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上海市徐汇区2013届高三一模数学答案(理科)


上海市徐汇区 2013 届高三一模数学试题(理科) 参考答案
一、填空题: (每题 4 分)

?1 1 ? 2      ? 1. ? ? ?1  3 -2 ?
5. 2sin 8.

2. x

?

1 3

3. ?

24 25

4. 8

?
4

x

6. arctan 9. 1 12.

1 2

7. x ? 0 10. 0 <q ? 1 13. 1 14. 5

31 35 23 16

11. 3

二、选择题: (每题 5 分) 15. C 16. B 17.A

18. C

三、解答题 19. 解:A=(3,4)………………………………………………………………………………..2 分 a ? 5 时,B= (a, ??) ? (??,5) ,满足 A ? B;…………………………………..6 分 a<5 时,B= (5, ??) ? (??, a) ,由 A ? B,得 a ? 4,故 4 ? a<5,……………..10 分 综上,得实数 a 的取值范围为 a ? 4. ……………………………………………..12 分 20. 解:(1)f(x)的定义域为 (??, ?1) ? (1, ??) ……………………………………………..2 分 f(-x)=log2

?x ?1 x ?1 =log2 =-f(x), ?x ?1 x ?1
………………………………………..6 分

所以,f(x)为奇函数.

x ?1 2y ?1 (2)由 y= log 2 ,得 x= y , x ?1 2 ?1
所以,f -1(x)=

2x ? 1 ,x ? 0. 2x ? 1

……………………………………..9 分

因为函数 g ( x) ? f ?1 ( x) ? log2 k 有零点, 所以, log 2 k 应在 f
?1

( x) 的值域内.
………………….13 分

2 2x ? 1 ? (??, ?1) ? (1, ??) , 所以,log2k= x =1+ x 2 ?1 2 ?1
从而,k ? (2, ??) ? (0, ) .

1 2

……………………………………………..14 分

21.解:(1) 由 OE//BC,OH//AB,得∠EOH= ? ,………………………..2 分 过点 B 作 BM⊥OE,BN⊥OH,则 Rt ? OMB ? Rt ? ONB,从而 ∠BOM= 在

? . 2

……………………………..4 分 中 , 由 BM=40 得 OM=40cot

Rt ? OMB

OE=OM+ME=OM+BS= 40 cot (2)由(1)结论得 OE=

?
2

? 2

, 从 而 ,

? 60 .

………………………………..6 分

40 ? 60 tan 750

设 OH=x,OF=y, 在 ? OHG 中,由余弦定理得, 2802=x2+(

40 40 ? 60 +100)2-2x( ? 60 +100)cos1500 , 0 tan 75 tan 750

解得 x ? 118.8cm. ………………………………………………………………..9 分 在 ? OEF 中,由余弦定理得, 2802=y2+(

40 40 ? 60 )2-2y( ? 60 )cos1500 , 0 0 tan 75 tan 75

解得 y ? 216.5cm. …………………………………………………………..12分 所以,FH=y-x ? 98cm, 即后轮中心从 F 处移动到 H 处实际移动了约 98cm. ………………………14 分

?a 2 ? b 2 ? 1 ? 22.解:(1)由 ? 1 ,得…………………………………..2 分 1 ? 2 ? 2 ?1 ? a 2b
a2=2,b2=1

x2 ? y 2 ? 1. 所以,椭圆方程为 2

………………………………………..4 分

? x ? my ? 1 ? (2)由 ? x 2 ,得(m2+2)y2+2my-1=0, 2 ? ? y ?1 ?2
设 P(x1,y1),Q(x2,y2),由条件可知,点 T (2, 0) .

