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双曲线的简单简单几何性质


第八课时:双曲线的简单几何性质
学习目标:1、类比椭圆的简单几何性质研究并理解掌握双曲线的简单几何性质; 2、了解双曲线的渐近线及其方程; 3、了解等轴双曲线的含义; 4、在学习过程中,体会解析几何研究的两大问题. 学习重点:双曲线的简单几何性质. 学习难点:双曲线的渐近线. 学法指导:本节课类比椭圆从方程的角度研究双曲线的简单几何性质,在研究的过程中,要注 意双曲线的简单几何性质和椭圆的简单几何性质的相同点和不同点;在研究双曲线 的渐近线时,有条件的同学可以利用信息技术自己动手演示观察;注意当双曲线的 标准方程不同时,几何性质的不同.

复习回顾: 问题 1:请同学们回忆在椭圆中我们研究了椭圆的哪些几何性质,我们是从什么 角度进行研究的? (1)椭圆的简单几何性质:

(2)研究角度: 自主学习: 问题 2:同学们,椭圆和双曲线是两类不同的圆锥曲线,不过它们有相类似的几 何性质, 下面我们就类比椭圆几何性质的方法来研究双曲线的简单几何 性质.以
x2 y2 ? ? 1 ?a ? 0 , b ? 0? 为例,请大家阅读教材(理)56-58 页 a2 b2

(文)49-51 页内容,完成下列问题.
x2 y 2 ? 1 的图像 (1)、作出双曲线 ? 9 4

(2) 、通过观察,写出双曲线

x2 y2 ? ? 1 ?a ? 0 , b ? 0? 的几何性质 a2 b2

① 范围:双曲线在不等式______________________所表示的区域内 ② 对称性:以 ? y 代 y,方程不变,则双曲线关于_____________对称 以 ? x 代 x,方程不变,则双曲线关于_____________对称 以 ? x 代 x,且以 ? y 代 y,方程不变,则双曲线关于_________对称 结论:双曲线既是 对称中心是 又是 ,对称轴是

,双曲线的对称中心叫______________。

③ 顶点:顶点坐标为



.双曲线只有两个顶点,A1( ? a,0)和 A2(a, 0)

是实实在在存在的, B( 故线段 A1A2 叫做双曲线的_____, 1 0, ? b)和 B2 (0, b)是虚构的, 它的长度|A1A2|=________,a 叫做双曲线的_____________,线段 B1B2 叫做双曲线 的__________,它的长度|B1B2|=________,b 叫做双曲线的_____________ 注意:1、虚轴的两个端点不是顶点,但对认识双曲线有很大的作用,所以在图形 中也把它画出 2、椭圆的焦点在长轴上,双曲线的焦点在实轴上 ④ 、离心率 定义: 双曲线的离心率常用 e 2 ? 1 ?
b2 计算,椭圆的离心率常用______________计算 a2

在椭圆中,因为 a_____c,所以离心率 e 的取值范围是_____________ 在双曲线中,因为 a______c,所以离心率 e 的取值范围是_____________ 椭圆的离心率刻画椭圆的_____________,双曲线的离心率刻画双曲线的________ ⑤ 渐近线: 在必修一第 25 页出现过渐近线定义,请你回忆并写出 渐近线是双曲线特有的性质,双曲线的标准方程不同,渐近线也不同。 求双曲线的渐近线,可以采用下列方法:在双曲线方程中,只要把方程右边的 1 换 成 0,解出 x , y 的关系式,就得到渐近线方程。 等轴双曲线是一类特殊的双曲线,它的实轴和虚轴的长度________;两条渐近线互 相___________;离心率=________ 重要结论: 1、等轴双曲线的方程为: x2 ? y 2 ? ? ( ? ? 0) 2、以 y ? ? x 为渐近线(即与双曲线 x 2 ? y 2 ? 1 有相同的渐近线)的双曲线方程为
a b

b a

2

2

y x 。当焦点在同一坐标轴上时,其离心率也相等。 ? 2 ? ? (? 为参数, ? ≠0) 2 a b

2

2

问题 3、认真分析例 3、例 4,并完成课本 61 页练习 1-4,做在课本上

第八课时:双曲线的简单几何性质
1、课本理 61 页 A 组 3、4、6,B 组 1,文 54 页 A 组 3、4、6,B 组 1

2、 【2012 湖南】已知双曲线 C : 近线上,则 C 的方程为 A.
x2 y2 =1 20 5

x2 y2 - =1 的焦距为 10 ,点 P (2,1)在 C 的渐 a2 b2


x2 y 2 - =1 5 20



B.

