当前位置:首页 >> 数学 >>

余弦三角函数


高一必修 4

第二章

余弦三角函数
一. 教学内容: 1.3.2 余弦函数、正切函数的图象与性质 1.3.3 已知三角函数值求角

二. 教学目的 1、掌握余弦函数、正切函数的图象、定义域、值域、单调性、奇偶性、周期 性等性质,了解正切函数的渐近线。 2、会由已知的三角函数值求角,并了解反正弦、反余弦、反正

切的意义,且 会用符号 arcsinx、arccosx、arctanx 表示角。

三. 教学重点、难点 重点: 1、余弦函数和正切函数的图象及其主要性质; 2、已知三角函数值求角。 难点: 1、利用正弦曲线和诱导公式画出余弦曲线,利用正切线画出函数 的图象,并使直线 确实成为此图象的两条渐近线。

2、(1)根据[0,2π ]范围确定有已知三角函数值的角; (2)对符号 arcsinx、arccosx、arctanx 的正确认识; (3)用符号 arcsinx、arccosx、arctanx 表示所求角。

四. 知识分析 1、余弦函数的图象变换
全国中考信息资源门户网站 www.zhongkao.com

高一必修 4

第二章 变换得到 的图

(1)函数图象的左右变换,即由 象。 函数 左(当 时)或向右(当

的图象,可以看作把

的图象上所有的点向

时)平行移动∣ ∣个单位而得到的。 变换得到 图象。 的图象上的 倍(纵

(2)函数图象的横向伸缩变换,即由 函数 ( 且

)的图象,可以看作把 时)或伸长(当

所有点的横坐标缩短(当 坐标不变)而得到的。

时)到原来的

(3)函数图象的纵向伸缩变换,即由

变换得到

的图象

函数 (A>0 且 A 1)的图象,可以看作是把函数 的图象 上的点的纵坐标伸长(当 A>1 时)或缩短(当 0<A<1 时)到原来的 A 倍(横坐标 不变而得到的)。 (4)一般地,函数 的图象可以看作是 ) )

用下面的方法得到的: 先把 图象上所有的点向左 ( ) 或向右 ( 平行移动∣ ∣个单位, 再把所得各点的横坐标缩短 ( ) 或伸长 (

到原来 的倍 (纵坐标不变) , 再把所得各点的纵坐标伸长 (A>1) 或缩短 (0<A<1) 到原来的 A 倍(横坐标不变)。 2、余弦曲线 如图是 的图象。

全国中考信息资源门户网站

www.zhongkao.com

高一必修 4

第二章

余弦曲线是中心对称图形,其所有的对称中心坐标是

;余

弦曲线是轴对称图形,其所有对称轴方程是 ,余弦曲线的对称轴一 定是过余弦曲线的最高点或最低点,此时余弦值为最大值或最小值。 余弦曲线的对称中心一定是过余弦曲线与 x 轴的交点,此时余弦值为零。 由上述图象可以看出,余弦曲线上有五个点起关键作用,这五个点是:

, 我们可以利用这五个点 画出余弦函数的简图。

3、余弦函数的性质 (1)余弦函数的定义域与值域。 余弦函数的定义域为 R,值域从图象上可以看出是[-1,1]。 注意:当定义域不是 R 时,值域就不一定是[-1,1]了。 (2)余弦函数的周期性。 ①余弦函数的周期可参照诱导公式:cos(x+2k )=cosx 期是 2k (k∈Z 且 k 0),最小周期是 2 。 ②一般地,函数 正周期 T= 。 (A、 (k∈z),因而周

、 为常数且 A 0,

>0)的最小

注意:如果

则最小正周期为 T=



(3)余弦函数的奇偶性。 ①由图像可以看出余弦曲线关于 y 轴对称,因而是偶函数。 ②也可由诱导公式 cos(-x)=cosx 知,余弦函数为偶函数。 (4)余弦函数的单调性。

全国中考信息资源门户网站

www.zhongkao.com

高一必修 4

第二章

由余弦曲线可以知道:余弦函数 y=cosx 在每一个闭区间 上,都从-1 增大到 1,是增函数,在每一个闭区间 上,都从 1 减小到-1,是减函数,也不是说,余弦函数 的单调区间是 4、正切函数的性质 及 。

