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高中数学必修三(2.2.2-2用样本数字特征估计总体数字特征)


2.2

用样本估计总体

2.2.2用样本的数字特征估计总体的 数字特征
第二课时

知识回顾

1.如何根据样本频率分布直方图,分别 估计总体的众数、中位数和平均数?

(1)众数:最高矩形下端中点的横坐标.
(2)中位数:直方图面积平分线与横轴 交点的横坐标. (3)平均数:每个小矩形的面积与小矩 形底边中点的横坐标的乘积之和.

2.对于样本数据x1,x2,?,xn,其标 准差如何计算?
( x 1 - x ) + (x 2 - x ) + L + (x n - x ) s= n
2 2 2

知识补充

1.标准差的平方s2称为方差,有时用方 差代替标准差测量样本数据的离散度. 方差与标准差的测量效果是一致的,在 实际应用中一般多采用标准差. 2.现实中的总体所包含的个体数往往很 多,总体的平均数与标准差是未知的, 我们通常用样本的平均数和标准差去估 计总体的平均数与标准差,但要求样本 有较好的代表性.

3.对于城市居民月均用水量样本数据,其平均 数 x = 1.973 ,标准差s=0.868. 在这100个数据中, 落在区间( x -s, x +s)=[1.105,2.841] 外的有28个; 落在区间( x -2s, x +2s)=[0.237,3.709] 外的只有4个; 落在区间( x -3s, x +3s)=[-0.631,4.577] 外的有0个.

一般地,对于一个正态总体,数据落 在区间( x -s, x +s)、 ( x -2s, x +2s)、( x -3s, x +3s) 内的百分比分别为68.3%、95.4%、 99.7%,这个原理在产品质量控制中有 着广泛的应用(参考教材P79“阅读与 思考”).
x

例题分析

例1 画出下列四组样本数据的条形图, 说明他们的异同点.

(1) 5,5,5,5,5,5,5,5,5; (2) 4,4,4,5,5,5,6,6,6;
频率 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2
O

x = 5 s= 0
1.0 0.8 0.6 0.4 0.2

频率

x = 5 s = 0.82

1 2 3 4 5 6 7 8
(1)

O 1 2 3 4 5 6 7 8 (2)

(3) 3,3,4,4,5,6,6,7,7; (4) 2,2,2,2,5,8,8,8,8.

频率

频率

x = 5
1.0 0.8 0.6 0.4 0.2

x= 5
1.0 0.8 0.6 0.4 0.2

s = 1.49

s = 2.83

O

1 2 3 4 5 6 7 8
(3)

O

1 2 3 4 5 6 7 8
(4)

例2 甲、乙两人同时生产内径为25.40mm的一种 零件,为了对两人的生产质量进行评比,从他们 生产的零件中各随机抽取20件,量得其内径尺寸 如下(单位:mm):
甲 : 25.46 25.45 25.44 乙: 25.40 25.49 25.47 25.32 25.38 25.40 25.43 26.36 25.31 25.45 25.42 25.42 25.44 25.34 25.32 25.39 25.39 25.35 25.48 25.33 25.32 25.36 25.43 25.41 25.48 25.43 25.32 25.34 25.39 25.39 25.47 25.43 25.48 25.42 25.40

25.49 25.32

从生产零件内径的尺寸看,谁生产的零件质量 较高?

x 甲 ? 25.401 s甲 ? 0.037

x 乙 ? 25.406
s乙 ? 0.068

甲生产的零件内径更接近内径标准,且稳定 程度较高,故甲生产的零件质量较高.
说明:1.生产质量可以从总体的平均数与标准差 两个角度来衡量,但甲、乙两个总体的平均数与 标准差都是不知道的,我们就用样本的平均数与 标准差估计总体的平均数与标准差. 2.问题中25.40mm是内径的标准值,而不是 总体的平均数.

例3 以往招生统计显示,某所大学录 取的新生高考总分的中位数基本稳定在 550分,若某同学今年高考得了520分, 他想报考这所大学还需收集哪些信息?
要点:(1)查往年录取的新生的平均分数. 若平均数小于中位数很多,说明最低录取 线较低,可以报考; (2)查往年录取的新生高考总分的标准差. 若标准差较大,说明新生的录取分数较分 散,最低录取线可能较低,可以考虑报考.

例4 在去年的足球甲A联赛中,甲队每场比赛 平均失球数是1.5,全年比赛失球个数的标准 差为1.1;乙队每场比赛平均失球数是2.1, 全年比赛失球个数的标准差为0.4.你认为下 列说法是否正确,为什么? (1) 平均来说甲队比乙队防守技术好; (2)乙队比甲队技术水平更稳定; (3)甲队有时表现很差,有时表现又非常 好; (4)乙队很少不失球.

例5 有20种不同的零食,它们的热量 含量如下: 110 120 123 165 432 190 174 235 428 318 249 280 162 146 210 120 123 120 150 140 (1)以上20个数据组成总体,求总体平 均数与总体标准差; (2)设计一个适当的随机抽样方法,从 总体中抽取一个容量为7的样本,计算样 本的平均数和标准差.

(1)以上20个数据组成总体,求总体平均 数与总体标准差; (2)设计一个适当的随机抽样方法,从总 体中抽取一个容量为7的样本,计算样本的 平均数和标准差.

(1)总体平均数为199.75,总体标准 差为95.26.

(2)可以用抽签法抽取样本,样本的 平均数和标准差与抽取的样本有关.

小结作业

1.对同一个总体,可以抽取不同的样本, 相应的平均数与标准差都会发生改变.如 果样本的代表性差,则对总体所作的估 计就会产生偏差;如果样本没有代表性, 则对总体作出错误估计的可能性就非常 大,由此可见抽样方法的重要性.

2.在抽样过程中,抽取的样本是具有随 机性的,如从一个包含6个个体的总体中 抽取一个容量为3的样本就有20中可能抽 样,因此样本的数字特征也有随机性. 用样本的数字特征估计总体的数字特征, 是一种统计思想,没有惟一答案.

3.在实际应用中,调查统计是一个探究 性学习过程,需要做一系列工作,我们 可以把学到的知识应用到自主研究性课 题中去.

作业: P82习题2.2 A组:5,6. B组:1.


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