C.

x2 y2 - =1 80 20

D.

x2 y2 - =1[w~# 20 80

3、 【2102 福建】已知双曲线
3 14 14 3 2 4

x2 y 2 - =1 的右焦点为(3,0) ,则该双曲线的离心率等于 a2 5

A

B

C

3 2

D

4 3

(

)

4、【2012 江苏】在平面直角坐标系 xOy 中,若双曲线 则 m 的值为 A 2 B

x2 y2 ? 2 ? 1 的离心率为 5 , m m ?4

(

)

3 2

C

4

D 1

5、 【2012 天津】已知双曲线 C1 :

x2 y2 x2 y2 C : ? ? 1有 ? ? 1 ( a ? 0 , b ? 0 ) 与双曲线 2 4 16 a2 b2

相同的渐近线,且 C1 的右焦点为 F ( 5,0) ,则 a ? _________, b ? ________ 6、 (11 年全国)已知直线 l 过双曲线 C 的一个焦点,且与 C 的对称轴垂直,l 与 C 交于 A,B 两点,|AB|为 C 的实轴长的 2 倍,C 的离心率为 ( )

(A) 2

(B) 3

(C)

2

(D)

3

7(辽宁)设双曲线的—个焦点为 F;虚轴的—个端点为 B,如果直线 FB 与该双曲 线的一条渐近线垂直,那么此双曲线的离心率为 ( ) (A)
2

(B) 3

(C)

3 ?1 2

(D)

5 ?1 2

8(福建)设圆锥曲线 C 的两个焦点分别为 F1,F2,若曲线 C 上存在点 P 满足 |PF1|:|F1F2|:|PF2|=4:3:2,则曲线 C 的离心率等于 ( )

1 3 或 A. 2 2

2 B. 3 或 2

1 或 C. 2 2

2 3 或 D. 3 2

x2 y 2 ? 1 的左、右焦点,点 A∈C,点 9(11 全国)已知 F1、F2 分别为双曲线 C: ? 9 27
M 的坐标为(2,0) ,AM 为∠F1AF2 的平分线.则|AF2| = A 6 B 8 C 9 D 4 10、 【2012 高考浙江】 如图,中心均为原点 O 的 双曲线与椭圆有公共焦点,M,N 是双曲线的两顶点。 若 M,O,N 将椭圆长轴四等分,则双曲线与椭圆的离 心率的比值是 ( ) A. 3 B. 2 C.
3





D.

2

11.【2012 高考重庆】设 P 为直线 y ?

b x2 y 2 x 与双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 左支的交 3a a b

点, F1 是左焦点, PF1 垂直于 x 轴,则双曲线的离心率 e ? A
3 2 4


3



B

3 2 2

C

2

D

12.(11 年四川)双曲线 到左准线的距离是 A 12 B 16

x2 y 2 ? ? 1 上一点 P 到双曲线右焦点的距离是 4,那么点 P 64 36
( C )

48 96 D 5 5 13.求证:双曲线的焦点到渐近线的距离等于虚半轴长 b . (记住此结论)

第九课时:直线与双曲线的位置关系(学思课)
学习目标:1、类比直线与椭圆的位置关系探讨直线与双曲线的位置关系; 2、能解决简单的直线与双曲线相交时,与弦长有关的问题. 学习重点:直线与双曲线的位置关系. 学习难点:通过方程的根的情况认识直线与双曲线的位置关系. 学法指导:本节课类比椭圆从方程的角度研究直线与双曲线的位置关系,在研究的过程中,要 注意与直线和椭圆的位置关系相同点和不同点比较;能利用弦长公式解决直线与双 曲线相交时,与弦长有关的问题.