(1)定义域:{x|x∈R 且 x

,k∈z}

(2)值域:R,函数无最大值、最小值; (3)周期: ; (4)奇偶性:是奇函数;

(5)单调性:在每一个开区间 注意的两个问题:

,k∈z 内均为增函数,须

①正切函数 y=tanx,x∈ 函数在其定义域内是单调增函数;

(k∈z)是单调增函数,但不能说

②函数 y=Atan( ∈z)得到,其周期为 5、正切函数的图象

)(A>0, >0), 其定义域由不等式 。

(k

根据正切函数的定义域和周期, 我们取 通过平行移动,作出 得到函 线。

, 利用单位圆中的正切线,

的图象(如图 1),而后向左、右扩展 的图象(如图 2),并把它叫做正切曲

全国中考信息资源门户网站

www.zhongkao.com

高一必修 4

第二章

图1 6、正切函数与正、余弦函数的比较

图2

正切函数 ,其定义域不是 R,又正切函数与正、余 弦函数对应法则不同,因此一些性质与正、余弦函数的性质有了较大的差别,如 正、余弦函数是有界函数,而正切函数是无界函数;正、余弦函数是连续函数, 反应在图象上是连续无间断点,而正切函数在 R 上不连续,它有无数条垂直于 x 轴的渐近线 ,图象被这些渐近线分隔开来;正、余弦函数既有 上

单调增区间又有单调减区间, 而正切函数在每一个区间 都是增函数。它们也存在大量的共性,如均为周期函数,且对

而言, 是奇函数,它的图像既可以类似地 用正切线的几何方法作图,又可以类似于“五点法”用“三点两线法”作简图, 这里三个点为( )、( )、( ),直线 ,直

线 (其中 )。作出这三个点和这两条渐近线,便可得到 在一个周期上的简图; 正弦函数与正切函数同是中心对称图形(注意余弦函数同 时也是轴对称图形)。

函数 然的。

的对称中心的坐标是



的值域为 R 是显

还须注意的是,对正、余切函数相关的表示式的一些性质不能由正、余弦函 数的结论作一般的推广,须论证后加以应用,例如:
全国中考信息资源门户网站 www.zhongkao.com

的周期是

高一必修 4 的周期的一半,而

第二章 与 的周期却相同,均为 。再如 的周期用最小

的周期可用最小公倍数法求, 而 公倍数计算时不一定是最小正周期。 7、已知三角函数值求角的有关概念

根据正弦函数的图象的性质,为了使符合条件 sinx=a (-1≤a≤1)的角 x 有且只有一个,我们选择闭区间 作为基本的范围。在这个闭区间上,符 合条件 sinx= a(-1≤a≤1)的角 x,记作 arcsina,即 x=arcsina,其中 x∈ ,且 a=sinx。 根据余弦函数的图象的性质,为了使符合条件 cosx=a(-1≤a≤1)的角 x 有且只有一个,我们选择闭区间 作为基本的范围。在这个闭区间上,符合 ,

条件 cosx=a(-1≤a≤1)的角 x, 记作 arccosa, 即 x=arccosa, 其中 x∈ 且 a=cosx.。

根据正切函数的图象的性质, 为了使符合条件 tanx=a(a 为任意实数)的角 x 有且只有一个,我们选择开区间( )作为基本的范围。在这个开区间内, 符合条件 tanx= a(a 为任意实数)的角 x,记作 arctana,即 x=arctana,其中 x∈( ),且 a=tanx。

注意:(1)arcsina、arccosa、arctana 都表示一个角,它们的正弦值、余弦 值、正切值分别都是 a。并且 arcsina∈ ∈( )。 ,而 arctana 中的 a∈R。 、arccosa∈ 、arctana

(2)arcsina、arccosa 中的 a∈ 8、已知三角函数值时角的表示

三角函数值与角都在某一范围内变化时,三角函数值与角的对应关系如下 表:

