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上海市长宁区2013届高三一模数学答案(理科)


长宁区 2012 学年第一学期高三数学期终抽测试卷答案
一、填空题(每小题 4 分,满分 56 分) 3 1、 2、 ( 2,2) 3、 0.381 4、1 5、 ? 4 4
8、 1? 2 11、 V ? 9、 3 ? 3 10、①③④ 6、 0 , ? i 7、 bn ?

1 8n

1 21 S ?R , 12、

8 , 13、 ? , 14、①②③, 3 4 二、选择题(每小题 5 分,满分 20 分) 15、 A 16、 B 17、 C 18、 C 三、解答题 ?? ? 2 19、解(1)由 m ? n ? 0 得 2 cos x ? 2 3 sin x cos x ? y ? 0 …………3 分
即 y ? 2 cos x ? 2 3 sin x cos x ? cos 2 x ? 3 sin 2 x ? 1 ? 2sin(2 x ?
2

?
6

) ?1

所以 f ( x) ? 2sin(2 x ? (2)因为 f ( ) ? 3 ,则

?
6

) ? 1 ,其最小正周期为 ? .

…………6分

A?

?
6

A 2

? 2 k? ?

?
2

, k ? Z .因为 A 为三角形内角,所以 A ? 4 4 3 sin B , c ? 3 sin C , 3 3

?
3

…………9分

法一:由正弦定理得 b ?

b?c ?

4 3 4 3 4 3 4 3 2? ? sin B ? sin C ? sin B ? sin( ? B) ? 4 sin( B ? ) 3 3 3 3 3 6

? B ? (0,

? 1 2? ) ,? sin( B ? ) ? ( ,1] ,? b ? c ? (2,4] , 3 6 2
…………12分

所以 b ? c 的取值范围为 (2, 4] 法二: a ? b ? c ? 2bc cos
2 2 2

?
3

,因此 4 ? (b ? c) ? 3bc ,
2

因为 bc ?

(b ? c) 2 (b ? c) 2 2 ,所以 4 ? (b ? c) ? , (b ? c) 2 ? 16 , 4 4
…………12分

? b ? c ? 4 .又 b ? c ? 2 ,所以 b ? c 的取值范围为 (2, 4]

20、解(1)连接 OM ,则 OM ? AB

? BC ? 3, ?ABC ? 300 ,? AC ? 1, AB ? 2 ,
设 OM ? r ,则

…………3 分

OB ? 2r ,又 OB ? 3 ? r ,所以 2r ? 3 ? r , r ?
所以,

3 ,…………6 分 3

S 球表 ? 4?r 2 ?

4 ?. 3

…………8 分

(2) V ? V圆锥 ? V球 ?

1 4 5 3 ? ? AC2 ? BC ? ?r 3 ? ? . …………12 分 3 3 27

21、解(1)由题意:当 0 ? x ? 20 时, v( x) ? 60 ; 当 20 ? x ? 200 时,设 v( x) ? ax ? b. …………………………2 分

1 ? ?a ? ? 3 , 200a ? b ? 0, ? ? 再由已知得 ? 解得 ? …………………………4 分 ?20a ? b ? 60. ?b ? 200 . ? 3 ?

0 ? x ? 20, ?60, ? 故函数 v(x)的表达式为 v( x) ? ? 1 ………………7 分 (200 ? x), 20 ? x ? 200. ?3 ? 0 ? x ? 20, ?60 x, ? (2)依题意并由(1)可得 f ( x) ? ? 1 , …………9 分 ? 3 x(200 ? x), 20 ? x ? 200. ?
当 0 ? x ? 20 时, f ( x ) 为增函数.故当 x=20 时,其最大值为 60×20=1200; 当 20 ? x ? 200 时, f ( x) ?

1 1 x ? (200 ? x) 2 10000 x(200 ? x) ? [ ] ? . 3 3 2 3

当且仅当 x ? 200 ? x ,即 x ? 100 时,等号成立.

10000 . …12 分 3 10000 ? 3333 . 综上,当 x ? 100 时, f ( x ) 在区间[0,200]上取得最大值 3
所以,当 x ? 100 时, f ( x ) 在区间[20,200]上取得最大值 即当车流密度为 100 辆/千米时,车流量可以达到最大,最大值约为 3333 辆/小时. …………………………14 分

22、解: (1) 由 1+x≥0 且 1-x≥0,得-1≤x≤1,所以定义域为 [?1,1] …………2 分 又 f ( x)2 ? 2 ? 2 1 ? x 2 ?[2, 4], 由 f ( x ) ≥0 得值域为 [ 2, 2] …………4 分

a ? ? f 2 ( x) ? 2 ? ? f ( x) ? a 1 ? x 2 ? 1 ? x ? 1 ? x ? 2 ? 1 2 2 令 t ? f ( x) ? 1 ? x ? 1 ? x ,则 1 ? x ? t ? 1 , 2 1 2 1 2 ∴ F ( x) ? m(t ) ? a ( t ? 1 )+t= at ? t ? a, t ? [ 2, 2] …………6 分 2 2 1 2 由题意知 g(a)即为函数 m(t ) ? at ? t ? a, t ? [ 2, 2] 的最大值。 2 1 1 2 注意到直线 t ? ? 是抛物线 m(t ) ? at ? t ? a 的对称轴。…………7 分 a 2
(2)因为 F ( x) ? 因为 a<0 时,函数 y=m(t), t ?[ 2, 2] 的图象是开口向下的抛物线的一段, ①若 t ? ?

