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2016年陕西省中考数学 真题



2016 年陕西省中考数学试卷
一、选择题(共 10 小题,每小题 3 分,满分 30 分) 1. (3 分) (2016?陕西)计算: (﹣ )×2=( )

A.﹣1B.1C.4D.﹣4 2. (3 分) (2016?陕西)如图,下面的几何体由三个大小相同的小立方块组成,则它的左视 图是( )

A.

B.

C.

D.

3. (3 分) (2016?陕西)下列计算正确的是( ) 2 2 4 2 3 4 2 2 2 2 2 A.x +3x =4x B.x y?2x =2x yC. (6x y )÷(3x)=2x D. (﹣3x) =9x 4. (3 分) (2016?陕西) 如图, AB∥CD, AE 平分∠CAB 交 CD 于点 E, 若∠C=50°, 则∠AED= ( )

A.65°B.115°C.125°D.130° 5. (3 分) (2016?陕西)设点 A(a,b)是正比例函数 y=﹣ x 图象上的任意一点,则下列 等式一定成立的是( ) A.2a+3b=0B.2a﹣3b=0C.3a﹣2b=0D.3a+2b=0 6. (3 分) (2016?陕西)如图,在△ ABC 中,∠ABC=90°,AB=8,BC=6.若 DE 是△ ABC 的中位线,延长 DE 交△ ABC 的外角∠ACM 的平分线于点 F,则线段 DF 的长为( )

A.7B.8C.9D.10 7. (3 分) (2016?陕西)已知一次函数 y=kx+5 和 y=k′x+7,假设 k>0 且 k′<0,则这两个一 次函数的图象的交点在( )
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A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 8. (3 分) (2016?陕西)如图,在正方形 ABCD 中,连接 BD,点 O 是 BD 的中点,若 M、 N 是边 AD 上的两点,连接 MO、NO,并分别延长交边 BC 于两点 M′、N′,则图中的全等 三角形共有( )

A.2 对 B.3 对 C.4 对 D.5 对 9. (3 分) (2016?陕西)如图,⊙O 的半径为 4,△ ABC 是⊙O 的内接三角形,连接 OB、 OC.若∠BAC 与∠BOC 互补,则弦 BC 的长为( )

A.3 B.4 C.5 D.6 2 10. (3 分) (2016?陕西)已知抛物线 y=﹣x ﹣2x+3 与 x 轴交于 A、B 两点,将这条抛物线 的顶点记为 C,连接 AC、BC,则 tan∠CAB 的值为( ) A . B. C. D.2

二、填空题(共 4 小题,每小题 3 分,满分 12 分) 11. (3 分) (2016?陕西)不等式﹣ x+3<0 的解集是 .

12. (3 分) (2016?陕西)请从以下两个小题中任选一个作答,若多选,则按第一题计分. A.一个多边形的一个外角为 45°,则这个正多边形的边数是 . B.运用科学计算器计算:3 sin73°52′≈ . (结果精确到 0.1) 13. (3 分) (2016?陕西)已知一次函数 y=2x+4 的图象分别交 x 轴、y 轴于 A、B 两点,若 这个一次函数的图象与一个反比例函数的图象在第一象限交于点 C, 且 AB=2BC, 则这个反 比例函数的表达式为 . 14. (3 分) (2016?陕西)如图,在菱形 ABCD 中,∠ABC=60°,AB=2,点 P 是这个菱形内 部或边上的一点,若以点 P、B、C 为顶点的三角形是等腰三角形,则 P、D(P、D 两点不 重合)两点间的最短距离为 .

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三、解答题(共 11 小题,满分 78 分) 15. (5 分) (2016?陕西)计算: ﹣|1﹣ |+(7+π) . )÷ .
0

16. (5 分) (2016?陕西)化简: (x﹣5+

17. (5 分) (2016?陕西)如图,已知△ ABC,∠BAC=90°,请用尺规过点 A 作一条直线, 使其将△ ABC 分成两个相似的三角形(保留作图痕迹,不写作法)

18. (5 分) (2016?陕西)某校为了进一步改变本校七年级数学教学,提高学生学习数学的 兴趣,校教务处在七年级所有班级中,每班随机抽取了 6 名学生,并对他们的数学学习情况 进行了问卷调查.我们从所调查的题目中,特别把学生对数学学习喜欢程度的回答(喜欢程 度分为:“A﹣非常喜欢”、“B﹣比较喜欢”、“C﹣不太喜欢”、“D﹣很不喜欢”,针对这个题 目,问卷时要求每位被调查的学生必须从中选一项且只能选一项)结果进行了统计,现将统 计结果绘制成如下两幅不完整的统计图.