全国中考信息资源门户网站

www.zhongkao.com

高一必修 4

第二章

9、已知三角函数值求角应注意的问题 (1)已知角 x 的一个三角函数值求 x,所得的角不一定只有一个,角的个数 要根据角的取值范围来确定, 这个范围应该在题目中给定。如果在这个范围内已 知三角函数值对应的角不止一个,可分为以下几步求解: 第一步,确定角 x 的可能是第几象限角。 第二步,若函数值为正数,则先求出对应的锐角 x1;如果函数值为负数,则 先求出与其绝对值对应的锐角 x1。 第三步,如果函数值为负数,则根据角 x 可能是第几象限角得出(0,2 ) 内对应的角——如果它是第二象限角,那么可表示为-x1+ ;如果它是第三或 第四象限角,那么可表示为 或 。

第四步,如果要求出 以外对应的角,则可利用终边相同的角有相同的 三角函数值这一规律写出结果。 (2) arcsinx、 arccosx、 arctanx 这些符号, 在解决某些非特殊角的问题 (例 如立体几何中求两条异面直线的角、直线与平面所成的角、二面角等)时常用, 所以应该了解它们的意义,并学会正确使用它们。 (3)如果求得的角是特殊角,则最好用弧度来表示。
全国中考信息资源门户网站 www.zhongkao.com

高一必修 4

第二章

【典型例题】 例 1. 画出函数 y=-cosx, 的简图。

分析:运用五点作图法,首先要找出起关键作用的五个点,然后描点连线。 解析:按五个关键点列表: x cosx -cosx 0 1 -1 0 0 -1 1 0 0 1 -1

描点并将它们用光滑的曲线连接起来(如图):

点评:你能否从函数图象变换的角度出发,利用函数 象来得到 的图象得到函数 的图象?同样的,能否从函数 的图象?

的图

例 2. 求下列函数的单调递增区间:

(1)



(2) 的单调性来求解。 的单调递增区间由下式确定:

分析:根据基本函数 解析:(1)求函数









≤ ≤



全国中考信息资源门户网站

www.zhongkao.com

高一必修 4

第二章

即函数

的单调递增区间是



(2)函数

的单调递增区间,由下式确定:







≤x≤

,即函数

的单调递增区间是

点评:求形如

的函数的单调区间,可以通 ” 视为一 的单调区间对

过解不等式的方法去解答,列不等式的原则是:①把“ 个“整体”;② 时,所列不等式的方向与 应的不等式方向相同或相反。

例 3. 求下列函数的周期:

(1) (2) (3) ; 。

分析:(1)先用诱导公式将 转为正值,再用 T= 的意义;(3)可用最小公倍数法。

;(2)可利用绝对值

解析:(1)
全国中考信息资源门户网站 www.zhongkao.com



高一必修 4

第二章

(2)因为 y=|sinx|的周期是

,故 y=|sin2x|的周期是



(3)y1=cos3x 的周期是 T1=

,y2=sin2x 的周期 T2=

= 。

因为

且 4 与 6 的最小公倍数是 12,所以



点评:周期的求法除应用定义及有关结论外,还可作出函数的图象,由图象 直观判断求出周期,也是一种重要方法。如(2)题作出图象容易观察得出周期 为 。

例 4. 求函数

的定义域、周期和单调区间。

分析:根据正切函数的定义域、值域、单调性求解。 解析:函数的自变量 应满足:

即 函数的定义域为



由于

因此函数

的周期为





是增函数。

全国中考信息资源门户网站

www.zhongkao.com

高一必修 4

第二章

即 因此,函数的单调递增区间为



点评:一般地,函数 式来求周期,此函数周期可直接由 得到。

的周期为

,常常使用此公

例 5. 若

∈(

),且 tan <cot

,则必有(



A.

<

B.

<

C.

+

<

D.

+

>

分析:利用诱导公式化为同名的三角函数,再利用单调性进行比较。

解析:∵ 、





,且

在(

)上单调递增,

【答案】C 点评:比较三角函数值的大小要注意将不同名的三角函数转化为同名的三角 函数,再将自变量化在同一单调区间内,利用单调性比较大小。

例 6. 已知 sinα =-

,若满足:
www.zhongkao.com

全国中考信息资源门户网站

高一必修 4

第二章

(1)α ∈ (3)α 为第三象限角;