1 2 ? (0, 2] ,即 a ? ? 则 g (a) ? m( 2) ? 2 …………8 分 a 2 1 1 1 2 1 ? ( 2, 2] ,即 ? …………10 分 ? a ? ? 则 g ( a ) ? m( ? ) ? ? a ? a a 2a 2 2

②若 t ? ? ③若 t ? ?

1 1 ? (2, ??) ,即 ? ? a ? 0 则 g (a) ? m(2) ? a ? 2 a 2

…………11 分

? a ? 2, ? 1 2 1 ? , ? ?a?? , 综上有 g ( a ) ? ? ? a ? 2a 2 2 ? ? 2, 2 ? a?? 2
(3)易得 gmin (a) ? 2 , 由 ?m2 ? 2tm ? 2 ? g (a) 对 a ? 0 恒成立,

a??

1 2

…………12 分

…………14 分

即要使 ?m2 ? 2tm ? 2 ? gmin (a) ? 2 恒成立,…………15 分

? m2 ? 2tm ? 0 ,令 h ?t ? ? ?2mt ? m2 ,对所有的 t ???1,1?, h ?t ? ? 0 成立,

?h(?1) ? 2m ? m 2 ? 0 只需 ? , 2 ? h(1) ? ?2m ? m ? 0
求出 m 的取值范围是 m ? ?2, 或m=0,或m ? 2 .

…………17 分

…………18 分

23、解: (1)因为 f ( x) ? x ? m,当x ? [an?1 , bn?1 ]时, f ( x)为单调增函数 , 所以其值域为 [an?1 ? m, bn?1 ? m] …………2 分

于是 an ? an?1 ? m, bn ? bn?1 ? m(n ? N * , n ? 2) …………4 分 又 a1 ? 0, b1 ? 1, 所以an ? (n ? 1)m, bn ? 1 ? (n ? 1)m. …………6 分

(2)因为 f ( x) ? x ? mf ( x) ? kx ? m(k ? 0),当x ? [an?1 , bn?1 ]时, f ( x)为单调增函数 所以 f ( x)的值域为 kan?1 ? m, kbn?1 ? m],因m ? 2, 则bn ? kbn?1 ? 2(n ? 2) ……8 分 [ 法一:假设存在常数 k ? 0 , 使得数列 {bn }满足 lim bn ? 4, 则 lim bn ? k lim bn ?1 ? 2 ,…………10 分
n ?? n ?? n ??

得 4 ? 4k ? 2, 则k ?

1 符合。…………12 分 2
n??

法二:假设存在常数 k>0,使得数列 {bn } 满足 lim bn ? 4. 当 k=1 不符 合。……7 分

2 2 ? k (bn ?1 ? )( n ? 2) ,…………9 分 k ?1 k ?1 2 2 2 1 )k n ?1 ? , 当 0 ? k ? 1时, lim bn ? ? 4, 得k ? 符合. 则 bn ? (1 ? n ?? k ?1 k ?1 1? k 2
当 k ? 1时, bn ? kb n ?1 ? 2(n ? 2) ? bn ? …………12 分 ( 3 ) 因 为 k ? 0,当x ? [an?1 , bn?1 ]时, f ( x)为 单 调 减 函 所 以 f (x) 的 值 域 为 , 数

[kbn?1 ? m, kan?1 ? m]

…………13 分

于是 an ? kbn?1 ? m, bn ? kan?1 ? m(n ? N * , n ? 2) 则 bn ? an ? ?k (bn?1 ? an?1 ) …………14 分 因此 ?bn ? an ?是以 ? k 为公比的等比数列,

?i, (k ? ?1) ? 又 b1 ? a1 ? 1则有 Ti ? S i ? ?1 ? (?k ) i …………16 分 , (k ? 0, k ? ?1) ? ? 1? k
进而有

2027091(k ? ?1) , ? ? 2013? 2014 ? k 2014 k (T1 ? T2 ? ? ? T2013 ) ? ( S1 ? S 2 ? ? ? S 2013 ) ? ? , (k ? 0, k ? ?1) ? (1 ? k ) 2 ?
…………18 分


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