请你根据以上提供的信息,解答下列问题: (1)补全上面的条形统计图和扇形统计图; (2)所抽取学生对数学学习喜欢程度的众数是 ; (3)若该校七年级共有 960 名学生,请你估算该年级学生中对数学学习“不太喜欢”的有多 少人? 19. (7 分) (2016?陕西)如图,在?ABCD 中,连接 BD,在 BD 的延长线上取一点 E,在 DB 的延长线上取一点 F,使 BF=DE,连接 AF、CE. 求证:AF∥CE.

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20. (7 分) (2016?陕西)某市为了打造森林城市,树立城市新地标,实现绿色、共享发展 理念,在城南建起了“望月阁”及环阁公园.小亮、小芳等同学想用一些测量工具和所学的几 何知识测量“望月阁”的高度,来检验自己掌握知识和运用知识的能力.他们经过观察发现, 观测点与“望月阁”底部间的距离不易测得,因此经过研究需要两次测量,于是他们首先用平 面镜进行测量.方法如下:如图,小芳在小亮和“望月阁”之间的直线 BM 上平放一平面镜, 在镜面上做了一个标记,这个标记在直线 BM 上的对应位置为点 C,镜子不动,小亮看着镜 面上的标记,他来回走动,走到点 D 时,看到“望月阁”顶端点 A 在镜面中的像与镜面上的 标记重合,这时,测得小亮眼睛与地面的高度 ED=1.5 米,CD=2 米,然后,在阳光下,他 们用测影长的方法进行了第二次测量, 方法如下: 如图, 小亮从 D 点沿 DM 方向走了 16 米, 到达“望月阁”影子的末端 F 点处,此时,测得小亮身高 FG 的影长 FH=2.5 米,FG=1.65 米. 如图, 已知 AB⊥BM, ED⊥BM, GF⊥BM, 其中, 测量时所使用的平面镜的厚度忽略不计, 请你根据题中提供的相关信息,求出“望月阁”的高 AB 的长度.

21. (7 分) (2016?陕西)昨天早晨 7 点,小明乘车从家出发,去西安参加中学生科技创新 大赛,赛后,他当天按原路返回,如图,是小明昨天出行的过程中,他距西安的距离 y(千 米)与他离家的时间 x(时)之间的函数图象. 根据下面图象,回答下列问题: (1)求线段 AB 所表示的函数关系式; (2)已知昨天下午 3 点时,小明距西安 112 千米,求他何时到家?

22. (7 分) (2016?陕西)某超市为了答谢顾客,凡在本超市购物的顾客,均可凭购物小票 参与抽奖活动,奖品是三种瓶装饮料,它们分别是:绿茶(500ml) 、红茶(500ml)和可乐 (600ml) ,抽奖规则如下:①如图,是一个材质均匀可自由转动的转盘,转盘被等分成五 个扇形区域,每个区域上分别写有“可”、“绿”、“乐”、“茶”、“红”字样;②参与一次抽奖活 动的顾客可进行两次“有效随机转动”(当转动转盘,转盘停止后,可获得指针所指区域的字 样,我们称这次转动为一次“有效随机转动”) ;③假设顾客转动转盘,转盘停止后,指针指 向两区域的边界,顾客可以再转动转盘,直到转动为一次“有效随机转动”;④当顾客完成 一次抽奖活动后, 记下两次指针所指区域的两个字, 只要这两个字和奖品名称的两个字相同 (与字的顺序无关) ,便可获得相应奖品一瓶;不相同时,不能获得任何奖品. 根据以上规则,回答下列问题: (1)求一次“有效随机转动”可获得“乐”字的概率;

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(2) 有一名顾客凭本超市的购物小票, 参与了一次抽奖活动, 请你用列表或树状图等方法, 求该顾客经过两次“有效随机转动”后,获得一瓶可乐的概率.