(2)α ∈



(4)α ∈R。试分别求α 。

分析:根据正弦函数图象的性质及诱导公式求解。

解析:(1)因为正弦函数在闭区间 - 条件的角只有一个。

上是增函数,所以符合 sinα =

又因为 sin

,sin(

)=

, 所以α =



(2)因为 sinα = 性,符合 sinα = sin(2 -

<0,所以 是第三或第四象限角,由正弦函数的单调 )=-sin 。 = 和

的角有两个。根据三角式 sin( )= 得α = 或α =

)=sin(-

(3)因为α 是第三象限角,在闭区间 sinα = 的第三象限角的集合是{

内有α =

,所以符合条件

∈z}。

(4)由正弦函数的周期性可知:

当 是



(k∈z)时,sin

,即所求的角 的集合





,k∈z}。 +arcsina

点评: 对于 , | a |≤1, 这个方程的角可以表示成 x1= 或 x2= + -arcsina,k∈Z。

全国中考信息资源门户网站

www.zhongkao.com

高一必修 4

第二章

例 7. 已知 tanx=-1,若满足:(1)x∈( x。

);(2)x∈R,试分别求角

分析:根据正切函数的图象的性质及诱导公式求解。

解析:(1)因为正切函数在( tanx=-1 的角有且只有一个。因为

)上单调递增,所以在( 。

)内满足

所以满足条件的角为 x=



(2)根据正切函数的周期性知:



(k∈z)时,tanx=-1。

所以所求的角 x 的集合为{

, k∈z}。

点评:方程 tanx=a,a∈z 的解集为{x|x=k +arctana, k∈z}。

全国中考信息资源门户网站

www.zhongkao.com


相关文章:
三角函数表达式及余弦表
余弦函数 Cosine cos b/h ∠A 的邻边比斜边 正切函数 Tangent tan a/b ∠A 的对边比邻边 余切函数 Cotangent cot b/a ∠A 的邻边比对边 正割函数 ...
三角函数公式大全(和差化积公式、正余弦公式)
三角函数公式大全(和差化积公式、正余弦公式)_初一数学_数学_初中教育_教育专区。三角函数部分专题题型分析:1,化简题,充分运用和差公式和和差化积公式,以及倍角...
余弦三角函数值及知识点汇总
教学内容: 1.3.2 余弦函数、正切函数的图象与性质 1.3.3 已知三角函数值求角 二. 教学目的 1、掌握余弦函数、正切函数的图象、定义域、值域、单调性、奇偶...
三角函数(一)——正弦、余弦、正切
正弦教案 一、锐角三角函数——正弦、余弦、正切 锐角三角函数——正弦、余弦、 ——正弦一、新课教学 (一) 、认识正弦、余弦、正切 1、认识角的对边、邻边。...
高中数学 三角函数:正弦、余弦、正切
三角函数:正弦、余弦、正切 (一)复习指导 1.能画出 y=sinx,y=cosx,y=tanx 的图象,了解三角函数的周期性. 2.理解正弦函数、余弦函数在区间[0,2??]的性质...
余弦三角函数的图像和性质
2010-2014 菁优网 菁优网 www.jyeoo.com 余弦三角函数的图像和性质参考答案与试题解析一.选择题(共 17 小题) 1. (2009?烟台二模)函数 y=sinx 和 y=cosx...
正弦余弦换算公式
正弦余弦换算公式_数学_高中教育_教育专区。三角函数诱导公式 常用的诱导公式有以下几组: 公式一: 设α 为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等: sin(2k...
关于正弦函数和余弦函数的计算公式
(A+B) 三角函数基本公式 sinθ =对边斜边(正弦), cosθ =邻边斜边(余弦), tanθ =sinθ cosθ (正切) cotθ =cosθ sinθ (余切), secθ = 1 ...
数学 必修四 三角函数部分 正弦函数、余弦函数、正切函数的主要性质和诱导公式
数学 必修四 三角函数部分 正弦函数、余弦函数、正切函数的主要性质和诱导公式_高一数学_数学_高中教育_教育专区。数学 必修四 三角函数部分 正弦函数、余弦函数、正...
更多相关标签:
余弦定理 | 余弦函数 | 余弦三角函数图像 | 余弦三角函数公式 | 三角函数余弦定理 | 三角函数正弦余弦 | 锐角三角函数余弦教案 | 三角函数正余弦定理 |