学要达到目的,卖出报纸的份数必须超过 1000 份. (2)孔明同学要通过卖报纸赚取 140~200 元,请计算他卖出报纸的份数在哪个范围内.

2 在保护地球爱护家园活动中,校团委把一批树苗分给初三(1)班同学去栽种.如果每人分 2 棵,还剩 42 棵;如 果前面每人分 3 棵,那么最后一人得到的树苗少于 5 棵(但至少分得一棵) . (1)设初三(1)班有 x 名同学,则这批树苗有多少棵?(用含 x 的代数式表示) . (2) 初三(1)班至少有多少名同学?最多有多少名

3 北京奥运会开幕前,某体育用品商场预测某品牌运动服能够畅销,就用 32000 元购进了一批这种运动服,上市后 很快脱销, 商场又用 68000 元购进第二批这种运动服, 所购数量是第一批购进数量的 2 倍, 但每套进价多了 10 元. (1)该商场两次共购进这种运动服多少套? (2)如果这两批运动服每套的售价相同,且全部售完后总利润率不低于 20%,那么每套售价至少是多少元?(利润 率?

利润 ?100% ) 成本

4 某校原有 600 张旧课桌急需维修,经过 A、B、C 三个工程队的竞标得知,A、B 的工作效率相同,且都为 C 队的 2 倍,若由一个工程队单独完成,C 队比 A 队要多用 10 天.学校决定由三个工程队一齐施工,要求至多 6 天完成维 修任务. 三个工程队都按原来的工作效率施工 2 天时, 学校又清理出需要维修的课桌 360 张, 为了不超过 6 天时限, 工程队决定从第 3 天开始,各自都提高工作效率,A、B 队提高的工作效率仍然都是 C 队提高的 2 倍.这样他们至少 还需要 3 天才能成整个维修任务. ⑴求工程队 A 原来平均每天维修课桌的张数; ⑵求工程队 A 提高工作效率后平均每天多维修课桌张数的取值范围.

5 为了防控甲型 H1N1 流感,某校积极进行校园环境消毒,购买了甲、乙两种消毒液共 100 瓶,其中甲种 6 元/瓶, 乙种 9 元/瓶. (1)如果购买这两种消毒液共用 780 元,求甲、乙两种消毒液各购买多少瓶? (2)该校准备再次 购买这两种消毒液(不包括已购买的 100 瓶) ,使乙种瓶数是甲种瓶数的 2 倍,且所需费用不多 .. .. 于 ,求甲种消毒液最多能再购买多少瓶? .1200 元(不包括 780 元)

不等式应用题 2:不等式组方案问题: 1 开学初,小芳和小亮去学校商店购买学习用品,小芳用 18 元钱买了 1 支钢笔和 3 本笔记本;小亮用 31 元买了同 样的钢笔 2 支和笔记本 5 本. (1)求每支钢笔和每本笔记本的价格; (2)校运会后,班主任拿出 200 元学校奖励基金交给班长,购买上述价格的钢笔和笔记本共 48 件作为奖品,奖 给校运会中表现突出的同学,要求笔记本数不少于钢笔数,共有多少种购买方案?请你一一写出.

2 为执行中央“节能减排,美化环境,建设美丽新农村”的国策,我市某村计划建造 A、B 两种型号的沼气池共 20 个,以解决该村所有农户的燃料问题.两种型号沼气池的占地面积、使用农户数及造价见下表: 占地面积 使用农户数 造价 型号 2 (单位:m /个 ) (单位:户/个) (单位: 万元/个) A 15 18 2 B 20 30 3 已知可供建造沼气池的占地面积不超过 365m ,该村农户共有 492 户. (1)满足条件的方案共有几种?写出解答过程. (2)通过计算判断,哪种建造方案最省钱.
2

3 跃壮五金商店准备从宁云机械厂购进甲、乙两种零件进行销售.若每个甲种零件的进价比每个乙种零件的进价少 2 元,且用 80 元购进甲种零件的数量与用 100 元购进乙种零件的数量相同. (1)求每个甲种零件、每个乙种零件的进价分别为多少元? (2)若该五金商店本次购进甲种零件的数量比购进乙种零件的数量的 3 倍还少 5 个,购进两种零件的总数量不 超过 95 个, 该五金商店每个甲种零件的销售价格为 12 元, 每个乙种零件的销售价格为 15 元, 则将本次购进的甲、 乙两种零件全部售出后,可使销售两种零件的总利润(利润=售价-进价)超过 371 元,通过计算求出跃壮五金商 店本次从宁云机械厂购进甲、乙两种零件有几种方案?请你设计出来.

4 响应“家电下乡”的惠农政策,某商场决定从厂家购进甲、乙、丙三种不同型号的电冰箱 80 台,其中甲种电冰箱 的台数是乙种电冰箱台数的 2 倍,购买三种电冰箱的总金额不超过 ...132 000 元.已知甲、乙、丙三种电冰箱的出厂 价格分别为:1 200 元/台、1 600 元/台、2 000 元/台. (1) 至少购进乙种电冰箱多少台? (2) 若要求甲种电冰箱的台数不超过丙种电冰箱的台数,则有哪些购买方案?

5 开学初,小芳和小亮去学校商店购买学习用品,小芳用 18 元钱买了 1 支钢笔和 3 本笔记本;小亮用 31 元买了同 样的钢笔 2 支和笔记本 5 本. (1)求每支钢笔和每本笔记本的价格; (2)校运会后,班主任拿出 200 元学校奖励基金交给班长,购买上述价格的钢笔和笔记本共 48 件作为奖品,奖 给校运会中表现突出的同学,要求笔记本数不少于钢笔数,共有多少种购买方案?请你一一写出.


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