23. (8 分) (2016?陕西)如图,已知:AB 是⊙O 的弦,过点 B 作 BC⊥AB 交⊙O 于点 C, 过点 C 作⊙O 的切线交 AB 的延长线于点 D,取 AD 的中点 E,过点 E 作 EF∥BC 交 DC 的 延长线于点 F,连接 AF 并延长交 BC 的延长线于点 G. 求证: (1)FC=FG; 2 (2)AB =BC?BG.

24. (10 分) (2016?陕西) 如图, 在平面直角坐标系中, 点 O 为坐标原点, 抛物线 y=ax +bx+5 经过点 M(1,3)和 N(3,5) (1)试判断该抛物线与 x 轴交点的情况; (2)平移这条抛物线,使平移后的抛物线经过点 A(﹣2,0) ,且与 y 轴交于点 B,同时满 足以 A、O、B 为顶点的三角形是等腰直角三角形,请你写出平移过程,并说明理由.

2

25. (12 分) (2016?陕西)问题提出 (1)如图①,已知△ ABC,请画出△ ABC 关于直线 AC 对称的三角形. 问题探究

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(2)如图②,在矩形 ABCD 中,AB=4,AD=6,AE=4,AF=2,是否在边 BC、CD 上分别 存在点 G、H,使得四边形 EFGH 的周长最小?若存在,求出它周长的最小值;若不存在, 请说明理由. 问题解决 (3)如图③,有一矩形板材 ABCD,AB=3 米,AD=6 米,现想从此板材中裁出一个面积 尽可能大的四边形 EFGH 部件,使∠EFG=90°,EF=FG= 米,∠EHG=45°,经研究,只 有当点 E、F、G 分别在边 AD、AB、BC 上,且 AF<BF,并满足点 H 在矩形 ABCD 内部 或边上时, 才有可能裁出符合要求的部件, 试问能否裁得符合要求的面积尽可能大的四边形 EFGH 部件?若能,求出裁得的四边形 EFGH 部件的面积;若不能,请说明理由.

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2016 年陕西省中考数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题(共 10 小题,每小题 3 分,满分 30 分) 1. (3 分) (2016?陕西)计算: (﹣ )×2=( A.﹣1B.1C.4D.﹣4 【解答】解:原式=﹣1, 故选 A 2. (3 分) (2016?陕西)如图,下面的几何体由三个大小相同的小立方块组成,则它的左视 图是( ) )

A.

B.

C.

D.

【解答】解:根据题意得到几何体的左视图为 故选 C



3. (3 分) (2016?陕西)下列计算正确的是( ) 2 2 4 2 3 4 2 2 2 2 2 A.x +3x =4x B.x y?2x =2x yC. (6x y )÷(3x)=2x D. (﹣3x) =9x 2 【解答】解:A、原式=4x ,错误; 5 B、原式=2x y,错误; 2 C、原式=2xy ,错误; 2 D、原式=9x ,正确, 故选 D 4. (3 分) (2016?陕西) 如图, AB∥CD, AE 平分∠CAB 交 CD 于点 E, 若∠C=50°, 则∠AED= ( )

A.65°B.115°C.125°D.130° 【解答】解:∵AB∥CD, ∴∠C+∠CAB=180°,
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∵∠C=50°, ∴∠CAB=180°﹣50°=130°, ∵AE 平分∠CAB, ∴∠EAB=65°, ∵AB∥CD, ∴∠EAB+∠AED=180°, ∴∠AED=180°﹣65°=115°, 故选 B. 5. (3 分) (2016?陕西)设点 A(a,b)是正比例函数 y=﹣ x 图象上的任意一点,则下列 等式一定成立的是( ) A.2a+3b=0B.2a﹣3b=0C.3a﹣2b=0D.3a+2b=0 【解答】解:把点 A(a,b)代入正比例函数 y=﹣ x, 可得:﹣3a=2b, 可得:3a+2b=0, 故选 D 6. (3 分) (2016?陕西)如图,在△ ABC 中,∠ABC=90°,AB=8,BC=6.若 DE 是△ ABC 的中位线,延长 DE 交△ ABC 的外角∠ACM 的平分线于点 F,则线段 DF 的长为( )