1 1 2 1 1 4m2 ? 4(m2 ? 2) = ?2( 2 …..6 分 ) ?2 2 S?PQT = |FT||y1-y2|= ? 2 2 m ?2 m ?2 2 m ?2
令 t=

1 1 ,则 t ? (0, ] , m ?2 2
2

则 S?PQT = ?2t 2 ? 2t = ?2(t ? ) ?
2

1 2

1 1 2 ,当且仅当 t= ,即 m=0 ? 2 2 2

(此时 PQ 垂直于 x 轴)时等号成立,所以 S?PQT 的最大值是

2 . 2

…………..10 分

(3) P?Q 与 QT 共线 ………………………………………………………………..11 分

???? ?

??? ?

P? (x1,-y1), P?Q =(x2-x1,y2+y1), TQ =(x2-2,y2) ……………………………..12 分
由(x2-x1)y2-(x2-2)(y1+y2) =-x1y2-x2y1+2(y1+y2) =-(my1+1)y2-(my2+1)y1+2(y1+y2) =-2my1y2+(y1+y2)
[

???? ?

??? ?

?1 ?2 m + 2 m ?2 m ?2 ???? ??? ? ? =0,所以, P?Q 与 QT 共线…………………………………………………..16 分
=-2m
2

23.解:(1)由已知可得: ak ? aqk ?1 , am ? aqm?1 , an ? aqn?1 ,
2 则 am ? ak ? an ,即有 aq

………..…..1 分 ………….…………. …..3 分 …………………………..4 分

?

m ?1 2

? ? ? aq ??aq ? ,
k ?1 n ?1

2(m ? 1) ? (k ? 1) ? (n ? 1) ,化简可得. 2m ? k ? n .
(2)

ak ? an ? aqk ?1 ? aqn?1 ,又 2a ? 2aqm?1 , m
故 (ak ? an ) ? 2am ? aqk ?1 ? aqn?1 ? 2aqm?1 ? aqk ?1 (1 ? qn?k ? 2qm?k ) ,……………..6 分 由于 k , m, n 是正整数,且 n ? m ,则 n ? m ? 1, n ? k ? m ? k ? 1 , 又 q 是满足 q ? 1 的正整数,则 q ? 2 ,

1 ? qn?k ? 2qm?k ? 1 ? qm?k ?1 ? 2qm?k ? 1 ? qqm?k ? 2qm?k ? 1 ? 2qm?k ? 2qm?k ? 1 ? 0 ,
所以, ak ? an > 2am ,从而上述猜想不成立. …………………………………..10 分

(3)命题:对于首项为正整数 a ,公差为正整数 d 的无穷等差数列 {an } ,总可以找到一个无穷 子数列 {bn } ,使得 {bn } 是一个等比数列. 此命题是真命题,下面我们给出证明. 证 法 一 : 只 要 证 明 对 任 意 正 整 数 n, bn ? a(1 ? d ) , n ? 1 都 在 数 列 {an} 中 . 因 为
n

……….. …….. …………..13 分

bn=a(1+d)n=a(1+ Cn d+ Cn d2+…+ Cn dn)=a(Md+1),这里 M= Cn + Cn d+…+ Cn dn-1 为正整数,所
1 2 n 1 2 n

以 a(Md+1)=a+aMd 是{an}中的第 aM+1 项,证毕.

……………..18 分

证法二:首项为 a ,公差为 d ( a, d ? N * )的等差数列为 a, a ? d , a ? 2d ,? ,考虑数列 {an } 中 的项: a ? ad , a ? (2a ? ad )d , a ? (3a ? 3ad ? d 2 )d ,? 依次取数列 {bn } 中项 b1 ? a ? ad ? a(1 ? d ) , b2 ? a ? (2a ? ad )d ? a(1 ? d )2 ,
2 b3 ? a ? (3a ? 3ad ? d 2 )d ? a(1? d )3 ,则由 a ? 2 a ? ad ? 3 a ? 3 ad ? d ,可知

b2 b3 ? ,并 b1 b2
...18 分

由数学归纳法可知,数列 bn ? a(1 ? d )n , n ? 1 为 {an } 的无穷等比子数列.


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