复习回顾: 问题 1:在椭圆及其几何性质的研究中,我们探讨了直线与椭圆的位置关系有关内 容,其中弦长问题是一类重要的问题,请你回答下列问题
y ? kx ? m 与椭圆 C 的位置关系, (1)如何讨论直线 l:

y ? kx ? m 与椭圆 C 相交于两点 M ?x1 , y1 ? , N ?x2 , y 2 ? ,写出计算弦 (2)已知直线 l:

长|MN|的步骤。

自主学习: 问题 2:请理科同学阅读教材第 59 页例 5,文科同学阅读教材 52 页例 5,回答以 下问题.并与(理)47 页例 6 比较,你有什么发现? x2 y 2 ? 1 的离心率,它与已知条件中的哪个值相等? (1)计算双曲线 ? 16 9 16 (2)直线 l: x ? 能用 a, c 表示吗?若能,请写出。 5 归纳与总结: a2 c (1)与定点 F(c, 0 )的距离和它到定直线 l: x ? 的距离比为常数 e= ( c>a > 0 )的 c a 点的轨迹是双曲线. a2 x2 y 2 (2)对于双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) ,直线 l: x ? ? 叫双曲线的准线。 c a b 2 2 x y (3)设 F1( ? c, 0),F2( c, 0)是双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的两个焦点,M(x, y) a b 是双曲线上任意一点, 当点 M 在双曲线的左支上时,|MF1|= ? (a + ex), |MF2|=a ? ex 当点 M 在双曲线的右支上时,|MF1|=ex+a,|MF2|=ex ? a,叫双曲线的焦半径公式。

练习: 1、已知点 M 在双曲线 的最小值.
x2 y2 ? ? 1 ?a ? 0 , b ? 0? 上,点 F 为双曲线的右焦点,求 MF a2 b2

2、 双曲线 的面积.

x2 y 2 ? ? 1 右支上有一点 P , 它到双曲线左焦点 F1 的距离为 13, 求 ?PF1 F2 9 16

3、 【2012 上海】在平面直角坐标系 xOy 中,已知双曲线 C : 2x2 ? y 2 ? 1 ,设 F 是 C 的 左焦点, M 是 C 右支上一点,若 MF ? 2 2 ,求点 M 的坐标;

问题 3、请大家阅读教材第 60 页例 6,并完成变式. 变式:过双曲线 |AB|=
x2 y 2 ? ? 1 的右焦点 F2 的直线 l 与双曲线交于 A,B 两点,且 3 6

16 3 ,求直线 l 的方程 5

问题 4、回忆直线与椭圆的位置关系,类比直线与双曲线的位置关系,回答下列问 题: (代数法与几何图形对照) (1)经过点 A(2,1)的直线与双曲线 x2 ? y 2 ? 1 可能有几个公共点? (2)经过点 A(2, 3 )的直线与双曲线 x2 ? y 2 ? 1 可能有几个公共点? (3)经过点 A(1, 1)的直线与双曲线 x2 ? y 2 ? 1 可能有几个公共点? (4)经过点 A(1, 2)的直线与双曲线 x2 ? y 2 ? 1 可能有几个公共点? 完成 60 页最后的“思考”栏目问题以及 61 页练习第 5 题

第九课时:直线与双曲线的位置关系(讲练课)
1、课本理 61 页 B 组 3、4,文 54 页 B 组 3、4

2、已知双曲线

x2 y 2 ? 2 ? 1( a ? 0, b ? 0 )的两条渐近线均和圆 C : x2 ? y 2 ? 6x ? 5 ? 0 2 a b

相切,且双曲线的右焦点为圆 C 的圆心,则该双曲线的方程为 ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 x y x y x y x y ?1 ?1 ?1 ?1 A. ? B. ? C. ? D. ? 5 4 4 5 3 6 6 3 x2 y 2 ? 1 的右支上,若点 A 到右焦点的距离 3(2010 江西)点 A( x0,y0 ) 在双曲线 ? 4 32 等于 2 x0 ,则 x0 = ( ) D 5 x2 y 2 4(二班做) (2010 浙江)设 O 为坐标原点, F1 , F2 是双曲线 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0) a b 的焦点,若在双曲线上存在点 P,满足∠F1 P F2 =60° ,∣ OP∣ = 7a ,则该双曲线的渐 近线方程为 (A)x± 3 y=0 (B) 3 x± y=0 (C)x± 2y =0 ( (D) 2x ± y=0 ) A 2 B 3 C 4