A.7B.8C.9D.10 【解答】解:在 RT△ ABC 中,∵∠ABC=90°,AB=8,BC=6, ∴AC= = =10,

∵DE 是△ ABC 的中位线, ∴DF∥BM,DE= BC=3, ∴∠EFC=∠FCM, ∵∠FCE=∠FCM, ∴∠EFC=∠ECF, ∴EC=EF= AC=5, ∴DF=DE+EF=3+5=8. 故选 B.

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7. (3 分) (2016?陕西)已知一次函数 y=kx+5 和 y=k′x+7,假设 k>0 且 k′<0,则这两个一 次函数的图象的交点在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【解答】解:∵一次函数 y=kx+5 中 k>0, ∴一次函数 y=kx+5 的图象经过第一、二、三象限. 又∵一次函数 y=k′x+7 中 k′<0, ∴一次函数 y=k′x+7 的图象经过第一、二、四象限. ∵5<7, ∴这两个一次函数的图象的交点在第一象限, 故选 A. 8. (3 分) (2016?陕西)如图,在正方形 ABCD 中,连接 BD,点 O 是 BD 的中点,若 M、 N 是边 AD 上的两点,连接 MO、NO,并分别延长交边 BC 于两点 M′、N′,则图中的全等 三角形共有( )

A.2 对 B.3 对 C.4 对 D.5 对 【解答】解:∵四边形 ABCD 是正方形, ∴AB=CD=CB=AD,∠A=∠C=∠ABC=∠ADC=90°,AD∥BC, 在△ ABD 和△ BCD 中, , ∴△ABD≌△BCD, ∵AD∥BC, ∴∠MDO=∠M′BO, 在△ MOD 和△ M′OB 中, , ∴△MDO≌△M′BO,同理可证△ NOD≌△N′OB,∴△MON≌△M′ON′, ∴全等三角形一共有 4 对.
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故选 C.

9. (3 分) (2016?陕西)如图,⊙O 的半径为 4,△ ABC 是⊙O 的内接三角形,连接 OB、 OC.若∠BAC 与∠BOC 互补,则弦 BC 的长为( )

A.3 B.4 C.5 D.6 【解答】解:过点 O 作 OD⊥BC 于 D, 则 BC=2BD, ∵△ABC 内接于⊙O,∠BAC 与∠BOC 互补, ∴∠BOC=2∠A,∠BOC+∠A=180°, ∴∠BOC=120°, ∵OB=OC, ∴∠OBC=∠OCB= (180°﹣∠BOC)=30°, ∵⊙O 的半径为 4, ∴BD=OB?cos∠OBC=4× ∴BC=4 . 故选:B. =2 ,

10. (3 分) (2016?陕西)已知抛物线 y=﹣x ﹣2x+3 与 x 轴交于 A、B 两点,将这条抛物线 的顶点记为 C,连接 AC、BC,则 tan∠CAB 的值为( ) A . B. C. D.2
2

2

【解答】解:令 y=0,则﹣x ﹣2x+3=0,解得 x=﹣3 或 1,不妨设 A(﹣3,0) ,B(1,0) ,
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∵y=﹣x ﹣2x+3=﹣(x+1) +4, ∴顶点 C(﹣1,4) , 如图所示,作 CD⊥AB 于 D.

2

2

在 RT△ ACD 中,tan∠CAD= 故答案为 D.

= =2,

二、填空题(共 4 小题,每小题 3 分,满分 12 分) 11. (3 分) (2016?陕西)不等式﹣ x+3<0 的解集是 x>6 . 【解答】解:移项,得﹣ x<﹣3, 系数化为 1 得 x>6. 故答案是:x>6. 12. (3 分) (2016?陕西)请从以下两个小题中任选一个作答,若多选,则按第一题计分. A.一个多边形的一个外角为 45°,则这个正多边形的边数是 8 . B.运用科学计算器计算:3 sin73°52′≈ 11.9 . (结果精确到 0.1) 【解答】解: (1)∵正多边形的外角和为 360° ∴这个正多边形的边数为:360°÷45°=8 (2)3 sin73°52′≈12.369×0.961≈11.9 故答案为:8,11.9 13. (3 分) (2016?陕西)已知一次函数 y=2x+4 的图象分别交 x 轴、y 轴于 A、B 两点,若 这个一次函数的图象与一个反比例函数的图象在第一象限交于点 C, 且 AB=2BC, 则这个反 比例函数的表达式为 y=\frac{6}{x} . 【解答】解:∵一次函数 y=2x+4 的图象分别交 x 轴、y 轴于 A、B 两点, ∴A(﹣2,0) ,B(0,4) , 过 C 作 CD⊥x 轴于 D, ∴OB∥CD, ∴△ABO∽△ACD, ∴ = = ,

∴CD=6,AD=3, ∴OD=1, ∴C(1,6) ,
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设反比例函数的解析式为 y= , ∴k=6, ∴反比例函数的解析式为 y= . 故答案为:y= .

14. (3 分) (2016?陕西)如图,在菱形 ABCD 中,∠ABC=60°,AB=2,点 P 是这个菱形内 部或边上的一点,若以点 P、B、C 为顶点的三角形是等腰三角形,则 P、D(P、D 两点不 重合)两点间的最短距离为 2\sqrt{3}﹣2 .

【解答】解:如图连接 AC、BD 交于点 O,以 B 为圆心 BC 为半径画圆交 BD 于 P. 此时△ PBC 是等腰三角形,线段 PD 最短, ∵四边形 ABCD 是菱形,∠ABC=60°, ∴AB=BC=CD=AD,∠ABC=∠ADC=60°, ∴△ABC,△ ADC 是等边三角形, ∴BO=DO= ×2= ,

∴BD=2BO=2 , ∴PD 最小值=BD﹣BP=2 故答案为 2 ﹣2.

﹣2.

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三、解答题(共 11 小题,满分 78 分) 15. (5 分) (2016?陕西)计算: ﹣|1﹣ 【解答】解:原式=2 ﹣( ﹣1)+1 =2 ﹣ +2 = +2. |+(7+π) .
0

16. (5 分) (2016?陕西)化简: (x﹣5+

)÷



【解答】解:原式= =(x﹣1) (x﹣3) 2 =x ﹣4x+3.

?

17. (5 分) (2016?陕西)如图,已知△ ABC,∠BAC=90°,请用尺规过点 A 作一条直线, 使其将△ ABC 分成两个相似的三角形(保留作图痕迹,不写作法)

【解答】解:如图,AD 为所作.

18. (5 分) (2016?陕西)某校为了进一步改变本校七年级数学教学,提高学生学习数学的 兴趣,校教务处在七年级所有班级中,每班随机抽取了 6 名学生,并对他们的数学学习情况 进行了问卷调查.我们从所调查的题目中,特别把学生对数学学习喜欢程度的回答(喜欢程 度分为:“A﹣非常喜欢”、“B﹣比较喜欢”、“C﹣不太喜欢”、“D﹣很不喜欢”,针对这个题 目,问卷时要求每位被调查的学生必须从中选一项且只能选一项)结果进行了统计,现将统 计结果绘制成如下两幅不完整的统计图.

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请你根据以上提供的信息,解答下列问题: (1)补全上面的条形统计图和扇形统计图; (2)所抽取学生对数学学习喜欢程度的众数是 比较喜欢 ; (3)若该校七年级共有 960 名学生,请你估算该年级学生中对数学学习“不太喜欢”的有多 少人? 【解答】解: (1)由题意可得, 调查的学生有:30÷25%=120(人) , 选 B 的学生有:120﹣18﹣30﹣6=66(人) , B 所占的百分比是:66÷120×100%=55%, D 所占的百分比是:6÷120×100%=5%, 故补全的条形统计图与扇形统计图如右图所示, (2)由(1)中补全的条形统计图可知, 所抽取学生对数学学习喜欢程度的众数是:比较喜欢, 故答案为:比较喜欢; (3)由(1)中补全的扇形统计图可得, 该年级学生中对数学学习“不太喜欢”的有:960×25%=240(人) , 即该年级学生中对数学学习“不太喜欢”的有 240 人.