5(2010 浙江理数)设 F1 、 F2 分别为双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a>0, b>0) 的左、右焦点.若 a 2 b2

在双曲线右支上存在点 P ,满足 PF2 ? F1F2 ,且 F2 到直线 PF1 的距离等于双曲线的 实轴长,则该双曲线的渐近线方程为 (A) 3x ? 4 y ? 0 (B) 3x ? 5 y ? 0 (C) 4 x ? 3 y ? 0 6(11 年浙江)已知椭圆 C1: (
(D) 5x ? 4 y ? 0



x2 y 2 y2 2 ? ? 1( a ? b ? 0) x ? ? 1 有公共 与双曲线 C : 2 a 2 b2 4 的焦点,C2 的一条渐近线与以 C1 的长轴为直径的圆相交于 A、B 两点,若 C1 恰好

将线段 AB 三等分,则 2 13 A. a 2 ? B. a ? 13 2

( C. b 2 ?
1 2
2 D. b ? 2



7、过点 P(0,1)与双曲线 x 2 ? y 2 ? 1只有一个公共点的直线有_____条
x2 y 2 ? ? 1(a>0, b>0) 上一点,M、N a 2 b2 1 分别是双曲线 E 的左、右顶点,直线 PM,PN 的斜率之积为 ,求双曲线的离心率 5

8(11 年江西)P(x0,y0) ( x0 ? ?a )是双曲线 E:

9、经过点 M ?2 ,1? 作直线 l 交双曲线 x 2 ? 直线 l 的方程.

y2 ? 1 于 A , B 两点,且 M 为 AB 的中点,求 2

10、 直线 l :y ? kx ? 1 与双曲线 2 x2 ? y 2 ? 1 的右支交于不同的两点, 求 k 的取值范围?

11、斜率为 2 的直线 l 与双曲线 x 2 ? 方程.

y2 ? 1 交于 A , B 两点,且 AB ? 2 5 ,求直线 l 的 2

12、过双曲线 x 2 ? 线 l 的方程。

y2 ? 1 的焦点 F (2,0) 的直线 l ,被双曲线所截得的弦长为 6,求直 3

备课资料 2、已知双曲线 E 的中心为原点, F ?3 ,0? 是其一个焦点,过 F 的直线 l 与双曲线交于
A , B 两点,且 AB 的中点为 N ?? 12 ,?15? ,求双曲线的方程.

例 1、讨论直线 y ? k ( x ? 1) ? 1 与双曲线 x 2 ? y 2 ? 1 的公共点 解:把 y ? k ( x ? 1) ? 1 代人 x 2 ? y 2 ? 1 中得: (1 ? k 2 ) x2 ? 2k (k ? 1) x ? k 2 ? 2k ? 2 ? 0 当 k =1 时, x 无解 当 k = ? 1 时, x =

5 , 4

当 k ? ?1 时,由 ? =0 得 k =1,所以 k 无解 当 k ? ?1 时,由 ? >0 得 k <1,所以 k <1 且 k ? ? 1 当 k ? ?1 时,由 ? <0 得 k >1 综上:当 k <1 且 k ? ? 1 时有两个公共点 当 k = ? 1 时,有一个公共点 当 k ? 1 时,没有公共点 分析:直线恒过的定点(1,1)正好在渐近线上,且与双曲线相切时,斜率不存在 例 2、讨论直线 y ? k ( x ? 1) ? 1 与双曲线 x 2 ? y 2 ? 2 的公共点 解:把 y ? k ( x ? 1) ? 1 代人 x 2 ? y 2 ? 2 中得: (1 ? k 2 ) x2 ? 2k (k ? 1) x ? k 2 ? 2k ? 3 ? 0