19. (7 分) (2016?陕西)如图,在?ABCD 中,连接 BD,在 BD 的延长线上取一点 E,在 DB 的延长线上取一点 F,使 BF=DE,连接 AF、CE. 求证:AF∥CE.

【解答】证明:∵四边形 ABCD 是平行四边形, ∴AD∥BC,AD=BC, ∴∠1=∠2, ∵BF=DE, ∴BF+BD=DE+BD,
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即 DF=BE, 在△ ADF 和△ CBE 中, , ∴△ADF≌△CBE(SAS) , ∴∠AFD=∠CEB, ∴AF∥CE. 20. (7 分) (2016?陕西)某市为了打造森林城市,树立城市新地标,实现绿色、共享发展 理念,在城南建起了“望月阁”及环阁公园.小亮、小芳等同学想用一些测量工具和所学的几 何知识测量“望月阁”的高度,来检验自己掌握知识和运用知识的能力.他们经过观察发现, 观测点与“望月阁”底部间的距离不易测得,因此经过研究需要两次测量,于是他们首先用平 面镜进行测量.方法如下:如图,小芳在小亮和“望月阁”之间的直线 BM 上平放一平面镜, 在镜面上做了一个标记,这个标记在直线 BM 上的对应位置为点 C,镜子不动,小亮看着镜 面上的标记,他来回走动,走到点 D 时,看到“望月阁”顶端点 A 在镜面中的像与镜面上的 标记重合,这时,测得小亮眼睛与地面的高度 ED=1.5 米,CD=2 米,然后,在阳光下,他 们用测影长的方法进行了第二次测量, 方法如下: 如图, 小亮从 D 点沿 DM 方向走了 16 米, 到达“望月阁”影子的末端 F 点处,此时,测得小亮身高 FG 的影长 FH=2.5 米,FG=1.65 米. 如图, 已知 AB⊥BM, ED⊥BM, GF⊥BM, 其中, 测量时所使用的平面镜的厚度忽略不计, 请你根据题中提供的相关信息,求出“望月阁”的高 AB 的长度.

【解答】解:由题意可得:∠ABC=∠EDC=∠GFH=90°, ∠ACB=∠ECD,∠AFB=∠GHF, 故△ ABC∽△EDC,△ ABF∽△GFH, 则 即 = = , , = , = ,

解得:AB=99, 答:“望月阁”的高 AB 的长度为 99m.

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21. (7 分) (2016?陕西)昨天早晨 7 点,小明乘车从家出发,去西安参加中学生科技创新 大赛,赛后,他当天按原路返回,如图,是小明昨天出行的过程中,他距西安的距离 y(千 米)与他离家的时间 x(时)之间的函数图象. 根据下面图象,回答下列问题: (1)求线段 AB 所表示的函数关系式; (2)已知昨天下午 3 点时,小明距西安 112 千米,求他何时到家?

【解答】解: (1)设线段 AB 所表示的函数关系式为:y=kx+b, 依题意有 解得 . ,

故线段 AB 所表示的函数关系式为:y=﹣96x+192(0≤x≤2) ; (2)12+3﹣(7+6.6) =15﹣13.6 =1.4(小时) , 112÷1.4=80(千米/时) , (192﹣112)÷80 =80÷80 =1(小时) , 3+1=4(时) . 答:他下午 4 时到家. 22. (7 分) (2016?陕西)某超市为了答谢顾客,凡在本超市购物的顾客,均可凭购物小票 参与抽奖活动,奖品是三种瓶装饮料,它们分别是:绿茶(500ml) 、红茶(500ml)和可乐 (600ml) ,抽奖规则如下:①如图,是一个材质均匀可自由转动的转盘,转盘被等分成五 个扇形区域,每个区域上分别写有“可”、“绿”、“乐”、“茶”、“红”字样;②参与一次抽奖活 动的顾客可进行两次“有效随机转动”(当转动转盘,转盘停止后,可获得指针所指区域的字 样,我们称这次转动为一次“有效随机转动”) ;③假设顾客转动转盘,转盘停止后,指针指 向两区域的边界,顾客可以再转动转盘,直到转动为一次“有效随机转动”;④当顾客完成 一次抽奖活动后, 记下两次指针所指区域的两个字, 只要这两个字和奖品名称的两个字相同 (与字的顺序无关) ,便可获得相应奖品一瓶;不相同时,不能获得任何奖品. 根据以上规则,回答下列问题: (1)求一次“有效随机转动”可获得“乐”字的概率; (2) 有一名顾客凭本超市的购物小票, 参与了一次抽奖活动, 请你用列表或树状图等方法, 求该顾客经过两次“有效随机转动”后,获得一瓶可乐的概率.

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【解答】 解: (1) ∵转盘被等分成五个扇形区域, 每个区域上分别写有“可”、 “绿”、 “乐”、 “茶”、 “红”字样; ∴一次“有效随机转动”可获得“乐”字的概率为: ;

(2)画树状图得:

∵共有 25 种等可能的结果,该顾客经过两次“有效随机转动”后,获得一瓶可乐的有 2 种情 况, ∴该顾客经过两次“有效随机转动”后,获得一瓶可乐的概率为: .

23. (8 分) (2016?陕西)如图,已知:AB 是⊙O 的弦,过点 B 作 BC⊥AB 交⊙O 于点 C, 过点 C 作⊙O 的切线交 AB 的延长线于点 D,取 AD 的中点 E,过点 E 作 EF∥BC 交 DC 的 延长线于点 F,连接 AF 并延长交 BC 的延长线于点 G. 求证: (1)FC=FG; 2 (2)AB =BC?BG.

【解答】证明: (1)∵EF∥BC,AB⊥BG, ∴EF⊥AD, ∵E 是 AD 的中点, ∴FA=FD, ∴∠FAD=∠D, ∵GB⊥AB,
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∴∠GAB+∠G=∠D+∠DCB=90°, ∴∠DCB=∠G, ∵∠DCB=∠GCF, ∴∠GCF=∠G ,∴FC=FG; (2)连接 AC,如图所示: ∵AB⊥BG, ∴AC 是⊙O 的直径, ∵FD 是⊙O 的切线,切点为 C, ∴∠DCB=∠CAB, ∵∠DCB=∠G, ∴∠CAB=∠G, ∵∠CBA=∠GBA=90°, ∴△ABC∽△GBA, ∴ =
2



∴AB =BC?BG.

24. (10 分) (2016?陕西) 如图, 在平面直角坐标系中, 点 O 为坐标原点, 抛物线 y=ax +bx+5 经过点 M(1,3)和 N(3,5) (1)试判断该抛物线与 x 轴交点的情况; (2)平移这条抛物线,使平移后的抛物线经过点 A(﹣2,0) ,且与 y 轴交于点 B,同时满 足以 A、O、B 为顶点的三角形是等腰直角三角形,请你写出平移过程,并说明理由.

2

【解答】解:
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(1)由抛物线过 M、N 两点, 把 M、N 坐标代入抛物线解析式可得
2

,解得



∴抛物线解析式为 y=x ﹣3x+5, 2 令 y=0 可得 x ﹣3x+5=0, 2 该方程的判别式为△ =(﹣3) ﹣4×1×5=9﹣20=﹣11<0, ∴抛物线与 x 轴没有交点; (2)∵△AOB 是等腰直角三角形,A(﹣2,0) ,点 B 在 y 轴上, ∴B 点坐标为(0,2)或(0,﹣2) , 2 可设平移后的抛物线解析式为 y=x +mx+n, ①当抛物线过点 A(﹣2,0) ,B(0,2)时,代入可得 ∴平移后的抛物线为 y=x +3x+2, ∴该抛物线的顶点坐标为(﹣ ,﹣ ) ,而原抛物线顶点坐标为( , ) ,
2