3 当 k =1 时, x 无解 ,当 k = ? 1 时, x = ,有一个公共点 2 ? 当 k ? ?1 时,由 ? =0 得 k = 3,此时相切,有一个公共点 当 k ? ?1 时,由 ? >0 得 ? 3 ? k ? 1 且 k ? ? 1,此时相交,有两个公共点 当 k ? ?1 时,由 ? <0 得 k ? ?3 或 k ? 1 综上:当 k ? ?3 或 k ? 1 时,没有公共点 当 ? 3 ? k ? 1 且 k ? ? 1 时,有两个公共点 当 k = ? 1 或 k = ? 3 时,有一个公共点 总结:有一个公共点时,直线与双曲线相切即 ? =0 或直线与渐近线平行(重合)即 二次系数=0
1、直线 l :y ? kx ? 1 与双曲线 2 x2 ? y 2 ? 1 的右支交于不同的两点, 求 k 的取值范围?

?? ? 0 ? 解:把直线代人得 (k 2 ? 2) x2 ? 2kx ? 2 ? 0 , ? x1 ? x2 ? 0 所以 ? 2 ? k ? ? 2 ?x x ? 0 ? 1 2
2、过点 P(0,1)与双曲线 x 2 ? y 2 ? 1只有一个公共点的直线有几条? 答案:4 条, k ? ?1, k ? ? 2 问题 4:请同学们完成下表. 椭圆 焦点在 x 轴上 焦点在 y 轴 上 图 形 (标出相应 几何量) 标准方程 ( a,b,c 大 小的关系) 范围 双曲线 焦点在 x 轴上 焦点在 y 轴 上

对称性 焦点 (焦距) 顶点 (长/实轴、 短/虚轴) 离心率 (范围)

渐近线

焦半径

F,F 40.(天津理 18)在平面直角坐标系 xOy 中,点 P (a, b) (a ? b ? 0) 为动点, 1 2 分别为椭圆
x2 y 2 ? ?1 F PF a 2 b2 的左右焦点.已知△ 1 2 为等腰三角形.
(Ⅰ)求椭圆的离心率 e ; (Ⅱ)设直线

PF2 与椭圆相交于 A, B 两点, M 是直线 PF2 上的点,满足 AM ? BM ? ?2 ,求点

M 的轨迹方程.
本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、平面向量等基础知识,考查用代数 方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的数学思想,考查解决问题能力与运算能力.满分 13 分. (I)解:设

F1 (?c,0), F2 (c,0)(c ? 0) | PF2 |?| F1F2 |,

由题意,可得 即

( a ? c) 2 ? b 2 ? 2c.

c c c 2( ) 2 ? ? 1 ? 0, 得 ? ?1 a a 整理得 a (舍) ,
c 1 1 ? . e? . 2 或 a 2 所以
(II)解:由(I)知 a ? 2c, b ? 3c, 可得椭圆方程为 3x ? 4 y ? 12c ,
2 2 2

直线 PF2 方程为 y ? 3( x ? c).

2 2 2 ? ?3x ? 4 y ? 12c , ? ? y ? 3( x ? c). A,B 两点的坐标满足方程组 ?
2 消去 y 并整理,得 5 x ? 8cx ? 0.

8 x 1 ? 0, x2 ? c. 5 解得

8 ? x2 ? c, ? x ? 0, ? 5 ? 1 ? ? ? 3 3 ? y1 ? ? 3c, ? ? y2 ? c. ? 5 ? 得方程组的解
8 3 3 A( c, c), B(0, ? 3c) 5 不妨设 5 8 3 3 ( x, y), 则 AM ? ( x ? c, y ? c), BM ? ( x, y ? 3c) 5 5 设点 M 的坐标为 ,
y ? 3( x ? c), 得c ? x ?


3 y. 3

AM ? (
于是

8 3 3 8 3 3 y ? x, y ? x), 15 5 5 5

BM ? ( x, 3x). 由 AM ? BM ? ?2,
8 3 3 8 3 3 y ? x) ? x ? ( y ? x) ? 3x ? ?2 5 5 5 即 15 , (
化简得 18x ?16 3xy ?15 ? 0.
2

y?


18x2 ? 15 3 10 x2 ? 5 代入c ? x ? y, 得c ? ? 0. 3 16 x 16 3x

所以 x ? 0. 因此,点 M 的轨迹方程是 18x ?16 3xy ?15 ? 0( x ? 0).
2


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