,解得



∴将原抛物线先向左平移 3 个单位,再向下平移 3 个单位即可获得符合条件的抛物线; ②当抛物线过 A(﹣2,0) ,B(0,﹣2)时,代入可得 ∴平移后的抛物线为 y=x +x﹣2, ∴该抛物线的顶点坐标为(﹣ ,﹣ ) ,而原抛物线顶点坐标为( , ) ,
2

,解得



∴将原抛物线先向左平移 2 个单位,再向下平移 5 个单位即可获得符合条件的抛物线. 25. (12 分) (2016?陕西)问题提出 (1)如图①,已知△ ABC,请画出△ ABC 关于直线 AC 对称的三角形. 问题探究 (2)如图②,在矩形 ABCD 中,AB=4,AD=6,AE=4,AF=2,是否在边 BC、CD 上分别 存在点 G、H,使得四边形 EFGH 的周长最小?若存在,求出它周长的最小值;若不存在, 请说明理由. 问题解决 (3)如图③,有一矩形板材 ABCD,AB=3 米,AD=6 米,现想从此板材中裁出一个面积 尽可能大的四边形 EFGH 部件,使∠EFG=90°,EF=FG= 米,∠EHG=45°,经研究,只 有当点 E、F、G 分别在边 AD、AB、BC 上,且 AF<BF,并满足点 H 在矩形 ABCD 内部 或边上时, 才有可能裁出符合要求的部件, 试问能否裁得符合要求的面积尽可能大的四边形 EFGH 部件?若能,求出裁得的四边形 EFGH 部件的面积;若不能,请说明理由.

【解答】解: (1)如图 1,△ ADC 即为所求;

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(2)存在,理由:作 E 关于 CD 的对称点 E′, 作 F 关于 BC 的对称点 F′, 连接 E′F′,交 BC 于 G,交 CD 于 H,连接 FG,EH, 则 F′G=FG,E′H=EH,则此时四边形 EFGH 的周长最小, 由题意得:BF′=BF=AF=2,DE′=DE=2,∠A=90°, ∴AF′=6,AE′=8, ∴E′F′=10,EF=2 , ∴四边形 EFGH 的周长的最小值=EF+FG+GH+HE=EF+E′F′=2 ∴在边 BC、CD 上分别存在点 G、H, 使得四边形 EFGH 的周长最小, 最小值为 2 +10; (3)能裁得, 理由:∵EF=FG= ∴∠1=∠2,

+10,

,∠A=∠B=90°,∠1+∠AFE=∠2+AFE=90°,

在△ AEF 与△ BGF 中,



∴△AEF≌△BGF, ∴AF=BG,AE=BF,设 AF=x,则 AE=BF=3﹣x, ∴x +(3﹣x) =( ) ,解得:x=1,x=2(不合题意,舍去) , ∴AF=BG=1,BF=AE=2, ∴DE=4,CG=5, 连接 EG, 作△ EFG 关于 EG 的对称△ EOG, 则四边形 EFGO 是正方形,∠EOG=90°, 以 O 为圆心,以 EG 为半径作⊙O, 则∠EHG=45°的点在⊙O 上, 连接 FO,并延长交⊙O 于 H′,则 H′在 EG 的垂直平分线上, 连接 EH′GH′,则∠EH′G=45°, 此时,四边形 EFGH′是要想裁得符合要求的面积最大的, ∴C 在线段 EG 的垂直平分线设, ∴点 F,O,H′,C 在一条直线上, ∵EG= , ∴OF=EG= , ∵CF=2 , ∴OC= , ∵OH′=OE=FG= , ∴OH′<OC, ∴点 H′在矩形 ABCD 的内部, ∴可以在矩形 ABCD 中,裁得符合条件的面积最大的四边形 EFGH′部件, 这个部件的面积= EG?FH′= × ×( + )=5+ ,
2 2 2

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∴当所裁得的四边形部件为四边形 EFGH′时,裁得了符合条件的最大部件,这个部件的面 积为(5+ )m .
2

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参与本试卷答题和审题的老师有:sks;733599;1987483819;弯弯的小河;守拙;HLing; zhjh;szl;王学峰;gbl210;2300680618;gsls;zgm666;wdzyzmsy@126.com;sd2011; HJJ;zcx;522286788(排名不分先后) 菁优网 2016 年 7 月 19 日

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